דף נוסחאות בפיזיקה קלאסית PDF

Preview

Summary

Download דף נוסחאות בפיזיקה קלאסית PDF

Description

‫וקטורים‬

‫גליליות‪ -‬יעקוביאן= 𝑟‬ ‫‪𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2‬‬ ‫𝜃 ‪𝑥 = 𝑟 cos‬‬ ‫𝑦‬ ‫𝜃 ‪𝑦 = 𝑟 sin‬‬ ‫) ( ‪𝜃 = tan−1‬‬ ‫𝑥‬ ‫𝑧=𝑧‬

‫חיבור או חיסור וקטורי‪ -‬חיבור או חיסור כל רכיב בנפרד‬ ‫גודל וקטור‪𝑎 = |𝑎| = √𝑎 ⋅ 𝑎 = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦2 + 𝑎𝑧2 :‬‬

‫מכפלה סקלרית‪ -‬נותנת סקלר‪ ,‬מתאפסת כאשר הוקטורים מאונכים ‪:‬‬ ‫𝑧𝑏 𝑧𝑎 ‪𝑎 ⋅ 𝑏󰇍 = |𝑎||𝑏󰇍| cos 𝛼 = 𝑎𝑥 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 𝑏𝑦 +‬‬ ‫‪𝑎‬‬ ‫וקטור יחידה‪ -‬כיוון מסויים בגודל ‪𝑎 = ,𝑎 ⋅ 𝑏 = cos 𝛼 :1‬‬ ‫| 󰇍‪|𝑎‬‬

‫היטל וקטור ‪ a‬על ‪(𝑎 ⋅ 𝑏)𝑏 : b‬‬

‫מכפלה וקטורית‪ -‬הוקטור שנוצר מאונך למישור שיוצרים שני הוקטורים האחרים ‪:‬‬ ‫‪𝑥 𝑦‬‬ ‫‪𝑧‬‬ ‫|𝑧𝑎 𝑦𝑎 𝑥𝑎| = ‪𝑐 = 𝑎 × 𝑏󰇍‬‬ ‫𝑧𝑏 𝑦𝑏 𝑥𝑏‬ ‫‪= (𝑎𝑦 𝑏𝑧 − 𝑏𝑦 𝑎𝑧 )𝑥 + (𝑎𝑧 𝑏𝑥 − 𝑎𝑥 𝑏𝑧 )𝑦 + (𝑎𝑥 𝑏𝑦 − 𝑎𝑦 𝑏𝑥 )𝑧‬‬ ‫גודל מכפלה וקטורית‪󰇍| sin 𝛼 :‬‬ ‫𝑏||‪|𝑎 × 𝑏󰇍 | = |𝑎‬‬

‫קינמטיקה ‪ -‬קווית‬ ‫וקטור המיקום (לפי מערכת קואורדינטות)‪:‬‬ ‫𝑡𝑣 = ‪𝑟‬‬

‫מהירות‪:‬‬ ‫תאוצה‪:‬‬

‫) ‪∗ 𝑣𝑡2 = 𝑣0 2 + 2𝑎(𝑥𝑡 − 𝑥0‬‬ ‫󰇘𝑟 = 󰇗𝑣 =‬ ‫𝑡‪ⅆ‬‬

‫𝑣‪ⅆ‬‬

‫=𝑎‬

‫‪𝑟󰇍󰇍󰇍󰇍‬‬ ‫‪𝑟󰇍0 + 𝑣󰇍󰇍󰇍0 𝑡 + 𝑎𝑡 2‬‬ ‫󰇍󰇍 = )𝑡(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫󰇗𝑟 =𝑡‪∗ 𝑣 = ⅆ‬‬

‫𝑡‪∗ 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎‬‬

‫‪ⅆ𝑟‬‬

‫המעבר חזרה ‪ -‬ע"י אינטגרציה‪𝑣(𝑡) = ∫ 𝑎(𝑡) ⅆ𝑡 , 𝑟(𝑡) = ∫ 𝑣(𝑡) ⅆ𝑡 = ∬ 𝑎(𝑡) ⅆ𝑡 :‬‬

‫קינמטיקה ‪ -‬מעגלית‬ ‫טרנספורמציה בין וקטורי יחידה‪:‬‬ ‫‪𝑥 = cos 𝜃𝑟 − sin 𝜃𝜃 , 𝑦 = sin 𝜃𝑟 + cos 𝜃𝜃‬‬ ‫‪𝑟 = cos 𝜃𝑥 + sin 𝜃𝑦 , 𝜃 = − sin 𝜃𝑥 + cos 𝜃𝑦‬‬ ‫‪𝑟󰇗 = −𝜔 sin(𝜔𝑡)𝑥 + 𝜔 cos(𝜔𝑡)𝑦 = 𝜔𝜃 = 𝜃󰇗𝜃‬‬ ‫‪󰇗𝜃 = −𝜔 cos(𝜔𝑡)𝑥 − 𝜔 sin(𝜔𝑡)𝑦 = −𝜔𝑟 = −𝜃󰇗 𝑟‬‬ ‫‪‬‬ ‫מיקום‪ -‬המרחק מנקודת הייחוס‪:‬‬ ‫המהירות‪:‬‬

‫תאוצה‪:‬‬ ‫תאוצה רדיאלית‪ -‬כלפי המרכז‬

‫𝑇‬

‫‪𝑎(𝑡) = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑡 = (𝑟󰇘 − 𝑟𝜃󰇗 2 )𝑟 + (2𝑟󰇗 𝜃󰇗 + 𝑟𝜃󰇘)𝜃‬‬ ‫𝑣⋅‬ ‫𝑡‪ⅆ‬‬

