חקירת פונקציה PDF

Preview

Summary

חקירת פונקציה...

Description

‫חדו"א ‪1‬ב‬

‫חקירת פונקציה‪.‬‬

‫אלונה מוחוב‬

‫תקציר מס' ‪9‬‬ ‫חקירת פונקציה‪.‬‬ ‫תזכורת‪:‬‬ ‫)‪ (1‬נקודה קריטית )חשודה לקיצון(‪ :‬נקודה ‪ x  a‬נקראת קריטית אם ‪ f (a )  0‬או ) ‪ f (a‬לא קיימת‪.‬‬ ‫)‪ (2‬משפט ווירשראס‪ :‬כל פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת את המקסימוםואת המינימום שלה )ייתכן שבקצוות(‪.‬‬ ‫מסקנה‪ :‬נקודות קיצון בתחום נתון צריך לחפש בין‬ ‫)א( נקודות בהן ‪f ( x)  0‬‬ ‫)ב( נקודות בהן )‪ f ( x‬לא קיימת‬ ‫)ג( אם התחום הוא סגור אז גם בקצוות התחום )למשל עבור )‪ D  [ a, b‬ב‪ , x  a -‬יכול להיות קיצון(‪.‬‬ ‫קשר בין פונקציה מונוטונית לנגזרת‬ ‫טענה‪ :‬תהי )‪ f ( x‬גזירה בקטע ‪ . I‬מתקיים‬ ‫אם ‪ f ( x )  0‬לכל ‪ x‬בקטע נתון ‪ I‬אז ) ‪ f ( x‬עולה ממש ב‪. I -‬‬ ‫אם ‪ f ( x )  0‬לכל ‪ x‬בקטע נתון ‪ I‬אז )‪ f ( x‬יורדת ממש ב‪. I -‬‬ ‫אם ‪ f ( x )  0‬לכל ‪ x‬בקטע נתון ‪ I‬אז ‪ - f (x )  C‬פונקציה קבוע‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫נבחר שתי נקודות כלשהן בקטע ‪ f ( x) . b  a , a, b : I‬מקיית תנאי משפט לגראנז' בקטע ]‪ ,[ a, b‬לכן קיימת‬ ‫) ‪f (b)  f (a‬‬ ‫‪. f ( c) ‬‬ ‫) ‪ c  (a ,b‬כך ש‪-‬‬ ‫‪ba‬‬ ‫) ‪f (b)  f (a‬‬ ‫‪ . f (c ) ‬כיוון ש‪ a, b -‬כלשהן ו‪ b  a -‬נקבל כי ) ‪ , f (b)  f (a‬לכל‬ ‫אם ‪ f ( x )  0‬בקטע ‪ I‬אז ‪ 0‬‬ ‫‪b a‬‬ ‫‪ , a, b  I‬ולכן )‪ f ( x‬עולה‪.‬‬ ‫באופן דומה אם ‪ f ( x )  0‬נקבל כי )‪ f ( x‬יורדת‪ .‬אם ‪ f  ( x )  0‬אז הוכחנו כי ‪. f ( x )  C‬‬ ‫מיון נקדות קיצון‪.‬‬ ‫מטענה קודמת ומהגדרת קיצון מקומי ניתן להסיק את המבחן הבא למיון קציון‬ ‫מבחן הנגזרת הראשונה‬ ‫תהי ‪ x  a‬נקודה קריטית‪ .‬נתבונן בסביבה ) ‪ (a   , a  ‬של הנקודה ‪ . x  a‬תהי ) ‪ f ( x‬רציפה בסביבה שלה‪.‬‬ ‫)‪ (1‬אם ‪ f ) f ( x)  0‬עולה( בקטע ) ‪ (a   ,a‬ו‪ f ) f ( x )  0 -‬יורדת( בקטע ) ‪ , ( a, a  ‬אז ‪ x  a‬היא נקודת‬ ‫מקסימום מקומי‪.‬‬ ‫)‪ (2‬אם ‪ f ) f ( x )  0‬יורדת( בקטע ) ‪ (a   , a‬ו‪ f ) f  ( x )  0 -‬עולה( בקטע ) ‪ ( a, a  ‬אז ‪ x  a‬היא נקודת‬ ‫מינימום מקומי‪.‬‬ ‫)‪ (3‬אם ) ‪ f ( x‬עולה )יורדת( בכל הקטע ) ‪ (a   , a  ‬אז ‪ x  a‬אינה נקודת קיצון‪.‬‬ ‫מבחן נוסף למיון קיצון הינו‬ ‫מבחן הנגזרת השנייה‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ) ‪ f (x‬גזירה פעמיים בסביבה ) ‪ (a   , a  ‬של הנקודה ‪ x  a‬ומתקיים ‪f ( a)  0‬‬ ‫אם ‪ f  (a )  0‬אז ‪ x  a‬היא נקודת מקסימום מקומי‬ ‫)א (‬ ‫)ב(‬ ‫אם ‪ f  (a )  0‬אז ‪ x  a‬היא נקודת מינימום מקומי‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)ג(‬ ‫‪.‬‬ ‫אם ‪ f (a )  0‬אז אין מידע על נקודה‬ ‫‪1‬‬

