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Examen Parcial (EXPA) – Cálculo aplicado a la Física 2 (CAF2) PREGRADO PRESENCIAL

RC001 RC002 RC003 RC004 RC005 RC006 RC007 RC008 RC009 RC010 JG001 JG002 JG003 JG004 JG005 JG006 JG007 JG008 JG009 JG010 MH001 MH002 MH003 MH004 MH005 MH006 MH007 MH008 MH009 MH010

JL001 JL002 JL003 JL004 JL005 JL006 JL007 JL008 JL009 JL010

MO001 MO002 MO003 MO004 MO005 MO006 MO007 MO008 MO009 MO010

AL001 AL002 AL003 AL004 AL005 AL006 AL007 AL008 AL009 AL010

FO001 FO002 FO003 FO004 FO005 FO006 FO007 FO008 FO009 FO010

RN001 RN002 RN003 RN004 RN005 RN006 RN007 RN008 RN009 RN010

HR001 HR002 HR003 HR004 HR005 HR006 HR007 HR008 HR009 HR010

AR001 AR002 AR003 AR004 AR005 AR006 AR007 AR008 AR009 AR010 ES001 ES002 ES003 ES004 ES005 ES006 ES007 ES008 ES009 ES010

CCAMA PARI, RICHARD RC001 Tres cargas puntuales, Q1= 6,5 nC, Q2= 1,5 nC, y Q3= -2,3 nC, están encerradas por una superficie S. a) Determine la carga neta encerrada. b) Determine el flujo eléctrico neto que cruza S.

RC002 Una esfera conductora uniformemente cargada de 3,12 m de radio tiene una densidad superficial de carga de 7,5 nC/m2. a) Halle la carga neta en la esfera. b) Calcule el campo eléctrico en la superficie de la esfera.

RC003 En el interior de un acelerador lineal, un protón (carga +e = 1,602 x 10 -19 C) se desplaza en línea recta de un punto a hacia otro punto b una distancia total d = 0,25 m. A lo largo de esta línea, el campo eléctrico es uniforme con magnitud E=1,5x107 V/m = 1,5x107 N/C en la dirección de a hacia b. Determine: a) La fuerza sobre el protón. b) El trabajo realizado sobre este por el campo.

RC004 Un campo eléctrico uniforme de valor 4 kN/C está en la dirección +x. Se deja en libertad una carga puntual Q = 3,0 𝜇C que está inicialmente en reposo en el origen. a) ¿Cuál es la diferencia de potencial V (4;0) – V (0;0)? b) ¿Cuál es la variación de energía potencial de la carga desde x = 0 hasta x = 4,0 m?

RC005 Si se tiene un capacitor de placas paralelas que miden 16,8 cm × 3,6 cm, realice lo siguiente: a) Calcule la capacitancia si están separadas por un hueco de aire de 2 mm de espesor. b) ¿Cuál es la carga en cada placa si se conecta una batería de 12 V a través de las dos placas?

RC006 En la figura considerando que 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶3 = 3 μF y que el voltaje es 4 V a) Determine la carga en cada capacitor. b) Halle los voltajes a través de cada capacitor.

RC007 La figura muestra un grupo de resistores, si la diferencia de potencial entre a y b es 12 V, calcule: a) La resistencia equivalente. b) La corriente y voltaje en la resistencia de 10 Ω.

RC008 Un alambre de cobre de 3,6 mm de diámetro lleva una corriente de 5 A. Si la densidad de electrones libres es de 8,5×1028 electrones por metro cúbico. Determine a) la densidad de corriente en el alambre. b) la velocidad de deriva de los electrones libres.

RC009 Aplique la segunda ley de Kirchhoff a la malla de corriente de la figura. Determine lo siguiente: a) ¿Cuál es la intensidad de la corriente en la malla? b) ¿Cuál es la caída de IR neta?

RC010 Dado el circuito eléctrico, a) determine la corriente que pasa por la resistencia 1 Ω. b) determine la corriente que pasa por la resistencia 2 Ω.