‫𝑇‪ⅆ𝑢‬‬

‫תאוצה משיקית‪ -‬משנה את המהירות המשיקית‬ ‫תאוצה זוויתית‪ -‬משנה את המהירות הזוויתית‬ ‫זמן מחזור ותדירות‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫𝑇‬

‫=𝑓‬

‫𝜋‪2‬‬ ‫𝜔‬

‫=‬

‫𝑅𝜋‪2‬‬ ‫𝑣‬

‫=𝑇‬

‫= 𝑅‪= 𝜔2‬‬

‫‪𝑣2‬‬

‫𝑅‬

‫= 𝑅𝑎‬

‫𝑡‪𝑎𝑇 = 𝛼𝑟 = 𝑢 𝑇 ⋅ ⅆ‬‬

‫𝑣‪ⅆ‬‬

‫󰇘𝜃 =󰇗𝜔 =‬ ‫𝑡‪ⅆ‬‬

‫𝜔‪ⅆ‬‬

‫=𝛼‬

‫מערכת מאיצה לא מסתובבת‪:‬‬

‫‪󰇍󰇍󰇍′ = 𝑎 − 𝐴‬‬ ‫𝑎‬

‫‪ = 𝑎‬התאוצה במערכת האינרציאלית‬ ‫‪ = 𝑎′‬התאוצה במערכת שראשיתה מואצת‬ ‫‪ = 𝐴‬התאוצה של המערכת המואצת במערכת לא אינרציאלית‬ ‫‪ 𝑚𝐴‬הוא כוח מדומה!‬

‫אם נכפיל ב‪:m-‬‬ ‫‪𝐹 ′ = 𝐹 − 𝑚𝐴‬‬

‫‪𝐹 − 𝑚𝐴 = 𝑚𝑎′‬‬

‫מערכת מסתובבת‪:‬‬ ‫𝜔( × ‪󰇍󰇍‬‬ ‫𝜔‪󰇍󰇍 × 𝑟 ) + 2‬‬ ‫‪󰇍 × 𝑣 ′‬‬ ‫‪𝑣 = 𝑣 ′ + 𝜔󰇍󰇍 × 𝑟‬‬ ‫𝜔 ‪𝑎 = 𝑎′ +‬‬ ‫במערכת מסתובבת נוספים שני כוחות מדומים למשוואת הכוחות‪:‬‬ ‫𝜔𝑚‪𝐹 = −‬‬ ‫כוח צנטריפוגלי‪:‬‬ ‫𝜔( × ‪󰇍󰇍‬‬ ‫)‪󰇍󰇍 × 𝑟‬‬ ‫󰇍󰇍󰇍‬ ‫𝜔𝑚‪𝐹𝑐 = −2‬‬ ‫כוח קוריוליס‪:‬‬ ‫‪󰇍󰇍 × 𝑣 ′‬‬

‫כאשר 𝜔 היא של הצופה המסתובב‪ ,‬ו ‪𝑣 ′ -‬היא מהירותו של הגוף ביחס לצופה (לא‬ ‫למעבדה)!‬

‫𝑖‬

‫‪‬‬ ‫‪󰇍󰇍󰇍󰇍‬‬ ‫𝐹‬ ‫‪12 = −𝐹21‬‬

‫‪3.‬‬

‫‪ ‬חיכוך סטטי‪ -‬פועל בניגוד לכיוון התנועה‬ ‫‪ ‬חיכוך קינטי‪ -‬פועל בניגוד לכיוון התנועה‬ ‫‪ ‬ציפה‪ -‬תמיד כלפי מעלה 𝑔 𝑓𝑀 = 𝑔𝑉𝜌 = 𝐵‪𝐹‬‬ ‫כאשר 𝜌 = צפיפות הנוזל‪= V ,‬נפח הגוף‪ = 𝑀𝑓 ,‬מסת הנוזל שנדחה‬

‫‪𝑓 = −𝑘𝜂 𝑣‬‬ ‫‪ ‬כוח החיכוך על כדור בנוזל‪:‬‬ ‫כאשר 𝑟𝜋‪ 𝑘 = 6‬שטח הפנים של הכדור‪ = 𝜂 ,‬מקדם הצמיגות של הנוזל‬ ‫𝑥𝛥𝑘‪𝐹 = −‬‬ ‫‪ ‬כוח אלסטי (קפיץ)‪:‬‬ ‫מתקף ותנע‬ ‫𝑣𝑚 = ‪𝑃󰇍‬‬

‫𝑃𝛥 = )‪ⅆ𝑡 = 𝑃(𝑡2 ) − 𝑃(𝑡1‬‬

‫‪𝑡2‬‬ ‫𝑃‪ⅆ‬‬

‫𝑡‪ⅆ‬‬

‫‪𝑡1‬‬

‫∫=𝐽‬

‫𝑣𝛥𝑚 = 𝑡𝛥𝐹 = 𝐽‬

‫‪= 𝑚𝑎‬‬

‫𝑃‪ⅆ‬‬ ‫𝑡‪ⅆ‬‬

‫= ‪∑𝐹‬‬

‫חוק שימור התנע‪ -‬כאשר אין כוחות חיצוניים‪ ,‬התנע הכללי של המערכת נשמר ואין מתקף‪.‬‬ ‫‪𝑢󰇍 = 𝑣 + 𝑢󰇍󰇍′‬‬

‫מערכת מסה משתנה‪:‬‬

‫‪ = 𝑣‬מהירות הגוף במערכת האינרציאלית‬ ‫‪ = 𝑢󰇍′‬מהירות פליטת‪/‬קליטת המסה במערכת הגוף‬ ‫‪󰇍‬‬ ‫𝑢 = מהירות פליטת המסה במערכת האינרציאלית‬ ‫שינוי התנע במערכת מסה משתנה‪= 𝑀 ⅆ𝑣 − 𝑢 ′ ⅆ𝑀 :‬‬