‫חקירת פונקציה‪.‬‬

‫חדו"א ‪1‬ב‬

‫אלונה מוחוב‬

‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪f ( a  x)  f ( a‬‬ ‫)‪f ( a  x‬‬ ‫‪f ( a )   f   (a )  lim‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫)א( נתבונן בנגזרת השנייה בנקודה ‪ 0 : a‬‬ ‫‪x  0‬‬ ‫‪x  0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫) ‪f (a  x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫כיוון שהגבול שלילי קיימת סביבה של ‪   0 , (a   , a   ) : a‬כך שבה מתקיים ‪ 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪f ( a  x‬‬ ‫אם ‪ , f ( a  x)  0‬כלומר ‪ f‬יורדת מימין לנקודה ‪. a‬‬ ‫אם ‪  x  0‬נקבל ‪ 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪f ( a  x‬‬ ‫אם ‪ , f ( a  x)  0‬כלומר ‪ f‬עולה משמאל לנקודה ‪. a‬‬ ‫אם ‪  x  0‬נקבל ‪ 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫קבלנו כי מימין לנקודה ‪ a‬הפונקציה יורדת‪ ,‬משמאל לנקודה ‪ - a‬עולה‪ ,‬לכן ‪ a‬היא נקודת מקסימום‪.‬‬ ‫)ב( הוכחה דומה‪.‬‬ ‫)ג( אם ‪ , f (a )  0‬אז המבחן לא עובד וכל המצבים ייתכנו‪.‬‬ ‫דוגמה‪ :‬למצאתחומי עליה וירידה‪ ,‬למצא נקודת קיצון ולמיין אותן‬ ‫)א( ‪f ( x)  x3  3 x2  9 x 1‬‬ ‫)‪ - f ( x‬פולינום‪ ,‬גזירה לכל ‪ , f ( x )  3x 2  6x  9  3(x 2  2x  3)  3(x  3)(x  1) , x  R‬לכן ‪ f ( x )  0‬‬ ‫‪ x  3 , x  1‬הן נקודות קריטיות‪ .‬תחומי עליה‪/‬ירידה מסומנים בסרטוט‬ ‫לפי מבחן הנגזרת הראשונה‪:‬‬ ‫‪ x  1‬מינימום מקומי‪ x  3 .‬מקסימום מקומי‪.‬‬ ‫נבדוק גם לפי מבחן הנגזרת השנייה‪:‬‬ ‫)‪f  ( x )  3( x2  2 x  3)  3(2x  2)  6(x  1‬‬ ‫‪ - x  1  f  (1)  12  0‬מינימום מקומי‪ - x  3  f  ( 3)   12  0 ,‬מקסימום מקומי‪.‬‬

‫)ב( ‪f  x   x 2 16‬‬ ‫‪ x 2  16,‬‬ ‫‪x   4, x  4‬‬ ‫‪x  4 , x  4‬‬ ‫‪, f  x  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4  x  4‬‬ ‫‪ x 16 , 4  x  4‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 2 x,‬‬ ‫‪, f  x   ‬‬ ‫‪ 2x ,‬‬

