אנליזה הרמונית- מרחבי מכפלה פנימית PDF

Preview

Summary

אנליזה הרמונית- מרחבי מכפלה פנימית...

Description

‫‪Dvir Ben Asuli‬‬

‫‪November 2019‬‬

‫חר‬ ‫מ‬ ‫פכיב‬ ‫תימינפהלמ‬ ‫חר‬ ‫אניל מב‬ ‫יר‬ ‫שכלכלך‬

‫העב‬ ‫ק‬ ‫מ‬ ‫שדצולה‬ ‫‪-VF‬‬

‫םלרס‬ ‫𝑉 ∈ ‪ 𝑢, 𝑣, 𝑤%‬וקי‬

‫ראחב‬ ‫תר‬ ‫רק‬ ‫מל‬ ‫ני‬ ‫אלמנםיוא‬ ‫חולופתהיעידרג‬ ‫פוערובי‬ ‫תרד(הל‬ ‫לו‬ ‫של‬ ‫ק‬ ‫הכפ‬ ‫מב)ס‬

‫‪ 𝛼,‬ימתק‬ ‫𝐹 ∈ ‪ 𝛽:‬םי‬

‫תג‪𝑢 + 𝑣 = 𝑣 +‬‬ ‫סורי𝑢ס‬ ‫∈ב‬ ‫𝑉‪1‬רו‪.‬בליחי‬

‫‪.(𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) ∈ 𝑉 -‬‬

‫איצואס‬ ‫יבי‪ .‬ט‬ ‫ה תו ‪2‬‬ ‫רוביח‬

‫סמכל‬ ‫הל‬ ‫מוש‬ ‫קכיך‬ ‫‪V‬ןי"‬ ‫ם‬ ‫אי‬ ‫סב‪-‬יב‪0‬ר‬ ‫אפ‪"-‬‬ ‫אר‬ ‫בב‬‫‪ .3‬ה‬ ‫תגל𝑣𝛼‬ ‫ס‬ ‫ריפ‬ ‫𝑉קל וכר∈‬ ‫‪4‬ב‪.‬ס‬

‫𝛼‬

‫תפבטוימ‬ ‫לי‬ ‫קלללוירק‬ ‫סלכפוכפ‬ ‫תדה‬ ‫שךב‬ ‫‪5‬ה‪.‬ב‬ ‫אי‬ ‫חיר‬ ‫שדיהלב‬ ‫קלר‬ ‫‪.6‬בסכפ‬ ‫אלי‬ ‫גנכבר‬ ‫‪-.7‬ידל‬

‫רבור‬ ‫םי‬ ‫יא‬ ‫סחיב‬ ‫חיל‬ ‫סביקיבלר‬ ‫ה‬ ‫תריכיבפבל‬ ‫ט‬ ‫‪ .8‬דסיטו‬

‫אריש‬ ‫קיב‬ ‫ה‬ ‫םח‬ ‫תיי‬ ‫להב‬ ‫מלל‬ ‫)ש‬

‫םי ימתק‬ ‫𝑣∈𝑢‬

‫‪.‬‬

‫תנ יבה‬ ‫חיה רביא ן‪-‬‬ ‫דיה‬ ‫שדה‬ ‫ב‬

‫ם‬ ‫𝑉 ∈ 𝑢 יקי‬

‫םיר‬ ‫סלרו‬ ‫סחיקב‬ ‫חיל‬ ‫סביקיבלר‬ ‫ה‬ ‫תריכיבפבל‬ ‫ט‬ ‫‪ .9‬דסיטו‬ ‫ראנ יל בחרמ תת‬

‫𝑢‪−‬םימתא‬ ‫𝑉 ‪∈-‬ש ךכ‬

‫‪𝑊%‬תארתק‬ ‫שב יראנ𝑉יל⊂בחרמ ת‬ ‫הל‬ ‫חרמצוק‬ ‫אנב יל ב‪-‬‬ ‫ח‬ ‫א‬ ‫אי‬ ‫ם‬ ‫ירלר‬ ‫ה‬ ‫ני‬ ‫מר‪.‬‬ ‫אמי‬ ‫מבכ‪,‬עלצר‬ ‫‪W‬ו‬ ‫‪V‬‬

‫𝑢 = ‪.𝑢 + 0‬‬

‫𝐹‬ ‫‪ 1‬ימתק‬ ‫חרכהב∈םי‬

‫‪.𝑢% + ( −𝑢) = 0‬‬

‫𝑣𝛼 ‪. (𝑢 + 𝑣) = 𝛼𝑢 +‬‬

‫𝑣 = 𝑣 ⋅ ‪.1‬‬

‫𝑣𝛽 ‪.(𝛼 + 𝛽)𝑣 = 𝛼𝑣 +‬‬

‫מו‬ ‫כו)בהכל‬ ‫םע‪-‬ךא‪0‬‬ ‫הף‬ ‫אאקי‬ ‫מויר(להפ‬ ‫תןככו‬ ‫ש‬ ‫םוקולופתעוצילבוריסגי‬ ‫טו‬ ‫םרע‬ ‫ה‬ ‫תי‬ ‫בכו‬