‫)𝑡(𝑃 ‪󰇍 = 𝑃(𝑡+ⅆ𝑡) −‬‬ ‫𝑃‪ⅆ‬‬ ‫‪ⅆ𝑣󰇍‬‬ ‫𝑀‪ⅆ‬‬ ‫‪ⅆ𝑃󰇍‬‬ ‫𝑀 = =𝑡𝑥𝑒‪𝐹‬‬ ‫‪− 𝑢′ ⅆ𝑡= 𝑚𝑎‬‬ ‫𝑡‪ⅆ‬‬ ‫𝑡‪ⅆ‬‬

‫הכוחות החיצוניים‪:‬‬

‫)𝛼‪𝑣02 sin(2‬‬ ‫𝑔‬

‫תנועה בליסטית של מ"מ‪:‬‬

‫=𝑚𝑐𝑥‬

‫טיפ‪ :‬לחפש את הכוחות החיצוניים‪ .‬באם יש ‪ -‬בהכרח יהיה מתקף‪ .‬קצב איבוד המסה ‪ -‬תמיד יהיה אלמנט‬ ‫המסה‪/‬אלמנט הזמן‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫אנרגיה קינטית‪:‬‬

‫מערכות ייחוס‪ -‬אינרציאליות ולא אינרציאליות‬ ‫מערכת אינרציאלית (הגדרה)‪ :‬מערכת שאינה מאיצה או מסתובבת ביחס למערכת‬ ‫אחרת‪.‬‬ ‫‪󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍‬‬ ‫‪𝑣𝐵 − 󰇍󰇍󰇍󰇍‬‬ ‫𝐴𝑣‬ ‫‪𝑣𝐵𝐴 = 󰇍󰇍󰇍󰇍‬‬ ‫טרנס' גליליי‪ -‬מהירות ‪ B‬ביחס ל‪:A-‬‬

‫‪∑ 𝐹𝑖 󰇍󰇍 = 𝑚𝑎‬‬

‫‪2.‬‬

‫𝑁 𝑠𝜇 ≤ 𝑠𝑓‬ ‫𝑁 𝑘𝜇 ≤ 𝑘𝑓‬

‫שימוש נוסף של מתקף‪ ,‬כאשר הכוח והמסה קבועים‪:‬‬

‫𝑡‪0‬‬

‫𝑖‬

‫סוגי כוחות‪:‬‬ ‫‪ ‬נורמל ‪ N -‬בניצב למשטח בנק' המגע‬ ‫‪ ‬מתיחות‪ T -‬שווה לכל אורך החוט אם החוט אידאלי (באם יש גלגלת ‪ -‬אם היא אידאלית)‬

‫מתקף= השינוי בתנע‪:‬‬

‫)𝑡(‪𝑟 = 𝑟(𝑡) 𝑟‬‬

‫‪1. ∑ 𝐹𝑖 = 0‬‬

‫חוקי ניוטון‪:‬‬ ‫‪ -1‬כאשר שקול הכוחות שווה ל‪ , 0-‬הגוף יתמיד במהירותו או יהיה במנוחה‬ ‫‪ -2‬סכום הכוחות על גוף שווה למסת הגוף כפול תאוצתו‬ ‫‪ -3‬כוח שגוף ‪ 1‬מפעיל על גוף ‪ 2‬שקול לכוח שגוף ‪ 2‬מפעיל על גוף ‪ 1‬והפוך בכיוון‬

‫תנע של גוף (אפשרי לפרק לצירים)‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪󰇍󰇍󰇍𝑣󰇍󰇍󰇍‬‬ ‫𝜃󰇗𝜃𝑟 ‪(𝑡)= 𝑟󰇗 𝑟 +‬‬ ‫󰇗‬ ‫𝑇‪‬‬ ‫𝑢𝑣 = 𝑟𝜃 = 𝑟𝜔 = 𝑟‪󰇍𝑣󰇍‬‬ ‫𝜋‪ⅆ𝜃 2‬‬ ‫= = 󰇗𝜃 = 𝜔 = 𝜃‪󰇍𝑣󰇍‬‬

‫𝑇‪ 𝑢‬הוא וקטור היחידה בכיוון המהירות‬

‫מערכות צירים‬

‫כדוריות‪ -‬יעקוביאן = 𝜃 ‪𝑟 2 sin‬‬ ‫‪𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧 2‬‬ ‫𝜑 ‪𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos‬‬ ‫𝑧‬ ‫𝜑 ‪𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫( ‪𝜃 = cos‬‬ ‫)‬ ‫‪√𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧 2‬‬ ‫𝜃 ‪𝑧 = 𝑟 cos‬‬ ‫𝑦‬ ‫) ( ‪𝜑 = tan−1‬‬ ‫𝑥‬ ‫דינאמיקה‬

‫𝑣𝑚 = 𝑘𝐸‬ ‫‪2‬‬

‫אנרגיה פוטנציאלית‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫עבודה ואנרגיה (סקלר)‬