‫‪ f  x  0‬בנק' ‪ . x  0‬כמו‪-‬כן מתקיים ‪ f  4  f  4  8  f  4   8‬לא קיימת‪ ,‬באופן דומה ‪ f  4 ‬לא‬ ‫קיימת‪ .‬לכן נקודות קריטיות הן‪. x  0, 4 :‬‬ ‫תחומי עליה‪/‬ירידה של פונקציה מסומנים בסרטוט‬ ‫לפי מבחן הנגזרת הראשונה‪:‬‬ ‫‪ x  0‬מקסימום מקומי‪ x   4 .‬מינימום מקומי‪.‬‬ ‫לפי מבחן הנגזרת השנייה‪:‬‬ ‫נבדוק נק' ‪ : x  0‬מתקיים ‪ f   x  2‬לכן ‪ - x  0  y (0)  2  0‬מקסימום מקומי‪.‬‬ ‫עבור ‪ x   4‬לא ניתן להשתמש במבחן הנגזרת השניה כי ‪ f x ‬לא גזירה ב‪. x  4 -‬‬ ‫)ג( ‪f ( x)  x3‬‬ ‫‪ x  0  f  ( x)  0  f  ( x)  3 x2‬נקודה קריטית‪ f ( x )  6 x .‬מכאן ‪  f (0)  0‬למבחן אין תשובה‪.‬‬ ‫לפי הנגזרת הראשונה‪ f ( x )  3x 2  0 :‬לכל ‪ , x  0‬לכן ‪ x  0‬אינה נקודות קיצון‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫חדו"א ‪1‬ב‬

‫אלונה מוחוב‬

‫חקירת פונקציה‪.‬‬

‫קמירות וקעירות‪.‬‬ ‫הגדרה ‪:1‬‬ ‫‬‫ו‬ ‫הנקודות‬ ‫שתי‬ ‫בין‬ ‫המחבר‬ ‫הישר‬ ‫אם‬ ‫‪,‬‬ ‫קטע‬ ‫ב‬ ‫קמורה‬ ‫פונקציה‬ ‫היא‬ ‫)) ‪(b, f (b‬‬ ‫)) ‪(a , f (a‬‬ ‫)א( ) ‪f (x‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪a, b  I‬‬ ‫נמצא מעל לגרף הפונקציה‪.‬‬ ‫)ב( ) ‪ f (x‬היא פונקציה קעורהאם הקו המחבר כל שתי נקודות על הגרף עובר תמיד מתחת לגרף הפונקציה‪.‬‬

‫)ב(‬

‫)א(‬

‫) ‪f (b)  f (a‬‬ ‫משוואת הישר העובר דרך )) ‪ (a , f (a‬ו‪ ( b, f ( b)) -‬הינה ) ‪(x  a )  f (a‬‬ ‫‪ba‬‬ ‫קמורה אם המיתר ) ‪ y (x‬נמצא מעל לגרף הפונקציה‪ ,‬כלומר ) ‪ , f ( x )  y (x‬לכן‬ ‫) ‪f ( x)  f (a ) f (b )  f (a‬‬ ‫)‪f ( b)  f ( a‬‬ ‫‪ .‬עבור ) ‪ f ( x‬קעורה נקבל אי‪-‬שיוויון הפוך‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f ( x) ‬‬ ‫)‪( x  a )  f (a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪b a‬‬ ‫‪b a‬‬ ‫כלומר‬ ‫)א( ) ‪ f (x‬היא פונקציה קמורה בקטע ‪ , I‬אם לכל ‪ a, x, b  I‬המקיימות ‪ a  x  b‬מתקיים‬ ‫) ‪f (x )  f (a ) f (b )  f (a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪b a‬‬ ‫)ב( ) ‪ f (x‬היא פונקציה קעורה בקטע ‪ , I‬אם לכל ‪ a, x, b  I‬המקיימות ‪ a  x  b‬מתקיים‬ ‫) ‪f (x )  f (a ) f (b )  f (a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪b a‬‬