‫𝑊 ∈ 𝑣𝛽 ‪.(𝛼𝑢 +‬‬

‫םלרס‬ ‫𝑉 ∈ ‪ 𝑢, 𝑣, 𝑤%‬וקי‬

‫‪% . 〈𝑢, 𝑣〉 = % 〈𝑣, 𝑢〉% .1‬‬

‫𝐹 → 𝑣‪〈−, −〉 ∶ 𝑣% × %‬‬

‫𝐹 ∈ 𝛽 ‪:𝛼,‬‬

‫ת‪:‬‬ ‫אורי‬ ‫‪ .2‬נל‬

‫〉𝑤 ‪% 〈𝛼𝑢 + 𝛽𝑣, 𝑤 〉 = 𝛼 〈𝑢, 𝑤〉 + 𝛽 〈 𝑣,‬‬

‫תלאי‬ ‫לי‬ ‫ש‬ ‫ה‪3‬בר‪.‬ו‪0‬א‪-‬ויי‬ ‫‪-‬‬

‫‪% :〈𝑢, 𝑢〉 ≥ 0‬‬

‫〉𝑤 ‪.〈𝑢, 𝛼𝑣 + 𝛽𝑤 〉 = 𝛼〈 𝑢, 𝑣〉 + 𝛽〈𝑢,‬‬

‫כמן‬ ‫םא‬ ‫שגו‬

‫‪-‬‬

‫‪𝑢,‬ו〈 אם‬ ‫‪〉 = 0‬א𝑢םקר‬

‫ תראח‬‫חר‬ ‫שמ יאנריל מב‬ ‫רדגתו‬ ‫ונושעויעל‬ ‫ת(פת‬ ‫לו‬ ‫תל‬ ‫ם‬ ‫לשו‬ ‫ת‬ ‫כמ‬ ‫הויפ‬ ‫מפמי‬ ‫אי‬ ‫קתינ‬ ‫דג‬ ‫מת‬ ‫הלי‬ ‫ש)וארנכ‬ ‫‪,‬הותה‬

‫𝑣) 𝛽𝛼( = ) 𝑣𝛽( ‪.‬‬

‫𝛼‬

‫לוה‬ ‫מינפ‬ ‫ח יבה‬ ‫תנ‬ ‫אנעיל מרן‪-‬‬ ‫המר‬ ‫קנושדהילפ‬ ‫‪V‬‬ ‫ת‪,F‬‬ ‫היצ‬ ‫הלו‬ ‫ת‬ ‫שי‬ ‫מכפרג‬ ‫מד‬ ‫ינאפ‬ ‫פככ‬ ‫הע‬ ‫ק‬ ‫מי‬ ‫חלפנ‬ ‫הל‬ ‫שוש‬ ‫םי‬ ‫קו‬ ‫תי וירט‬ ‫חררדגומ ו‪ F‬ילשע‬ ‫מ‬ ‫הב‬ ‫שדה‬ ‫הלרמ‬ ‫הקחז‬ ‫מ‬ ‫מ‪V-‬סרוי‬

‫קך‬ ‫םיכתי‬ ‫שמ‬ ‫כל‬

‫‪.‬‬

‫‪% .〈𝑢, 𝑢〉 > 0‬‬

‫‪% .𝑢 = 0‬‬

‫חרקחתאתאותוהמרחבהילנארי‪,‬להגדיר‬ ‫פכןמלב‬ ‫מרלינמתה‬ ‫מינפ‬ ‫תילו‬ ‫‪.‬כ‬ ‫בולשי‬ ‫צימזכה‬ ‫הלפ‬ ‫רו‬ ‫תימי נפמרחב‬

‫‪ .‬ראח‬

‫‪1‬‬

‫‪November 2019‬‬ ‫חר‬ ‫טבליה מב‬ ‫חרר‬ ‫מ)‬ ‫פכב‬ ‫הלמ‬

‫‪Dvir Ben Asuli‬‬ ‫מו‪-‬רחבונהי‬ ‫תכבוב‬ ‫סו‬ ‫חי‪.‬לנך‬ ‫ש‬ ‫תכר‬ ‫לו‬ ‫קלוע‬ ‫תהר‬ ‫מכוד‬ ‫סה‬ ‫ב‬

‫סארתק‬ ‫דסא‬ ‫כל‬ ‫להרה‬ ‫ם ישוק=תרד𝑎‬

‫שוקרסתד‬ ‫‪:‬י‬ ‫‪:‬ש םי ימתק‬

‫𝜖 < |‪|𝑎= − 𝑎E‬‬

‫מ‬ ‫ם‬ ‫לכ‬ ‫םי‬ ‫קד‬ ‫הר‬ ‫א‬ ‫תי‬ ‫סכב‬ ‫חי‬ ‫מ‬ ‫דנר‬ ‫קד‬ ‫מ‬ ‫ס‬ ‫ש‬ ‫םרגוז ןיהב‬ ‫א‪.‬‬ ‫טבמיצ‬ ‫םי‬ ‫מצ‬

‫מו‬ ‫חםיליבא‬ ‫‪-‬תואר‬

‫שלקוחאיבר‬ ‫קוציה‬ ‫נרומה‪ :‬נפ‬

‫שי‬ ‫מר‪.‬מז‬ ‫הסחפ‬ ‫רי‬ ‫מ‬ ‫‪V-‬מו‬

‫‪‖−‖ ∶ 𝑣 → %ℝ‬‬

‫מ‬ ‫תכרח‪:‬י‬ ‫וביהק‬ ‫תליאי‬ ‫לי‬ ‫ש‬ ‫ויאי‬ ‫אל‬ ‫ת‬ ‫לי‬ ‫א‪-0‬וייש‬ ‫ה‪1‬בר‪.‬ו‬ ‫הברו‪-0‬‬ ‫‬‫‪-‬‬