‫‪𝑈𝑝 = 𝑚𝑔ℎ‬‬

‫אנרגיה קינטית סיבובית‪:‬‬ ‫אנרגית קפיץ‪:‬‬

‫עבודת כוח קבוע‪:‬‬

‫𝑈𝛻‪𝑤𝑎→𝐵= −‬‬ ‫עבודת כוח משמר‪( :‬דוג'‪ -‬כבידה‪ ,‬כוח חשמלי‪ ,‬כוח אלסטי)‬ ‫𝑟𝑈𝜕‬ ‫𝑟𝑈𝜕‬ ‫𝑈𝜕‬ ‫𝐹󰇍‬ ‫‪󰇍󰇍󰇍󰇍‬‬ ‫‪󰇍󰇍‬‬ ‫𝑧𝜕 ‪+ 𝑧‬‬ ‫)‬ ‫𝑦𝜕 ‪ 𝜕𝑥𝑟+ 𝑦‬‬ ‫הגדרת הגרדיאנט עבור כוח‪:‬‬ ‫𝑥( ‪(𝑟)= −𝛻𝑈 (𝑟) = −‬‬ ‫פוטנציאל של כוח משמר‪:‬‬

‫𝐼𝜔 = 𝑘𝐸‬ ‫‪2‬‬

‫‪𝐸𝑠 = 𝑘𝑥 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫עבודת כוח במסלול מסויים‪( :‬כוח מאונך למסלול לא מבצע עבודה‪ ,‬מכפלה סקלרית!)‬ ‫𝛼 ‪𝑊 = |𝐹||𝛥𝑟| cos‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫𝑟‪𝑤 = ∫𝐴 𝐹 ⋅ ⅆ‬‬ ‫𝐵‬

‫𝑈 = ‪𝐸𝑃 = −∫ 𝐹 ⋅ ⅆ𝑟‬‬

‫משפט עבודה אנרגיה‪ :‬סך עבודת הכוח ות הלא משמרים ‪ -‬סך השינוי באנרגיה‬ ‫𝐵𝐸 ‪𝑤𝐴→𝐵= 𝛥𝐸tot = 𝐸𝐴 −‬‬ ‫חוק שימור אנרגיה‪ :‬מתקיים כאשר כוחות לא מבצעים עבודה או שישנם רק כוחות משמרים במערכת‬ ‫𝐸‪ⅆ‬‬ ‫𝐵) 𝑃𝑈 ‪= 0 → 𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. → (𝐸𝑘 + 𝑈𝑝 ) = (𝐸𝑘 +‬‬ ‫𝐴‬ ‫𝑡‪ⅆ‬‬ ‫התנגשויות‬ ‫‪𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 = 𝑚1𝑢1 + 𝑚2 𝑢2‬‬ ‫אלסטית‪ :‬יש שימור תנע ‪ +‬שימור אנרגיה‬

‫לא אלסטית‪ :‬יש שימור תנע‪ ,‬אין שימור אנרגיה‪.‬‬ ‫) ‪𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 = 𝑢(𝑚1 + 𝑚2‬‬ ‫‪ ‬פלסטית‪ -‬גופים שנדבקים‪:‬‬ ‫‪𝑣(𝑚1 + 𝑚2 ) = 𝑢1 𝑚1 + 𝑢2 𝑚2‬‬ ‫‪ ‬רתע‪ -‬התפוצצות פנימית‪ ,‬היפרדות‪:‬‬

‫יחידות מידה‬ ‫‪𝑘𝑔 ⋅ 𝑚2‬‬ ‫𝑔𝑘‬ ‫‪𝑟𝑎ⅆ‬‬ ‫𝑚 ⋅ 𝑔𝑘‬ ‫𝑚 ⋅ 𝑔𝑘‬ ‫𝑚 ⋅ 𝑔𝑘‬ ‫𝑚‬ ‫𝑚‬ ‫‪1‬‬ ‫= 𝑚 ⋅ 𝑁 = 𝐸( ‪൰ (𝐽 = 𝑁 ⋅ 𝑠) ൬𝑓 = = 𝐻𝑧൰‬‬ ‫( ‪൰ (𝜏 = 𝑁 ⋅ 𝑚)(𝐼 = 𝑘𝑔 ⋅ 𝑚 2 )(𝑘 = 2‬‬ ‫= 𝑃‪) ൬‬‬ ‫= 𝐿 = 𝑃‪(𝑣 = ) (𝑎 = 2 ) ൬𝛼 = 2 ൰ ൬𝐹 = 𝑁 = 2 ൰ ൬‬‬ ‫𝑠‬ ‫𝑠‬ ‫𝑠‬ ‫𝑠‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑠‬ ‫𝑠‬ ‫‪𝑠2‬‬ ‫𝑠‬

‫מומנט ותנע זוויתי‬ ‫מומנט כוח‪ -‬היכולת של כוח המופעל על גוף לגרום לתנועה סיבובית‪:‬‬ ‫𝜃 ‪𝜏 = 𝑟 × 𝐹 = |𝑟 ||𝐹 | sin‬‬ ‫במצב ש"מ ‪ -‬סכום המומנטים על הגוף ( ‪ r‬הנקודה בה הופעל המומנט)‪:‬‬ ‫→ ‪∑𝐹 = 0‬‬ ‫‪∑𝜏 = ∑𝑟 × 𝐹 = 0‬‬

‫‪󰇍󰇍󰇍󰇍‬‬ ‫󰇍󰇍󰇍𝐹 × ‪= 𝑟‬‬ ‫𝑡𝑥𝑒‪𝑒𝑥𝑡 = 𝜏‬‬

‫‪ⅆ𝑃󰇍‬‬

‫הקשר למומנט הכוח‪:‬‬ ‫הערות‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬ ‫𝑥 ‪+ 𝜔0‬‬

