Introducción al Cálculo. Problemas y Ejercicios Resueltos, 2003 - José Ramón Franco Brañas PDF

Title Introducción al Cálculo. Problemas y Ejercicios Resueltos, 2003 - José Ramón Franco Brañas
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Análisis Matematico...


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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO José Ramón Franco Brañas PEARSON EDUCACIÓN, S. A., Madrid, 2003 ISBN 10: 84-205-3676-8 ISBN 13: 978-84-205-3676-7 Materia: Cálculo 372 Formato 195 x 270 mm

Páginas: 320

Todos los derechos reservados. Queda prohibida, salvo excepción prevista en la Ley, cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública y transformación de esta obra sin contar con autorización de los titulares de propiedad intelectual. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (arts. 270

y sgts. Código Penal).

DERECHOS RESERVADOS © 2003 por PEARSON EDUCACIÓN, S.A. Ribera del Loira, 28 28042 MADRID INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO José Ramón Franco Brañas ISBN 10: 84-205-3676-8 ISBN 13: 978-84-205-3676-7 Depósito legal: M. 13.985-2006 PRENTICE HALL es un sello editorial autorizado de PEARSON EDUCACIÓN, S.A. Última reimpresión, 2006 Equipo editorial: Editora: Isabel Capella Técnico editorial: Marta Caicoya Equipo de producción: Director: José A. Clares Técnico: Isabel Muñoz Diseño de cubierta: Equipo de diseño de Pearson Educación S.A. Impreso por: Gráficas Rogar, S.A. IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN Este libro ha sido impreso con papel y tintas ecológicos

ÍNDICE GENERAL

P R Ó L O G O ...................................................................................................................................................................

XI

SÍMBOLOS Y E X P R E S IO N E S ......................................................................... . ...................................................... x m CAPÍTULO 1.

EL NÚMERO R E A L .......................................................................................................................

1

1.1.

In tro d u cció n ........................................................................................................................................

1

1.2.

El conjunto de los números racionales...............................................................................................

2

1.3. Forma decimal de un número racional...............................................................................................

3

1.4. Segmentos conm ensurables...............................................................................................................

4

1.5. El método de in d u c c ió n .....................................................................................................................

5

1.6. N um erabilidad.....................................................................................................................................

6

1.7. Propiedades algebraicas de K ............................................................................................................

7

1.8. El orden en E ........................................................................................................................................

8

1.9. Densidad de los números racionales en K .........................................................................................

10

1.10.

Valor absoluto de un número re a l.....................................................................................................

10

1.11.

Intervalos de E .................................................................................................................................

11

1.12.

Postulado de C antor...........................................................................................................................

12

1.13.

C o t a s .................................................................................................................................................

12

1.14.

Completitud de E ..............................................................................................................................

12

1.15.

Propiedad arquimediana de E

........................................................................................................

12

1.16.

Entorno de un punto

........................................................................................................................

13

1.17.

Puntos interiores, de acumulación, aislados, adherentes y f r o n te r a ...........................................

13

1.18.

Conjuntos abiertos y cerrados

14

........................................................................................................

Problemas r e s u e lto s .........................................................................................................................................

14

Problemas p ro p u e s to s ......................................................................................................................................

19

VI

índice general

CAPÍTULO 2.

EL NÚMERO C O M P L E J O ......................................................................................................

23

2.1. La unidad im aginaria........................................................................................................................... 2.2. El número c o m p le jo ........................................................................................................................... 2.3. Operaciones con números c o m p le jo s ............................................................................................... 2.4. Representación gráfica de un c o m p le jo ............................................................................................ 2.5. Módulo y argumento de un c o m p le jo ............................................................................................... 2.6. Propiedades del m ó d u lo ..................................................................................................................... 2.7. Forma polar y trigonométrica de un com plejo.................................................................................. 2.8. Producto y cociente de complejos en forma p o la r ............................................................................ 2.9. Potencia de un número complejo en forma p o l a r ............................................................................ 2.10. Raíces n-ésimas de un número com plejo......................................................................................... 2.11. Fórmula de E u l e r ............................................................................................................................... 2.12. Logaritmo de un número com plejo................................................................................................... 2.13. Las funciones h ip erb ó licas................................................................................................................ 2.14. Relación entre las funciones circulares y las h ip erb ó licas............................................................. Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... Problemas p ro p u e s to s ...................................................................................................................................

23 24 24 25 25 26 26 26 27 27 27 28 29 30 30 35

CAPÍTULO 3.

S U C E S IO N E S ................................................................................................................................