‫‪:‬ר‬ ‫‪ .2‬בסקלכלפ‬

‫‪% . ‖𝑢‖ > 0‬‬

‫‪‖𝒖 + 𝒗‖ ≤ % ‖ 𝒖 ‖ + ‖𝒗 ‖%‬‬

‫‪.(‖ 𝑢‖ = 1 ) 1‬‬

‫ש‬ ‫אונ‬ ‫הל‬ ‫שו‬ ‫אי‬ ‫מירה‬ ‫א‬ ‫הוב‬ ‫ר‬

‫חר‬ ‫ירומנ מב‬

‫חר‬ ‫שמ יאנריל מב‬ ‫רדגתו‬ ‫תונשו‬ ‫רונשל‬ ‫קה‬ ‫ממי‬ ‫מיל‬ ‫ת‬ ‫ש)ו‬ ‫ור‬ ‫הכא‬ ‫(םג‬ ‫תהד‬ ‫אנ‬ ‫ת‬ ‫הוי‬ ‫מואי ג תועמשמ‬ ‫רט‬

‫‪% :‖ 𝑢‖ ≥ 0‬‬

‫‖𝑢 ⋅ 𝛼‖ ‪% . ‖𝛼‖ ⋅ ‖𝑢‖ = %‬‬ ‫‪%‬‬

‫ןויוואי‬ ‫ש‪:‬ש‬ ‫שו‬ ‫מ‪.‬ל‬ ‫ה‪3‬‬

‫בי‬ ‫א‬ ‫מלמנר‬ ‫רו‬

‫‪% .𝑢 = 0‬‬

‫‖𝑢‖ אם‬ ‫‪= 0‬אםקר ו‬

‫‪ -‬תראח‬

‫ם‬ ‫סקיי‬ ‫א‬ ‫קי‬ ‫‪𝜖 > 0‬דנ‬

‫דנישכלכאלך‬ ‫ס‬ ‫םי‬ ‫‪@ ∈ ℕ‬ק‬ ‫𝑁‬

‫@𝑁 > 𝑚 > 𝑛‬

‫‪.‬כולמר ניתןלקחת את אותוהמרחבהילנארי‪,‬להגדיר עליופעלוות‬ ‫חר‬ ‫ח ירומנ הלפמכמב‬ ‫‪.‬אר‬

‫גדול‪.‬‬

‫מולפבני‬ ‫ה‬ ‫תוש‬ ‫ח יבה‬ ‫מרןתנ‬ ‫פכ‬ ‫תימי נפהלמ‬ ‫צפ‬ ‫כ)מית‪:‬יפיס‬ ‫אנמילממכפרל‪,‬חר‬ ‫דגומריתר‬ ‫ש‬ ‫המר‬ ‫תנפרומוב‬ ‫הלפמכלוע‬ ‫מהויזתנ‬ ‫תוכפליפ‪:‬‬ ‫תאמצעמ‬ ‫שמדגורב‬ ‫הי‬ ‫קוצריזת‬ ‫ש‬ ‫הימונפ‬ ‫מתר‪(,‬פ‬ ‫סהפונצי‬ ‫מיתנ‬ ‫יפ‬

‫‪‖𝑢‖ = L〈𝑢, 𝑢〉 %%%%%%%%%%%%%%% → %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%‖ 𝑢‖2 = 〈𝑢, 𝑢〉%‬‬ ‫‪%‬‬

‫קב ן ויושו‬ ‫לי‬ ‫תימ‪:‬‬

‫) 𝟐‖𝒗‖ ‪‖𝒖 + 𝒗‖𝟐 + ‖𝒖 − 𝒗‖𝟐 = 𝟐(‖ 𝒖‖𝟐 + %‬‬

‫אי‬ ‫שוי ן ויושו‬ ‫רוו‬ ‫ש‬ ‫‪:‬ץק‬

‫〉𝒗 ‪|〈𝒖, 𝒗 〉|𝟐 ≤ %〈 𝒖, 𝒖〉 ⋅ 〈𝒗,‬‬

‫רוו‬ ‫את‬ ‫ת‪:‬ילנוג‬ ‫ו‬

‫טםישנ‬ ‫קורו‬ ‫י‬

‫ר ו גתיפ טמ‬ ‫טםישנרועב‬ ‫אורו‬ ‫ק‬ ‫ם‬ ‫מי‬ ‫א)ויכנ‬ ‫פש יילנוגרתו‬

‫‖ 𝑣‖ ⋅ ‖ 𝑢‖ ‪|〈𝑢, 𝑣 〉| ≤ %‬‬

‫𝑢 אם‬ ‫⊥לפכמה‬ ‫𝑣ה‬ ‫הלש תימי נפה‬ ‫רקו ‪:0‬איה ם‬ ‫א‬ ‫תיו‬ ‫לנוגרא‬ ‫𝑉 ∈ 𝑣י‬ ‫ם‪𝑢,‬‬

‫‪𝑢 ⊥ 𝑣%% ↔ % 〈𝑢, 𝑣〉 = 0‬‬ ‫ם(‪:‬‬

‫〉 𝑣 ‪〈𝑢 + 𝑣, 𝑢 + 𝑣 〉 = 〈𝑢, 𝑢 〉 + 〈 𝑣,‬‬ ‫𝟐 ‖𝒗 ‖ ‪‖ 𝒖 + 𝒗 ‖𝟐 = ‖𝒖 ‖𝟐 + %‬‬

‫‪2‬‬

‫‪November 2019‬‬ ‫חר‬ ‫מב‬ ‫חר‬ ‫תו יקנצופה לככ מב‬

‫]𝒃 ‪𝑳𝟐 [𝒂,‬‬

‫‪Dvir Ben Asuli‬‬

‫‪:‬‬ ‫ש‪:‬כך‬ ‫]‬

‫∞ < 𝑥𝑑‪WX |𝑓(𝑥)| [ %‬‬ ‫המנההז חבבמר‬ ‫רו‬

‫ה‬ ‫ת‬ ‫ימ‬ ‫הל‬ ‫ינפכפ‬ ‫םרמו‪:‬מ‬ ‫כךדיג‬

‫ה נב תוסנכהת‬ ‫מר ו‬

‫ה‬ ‫שרל‬ ‫אד‬ ‫ק‬ ‫ס‬ ‫תפר‬ ‫שמ‬ ‫ויצנו‬ ‫נ‬

‫^‬

‫𝑏‬

‫𝑥𝑑‪‖ 𝑓 (𝑥)‖ = % WX |𝑓(𝑥)| 2 %‬‬ ‫𝑎‬

‫𝑏‬

‫𝑥𝑑‪〈𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)〉 = % X 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔( 𝑥 )%‬‬