‫󰇘𝑥 פתרונות אפשריים (מציאת הקבועים מתנאי‬ ‫אוסילטור פשוט‪ :‬משוואת התנועה‪= 0 :‬‬ ‫התחלה ‪ ,‬יש להוסיף פתרון פרטי )‪𝑥(𝑡) = 𝐶1 cos(𝜔0𝑡) + 𝐶2 sin(𝜔0𝑡) = 𝐴 cos(𝜔0 𝑡 + 𝜑) :‬‬ ‫‪′′‬‬ ‫𝑘‬ ‫‪𝜔0‬‬ ‫𝑓𝑓𝑒 √ = ‪𝜔0‬‬ ‫היא תדירות התנודה ‪, 𝑘𝑒𝑓𝑓= 𝑉(𝑥min ) :‬‬ ‫𝑚‬ ‫כאשר ‪ K‬הוא קבוע (כמו בקפיץ) ו‪ V-‬היא האנרגיה הפוטנציאלית‪.‬‬

‫‪󰇍‬‬ ‫𝑣 × ‪𝐿 = ∑𝑚𝑟‬‬ ‫𝑟∑ → 󰇗𝑙‪󰇍󰇍󰇍‬‬ ‫𝑖‪󰇍󰇍𝑖 × 𝑃󰇍󰇍‬‬ ‫‪󰇍‬‬ ‫‪󰇍󰇍󰇍‬‬ ‫‪+‬‬ ‫𝑀‬ ‫𝑟‬ ‫𝑐𝐿 = 𝐿‬ ‫‪󰇍󰇍󰇍󰇍 × 𝑣󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍‬‬ ‫𝑚𝑐 𝑡𝑜𝑡‬ ‫𝑚𝑐‬

‫תנע זוויתי של מערכת‪( :‬עוצמת הסיבוב של המסה)‪:‬‬ ‫התנ"ז ביחס למערכת הממוקמת במ"מ ונעה עימו‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫תנועה הרמונית‬

‫𝑡‪ⅆ‬‬

‫𝑚‬

‫× ‪= 𝑟‬‬

‫‪ ‬מטוטלת מתמטית‪:‬‬

‫𝐿‪ⅆ‬‬ ‫𝑡‪ⅆ‬‬

‫𝐼‬

‫אוסילטור מרוסן‪ :‬משוואת התנועה‪𝑚𝑥󰇘 + 𝑥󰇗 + 𝜔02 𝑥 = 0 :‬‬ ‫𝜏‬ ‫‪2‬‬

‫ישנו כוח מרסן שפרופורציוני למהירות 𝑣𝛽‪ 𝑓 = −‬לדוגמה עבור קפיץ ‪𝑚𝑥󰇘 = −𝛽𝑥󰇗 − 𝑘𝑥 :‬‬

‫הגדרה‪:‬‬

‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬

‫ממונט ההתמד של גוף רציף‪ :‬אינטגרל של אלמנט המסה והמרחק בריבוע! ההתמד תלוי‬ ‫בבחירת ציר הסיבוב‪ ,‬כאשר המרחק (‪ ) r‬הוא בין המסה לציר‪ .‬כאשר ציר הסיבוב לא‬ ‫מקביל לציר הראשי של הגוף‪ ,‬התנ"ז לא יהיה מקביל לציר הסיבוב‪.‬‬ ‫𝜔𝐼 = 𝜔 ‪𝐿tot = ∑ 𝐿 󰇍𝑖 = ∑𝑚𝑖 𝑟 2‬‬ ‫תנ"ז של מערכת רב חלקיקית‪:‬‬

‫‪.3‬‬

‫‪1‬‬ ‫𝜏‬

‫=‬

‫𝛽‬

‫𝑚‪2‬‬

‫‪− 𝜔02 ,‬‬

‫‪1‬‬

‫‪𝜏2‬‬

‫√ = ‪𝜔1‬‬

‫ריסון חזק‪:‬‬

‫‪≫ 𝜔02‬‬

‫ריסון חלש‪:‬‬

‫‪𝜔02‬‬

‫ריסון קריטי‪= 𝜔02 :‬‬ ‫≪‬

‫‪1‬‬

‫‪𝜏2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-‬‬

‫‪𝜏2‬‬

‫‪𝜏2‬‬

‫) 𝑡 ‪ 𝑥(𝑡) = ⅇ (𝐴ⅇ 𝜔1 𝑡 + 𝐵ⅇ −𝜔1‬משוואת התנועה‪.‬‬

‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫𝑡‬ ‫‪−‬‬ ‫𝜏‬

‫‪− 𝜏2‬‬ ‫‪1‬‬

‫𝑡‬ ‫𝜏‬

‫‪−‬‬

‫‪𝑥(𝑡) = (𝐴𝑡 + 𝐵 )ⅇ‬‬

‫= ‪𝑥(𝑡) = ⅇ (𝐴 cos 𝜔2 𝑡 + 𝐵 sin 𝜔2 𝑡) , 𝜔2‬‬

‫‪√𝜔02‬‬

‫𝑡‬ ‫𝜏‪−‬‬

‫אוסילטור מאולץ‪ :‬משוואת התנועה‪ 𝑥󰇘 + 𝜔20 𝑥󰇗 = 0sin(𝜔𝑓 𝑡) :‬כאשר הכוח המופעל‪𝐹(𝑡) = 𝐹0ⅇ 𝑙󰇗𝜔𝑡 :‬‬ ‫𝑚‬ ‫𝐹‬

‫הפתרון הפרטי‪ .𝑥𝑝 = 𝐵ⅇ 𝑖𝜔𝑓𝑡 :‬לאחר זמן רב האוסילטור כולו שואף לפתרון הפרטי‪.‬‬ ‫𝑜𝐹‬ ‫מקרים אפשריים‪= 𝛼0 :‬‬ ‫𝑚‬ ‫‪𝑎0‬‬ ‫)𝑡 𝑓𝜔(‪𝑥(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔0 𝑡 + 𝜑 ) + 2 −𝜔2 sin‬‬ ‫‪-𝜔 ≠ 0 ≠ 𝜔0 .1‬‬