37

3.1. D e fin ic io n es........................................................................................................................................ 3.2. Límite de una sucesión........................................................................................................................ 3.3. Sucesiones divergentes........................................................................................................................ 3.4. Clasificación de las sucesiones............................................................................................................ 3.5. Operaciones con su cesio n es............................................................................................................... 3.6. Propiedades de los lím ite s .................................................................................................................. 3.7. Operaciones con sucesiones divergentes............................................................................................ 3.8. Cálculo de l í m i t e s ............................................................................................................................... 3.9. Ordenes de infinitud para n -> o o .............................................................. 3.10. El número e ......................................................................................................................................... 3.11. Aplicaciones del número e ................................................................................................................ 3.12. Sucesiones de Cauchy ...................................................................................................................... Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... Problemas p ro p u e s to s ...................................................................................................................................

37 38 39 39 39 40 40 41 42 42 43 44 44 51

CAPÍTULO 4.

SERIES N U M É R IC A S ................................................................................................................

53

4.1. Concepto de serie ............................................................................................................................... 4.2. Series convergentes ........................................................................................ 4.3. Series d iv e rg e n te s............................................................................................................................... 4.4. Criterio general de convergencia........................................................................................................ 4.5. Serie arm ó n ic a..................................................................................................................................... 4.6. Serie g eo m étrica.................................................................................................................................. 4.7. Series de términos p o s itiv o s ............................................................................................................... 4.8. Suma de una s e r i e ............................................................................................................................... 4.9. Convergencia de series altern ad as..................................................................................................... 4.10. Suma de dos s e r i e s ............................................................................................................................ Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... Problemas p ro p u e s to s .........................................................................................................

53 54 54 54 55 55 55 58 59 60 61 71

índice general

VII

LÍM ITE Y CONTINUIDAD DE UNA F U N C IÓ N ...............................................................

73

5.1. In tro d u cció n ........................................................................................................................................ 5.2. Tipos de fu n cio n es.............................................................................................................................. 5.3. Suma, producto y cociente de dos funciones .................................................................................. 5.4. Composición de funciones.................................................................................................................. 5.5. Función inversa..................................................................................................................................... 5.6. l im ite de una f u n c ió n ........................................................................................................................ 5.7. Propiedades de los lím ite s .................................................................................................................. 5.8. Función continua.................................................................................................................................. 5.9. Tipos de d isco n tin u id ad ..................................................................................................................... 5.10. Crecimiento y decrecim iento........................................................................................................... 5.11. Máximo y mínimo de una función. A co tació n............................................................................... 5.12. Continuidad uniform e........................................................................................................................ 5.13. Infinitésimos .............................................................................................................................. Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... Problemas p ro p u e s to s ...................................................................................................................................

73 74 74 74 75 75 76 76 77 78 79 81 81 82 91

............................................................................................

95

6.1. Concepto de d e r iv a d a ......................................................................................................................... 6.2. Derivada de una función constante..................................................................................................... 6.3. Derivada de la función f (x ) —xn ..................................................................................................... 6.4. Derivada de la suma de dos fu n cio n es............................................................................................... 6.5. Derivada del producto de dos fu n cio n es.................................. 6.6. Derivada de fe • / ( x ) ............................................................................................................................ 6.7. Derivada de .................................................................................................................................. 6.8. Derivada del cociente de dos fu n c io n e s ............................................................................................ 6.9. Derivada de / " ..................................................................................................................................... 6.10. Derivada de las funciones hiperbólicas............................................................................................ 6.11. Regla de la c a d e n a ............................................................................................................................ 6.12. Derivación im p líc ita .' ....................... 6.13. Derivadas la te r a le s ............................................................................................................................ 6.14. Relación entre derivabilidad y continuidad...................................................................................... 6.15. Diferencial de una fu n c ió n ............................................................................................................... 6.16. Teoremas sobre derivabilidad............................................................................................................ 6.17. Crecimiento y decrecim iento............................................................................................................ 6.18. Máximos y m ín im o s ......................................................................................................................... 6.19. Concavidad y convexidad.................................................................................................................. 6.20. Puntos de in fle x ió n ............................... 6.21. Representación gráfica de y = / ( x ) ............................................................................................... Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... Problemas p ro p u e s to s ...................................................................................................................................

95 96 97 97 97 97 97 98 98 98 98 99 99 100 101 102 104 104 105 105 106 107 124

CAPÍTULO 5.

CAPÍTULO 6.

CAPÍTULO 7.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

APROXIMACIÓN LOCAL DE UNA FUNCIÓN

................................................................

131

7.1. Desarrollo de un polinomio en potencias de x —a ......................................................................... 7.2. Fórmulas de Taylor y M ac-L aurin...................................................................................................... Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... Problemas p ro p u e s to s ...................................................................................................................................

131 132 133 139

V III

índice general

CAPÍTULO 8.

LA INTEGRAL IN D E FIN ID A ...................................................................................................

141

8.1. In tro d u cció n ........................................................................................................................................ 8.2. Propiedades elem entales..................................................................................................................... 8.3. Tabla de in teg ra le s.............................................................................................................................. 8.4. Integración por sustitución.................................................................................................................. 8.5. Integración por p a r t e s ........................................................................................................................ 8.6. Integración de funcion...


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