‫𝑛 ימתק‬ ‫𝑁 ‪>:‬םי‬

‫תכרמתע‬ ‫תילנ וג ורוא‬ ‫סו‬ ‫קוהבו(יפנאי‬ ‫ת‬ ‫לנוגרכאצ‬ ‫איםת‬

‫תכרמתע‬ ‫תירומנלורוא‬

‫‪:‬הע‬ ‫רה‬ ‫הו ‪,‬רביא לכ של‬ ‫א‬

‫ו ג ותר וא הלהט‬ ‫מהק‬ ‫ו נ ותרוהאהצוב‬ ‫בנמסן‬‫טה‬ ‫ה‬ ‫א הל‬ ‫לנ ו ג ותרוה‬

‫)𝑥(‬ ‫סנכמת‬ ‫נב=𝑓 ת‬ ‫מרו‬ ‫היצקנ ופל ה‬

‫𝑎‬

‫𝜖 < ‖) 𝑥( 𝑓‪‖𝑓= ( 𝑥) − %‬‬

‫קוצתהאיברים‬ ‫תב‬ ‫כמבל‬ ‫רובעאפ‬ ‫חהר‬ ‫דג‬ ‫יננמפרי‬ ‫תי‬ ‫מ‪-,‬‬ ‫‪V‬‬ ‫םישנכל‬ ‫אבהיבראי‬ ‫ת‬ ‫לנוגרו‬ ‫מורכ)לםזלייזהה‬ ‫לפ‬ ‫אםגוז כמכתל‪,‬‬ ‫ה‪:‬יברי‬ ‫‪(0‬אי‬

‫)𝑥(𝑓ק אם‬ ‫קד נ יא םי י‬ ‫ס‬

‫‪) {𝑒=}f=de‬אכשר‬

‫‪𝑁 ∈ ℝ‬שלככלל‬

‫הלכיול‬ ‫ספו‬ ‫א‬ ‫‪ k‬יתוי‬

‫𝑚 ≠ 𝑛‪%%%%0%%%%%%%%𝑖𝑓%‬‬ ‫‪∀1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛 ≤ 𝑘%.%%%%%%%〈𝑒E , 𝑒=〉 = % j‬‬ ‫𝑚 = 𝑛‪‖𝑒E‖ [ %%%𝑖𝑓%‬‬

‫אותו‬ ‫אי‬ ‫לנוג‬ ‫תמהערכר‬ ‫ביי‬ ‫ה‬ ‫םרבו‪,‬‬ ‫א‬ ‫המיכנל‬ ‫ביאכלשדלוהוכלרגרו‬ ‫איר‬ ‫אורב‬ ‫הבהו‬

‫𝑚 ≠ 𝑛‪%%0%%%%%𝑖𝑓%‬‬ ‫𝑚 = 𝑛‪%%1%%%%𝑖𝑓%‬‬

‫‪.1‬‬

‫‪∀1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛 ≤ 𝑘%.%%%%%%%〈𝑒E , 𝑒=〉 = % j‬‬

‫תו‬ ‫לנוגרא‬ ‫אכתות‬ ‫רונעיר‬ ‫מ‬ ‫םומיעעמילר"‬ ‫מיל‬ ‫רנ‬ ‫אלכ‬ ‫הב‪.‬והיבךר‬ ‫םןלפ‬ ‫םי‬ ‫ת‬ ‫צו‬ ‫תיכך‬ ‫ה‬ ‫אנ‬ ‫ש‬ ‫מ‬ ‫מל‬ ‫רונ‬

‫𝑢‬ ‫‖𝑢 ‖‬

‫חר‬ ‫מי‬ ‫‪V‬מיכבה‬ ‫הלפ‬ ‫‪,‬תימי נפ ‪-‬‬ ‫מורכל‬ ‫תלב‬ ‫ק‬ ‫𝑊כצו‬ ‫ריצ‬ ‫ה‬ ‫יניהליפום‬ ‫ארם‬ ‫יי‬ ‫אפש‬ ‫ט‬ ‫מו‬ ‫הר‬ ‫𝑛𝑎𝑝𝑠ו‬ ‫ק‬ ‫הבי‬ ‫צו‬ ‫‪ {𝑒=}f=de%‬הק‬ ‫=‬ ‫רמלל‬ ‫הי‬ ‫צו‬ ‫חהדברכיע‬ ‫ק)‬ ‫מורטיו‪u‬ב‬ ‫‪W‬‬ ‫וק‬

‫= ‪𝑢m‬‬

‫‪f‬‬ ‫הב‬ ‫את{צוק‬ ‫ו ‪ ,‬רו‬ ‫תילמ}נ ו=רו𝑒‬ ‫‪=de‬‬

‫אלהכרח‬ ‫טבקו)וב‬ ‫‪V‬‬ ‫𝑉 ∈ 𝑢במורח‬

‫𝒌‬

‫𝒏𝒆 ⋅ 〉 𝒏𝒆 ‪p = % q〈𝒖,‬‬ ‫𝒖‬

‫‪=}f=de‬הב𝑒‬ ‫הר(יצהיה‬ ‫ניל{ףו‬ ‫ה‬ ‫אי‪:‬ר‬

‫‪.{𝑒=}f=de‬‬

‫𝟏‪𝒏d‬‬

‫‪3‬‬

‫‪November 2019‬‬ ‫תל‬ ‫מאייפו‬ ‫מלופכ‬ ‫לשכ‬ ‫ת‬ ‫ה‬ ‫ינ‬ ‫ם‬ ‫ש‪:‬‬ ‫סבול‬ ‫ה‬ ‫ם‬ ‫והי‬