‫‪1‬‬

‫גוף צפיד‪ :‬גוף קשיח לא נקודתי‪ ,‬שאינו משנה צורה במהלך התנועה ‪ -‬המרחק בין כל ‪2‬‬ ‫חלקיקים נשאר קבוע בקירוב‪.‬‬ ‫𝐿𝜕‬ ‫=‬ ‫󰇗𝜔𝐼‬ ‫=‬ ‫𝛼𝐼‬ ‫=‬ ‫𝜏‬ ‫ניוטון)‪:‬‬ ‫של‬ ‫שני‬ ‫לחוק‬ ‫(מקביל‬ ‫ראשי‬ ‫ציר‬ ‫תנ"ז של גוף צפיד סביב‬ ‫𝑡𝜕‬ ‫אנרגית גוף סובב סביב מ"מ (בתנועה)‪:‬‬

‫√ = ‪ 𝜔0‬כאשר ‪ m‬היא מסת המטוטלת‪ l ,‬אורכה‬

‫𝑙𝑔𝑚‬

‫מנק' התלייה‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑚𝑙 ∑ = 𝐼‬ ‫𝑚‪󰇗 𝑖 𝑟𝑖 = ∫𝑉 𝑟 ⅆ‬‬

‫‪2‬‬ ‫𝑚𝑐𝑣𝑚 = 𝐸‬ ‫‪+ 𝐼𝑐𝑚 𝜔2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫𝑙‬

‫‪ ‬מטוטלת פיזיקלית (בעלת מומנט התמד)‬

‫המומנט תלוי בבחירת ראשית הצירים‪ .‬זרוע המומנט תחושב ביחס לנק' זו‪.‬‬ ‫שדה הכובד ‪ -‬שדה כוח חיצוני שמופעל באופן קבוע על מ"מ‪.‬‬ ‫ככל שמפעילים כוח רחוק יותר מציר הסיבוב‪ ,‬המומנט גדל‪ .‬יהיה מקסימלי ‪ -‬כאשר‬ ‫כיוון הפעלת הכוח ניצב לוקטור המחבר עם ציר הסיבוב‪.‬‬ ‫בחישובי מומנטים ותנ"ז חשוב להגדיר גם את כיוונו החיובי של ‪ z‬לפי כלל יד ימין‪.‬‬

‫מומנט התמד‪ :‬התנגדות גוף לשינוי במהירותו הזוויתית‬

‫𝑔‬

‫√ = ‪ 𝜔0‬כאשר ‪ l‬הוא אורך החוט‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪.3‬‬

‫משפט שטיינר‪ -‬מקשר בין מומנט ההתמד של גוף סביב ציר העובר במ"מ לציר העובר‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑚𝐶‪ 𝐼𝐴 = 𝐼𝑐𝑚 + 𝑀𝐷𝐴,‬אשר 𝑚𝑐‪ - 𝐷𝐴,‬המרחק בין הצירים המקבילים‪.‬‬ ‫במקביל אליו‪:‬‬ ‫𝑦𝑦𝐼 ‪𝐼𝑧𝑧= 𝐼𝑥𝑥 +‬‬ ‫גופים דו מימדיים‪:‬‬

‫)𝑡 𝑓𝜔(‪sin‬‬

‫‪-𝜔 ≠ 0 = 𝜔0‬‬

‫‪𝛼0‬‬

‫‪𝜔0‬‬

‫‪𝑥(𝑡) = 𝐴 + 𝐵𝑡 −‬‬

‫𝑓‪𝜔2‬‬ ‫𝑡 ‪𝛼0‬‬

‫)𝑡 𝑓𝜔(‪𝑥(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔0 𝑡 + 𝜑 ) − 2𝜔 cos‬‬

‫‪-0 ≠ 𝜔 = 𝜔0‬‬

‫𝑓‬

‫אוסילטור מרוסן ומאולץ‪ :‬משוואת התנועה‪𝑥󰇘 + 𝑥󰇗 + 𝜔02 𝑥 = 0 cos 𝜔𝑓 𝑡 :‬‬ ‫𝑚‬ ‫𝜏‬ ‫הפתרון הפרטי‪𝑥𝑃 = 𝐴(𝜔𝑓 ) cos(𝜔𝑓 𝑡 + 𝜃) :‬‬

‫𝐹‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫‪2‬‬

‫גלגול ופרסציה‬ ‫גלגול ללא החלקה‪ :‬מ"מ מסתובב באורך הקשת (רדיוס ‪ X‬זווית)‪:‬‬ ‫𝜃‪ⅆ‬‬ ‫𝜔‪ⅆ‬‬ ‫𝜃𝑅 =𝑚𝑐𝑥‬ ‫𝑅 =𝑚𝑐𝑣‬ ‫𝜔𝑅 =‬ ‫𝑅 =𝑚𝑐𝑎‬ ‫𝛼𝑅 =‬ ‫𝑡‪ⅆ‬‬ ‫𝑡‪ⅆ‬‬ ‫בנקודה זו פועל‬ ‫𝑅𝜔 =𝑚𝑐𝑣 → ‪𝑣𝑝 = 𝑣𝑐𝑚 − 𝜔𝑅 = 0‬‬ ‫המהירות בנק' ההשקה‪:‬‬

‫הפתרון ההומוגני דועך ונשארים רק עם הפתרון הפרטי‪ ,‬שהוא הכוח המאלץ ‪ ,‬לכן את הפתרון‬ ‫ההומוגני ‪ -‬ניקח מהאוסילטור המאולץ ‪ .‬בריסון חלש גרף האמפליטודה מתרכז סביב ‪.𝜔𝑓 ≈ 𝜔0‬‬