GUZMAN BAYONA, JOSE LUIS JG001 Un cilindro infinitamente largo y de radio b, está cargado no uniformemente con densidad de carga volumétrica expresada como: 𝑐 𝜌 = 𝜌0 . 𝑟3 ( ). 𝑚3 a) Determine el campo eléctrico creado en un punto r tal que 𝑟 ≤ 𝑏 b) Determine el campo eléctrico creado en un punto r tal 𝑟≥𝑏 Solución: a) Por la ley de Gauss: ∫ 𝐸󰇍 𝑑𝑆 = ∫ 𝐸𝑑𝑠 = 𝑆2

𝑞𝑒𝑛𝑐 … … … … … … … . (1) 𝜀0

Se sabe que 𝑑𝑞 𝜌 = 𝑑𝑣 → 𝑑𝑞 = 𝜌𝑑𝑣 → ∫ 𝑑𝑞 = ∫ 𝜌𝑑𝑣 → 𝑞𝑒𝑛𝑐 = ∫ 𝜌0 . 𝑟 3 𝑑𝑣;

𝑑𝑣 = 2𝜋𝑟. 𝐿. 𝑑𝑟

Entonces: 𝑞𝑒𝑛𝑐 = ∫ 𝜌0 . 𝑟 3 2𝜋𝑟. 𝐿. 𝑑𝑟 = 2𝜌0 𝜋𝐿 ∫ 𝑟 4 𝑑𝑟; 𝑞𝑒𝑛𝑐 = 2𝜌0 𝜋𝐿. Reemplazando (2) en (1) 2𝜌0 𝜋𝐿. 𝑟 5 𝑞𝑒𝑛𝑐 → 𝐸 ∫ 𝑑𝑠 = ∫ 𝐸𝑑𝑠 = 𝜀0 5𝜀0 2𝜌0 𝜋𝐿. 2𝜌0 𝜋𝐿. 𝑟 5 𝐸. 𝑆 = → 𝐸(2𝜋. 𝑟. 𝐿) = 5𝜀0 5𝜀0

𝑟5

5

… … … (2)

𝝆𝟎 𝒓 𝟒 ∴𝑬= 𝟓𝜺𝟎

b) Para esta superficie gaussiana 𝑆2 la carga encerrada es hasta el radio b., entonces: 𝑏 𝑏 𝑏5 𝑟5 = 2𝜋𝜌0 𝐿 𝑞2 = ∫ 𝜌𝑑𝑣 = ∫ 𝜌𝑟 3 (2𝜋𝑟𝐿 )𝑑𝑟 = 2𝜋𝜌0 𝐿 ∫ 𝑟 4 𝑑𝑟 = 2𝜋𝜌0 𝐿. 5 5 0 0 𝑞 󰇍 𝑑𝑆 La integral cerrada: ∮ 𝐸. 𝑑𝑆2 = 𝜀 2 ; Se reduce a la forma: ∫𝑆 𝐸

∫ 𝐸󰇍 𝑑𝑆 =

𝑆2

0

2

𝑏5 5 𝝆 𝟓 5 → 𝐸(2𝜋𝑟𝐿) = 2𝜋𝜌 𝐿 𝑏 ∴ 𝑬 = 𝟎𝒃 0 𝟓𝜺𝟎 . 𝒓 𝜀0 5𝜀0

2𝜋𝜌0 𝐿

JG002 Una carga puntual Q se coloca en el origen de un sistema de coordenadas como se muestra e la figura. Halla el flujo eléctrico a través del casquete esférico. Solución: 󰇍 𝑑𝑆 = ∫ 𝜙 (𝐸 ) = ∫ 𝐸 𝜙(𝐸) =

𝜙( 𝐸 )

𝐾. 𝑄 ∫ 𝑑𝑠; 𝑅2

𝐾.𝑄.𝑑𝑠 𝑅2

;

𝑑𝑠 = 2𝜋𝑅. 𝑠𝑒𝑛𝛼(𝑅𝑑𝛼) 𝜃

𝐾. 𝑄 𝐾. 𝑄 𝜃 = 2 ∫ 2𝜋𝑅. 𝑠𝑒𝑛𝛼(𝑅𝑑𝛼 ) = . 2𝜋𝑅 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑑𝛼 = 𝑘. 𝑄. 2𝜋[−𝑐𝑜𝑠𝛼 ]0𝜃 𝑅 0 𝑅2 𝜙(𝐸) = 𝑘. 𝑄. 2𝜋(−(𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑐𝑜𝑠0°) = =