‫‪Dvir Ben Asuli‬‬

‫עמרביאו רביא‪u‬לכ עם‬ ‫מע רביהא לופכ כרבת‬ ‫תולשפהמכן יחבנ ‪.‬רבכ וצ‬

‫‪f‬‬ ‫סנם‬ ‫שכ‬ ‫תנלו‬ ‫מע‬ ‫קתב‬ ‫‪𝑒=}=de‬אל{‬

‫מוהק‬ ‫צוב‬ ‫רוה‬ ‫ט‬ ‫ה‬ ‫ם‬ ‫קמ‬ ‫קי‬ ‫תירוה ו‬

‫רלונתיתוימינהפ‬ ‫‪,‬םיסק‬ ‫קוהוהמשללטיהה‬ ‫ט‬ ‫רויפצ‬ ‫סבל‬ ‫חפ‪.‬‬ ‫מ‬ ‫‪W‬רי‬ ‫ה‬ ‫מח‬ ‫תהתבע‬ ‫דיבמ‬ ‫טוק ו‪u‬ההו‬ ‫ור‬

‫םבר‬ ‫תמל‬ ‫קכ‬ ‫הרצכי‬ ‫רייל‬ ‫מו‬ ‫ףו‪,‬ה‬ ‫‪W‬כ‪u‬‬ ‫ניללו‬ ‫לש‬ ‫ט ‪-‬איבר‬ ‫קורו‬ ‫י‬

‫שו‬ ‫לש‬ ‫מישוס‪,‬וטיהלהו‬ ‫טן‬ ‫קורו‬

‫‪.{ 𝑒=}f=de‬‬

‫צובק‬ ‫הה‬ ‫‪:‬טיהלשלתו נ ותכ‬

‫𝑢 ומא‬ ‫ךנ‬ ‫רבטום ר וקוט לכל ‪v‬‬ ‫היל𝑢‬ ‫אכב‪-‬‬ ‫ט‬ ‫רו‬ ‫פב‬ ‫‪,W‬ולרלל‬ ‫קוע‬ ‫טי‬ ‫‪-‬בוש‬

‫שלקור‬ ‫שט‬ ‫הרפ‬ ‫רורש‪-‬הו‬ ‫טפק‬ ‫‪ .1‬הוה‬

‫טהל‪:‬‬ ‫תילהי‬ ‫ש‬ ‫‪ .2‬רפסוג‬

‫‪.{𝑒=}f=de‬‬

‫‪∀%w ∈ W.%%%% 〈𝑢 − 𝑢v, 𝑤〉 = 0%‬‬

‫[‖ 𝑤 ‪∀%w ∈ W.%%%% ‖𝑢 − 𝑤‖ [ = % ‖𝑢 − 𝑢v‖ [ + ‖𝑢v −‬‬ ‫𝒖‖ ‪p ‖ 𝟐 = % ‖𝒖‖𝟐 −‬‬ ‫𝟐‖ ‪p‬‬ ‫𝒖 ‪‖𝒖 −‬‬

‫מול‪:‬‬ ‫תיכ‬ ‫סוג‬ ‫רפה‬

‫𝒌‬

‫‪‖p‬‬ ‫𝟐 |〉𝒏𝒆 ‪𝒖‖𝟐 = % q|〈𝒖,‬‬ ‫𝟏‪𝒏d‬‬

‫איו‬ ‫לט‬ ‫הה‬ ‫מקו‬ ‫תו‬ ‫טל‪:‬‬ ‫מב‬ ‫ם‬ ‫איר‬ ‫שכעצו‬ ‫צמבל‬ ‫ראףולריונ‬ ‫ת‬ ‫פה‬ ‫מניליפ‬ ‫מויכ‬ ‫תל‬ ‫שינ‬ ‫שולה‬

‫‪}f=de‬‬ ‫םלפבמכ‬ ‫קו=𝑒עה‬ ‫ירוט‬ ‫הב‬ ‫םמצוהק‬ ‫לקלבצרנהאם ‪,‬צע‬

‫אתו ימי נפ תולפמכ‬ ‫ל‬

‫מצ‬ ‫ם‬ ‫םור‪.‬עי(‬ ‫וקטוב‬ ‫‪f‬‬ ‫מרול=נ𝑒{‬ ‫תי}‬ ‫ותכרמתע‬ ‫רוא‬ ‫תיפוס‬ ‫פכחב‬ ‫מר‬ ‫המרהב‬ ‫הלו‬ ‫ת‬ ‫מיה‪-‬יוינקהיטפ‬ ‫‪V‬תיו‬ ‫‪=de‬‬

‫טפ‬ ‫המש‬ ‫ב והטב וריק‬ ‫של‬ ‫טכוה‬ ‫חרבו‬ ‫מלרקו‬ ‫ניה‬ ‫הכאירב‬ ‫‪.‬ללו‬ ‫האקו‬ ‫ט‬ ‫בוור‬ ‫קר‬ ‫שמ‬ ‫הו‬ ‫רת‬ ‫קתויבנ‬ ‫ח(‬ ‫קומנר)חבי‬ ‫טלמ‬ ‫וו‬ ‫‪W‬ל‬ ‫ע‬