‫‪ . y (x ) ‬הפונקציה )‪f ( x‬‬

‫הגדרה‪ :‬תהי )‪ f ( x‬גזירה בקטע מסוים ‪. I‬‬ ‫)א( ) ‪ f (x‬היא פונקציה קמורה בקטע ‪ , I‬אם ‪ x  I‬המשיק דרך )) ‪ ( x, f ( x‬נמצא מתחת גרף של ) ‪. f ( x‬‬ ‫)ב( ) ‪ f (x‬היא פונקציה קעורה בקטע ‪ I‬אם ‪ x  I‬המשיק דרך )) ‪ ( x, f ( x‬נמצא מעל לגרף של ) ‪. f (x‬‬

‫)א( דוגמה לפונקציה קמורה‬

‫)ב( דוגמה לפונקציה קעורה‬

‫‪3‬‬

‫חדו"א ‪1‬ב‬

‫חקירת פונקציה‪.‬‬

‫אלונה מוחוב‬

‫טענה ‪ :1‬תהי ) ‪ f (x‬גזירה פעמיים בקטע פתוח ‪. I‬‬ ‫)א( אם לכל ‪ x  I‬מתקיים ‪ f ( x )  0‬אזי ) ‪ f (x‬קמורה בקטע ‪I‬‬ ‫)ב( אם לכל ‪ x  I‬מתקיים ‪ f ( x )  0‬אזי ) ‪ f (x‬קעורה בקטע ‪I‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪f  x0 ‬‬ ‫‪f  c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ c , f  x   f  x0  ‬בין ‪ x0‬לבין ‪ . x‬מכאן‬ ‫‪ x  x0  ‬‬ ‫נרשום פיתוח טיילור מסדר ‪ x  x0  :1‬‬ ‫!‪1‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫‪f  x 0 ‬‬ ‫‪f   x0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f  c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ f  x0  ‬הינו המשיק ב‪. x 0 -‬‬ ‫‪ x  x0   ‬‬ ‫‪ x  x0 ‬‬ ‫‪ , f  x    f  x0  ‬כאשר ‪ x  x0 ‬‬ ‫!‪1‬‬ ‫!‪1‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫אם ‪f  c  0‬‬ ‫המשיק‪ ,‬לכן ‪f‬‬

‫אם ‪f   c  0‬‬ ‫למשיק‪ ,‬לכן ‪f‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f   x0 ‬‬ ‫‪f  c ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ , f  x   f  x0  ‬כלומר ‪ f‬נמצאת מעל‬ ‫‪ x  x0   0 ‬‬ ‫‪ x  x0   0 ‬‬ ‫!‪1‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫קמורה‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f  x0 ‬‬ ‫‪f c ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x  x0    0 ‬‬ ‫‪x  x0   0 ‬‬ ‫‪ , f  x   f  x0  ‬כלומר ‪ f‬נמצאת צתחת‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫!‪1‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫קעורה‪.‬‬

‫הגדרה‪ :‬הנקודה ‪ x 0‬נקראת נקודת פיתול של ‪ f‬אם קיימת סביבה של הנקודה ‪ x 0‬כך שבצד אחד של הסביבה זו‬ ‫‪ f‬קמורה ובצד השני ‪ f‬קעורה‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬מהגדרה של נקודת פיתול ומטענה ‪ 1‬נובע כי נקודות חשודות לפיתול הן ‪:‬‬ ‫)א( נקודות בהן ‪) , f ( x )  0‬ב( נקודות בהן ) ‪ f ( x‬אינה קיימת‪.‬‬ ‫דוגמאות‪ :‬למצוא נקודות פיתול ותחומי קמירות‪/‬קעירות‬ ‫)‪f ( x )  x 3 (1‬‬ ‫‪ x  0  f  (x )  6x  f  (x )  3x 2‬נקודה חשודה‪ f ( x )  0 .‬עבור ‪ , x  0‬לכן ‪ f‬קמורה‪ f  (x )  0 ,‬עבור‬ ‫‪ , x  0‬לכן ‪ f‬קעורה‪ .‬מכאן ‪ x  0‬היא נקודת פיתול‪.‬‬ ‫)‪f ( x )  x 4 (2‬‬ ‫‪ , f (x )  12x 2 , f ( x )  4x 3‬לכן ‪ , f (0)  0‬אמנם ‪ x  0‬אינה פיתול‪ f   x  0 f (x )  0 .‬קמורה ב‪.  -‬‬ ‫)‪. f ( x)  x 2 ln x (3‬‬ ‫)‪ f ( x‬מוגדרת לכל ‪. f ( x )  1 (2 ln x  1)  x  2 x   2 ln x  3  f ( x )  2 x ln x  x 2 1 x   x (2 ln x  1) , x  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫מכאן ‪ , ln x  3 / 2  f  ( x)  0‬לכן ‪ - x  e 3/ 2‬נקודת פיתול‪.‬‬