𝑸 (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽)𝑵. 𝒎𝟐 /𝑪 𝟐𝜺𝟎

0

𝑄. 2𝜋 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) → 𝝓(𝑬) 4𝜋𝜀0

JG003 En dos de los vértices de un triángulo equilátero se ubican las cargas 𝑞1 = 2𝜇𝐶 𝑦 𝑞2 = −5𝜇𝐶. Si uno de los lados del triángulo mide 50 cm, determine: a) El potencial en el tercer vértice(vértice libre) b) La energía potencial que adquiere la carga 𝑞 = −4𝜇𝐶 cuando se ubica en tercer vértice. Solución: a) Potencial en el tercer vértice: 𝑞2 𝑘 𝑞1 𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 = 𝑘𝑥 + 𝑘𝑥 = (𝑞1 + 𝑞2 ) 𝑙 𝑙 𝑙 9𝑥109 (2𝑥10−6 𝐶 + −5𝑥10−6 𝐶 ) 𝑉= 0,5 𝑽 = −𝟓𝟒𝟎𝟎𝟎𝑽 ≡ −𝟓𝟒𝒙𝟏𝟎𝟑 𝑽 b) Energía potencial: 𝐸𝑃 → 𝐸𝑃 = 𝑉𝑥𝑞 𝑉= 𝑞 27 𝐸𝑃 = (−54𝑥 103 𝑉)(−4𝑥 106 𝐶) = 𝐽 125 𝑬𝑷 = 𝟎, 𝟐𝟏𝟔𝑱

JG004 La figura adjunta muestra el movimiento de una carga “q” de prueba del punto A al punto B.

Si consideramos que la magnitud de la carga es 𝑞 = 11𝜇𝐶; calcular: a) La diferencia de potencial 𝑉𝐴𝐵 si las distancias de A a Q y de B a Q son de 50 cm y 70 cm respectivamente. Considere que la carga 𝑄 = 7𝜇𝐶 . b) El trabajo realizado por el campo eléctrico de la carga Q al moverse la carga de prueba de A a B. Solución: Datos: 𝑄 = 5. 10−6;

𝑟𝐴 = 0,50𝑚;

a) Diferencia de potencial:

𝑉𝐴 = 𝑘𝑥 𝑟 = 9𝑥109 ( 𝑄

𝐴

𝑉𝐵 = 𝑘𝑥 𝑟 = 𝑄 𝐵

7𝑥10−6

0,50 −6 7𝑥10 9𝑥109 ( 0,70

𝑟𝐵 = 0,70𝑚;

) = 126𝑥103 𝑉

𝑞 = 11.10−9 𝐶

) = 90𝑥103 𝑉

Por lo tanto la diferencia de potencial:

𝑉𝐴𝐵 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 126𝑥 103 𝑉 − 90𝑥103 𝑉 𝑽𝑨𝑩 = 𝟑𝟔𝒙𝟏𝟎𝟑 𝑽

b) Trabajo realizado: 𝑊𝐴→𝐵 = 𝑞 (𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 ) = 11𝑥10−9 (36𝑥103 )

𝑾𝑨→𝑩 = 𝟒, 𝟐𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟒 𝑱

JG005 Las placas de un capacitor están separadas 0,3 mm. La capacidad del sistema es de 260pF y sus placas tienen magnitud de carga de 0,16𝜇𝐶 ; a) Halla la magnitud del campo eléctrico entre placas b) ¿Cuál es la densidad superficial de carga (𝜎) de cada placa? Solución: a) Campo eléctrico: Datos: 𝑑 = 0,3𝑚𝑚 ≡ 3𝑥 10 −4 𝑚; 𝑄 = 0,16𝑥10−6𝐶; −6 𝑄 0,16𝑥10 𝐶 𝑄 → ∆𝑉 = = 𝐶= → ∆𝑉 = 615,38𝑉 ∆𝑉 𝐶 260𝑥10−12 𝐹 𝐸=

∆𝑉 615,38 𝑉 𝑉 = = 2051266,67 ≡ −4 𝑚 𝑑 3𝑥10 𝑚

𝐶 = 260𝑥10−12 𝐹

𝑬 = 𝟐, 𝟎𝟔𝒙𝟏𝟎𝟔 𝑽/𝒎

b) Densidad superficial de carga: 𝐶𝑥𝑑 260𝑥10−12 𝑥3𝑥10−4 𝐴 = 8,82𝑥 10−3𝑚2 = 𝐶 = 𝜀0 ( ) → 𝐴 = 8,85𝑥10−12 𝑑 𝜀0 𝝈=

𝟎, 𝟏𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟔 = 𝟏, 𝟖𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟓 𝒄/𝒎𝟐 𝟖, 𝟖𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟑

JG006 Este es un capacitor cilíndrico sólido con radio 0,40 cm coaxial con un tubo conductor hueco. Si los Conductores están rodeados de aire y la longitud del Cilindro es de 15 cm y su capacitancia de 40𝑝𝐹, calcule: a) El radio interior 𝑟𝑏 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑢𝑏𝑜 ℎ𝑢𝑒𝑐𝑜 b) Si la diferencia de potencial del capacitor es de 130v, ¿cuál es la densidad de carga por unidad de longitud (𝜆) Solución:

a) 𝐶 =

b) 𝜆 =

𝐿

𝑟 2𝐾.𝐿𝑛( 𝑟𝑏 ) 𝑎

𝑄 𝐿

=

→ 𝐶=

𝐿

𝑟 1 2( 4𝜋𝜀 )𝐿𝑛( 𝑟𝑏 ) 𝑎 0

𝑟𝑏 = 𝑟𝑎 𝑥𝑒

𝑟𝑏 2𝜋𝜀0 . 𝐿 𝐿𝑛 ( ) = ; 𝑟𝑎 𝐶

2𝜋𝜀0 .𝐿 𝐶

= 4𝑥10

−3

2𝜋𝜀0.𝐿

𝑟 𝑙𝑛( 𝑏 ) 𝑟𝑎

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑒

2𝜋𝑥8,85𝑥 10−12 𝑥0,15 40𝑥 10−12 𝑥𝑒

→ 𝑄 = 𝜆𝑥𝐿; 𝑝𝑒𝑟𝑜: 𝐶 = ∆𝑉 → 𝐶 = 𝜆=

𝑄

𝐶𝑥∆𝑉 40𝑥10−12 𝑥130 = 0,15 𝐿

2𝜋𝜀0 .𝐿 𝐶

𝜆𝑥𝐿

=

𝑟𝑏 𝑟𝑎

𝒓𝒃 = 𝟒, 𝟗𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟑𝒎

∆𝑉

𝝀 = 𝟑𝟒, 𝟕𝒙𝟏𝟎−𝟗 𝑪/𝒎

JG007 Calcular la velocidad de deriva en un conductor de cobre si se sabe que tiene 8 mm de diámetro en la sección transversal, la cual es utilizada para pasar 50 amperios. Considere que la densidad de electrones libres del conductor es de 𝑛 = 8,5𝑥1028 𝑒/𝑚3

Solución:

Datos:

𝑟 = 4 𝑚𝑚 = 0,004𝑚;

𝑒 = 1,6𝑥 10−19𝐶 ; 𝐼 = 50𝐴; 𝑛 = 8,5𝑥1028 𝑒/𝑚3

𝐴 = 𝜋𝑟 2 = 3,1416𝑥0,0042 = 𝐴 = 5,03𝑥 10−5 𝑚2

𝐼 = 𝑛. 𝑒. 𝐴. 𝑣𝑑

→

𝑣𝑑 =

𝐼

𝑛.𝑒.𝐴

=

1

8,5𝑥 1028 𝑒/𝑚3 𝑥1,6𝑥 10 −19 𝐶𝑥5,03𝑥 10−5 𝑚2

∴ 𝒗𝒅 = 𝟕, 𝟑𝟏𝒙𝟏𝟎−𝟓 𝒎/𝒔

JG008 Tres resistencias cada una de ellas de resistencia R se conectan de tal modo que forman lados de un triángulo. a) Halla la resistencia equivalente entre los vértices A y B. b) Determine la razón de las corrientes que fluirán en cada resistencia si la batería se conecta entre los vértices A y B. Solución a) Resistencia equivalente: 1 1 3 1 = + = ; 𝑅𝑒𝑞 𝑅 2𝑅 2𝑅

∴

𝑹𝒆𝒒 =

𝟐𝑹 𝛀 𝟑

b) Por estar en paralelo, la caída de voltaje entre A y B es: 𝑉𝐴𝐵 = 𝐼1 𝑥𝑅 =

𝐼2 𝑥2𝑅

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

JG009

𝑰𝟏 =𝟐 𝑰𝟐

En la siguiente red, si se conectara a esas terminales una batería de 50 voltios: Todos los valores dados en Ohmios a) Calcule la resistencia equivalente entre A y B. b) ¿Qué corriente fluirá?

a) 𝑅1 =

Solución:

10𝑥10 20

= 5Ω;