‫‪.‬במילים אחרות‪,‬אם נסתכלעלהקבוצה‬

‫נסיוחפורמלי‪:‬‬

‫סה‬ ‫שהכ"מ‬ ‫מ‬ ‫םיטפ‬ ‫םימדוהק‬

‫‪𝑠𝑝𝑎𝑛{ 𝑒=}f=de‬‬

‫ת‬ ‫מא‬ ‫מנש‪ u‬יה‬ ‫קב אצר‬ ‫הצוב‬

‫תילמרו נ ותרוהא‬

‫רע‬ ‫ךה‬

‫קו ‪u‬לכ עם‬ ‫הבירוט‬ ‫צוק‬

‫‪W‬כ)לבדלב‬ ‫ריצכמורל‬ ‫ם‬ ‫םה‬ ‫אלביפול‬ ‫הי‬ ‫ק‬ ‫ניר‬ ‫שב‬ ‫ם‬ ‫מ‬ ‫תי‬ ‫הבר‬ ‫יי‬ ‫א‬ ‫ק‬ ‫צו‬ ‫המ‬

‫קובמ‬ ‫היור‪u‬ש ה‬ ‫היט‬ ‫טיבהלווק‬ ‫קלרלו‬ ‫ש‪.‬‬ ‫‪W‬ל‬ ‫‪, { 𝑒=}f=de‬הווקטורבתוכהש ה‪u‬כיע‬

‫||‪-𝑢v‬ש‪|𝑢 −‬‬ ‫מצ‬ ‫‪%min‬עו‬ ‫רמ‬ ‫ק‬ ‫𝑢||יהמחההז‬ ‫קובמ‪−‬ילמי נ‬ ‫||ה‬ ‫רוכז| נ= ‪.‬ש‬ ‫𝑤‬

‫טי‬ ‫אול‬ ‫ה‬ ‫הש‬ ‫= 𝑊‪u‬‬

‫𝑉∈𝑢‬

‫‪𝐦𝐢𝐧|| 𝒖 − 𝒘|| = ||𝒖 − p‬‬ ‫| |𝒖‬ ‫‪f‬‬

‫=𝑒 ⋅ 〉=𝑒 ‪𝑢v = % q〈𝑢,‬‬ ‫𝟐‬

‫‪=de‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐 ‖‪p‬‬ ‫𝒖 ‖ ‪𝐦𝐢𝐧|| 𝒖 − 𝒘|| = ||𝒖 − 𝒖p|| =% ‖𝒖 ‖𝟐 −‬‬

‫םיצופנ םיליגתר‬ ‫ב‪:‬‬ ‫לפ‬ ‫צע‬ ‫ה‬ ‫ם‬ ‫מכ‬ ‫ינפב‬ ‫תי‬ ‫אשלמ‬ ‫צערי‬ ‫מב‬ ‫צעם‪,‬הבו‬ ‫הרו נ בשז‬ ‫ש עובירב מ‬ ‫אל‬ ‫מולכ ‪.‬הזה רביה‬ ‫ביברר‬ ‫תובהזלסהננ ‪,‬עו‪,‬‬ ‫טיה‬ ‫ישו‬ ‫‪4‬‬

‫‪Dvir Ben Asuli‬‬

‫‪November 2019‬‬

‫צמל םיצור אם‬ ‫‪w‬רובשע‬ ‫תיב ו‬ ‫ה לק‬ ‫נ יהמ ךרע‬ ‫‪-‬לושויההיה‬

‫בסלןויושואי‬

‫תנ יבה‬ ‫תרמען‪-‬‬ ‫כ‬

‫‪ :‬םי ימתק‬

‫||‬

‫שרלפרהש‬ ‫הבלרצוה‬ ‫אאי‬ ‫קת‬ ‫נרפ‬ ‫אל‪,‬הו‬ ‫ת‬ ‫ךרל‬ ‫א‬ ‫ת‬ ‫שרי‬ ‫רונכ‬ ‫ה‬ ‫למבעלר‬ ‫מ‬ ‫הויע‬ ‫ש‬ ‫ה‬ ‫‪ v‬שלעצמ𝑢יוינ‬

‫[ ‖‪.‖ 𝑢‖ [ − ‖𝑢v‬‬

‫ה𝑒‬ ‫רונראתו‬ ‫רוגס{למיל‬ ‫‪f=de‬כחב}מ=ר‬ ‫מר‬ ‫טפו‬ ‫מייונפקהל‬ ‫תיה‬ ‫‪,V‬י‬

‫[‬

‫שככדך‬ ‫מצ י‬ ‫אור‬ ‫אתל‬ ‫הי‬ ‫ב‬ ‫||𝑤 ‪𝑢 −‬‬

‫מאז‬ ‫𝑉 ∈ 𝑢תדי‬

‫𝒌‬

‫𝟐 |〉𝒏𝒆 ‪‖ 𝒖‖𝟐 ≥ % q|〈𝒖,‬‬ ‫𝟏‪𝒏d‬‬

‫דוגערכמולרכל‬ ‫סעת‬ ‫המ‬ ‫הנ‪,‬רו‬ ‫ש"‬ ‫א‬ ‫קמרבלה‬ ‫טולתנ"כ‬ ‫ו‬ ‫הכרמתע‬ ‫מל‬ ‫ש‬ ‫טק‬ ‫תדואאו‬ ‫חור‬ ‫ק‬ ‫הכי‬ ‫מ‬ ‫טוערו‬ ‫ההורמ‬

‫חנ‬ ‫מצואנ‬ ‫א‬ ‫עיגנעול‪u‬‬ ‫קוט‪u‬ו ‪.‬ר‬ ‫ול‬

‫מ𝑒ת{‬ ‫מל‬ ‫היתהשה‬ ‫ביהא=כרע‬ ‫‪f=de‬ר}ש‬ ‫אל דיחיה‬ ‫עמלולכ ש)‬ ‫מו (כרבת‬ ‫חעלכל ךנ וא‬ ‫תרמאד‬ ‫רו‪-‬אכ‬ ‫תימרולנות‬