‫)‪ f ( x‬קמורה בתחום ‪ f ( x) , e  3/ 2,  ‬קעורה בתחום ‪. 0, e 3/ 2 ‬‬ ‫)‪, f ( x )  | x | (4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f  0  , f ( x)  ‬לא קיימת ) ‪,( f  (0)   , f  (0)  ‬‬ ‫‪ , f ( x) ‬עבור ‪, x  0‬‬ ‫עבור ‪, x  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫לכן ‪ f   0‬גם לא קיימת‪ ,‬לכן ‪ x 0  0‬היא חשודה לפיתול‪ .‬מתקיים עבור ‪ f ( x)   3 2 , x  0‬שלילי‪ ,‬עבור‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f ( x)  ‬גם שלילי‪ ,‬מכאן אינה נקודת פיתול‪ f ( x)  | x | ,‬קעורה בכל התחום‪.‬‬ ‫‪, x 0‬‬ ‫‪4( x )3 2‬‬ ‫‪4‬‬

‫אלונה מוחוב‬

.‫חקירת פונקציה‬

‫ב‬1 ‫חדו"א‬

‫אסימפטוטות‬ ‫( אסימפטוטה משופעת‬1) ‫ בפלוס אינסוף )במינוס אינסוף( אם מתקיים‬f ( x ) ‫ נקרא אסימפטוטה משופעת של‬y  ax  b ‫ הישר‬:‫הגדרה‬ ( lim  f ( x)  ( ax b)  0 ) lim  f ( x) ( ax  b)   0 x

x

:‫לדוגמה‬





f (x ) ‫ אם קיימים הגבולות‬:‫טענה‬ x .  -‫ ב‬f ( x) ‫של‬   f ( x) ‫ אז‬,  -‫ באופן דומה ב‬ ( f (x )  ax ) , a  lim  b  xlim x   x   :‫הוכחה‬ .(‫ קבועים‬b -‫ ו‬a ) lim( f ( x)  ( ax  b))  0 ‫ אסימפטוטה אז )לפי הגדרה( מתקיים‬y  ax  b ‫אם‬

‫ הינו אסימפטוטה‬y  ax  b ‫ אז הישר‬, b  lim ( f ( x )  ax ) x

-‫ ו‬a  lim

x 

x

f (x ) (ax  b ) ‫נתבונן בגבול‬ x f ( x )  (ax  b)  0  . lim   0 x  x 

‫ אז נסיק כי‬lim x   -‫ ו‬lim  f ( x )  (ax  b )  0 -‫ כיוון ש‬, lim x

, lim x

x

x

 f (x ) f (x )  (ax  b ) b    f (x )   lim a      lim  a   0 :‫נרשום בצורה אחרת‬ x x    x x  x 0   x   f ( x)  f ( x)  . lim  a ‫ או‬lim   a   0 ‫לכן נקבל כי‬ x x  x  x  : lim f ( x ) (ax b )  0 ‫נחזור לגבול‬ x

. b  lim  f ( x )  ax  ‫ ונקבל‬b ‫ נחלץ את‬, lim  f ( x)  ( ax  b)  lim  f ( x)  ax  b  0 x 

x

x 

.‫ נקרא אסימפטוטה אופקית‬,‫ ( הינו מקרה פרטי של אסימפטוטה משופעת‬a  0, b  R ) y b ‫ הישר‬:‫הערה‬