𝑅2 =

5𝑥15 20

= 3,75

Ahora: 𝑅1 + 25 + 𝑅2 = 5 + 25 + 3,75 = 33,75Ω 𝑹𝒆𝒒 = b) Corriente que fluirá: 𝐼=

𝟑𝟑, 𝟕𝟓𝒙𝟏𝟎 𝟓𝟒 = 𝟕, 𝟕𝟏𝛀 = 𝟕 𝟑𝟑, 𝟕𝟓 + 𝟏𝟎

50𝑉 𝜀 𝑉 = = ; 𝑅 𝑅𝑒𝑞 7,71Ω

∴

𝑰 = 𝟔, 𝟗𝟒𝑨

JG010 En el circuito adjunto, determine:

a) La magnitud de las corrientes 𝐼1 ; 𝐼2 ; 𝐼3 b) La magnitud de la corriente 𝐼4 que pasa por la resistencia de 30Ω. Solución:

a) Para la malla 1: (200𝑉 − 100𝑉) = 20𝐼1 + 100𝐼1 + 30(𝐼1 − 𝐼2 )

→ 100 = 150 𝐼1 − 30𝐼2 → 𝟏𝟎 = 𝟏𝟓𝑰𝟏 − 𝟑𝑰𝟐

Para la malla 2: 100𝑉 = 30(𝐼2 − 𝐼1 ) + 50(𝐼2 − 𝐼3 ) → 100 = −30𝐼1 + 80𝐼2 − 50𝐼3 → 𝟏𝟎 = −𝟑𝑰𝟏 + 𝟖𝑰𝟐 − 𝟓𝑰𝟑 Para la malla 3: 50𝑉 = 10𝐼3 + 50(𝐼3 − 𝐼2 ) → 50 = 60 𝐼3 − 50𝐼2 → 𝟓 = 𝟔𝑰𝟑 − 𝟓𝑰𝟐 Resolviendo el sistema: 𝟏𝟎 = 𝟏𝟓𝑰𝟏 − 𝟑𝑰𝟐 … … … … . (𝟏) { 𝟏𝟎 = −𝟑𝑰𝟏 + 𝟖𝑰𝟐 − 𝟓𝑰𝟑 … . (𝟐) 𝟓 = −𝟓𝑰𝟐 + 𝟔𝑰𝟑 … … … … … (𝟑) 𝟏𝟓𝑰𝟏 − 𝟑𝑰𝟐 + 𝟎𝑰𝟑 = 𝟏𝟎 −𝟏𝟓𝑰𝟏 + 𝟒𝟎𝑰𝟐 − 𝟐𝟓𝑰𝟑 = 𝟓𝟎  37𝐼2 − 25𝐼3 = 60 … … … … . (4) 185𝐼2 − 125𝐼3 = 300 −185𝐼2 + 222𝐼3 = 185

Reduciendo (1)+5x(2); Ahora 5x(4)+37(3)

97𝐼3 = 485 Reemplazando en (1): 15𝐼1 − 3(5) = 10 Reemplazando en (3): −5𝐼2 + 6(5) = 5 Se obtiene las magnitudes para las corrientes:

∴

𝐼3 = 5𝐴 𝐼1 = 1,67𝐴 𝐼2 = 5𝐴

𝑰𝟏 = 𝟏, 𝟔𝟕𝑨; 𝑰𝟐 = 𝟓𝑨; 𝑰𝟑 = 𝟓𝑨

b) Magnitud de la corriente 𝐼4 que pasa por la resistencia de 30Ω 𝑰𝟒 = 𝑰𝟏 − 𝑰𝟐 = 𝟏, 𝟔𝟕𝑨 − 𝟓𝑨 ∴ 𝑰𝟒 = −𝟑, 𝟑𝟑𝑨

HUAMAN ESPINOZA, MARIELA --------------------------------------------------------------------------------------------------------MH001 Se tiene dos líneas con distribución uniforme de carga positiva separadas una distancia de 10 cm y ubicadas de forma paralela, si se conoce las densidades de distribución lineal de carga y son 2µC /m y 6µC/m. Determinar: i) Dibujar el campo eléctrico resultante a la izquierda y derecha del primer conductor. ii) Encuentre la posición en la que el campo eléctrico resultante generado por ambas líneas de carga sea nulo. -------------------------------------------------------------------------------------------------------Solución: i) Si analizamos y dibujamos la situación, dado que los dos hilos están cargados positivamente, estos se muestran de la forma siguiente:

ii) Para el campo eléctrico nulo: 𝐸1 = 𝐸2

El campo eléctrico de una línea de carga es de la forma: 𝐸 =

Para la distribución de linea: 2𝜋𝜀𝑑1 = 𝜆1

𝑑1

𝜆

1

= 𝑑2 𝜆

2

𝜆2

2𝜋𝜀 𝑑2

𝜆

2𝜋𝜀𝑑

De esta forma si llamamos d1 y d2 a la distancia entre el hilo 1 y el hilo 2 respectivamente, se tiene que cumplir que: d1 + d2 = d = 0,1 m → d2 = 0,1 – d1 λ1 = 2µC/m = 2 *10-6 C / m → λ2 = 6µC/m = 6 *10-6 C / m Reemplazando :

6∗10−6 2∗10 −6 = 𝑑1 0,1−𝑑1

𝑑1 = 0,025m El punto debe estar ubicado a una distancia 0,025m del hilo conductor 1.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------MH002 Un cilindro circular recto de 20 cm de longitud y 5 cm de radio tiene su centro en el origen y su eje está a lo largo del eje x de modo que una de las caras está en x = +10 cm y la otra x 󰇍󰇍󰇍󰇍𝑥 = 𝐸𝑥 [𝑁 ⁄𝐶 ] ⋅ ^y = -10 cm. Un campo eléctrico resultante 𝐸 𝑖 constante actuá sobre el eje x, generando un flujo saliente que atraviesa la cara ubicada en x=+ 10 cm de 1,57 Nm²/C. Determinar: (i) ¿Cuál es el modulo del campo eléctrico resultante en el eje x ? (ii) ¿Cuál es el flujo neto que atraviesa toda la superficie cilíndrica? --------------------------------------------------------------------------------------------------------Solución: i) para x>0 󰇍󰇍󰇍𝑥 = 𝐸𝑥 [𝑁 ⁄𝐶 ] ⋅ ^𝑖 𝐸 𝑑𝐴󰇍󰇍󰇍1 = 𝑑𝐴1 . [𝑚²]^𝑖 flujo saliente que atraviesa la cara ubicada en x=+ 10 cm

𝛷𝐸𝑥 = ∮ 𝐸󰇍󰇍󰇍𝑥󰇍 . (𝑑𝐴1 . ^𝑖) = ∮ 𝐸𝑥 . ^. 𝑖 (𝑑𝐴1 . ^𝑖) = 𝐸𝑥 ∮ 𝑑𝐴1 = 𝐸𝑥 (𝜋𝑟²) 1.57[𝑁. 𝑚 ²⁄𝐶] = 𝐸𝑥 (𝜋(0.05[𝑚])²) 𝐸𝑥 = 199,8[𝑁⁄𝐶] = 200[𝑁 ⁄𝐶 ]

ii) El flujo neto a través de la superficie cilíndrica completa para x< 0 󰇍󰇍󰇍󰇍 𝐸𝑥 = 𝐸𝑥 [𝑁 ⁄𝐶 ] ⋅ ^𝑖 𝑑𝐴󰇍󰇍󰇍2 = −𝑑𝐴2 . [𝑚²]^𝑖 flujo saliente que atraviesa la cara ubicada en x=- 10 cm

𝛷𝐸𝑥 = ∮ 𝐸󰇍󰇍󰇍𝑥󰇍 . (𝑑𝐴1 . ^𝑖) = ∮ 𝐸𝑥 . ^. 𝑖 (𝑑𝐴1 . ^𝑖) = 𝐸𝑥 ∮ 𝑑𝐴1 = 𝐸𝑥 (𝜋𝑟²) = −1.57[𝑁. 𝑚 ² ⁄𝐶 ]

para el eje y tenemos:

󰇍󰇍󰇍󰇍 𝐸𝑥 = 𝐸𝑥 [𝑁 ⁄𝐶 ] ⋅ ^𝑖 𝑑𝐴󰇍󰇍󰇍3 = −𝑑𝐴3 . [𝑚²]^𝑗

𝛷𝐸𝑥 = ∮ 𝐸󰇍󰇍󰇍𝑥 . (𝑑𝐴3 . ^𝑗 ) = ∮ 𝐸𝑥 . ^. 𝑖 (𝑑𝐴3 . ^𝑗) = 0[𝑁. 𝑚 ²⁄𝐶 ]