‫‪. 0-‬במלייםאחרותאםלכלאיברואיברמתקיים‬

‫השעם‬ ‫קו ולכ‬ ‫רוט‬

‫היהזה‬ ‫טר‪u‬הי‬ ‫סו‬ ‫קופר‪.‬‬ ‫‪,u‬בהכרחוקטהא‬

‫םירביאתופיצפ‬ ‫צובקב‬ ‫ה‬

‫קוהב‬ ‫הצ‬ ‫שרא‬ ‫‪ -‬נמ‬

‫מה‬ ‫ש חרשק‬ ‫ל‬

‫םכל‬ ‫‪Y‬צפא ל‬ ‫פו‬ ‫אי‬ ‫הה‬ ‫𝑌 ⊂ 𝑋 ‪-‬ב‬

‫תו‪-‬מ‪X‬א ןקט‬ ‫ה‪ Y‬ומ‬ ‫ן ול יספא‬

‫תו‬ ‫א‬ ‫לכי‬ ‫מ‬ ‫חלור‬ ‫םב‬ ‫אי‬ ‫אל‬ ‫מבר‬

‫‪𝑢, 𝑒• 〉 = 〈0‬‬

‫‪X‬ורשק‬ ‫מ‪ -‬ב‬ ‫ילא‬ ‫מצואואיבר‬ ‫‪Y‬כנכולדע‬ ‫‪-‬יד‬

‫כל‬ ‫𝑌 ∈ 𝑦 ול‬

‫𝜖 < | 𝑥 ‪|𝑦 −‬‬

‫𝜖‪.‬‬

‫הרמתלע‬ ‫מיג‬ ‫תיה‬ ‫רו‬ ‫קו לכל בו‪-‬הכרמתע‬ ‫רוט‬ ‫שחבר‬ ‫בנ‬ ‫מרח‬ ‫פכ‬ ‫ה‬ ‫הממ‬ ‫סנכפ‬

‫ל‪f‬‬ ‫ק}‬ ‫םיליבמ‬ ‫ח {‪.‬‬ ‫תוא𝑒ר‬ ‫ששהמ‬ ‫ה‬ ‫איםיבאן ו י ו ו‬ ‫בלסן ו י ו ו‬ ‫שיבר‬ ‫מ‬ ‫‪=de‬‬ ‫הר‪=,‬‬

‫רימ‬ ‫ףו‬ ‫יא‬ ‫םצ‬ ‫איבליר‬ ‫ש‬ ‫נ‬

‫נתיןלומרבאופןשקולשהמערכת‬ ‫רי‬ ‫ףו‬ ‫מ‬ ‫נאילירצ‬

‫ארישל‬ ‫‪ V‬נכולקבלקירובטובשלעו"יצירוףלינ‬

‫חר‬ ‫סםימב‬ ‫מכ‬ ‫םימיסו‬ ‫םושב‬ ‫יהצ‬

‫‪ V‬יע"‬

‫‪.{𝑒= }f=de -‬‬

‫𝑒{ ורשק‬ ‫לכ ידכ ‪-‬דע‪}f=de‬ול= ב‬

‫בי‬ ‫אר‬ ‫איףג‬ ‫ש‬ ‫מהב‬ ‫חרי‬ ‫ת‬ ‫טי‬ ‫ש‬ ‫מלו‬ ‫הון‬ ‫הל‬ ‫ש‬ ‫נב‬

‫םנ‬ ‫שר‬ ‫קח‬ ‫‪𝜖 > 0‬ייב‬

‫𝑋 ∈ 𝑥 כך‬

‫‪f‬‬

‫‪𝑒=}f=de‬א{‬ ‫םסג‬ ‫רו‬ ‫םאה‬ ‫רו‬ ‫ק‬

‫=𝑒 ⋅ |〉=𝑒 ‪𝑢 = % q|〈𝑢,‬‬ ‫‪=de‬‬

‫‪f‬‬ ‫ףוצכפל‬ ‫א‬ ‫חרבי‬ ‫𝑒{𝑛𝑎𝑝𝑆במר‪-‬חרב‬ ‫כונ‬ ‫אוצ ל‬ ‫למ‬ ‫‪=} =de‬‬

‫𝜖ב‪.‬חרשנ‬ ‫פנש‬ ‫שבל‬ ‫ח‪-‬‬ ‫‪u‬המערמ‬

‫‪f‬‬

‫ןויושו‬ ‫םב‬ ‫שכונבלר‬ ‫מובר‬ ‫רונ‬ ‫מהד‬ ‫‪,{𝑒= }f=de‬מי‬ ‫מצ‬ ‫קרקאלא‪, u‬עו‬ ‫םי‪:‬תיי‬

‫‪†𝑢 − %q |〈𝑢, 𝑒= 〉| ⋅ 𝑒=† = 0‬‬ ‫‪=de‬‬

‫רו גס תכרעמ חרה‬ ‫‪:‬הענשכ דיתמ‬ ‫קי‬ ‫‪5‬‬

‫‪Dvir Ben Asuli‬‬

‫‪November 2019‬‬ ‫‪f‬‬ ‫מיהנפ הלפמכחבבמר‬ ‫תית‬ ‫עמרו גס תכרעמ‪V‬הי‬ ‫םהה‬ ‫רותכרא‬ ‫קל‬ ‫םלכ‬ ‫א‬ ‫‪{𝑒=} =de‬‬