5

‫חדו"א ‪1‬ב‬

‫אלונה מוחוב‬

‫חקירת פונקציה‪.‬‬

‫דוגמה‪ :‬מצאו אסימפטוטה משופעת לפונקציה‬ ‫)א( ‪f (x )  (x 2  2) / x‬‬

‫‪( x2  2) / x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪ lim  1  2   1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x  2 x‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 1 x   lim‬‬ ‫‪ lim     0‬‬ ‫‪b  lim ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪‬‬ ‫לכן כי ‪ y  x‬אסימפטוטה משופעת ב‪.  -‬‬ ‫‪a  lim‬‬

‫‪ln x‬‬ ‫)ב(‬ ‫‪x2‬‬ ‫כיוון ש‪ f ( x ) -‬מוגדרת רק עבור ‪ , x  0‬אין אסימפטוטה משופעת ב‪.  -‬‬ ‫‪(ln x) / x2‬‬ ‫‪ln x    L‬‬ ‫‪1/ x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪, a  lim‬‬ ‫‪ lim 3     lim 2  lim 3  0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ln x‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪b  lim  2  0  x     lim 2  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫לכן כי ‪ y  0‬אסימפטוטה אופקית ב‪.  -‬‬ ‫‪f ( x) ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪1/ x‬‬ ‫תרגיל‪ :‬עבור אלו ערכי ‪ A‬ו‪ B -‬מתקיים ‪? lim (3  5x )  Ax  B  0‬‬ ‫‪x ‬‬

‫)‪ (2‬אסימפטוטה אנכית‬ ‫הגדרה‪ :‬הישר ‪ x  x0‬נקרא אסימפטוטה אנכית של ‪ f‬אם לפחות אחד הגבולות החד‪-‬צדדיים הוא ‪ ‬או ‪. ‬‬ ‫הערה‪ :‬יתכן שיש אסימפטוטה אנכית מצד אחד‪ ,‬אבל אין מצד שני‪.‬‬ ‫מהגדרה ניתן לקבל מסקנה הבאה‬ ‫מסקנה‪ :‬לפונקציה רציפה אין אסימפטוטות אנכיות ) לפונקציה רציפה גבול בנקודה ‪ x0‬הינו סופי(‪ .‬אסימפטוטות‬ ‫אנכיות יכולה להיות רק בנקודות אי‪-‬רציפות של פונקציה‪.‬‬ ‫דוגמה‪ :‬מצאו אסימפטוטה אנכית לפונקציה‬ ‫‪1‬‬ ‫)א(‬ ‫‪f (x ) ‬‬ ‫)‪x (x  1‬‬ ‫)‪ f ( x‬אינה רציפה בנקודות ‪) x  0, x 1‬כי אינה מוגדרת(‪.‬‬ ‫נבדוק גבול בנקודות אי‪-‬רציפות‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  , lim‬‬ ‫‪  , lim‬‬ ‫‪  , lim‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪x 0 x( x  1‬‬ ‫)‪x 0 x( x  1‬‬ ‫)‪x 1 x ( x  1‬‬ ‫)‪x 1 x ( x  1‬‬ ‫לכן הישרים ‪ x  0‬ו‪ - x  1 -‬אסימפטוטות אנכיות‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫)ב( ‪f ( x )  ln x‬‬ ‫‪ , lim ln x  ‬לכן יש אסימפטוטה מימין ב‪. x  0 -‬‬ ‫‪x 0‬‬

‫אין אסימפטוטה משמאל כי )‪ f ( x‬אינה מוגדרת עבור ‪. x  0‬‬

‫‪6‬‬

‫חדו"א ‪1‬ב‬

‫אלונה מוחוב‬

‫חקירת פונקציה‪.‬‬

‫חקירת פונקציות‪ :‬בחקירת פונקציה יש להתייחס ל‪-‬‬ ‫‪ (1‬תחום הגדרת הפונקציה‬

‫‪ (3‬זוגיות‪ ,‬מחזוריות ‪ (4‬תחומי רציפות‬

‫‪ (2‬נקודות חיתוך עם הצירים‬

‫‪ (8‬תאור גרפי‬

‫‪ (5‬תחומי עליה‪/‬ירידה‪ ,‬קיצון ‪ (6‬תחומי קמירות‪/‬קעירות‪ ,‬פיתול ‪ (7‬אסימפטוטות‬