Hallando el flujo total: 𝛷𝑛𝑒𝑡𝑜 = 1,57[𝑁. 𝑚 ² ⁄𝐶 ] − 1,57[𝑁. 𝑚 ² ⁄𝐶 ] + 0,0[𝑁. 𝑚 ² ⁄𝐶 ] = 0,0[𝑁. 𝑚 ² ⁄𝐶 ] Respuesta: 200 [N/C] y 0,0 [N.m²/C] ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

MH003 Una carga q=18,0 nC es colocada en el origen de un plano cartesiano, sobre el cual se encuentra un campo eléctrico uniforme, que está dirigido verticalmente hacia arriba y tiene una magnitud de 4,35 x 104 V/m. Determinar el trabajo que hace la fuerza eléctrica cuando la carga se mueve: i) 3,35m hacia la derecha. ii) 4,28m con un ángulo de 30° hacia abajo con respecto a la horizontal? --------------------------------------------------------------------------------------------------------Solución: i) Para 𝐸󰇍 = 4,35. 104 . ^𝑗. [V/m] = 4,35. 104 . ^𝑗. [N/C] , 𝑟 = 3,35.^. 𝑖 [m] y cos ϕ = cos 90° 𝑟

𝑟

󰇍󰇍 = 𝑞. ∫ 𝐸 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜙 ⋅ 𝑑𝑟 𝑊0→𝑟 = 𝑞. ∫ 𝐸󰇍 ⋅ 󰇍󰇍𝑑𝑟 𝑟

0

0

𝑊0→𝑟 = ∫ (4,35. 104 [𝑁 ⁄𝐶 ]) ⋅ (𝑐𝑜𝑠90°) ⋅ 𝑑𝑟 = 0 0

ii) Para 𝐸󰇍 = 4,35. 104 . ^𝑗. [V/m] = 4,35. 104 . ^𝑗. [N/C] , |𝑟| = 4,28 [m] cos (90+ϕ) = -sen(ϕ) cos (90°+30°) = - sen(30°) 𝑟

𝑟

󰇍󰇍 = 𝑞. ∫ 𝐸 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜙 ⋅ 𝑑𝑟 = 𝑞. |𝐸|. |𝑟|. 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑊0→𝑟 = 𝑞. ∫ 𝐸󰇍 ⋅ 󰇍𝑑𝑟

𝑊0→𝑟 =

0

(18,010−9 [𝐶]). ∫

𝑟

0

0

(4,35. 104 [𝑁 ⁄𝐶 ]) ⋅ (𝑐𝑜𝑠120°) ⋅ 𝑑𝑟

𝑊0→𝑟 = −(18,010−9[𝐶])(4,35. 104 [𝑁⁄ 𝐶])(𝑠𝑒𝑛30°). (4,28 [m]) = −167,6 10−5. [J] Respuesta: 0,0 J y -1,676 x 10-3 J

--------------------------------------------------------------------------------------------------------MH004 Un sistema formado por 3 cargas puntuales, si q1 , q2 son positivas y q3 negativa con una magnitud |q1| = |q2| = |q3| = 2 μC, que se encuentran ubicadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado igual a 3 cm. Calcular: i) la energía potencial de las cargas positivas i) la energía potencial eléctrica del sistema. --------------------------------------------------------------------------------------------------------Solución: i) La energia potencial para las cargas positivas es 𝑏 󰇍󰇍󰇍 = 𝑘𝑒 . 𝑞1 . 𝑞2 𝑈𝑟 = ∫ 𝑞. 𝐸󰇍 ⋅ 𝑑𝑟 𝑟 𝑎 −6 𝑞1 . 𝑞2 N.m² (2. 10 . 𝐶 ). (2. 10−6 . 𝐶 ) )[ 𝑈(𝑞1,𝑞2 ) = 𝑘𝑒 . ] = 1,2 ⋅ N.m = 1,2 ⋅ J = (9 ⋅ 109 𝐶² 3 ⋅ 10−2 m 𝑟 ii) La energia potencial del sistema 𝑞2 . 𝑞3 𝑞3 . 𝑞1 𝑞1 . 𝑞2 + 𝑘𝑒 . + 𝑘𝑒 . 𝑈(𝑞1, 𝑞2,𝑞3 ) = 𝑘𝑒 . 𝑟 𝑟 𝑟 N.m² (2. 10−6 . 𝐶 ). (2. 10−6 . 𝐶 ) ] )[ 3 ⋅ 10−2 m 𝐶² N.m² (2. 10−6 . 𝐶 ). (−2. 10−6 . 𝐶 ) ] + (9 ⋅ 109 )[ 3 ⋅ 10−2 m 𝐶² N.m² (−2. 10−6 . 𝐶 ). (2. 10−6 . 𝐶 ) + (9 ⋅ 109 ] )[ 3 ⋅ 10−2 m 𝐶²