‫גלגול עם החלקה‪ :‬שני מצבים אפשריים‪:‬‬ ‫‪ - 𝑣𝑃 = 𝑣𝐶𝑚 − 𝜔𝑅 > 0 , 𝑣𝑐𝑚> 𝜔𝑅 ‬החיכוך הקינטי יפעל הפוך לתנועה‪ ,‬יאט את‬

‫מקדם האיכות‪ :‬מדד לאנרגיה האגורה ב אוסילטור‬ ‫חלקי האנרגיה המתבזבזת בזמן מחזור‪:‬‬ ‫𝐸‬ ‫ובריסון חלש‪𝑄 = 𝑤0 𝜏 :‬‬ ‫𝑡‪𝑄 = 2𝜋 𝑡0‬‬

‫הזווית‪) :‬‬

‫כוח חיכוך סטטי‪ ,‬שאינו מבצע עבודה‪.‬‬

‫המהירות הקווית של הגוף ויגרום לו להסתובב מהר יותר‪.‬‬ ‫‪ - 𝑣𝑃 = 𝑣𝐶𝑚 − 𝜔𝑅 < 0 , 𝑣𝑐𝑚< 𝜔𝑅 ‬החיכוך הקינטי יפעל עם כיוון התנועה‪ ,‬מגדיל‬

‫‪𝐸𝜔0‬‬

‫במערכת מרכז המסה‪:‬‬

‫𝑡‪ⅆ‬‬

‫‪= 𝛺󰇍 × 𝐿󰇍′𝑐𝑚 + 𝑀𝑅󰇍𝑐𝑚 × 𝐴𝐶𝑚= 𝜏‬‬ ‫𝑡‪ⅆ‬‬

‫‪ 󰇍‬הוא התנ"ז בתוך מערכת מ"מ‪.‬‬ ‫כאשר 𝑚𝑐‪𝐿′‬‬

‫‪ⅆ𝐿󰇍‬‬

‫הבעיה הדו גופית‬ ‫בבעיה בה קיימים ‪ 2‬גופים‪ ,‬ביניהם פועל כוח שתלוי במרחק בינהם (ללא כוחות‬

‫‪𝑟 = 󰇍󰇍𝑟󰇍1 − 𝑟󰇍󰇍󰇍2‬‬ ‫חיצוניים נוספים) נגדיר את היחס בינהם‪:‬‬ ‫𝑣 = ‪𝑣‬‬ ‫‪󰇍󰇍󰇍‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑣‪1 −‬‬ ‫)𝑟(𝑉𝜕‬ ‫‪𝐹󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍‬‬ ‫הכוח הפוטנציאלי בינהם ‪( V‬כבידה‪ ,‬מטען חשמלי‪,‬קפיץ‪:)...‬‬ ‫‪(𝑟) = − 𝜕𝑟𝑟‬‬ ‫‪𝑚2‬‬ ‫‪𝑚1‬‬ ‫󰇍󰇍󰇍‬ ‫= ‪𝑟1‬‬ ‫ה קשרים בינהם‪:‬‬ ‫‪𝑟‬‬ ‫‪𝑟󰇍󰇍󰇍‬‬ ‫‪𝑟‬‬ ‫‪2 =−‬‬ ‫נגדיר מסה מצומצמת‪:‬‬ ‫󰇘𝑟𝜇‬

‫‪𝑣‬‬

‫‪𝑚1 +𝑚2‬‬ ‫𝑚‬

‫‪1‬‬ ‫󰇍󰇍󰇍𝑣‬ ‫𝑚 ‪2󰇍 = −‬‬

‫‪𝑣‬‬

‫‪1 +𝑚2‬‬

‫‪𝑚1 +𝑚2‬‬ ‫‪𝑚2‬‬

‫‪𝑚1 +𝑚2‬‬

‫‪𝑣󰇍󰇍󰇍‬‬ ‫= ‪1‬‬

‫𝑚 𝑚‬ ‫‪ 𝜇 = 1 2‬מסה זו מקיימת את החוק השני של ניוטון‪𝐹 = :‬‬

‫‪𝑚1 +𝑚2‬‬

‫מסה זו היא החלקיק האפקטיבי עליו מתקיימים הקשרים הבאים‪:‬‬ ‫𝐿‬ ‫‪1‬‬ ‫‪󰇍𝐿= 𝜇𝑟 × 𝑣 = 𝜇𝑟 2 𝜃󰇗 𝑧 → 𝜃󰇗 = 𝜔 = 2‬‬ ‫‪𝐸𝑘 = 𝜇𝑣 2‬‬ ‫𝑟𝜇‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬התנע הזוויתי במערכת נשמר! אין מומנט כוח‪ .‬זהו כוח משמר‪.‬‬ ‫‪𝐿2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)𝑟(𝑓𝑓𝑒𝑣 ‪𝐸 = 2 𝜇𝑟󰇗 2 + 2𝜇𝑟 2 + 𝑣(𝑟) = 2 𝜇𝑟󰇗 2 +‬‬ ‫האנרגיה הכללית‪:‬‬

‫קשרים נוספים שמתקיימים‪:‬‬ ‫כוח הכבידה‪:‬‬

‫𝐿‬ ‫𝜃‪ⅆ‬‬ ‫‪= 22‬‬ ‫𝑟‪ⅆ‬‬ ‫) )𝑟(𝑣‪𝜇𝑟 √ (𝐸−‬‬

‫‪𝐺𝑚1 𝑚2‬‬ ‫󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍‬ ‫‪󰇍‬‬ ‫𝐹‬ ‫‪𝑟‬‬ ‫‪(𝑟) = −‬‬ ‫‪𝑟2‬‬