‫‪x3‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫| ‪ln | x‬‬ ‫)‪ (1‬תחום הגדרה ‪x  0, 1‬‬ ‫‪f (x ) ‬‬

‫)‪ (2‬חיתוך עם הצירים – אין‬

‫‪x3‬‬ ‫‪(  x) 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ (3‬הפונקציה אי זוגית‪  f ( x) :‬‬ ‫| ‪ln |  x‬‬ ‫| ‪ln | x‬‬

‫‪ , f ( x) ‬לכן נחקור ב ) ‪ [0, ‬ונרחיב ל ‪. ,  ‬‬

‫)‪ (6‬רציפה לכל ‪ x  0,1‬כי פונקציה אלמנטרית‪.‬‬

‫)‪ (5‬תחומי עליה‪/‬ירידה וקיצון‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3x 2 ln x  x 3  1 x x 3ln x  1‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x 0‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ln 2 x‬‬ ‫‪ln 2 x‬‬ ‫‪ln x‬‬

‫מתקיים‬

‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x2  3ln(x )  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ f  x  ‬לכן ‪ f   x  0‬בנקודה ‪. x  3 e‬‬

‫‪ f  x ‬לכן הסימן תלוי ב‪:  3ln(x )  1 -‬‬

‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫בקטע ‪ f  f  x  0  0,1‬יורדת‪ ,‬ב‪ f  f  x  0 1, 3 e , -‬יורדת‪ ,‬ב‪e,  -‬‬

‫‪‬‬

‫ולכן הנקודה ‪e ,3e‬‬

‫‪3‬‬

‫‪‬‬

‫‪3‬‬

‫‪‬‬

‫‪ f  f   x  0‬עולה‪,‬‬

‫היא נקודת מינימום מקומי‪.‬‬

‫)‪ (6‬קמירות‪/‬קעירות ופיתול‬ ‫מתקיים‬ ‫‪ 3 x   lnx   2 lnx 1 x  x 2 3ln x 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪43‬‬

‫‪  x 6 ln x  5 lnx  2 ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ln 3 x‬‬

‫‪ ln x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 2x (3ln x  1) x‬‬ ‫‪f ( x ) ‬‬

‫‪x  2x ln x  3x ln x  6x ln x  2x‬‬ ‫‪ln 3 x‬‬

‫‪6x ln‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫כיוון ש‪ ln x  t ) 6 ln 2 x  5 ln x  2  0 -‬ל‪ 6t 2  5t  2  0 -‬אין שורשים( ו‪ , x  0 -‬הסימן תלוי בסימן של ‪. ln x‬‬ ‫מכאן‬

‫בתחום ‪ 0,1‬‬

‫‪ f  f  x   0‬קעורה‪ ,‬ב‪-‬‬

‫‪1,  ‬‬

‫‪ f  f   x   0‬קמורה‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫חקירת פונקציה‪.‬‬

‫חדו"א ‪1‬ב‬

‫)‪ (7‬אסימפטוטות‪.‬‬ ‫‪f  x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪  L‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪    lim 2 x 2  ‬‬ ‫‪ , lim‬לכן אין אסימפטוטה משופעת‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x ln x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪  x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x3  0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x  0 ln x‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪x3  1 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ , lim‬לכן הישר ‪ x  1‬הוא אסימפטוטה אנכית‪.‬‬ ‫‪     , lim‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪x  1 ln x‬‬ ‫‪x  1 ln x‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪ , lim‬לכן אין אסימפטוטה אנכית ב‪. x  0 -‬‬

‫)‪ (8‬שרטוט‬ ‫נבצע שיקוף ‪ ,‬כי הפונקציה אי‪-‬זוגית‪ ,‬נקבל את הגרף הבא‬

‫‪8‬‬

‫אלונה מוחוב‬...