𝑈(𝑞1,𝑞2,𝑞3 ) = (9 ⋅ 109

𝑈(𝑞1,𝑞2,𝑞3 ) = (1,2 − 1,2 − 1,2) ⋅ N.m = −1,2 ⋅ N.m = −1,2 ⋅ J Respuesta: 1.2 J y -1,2 J --------------------------------------------------------------------------------------------------------MH005 Se tiene un condensador formado por dos láminas plano-paralelas de área A=0,21 m² y separadas por una distancia de 3,50 cm. A este condensador se le aplica una diferencia de potencial V=750 voltios hasta que el condensador se carga, después se desconecta de la batería y el condensador queda aislado. Luego se llena el condensador con un material dieléctrico de constante desconocida K, y se observa que el potencial disminuye a V' = 150 voltios. Determine lo siguiente: i) la capacitancia luego de colocar el dieléctrico. ii) la energía antes y después de llenar el dieléctrico. --------------------------------------------------------------------------------------------------------Solución: i) En un condensador de láminas paralelas al final: 𝐶 750 𝑉 =5 𝐾 = 𝐶𝑓 = 𝑜 = 𝑜

𝐶𝑜 = 𝐶 =

𝑉𝑓

𝜀𝑜 ⋅𝐴 𝑑

150

=

(8,85 ⋅10 −12 )⋅(0,21 m²) (3,5⋅10−2 m)

= 0,531 ⋅ 10−10 F

𝑞𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 = 𝑞 = (𝑉𝑜 ) ⋅ (𝐶𝑜 ) = (750v) ⋅ (0,531 ⋅ 10−10 F) = 398,25 ⋅ 10−10 C

𝐶𝑓 = 𝑉 = 𝑞

𝑓

(398 ,25 ⋅10 −10 C) (150 v)

= 2,655 ⋅ 10−10 F

ii) la energía antes y después de llenar el dieléctrico

𝑈𝑜 =

𝑈𝑓 =

𝑞2

2𝐶𝑜 𝑞2

2𝐶𝑓

=

=

2

(398 ,25 ⋅10−10 C) 2(0,531 ⋅10 −10 F)

2

(398,25 ⋅10 −10 C) 2(2,655⋅10 −10 F)

= 14,93 ⋅ 10−6 J

= 2,987 ⋅ 10−6 J

Respuesta: 2,66 x 10⁻10 F, 14,9 x 10⁻⁶ J y 2,99 x 10⁻⁶ J. --------------------------------------------------------------------------------------------------------MH006 Se tiene un condensador formado por dos láminas plano-paralelas de superficie 4,00 x103 cm2, separadas una distancia de 1,00 cm en el vacío. Se le aplica una diferencia de potencial de 3,00 kV. Luego el condensador se desconecta de la fuente de energía y, con cuidado de que no se descargue, se introduce entre las placas un material plástico aislante, observándose que la diferencia de potencial disminuye hasta un valor de 1,00 kV, i) ¿Cuál es el valor de la capacitancia inicial y final de este condensador? ii) ¿cuál es la permitividad del plástico? --------------------------------------------------------------------------------------------------------Solución : i) En un condensador de láminas paralelas al inicio: 𝐶 = 𝜀0 𝑑 = 𝐴

8.85 ∗10 −12 ∗4∗103 ∗10 −4 0,01

= 3,54 ∗ 10−10 𝐹

Para la constante dieléctrica tenemos: 𝑘 = ∆𝑉 ′ = ∆𝑉

3𝑘𝑉

1𝑘𝑉

Por tanto la capacidad del condensador cambia por : 𝐶 ′ = 𝑘𝐶 = (3)(3,54. 10−10 ) = 10,62. 10−10 ii) Para la constante de permitividad : 𝜀 = 𝑘𝜀0

=3

Reemplazando : 𝜀 = 𝑘. 𝜀𝑜 = (3) ∗ (8,85 ∗ 10−12 ) = 26.55 ∗ 10−12𝑁𝑚2 𝐶2

Respuesta: 3,54 *10-10 F y 10,62 *10-10 F, 26,55*10-12 C2/Nm2 --...