‫סרן ויושו‬ ‫‪:‬פלב‬

‫𝒌‬

‫𝟐 |〉𝒏𝒆 ‪‖ 𝒖‖ = % q|〈𝒖,‬‬ ‫𝟏‪𝒏d‬‬

‫םיל‬ ‫שפ(‬ ‫תויקלר‬ ‫מינ‬ ‫סול‬ ‫מכ)פ‬ ‫של‬ ‫מסכםו‬ ‫ההכתוקבל‬ ‫ליל‬

‫הנל‬ ‫ש‬ ‫רומה‪u‬‬

‫𝟐‬

‫קו עם‬ ‫ט‬ ‫הבירו‪u‬‬ ‫צוק‬

‫ש לטיהה‬ ‫‪.(u‬ל‬ ‫מורכל‬ ‫רבןויושואי‪,‬‬ ‫מכבדסל‬ ‫והשםי ימת יקמת‬

‫‪ :‬םי ימתק‬ ‫𝑉∈𝑢‬ ‫‪) {𝑒=}f=de‬מהכודגלשל‬

‫טרל‬ ‫סר‬ ‫ןויוופצדב‬ ‫פי‬ ‫ס‬ ‫מ‬ ‫שנ‬ ‫ת‪,‬ו‬ ‫תיה‬ ‫מפ‬ ‫שלע‬ ‫תרילמרחבכפבי‬ ‫ומוב‬ ‫שא‬ ‫מתכר‬ ‫‪.‬הרוגס ‪-‬כרהע‬ ‫‪f‬‬ ‫הי}‬ ‫ה𝑒הלפ{מחכבבמר‬ ‫נפ‬ ‫מי‬ ‫‪V‬תי‬ ‫םהרו גסתכרעמ‬ ‫עמא‬ ‫רו‬ ‫קה‬ ‫םתכר‬ ‫לכלא‬ ‫‪=de‬‬ ‫ת=‬

‫מה ויושו‬ ‫סרן‬ ‫‪:‬לכופלב‬ ‫‪ :‬םי ימתק‬

‫𝑉 ∈ ‪𝑢, 𝑣%‬‬

‫‪f‬‬

‫‡‡〈〉 =𝑒 ‪〈𝑢, 𝑣 〉 = % q〈𝑢,‬‬ ‫‡‡‡‡‡‡‪𝑣,‬‬ ‫〉 =𝑒‬ ‫פש‬ ‫י ול ישקטמ‬ ‫חר‬ ‫ת מב‬ ‫ליה‬ ‫ה‬ ‫‪V‬יהימטערבכותי‬ ‫עמ‬ ‫‪ .1‬תכרה‬

‫𝑒{כוסלג‬ ‫ה‬ ‫‪=}f=de‬מו‪:‬ר‪-‬‬

‫עמ‬ ‫‪ .2‬תכרה‬

‫מל‬ ‫‪ {.𝑒=}f=de‬שה‬

‫‪,‬םלןויושו‬ ‫סר‬ ‫𝑢י‬ ‫ת‪3‬ב‬ ‫∈למפי‬ ‫𝑉למורכ‬ ‫ק‪.‬‬

‫‪=de‬‬

‫‪f‬‬ ‫םיאתאוים‬ ‫רונרב‬ ‫חנ‬ ‫ארל‪.‬‬ ‫תמי‬ ‫מ‬ ‫הב‬ ‫𝑒{ב‬ ‫םל‪:‬קווהי‬ ‫שי‬ ‫‪=}=de‬‬

‫‪Œ‬‬

‫‪ˆu − %q |〈 u, e‹〉| ⋅ e‹ˆ = 0‬‬ ‫‪‹de‬‬

‫‪ :‬םי ימתק‬

‫‪f‬‬

‫[|〉=𝑒 ‪= % q|〈𝑢,‬‬ ‫‪=de‬‬

‫[‖‬

‫𝑢‖‬

‫חותיבנעומכך‪.‬‬ ‫םהא ר‬ ‫תוהשתיי‬ ‫חמהתכונו‬ ‫‪ {𝑒=} f=de‬נתיהלןוכיחרקאתא ד‬

‫םרכל‬ ‫אמו‬ ‫חנ‬ ‫םל‬ ‫קבונ‬ ‫הבי‬ ‫צו‬ ‫ק‬ ‫מ‬ ‫‪:‬הע‬ ‫ס תכרעמ אם‬ ‫כהב איה הר ורהג‬ ‫בומד‬ ‫טה חבמרר‬ ‫‪.‬רבלי‬ ‫ה‪:‬ירופרטו‬ ‫י‬

‫רונרבאתו‬ ‫ח‬ ‫𝑒{רטבמוירל‪.‬‬ ‫‪} f=de‬שהל=יירופ‬

‫חר‬ ‫מיתהינפ הלפמכמב‬ ‫ה‬ ‫תיתי‬ ‫‪V‬‬ ‫מערוכ‬

‫יהזיהו‪:‬‬

‫𝒌‬

‫‪.‬ו‪-‬‬ ‫רקו‬ ‫‪〈𝑢,‬מדמיאק‬ ‫הי 〉יר=𝑒ופ י‬

‫חםיליבמ‬ ‫שתואר‬ ‫הנבנכ‬

‫ירביאשל‬

‫𝑉 ∈ 𝑢מערכעתל‬

‫‪.{𝑒=}f=de‬‬

‫𝒏𝒆 ⋅ 〉 𝒏𝒆 ‪q〈𝒖,‬‬ ‫𝟏‪𝒏d‬‬

‫קואנ‬ ‫מ‬ ‫את‬ ‫הר‬ ‫ט‬ ‫או‬ ‫קר‬ ‫רתנו‪u‬בצ‬ ‫ויבה‬ ‫טלקו‪-u‬‬ ‫רוו‬

‫קמ‬ ‫תמ ירוה‬ ‫ק‬ ‫ה‬ ‫מ לב‬ ‫אנ יל ףוריצ‬ ‫יר‬

‫‪6‬‬...