‫))𝑟(𝑉 ‪(𝐸 −‬‬

‫𝜇‬

‫והאנרגיה הפוטנציאלית‪:‬‬

‫העבודה של כוח הכבידה בתנועה דו גופית‪− 𝑟 ൰ :‬‬ ‫𝑖‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫𝑓𝑟‬

‫𝜇‬

‫‪𝐺𝑚1 𝑚2‬‬ ‫𝑟‬

‫‪2‬‬

‫√=‬

‫𝑟‪ⅆ‬‬ ‫𝑡‪ⅆ‬‬

‫‪𝑈𝑝 = −‬‬

‫‪𝑊 = 𝑈𝑝𝑖 − 𝑈𝑝𝑓= 𝐺𝑚1 𝑚2 ൬‬‬

‫‪2‬‬ ‫) 𝑓𝜔‪𝜏(𝜔02 −‬‬

‫‪≈ 𝜔0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪𝜏2‬‬

‫‪𝜔𝑟𝑒𝑠= √𝜔0 2 −‬‬

‫טיפ‪ :‬באוסילטורים ישנם שני פתרונות ‪ -‬פרטי‬ ‫והומוגני‪ .‬הצגת השניים‪ ,‬כולל מציאת הקבועים‬ ‫לפי תנאי ההתחלה ‪ -‬היא הדרך למצוא‬ ‫את ה פתרון הסופי‪.‬‬

‫סיווג מסלולי ם כבידתיים (ע"פ האקסצנטריות‪,‬‬ ‫פחיסות)‪:‬‬

‫‪2𝐸𝐿2‬‬ ‫‪𝜇𝛼 2‬‬

‫‪ ⅇ = √1 +‬וע"פ הא' הפוטנציאלית‪:‬‬

‫‪ ‬מעגל = ‪𝐸 = 𝑉(𝑟) , ⅇ = 0‬‬ ‫‪ ‬אליפסה = ‪𝑉(𝑟) < 𝐸 < 0 0 < ⅇ < 1‬‬

‫‪ ‬פרבולה = ‪𝐸 = 0 , ⅇ ≥ 1‬‬ ‫‪ ‬היפרבולה = ‪𝐸 > 0 , ⅇ ≥ 1‬‬

‫חוקי קפלר‪:‬‬ ‫‪ .1‬צורת המסלול של כוכבי הלכת סביב כוכב היא‬ ‫אליפסה‪ ,‬והכוכב הוא אחד ממוקדיה‬ ‫‪ . 2‬הקו המחבר את כוכב הלכת עם הכוכב מכסה‬ ‫שטחים שווים בזמנים שווים‪ .‬ככל שמתקרב לכוכב ‪-‬‬ ‫𝐿‬ ‫𝑠‪ⅆ‬‬ ‫מהירותו גדלה‪= :‬‬ ‫𝑡‪ⅆ‬‬ ‫𝜇‪2‬‬

‫‪ . 3‬היחס בין זמן המחזור של ההקפה למחצית הציר‬ ‫‪4𝜋𝜇𝑎3‬‬ ‫הראשי ( ‪ 𝑇 = |𝛼| :)a‬כאשר ‪𝛼 = −𝐺𝑚1𝑚2‬‬

‫𝑥‪∫ 𝜆 ⅆ‬‬

‫𝑎‪∬ 𝜎 ⅆ‬‬

‫מיקום מ"מ‪:‬‬ ‫𝑟 𝑖𝑚∑‬ ‫𝑖‪󰇍󰇍‬‬ ‫𝑀‬

‫𝑟‬ ‫= 𝑚𝑐‪󰇍󰇍‬‬

‫מהירות מ"מ‪:‬‬ ‫𝑣 𝑖𝑚∑‬ ‫‪󰇍󰇍󰇍𝑖‬‬ ‫𝑀‬

‫𝑣‬ ‫= 𝑚𝑐‪󰇍󰇍󰇍‬‬

‫= )𝑓𝜔(𝐴‬

‫‪ R2 L2 ‬‬ ‫‪M  + ‬‬ ‫‪ 4 12 ‬‬

‫‪MR 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪MR‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ML2‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪MR 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪MR 2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪MR 2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪MR 2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫מרכז מסה‬ ‫𝑟‪𝜌 ⅆ‬‬

‫]‬

‫‪𝜏2‬‬

‫‪− 𝜔𝑓 ) +‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪[(𝑤02‬‬ ‫𝑚‬

‫רזוננס‪ :‬זוהי האמפליטודה הגדולה ביותר ‪:‬‬

‫את המהירות הקווית של מ"מ ויאט את סיבוב הגוף‪.‬‬ ‫הגוף ישאף תמיד לגלגול ללא החלקה‬

‫פרסציה‪ :‬השינוי בזמן של ציר הסיבוב של הגוף הקשיח‪ .‬במערכת המסתובבת ב ‪ Ω-‬בה‬ ‫‪ⅆ𝐿󰇍‬‬ ‫‪= 𝛺󰇍 × 󰇍𝐿′‬‬ ‫התנ"ז נשאר קבוע בכיוונו ובגודלו‪:‬‬

‫𝑓𝜔‪−2‬‬

‫( ‪𝜃 = tan−1‬‬

‫והאמפליטודה‪:‬‬

‫‪4𝜔𝑓2‬‬

‫‪𝐹0‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a +b‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪2‬‬

‫‪M‬‬

‫‪Mb‬‬ ‫‪12‬‬...