03-Números-Reales-Nota-de-Clase PDF

Preview

Summary

Fundamentos de Matemática - 2020BCapítulo 3: Números RealesPreparado por:la Cátedra de Fundamentos de Matemática - EPN 4 Inecuaciones 4 Introducción 4 Intervalos. 4 Inecuación con una incógnita 4 Valor absoluto 4 Ejercicios propuestos Capítulo 1Números RealesResultados de aprendizajeConocimientos: E...

Description

Fundamentos de Matemática - 2020B Capítulo 3: Números Reales Preparado por: la Cátedra de Fundamentos de Matemática - EPN

Índice general 1

1.1

1.2 1.3 1.4

Conceptos primitivos y axiomas de cuerpo 1.1.1 Conceptos primitivos . . . . . . . . 1.1.2 Lenguaje y sintaxis . . . . . . . . . . 1.1.3 Axiomas de cuerpo . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

4 4 4 6

1.1.4 Teoremas de cuerpo Axiomas de orden . . . . . . Axioma de completitud . . Los números reales . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

12 21 37 47

Los naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Los enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Los racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48 51 54

1.4.1 1.4.2 1.4.3

2

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

1.5 1.6

1.4.4 Los irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.4.5 Algunos teoremas fundamentales de los números reales . . . 57 Inducción matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Teorema de inducción matemática general . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1.7 1.8

Ejercicios con solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84 97

Expresiones algebraicas 104 2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.2 Términos y factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 2.3 2.4

3

3

Números Reales

La “descomposición en factores” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Ecuaciones 126 3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.2 3.3 3.4 3.5

Resolver una ecuación . . . . . Ecuación con una incógnita . . La ecuación de segundo grado Ejercicios propuestos . . . . . .

. . . .

1

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

128 136 144 157

4

Inecuaciones

160

4.1 4.2 4.3 4.4

Introducción . . . . . . . . . . Intervalos . . . . . . . . . . . . Inecuación con una incógnita Valor absoluto . . . . . . . . .

4.5

Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

EPN - MAYO - 2021

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Cátedra: Fundamentos de Matemática

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

160 161 168 173

2

Capítulo 1

Números Reales Resultados de aprendizaje Conocimientos: 1. Enunciar las propiedades de cuerpo y orden de los números reales. 2. Enunciar la definición y las propiedades del valor absoluto de un número real. 3. Enunciar el principio de inducción matemática para definiciones y demostraciones. 4. Describir las definiciones de sumatoria y multiplicatoria.

Destrezas: 1. Justificar los argumentos en una demostración de propiedades de números reales. 2. Operar, descomponer en factores y simplificar expresiones algebraicas racionales. 3. Resolver ecuaciones lineales. 4. Resolver ecuaciones sencillas que involucran valor absoluto o raíces cuadradas. 5. Resolver inecuaciones lineales. 6. Resolver inecuaciones sencillas que involucran valor absoluto o raíces cuadradas. 7. Racionalizar fracciones. 8. Demostrar proposiciones sobre números naturales mediante inducción matemática. 3

9. Aplicar propiedades de sumatorias y multiplicatorias para calcular su valor.

Introducción En este capítulo, vamos a sistematizar las nociones que tenemos de los números reales mediante una teoría axiomática. Para ello, extenderemos la Teoría de Conjuntos añadiendo a esta conceptos primitivos propios para los números reales y los axiomas correspondientes. A esta teoría la llamaremos Números Reales. Que la teoría Números Reales sea una extensión de la teoría Conjuntos significa que los conceptos primitivos, definidos, axiomas y teoremas de la primera incluyen los correspondientes de la segunda, a más de los propios para números reales. En particular, en Números Reales, se verifican las propiedades Reflexiva, Simétrica, Transitiva y el Axioma de Sustitución para la relación igualdad entre conjuntos. Volveremos sobre estas propiedades en el teorema 1.1 en la página 5.

1.1

Conceptos primitivos y axiomas de cuerpo

1.1.1

Conceptos primitivos

Los conceptos primitivos propios de la teoría Números Reales son: número real , operación suma, operación producto y número real positivo. Empecemos con el primer axioma de esta teoría: A XIOMA 1.1 (Axioma Fundamental ) Existe un conjunto denominado conjunto de los números reales y representado por R. A cada elemento de este conjunto se le denomina número real . Antes de enunciar los axiomas que definirán implícitamente los conceptos primitivos de esta teoría, presentemos su lenguaje y sintaxis.

1.1.2

Lenguaje y sintaxis

El lenguaje de la teoría Números Reales consiste de: 1. Letras minúsculas del alfabeto español: a, b, c, . . . , x, y, z para representar números reales. Diremos “a es un número real.” 2. El signo

+ representará el concepto operación suma (o, simplemente suma). La sintaxis para este signo es: a + b. EPN - MAYO - 2021

Cátedra: Fundamentos de Matemática

4

Se leerá “la suma de a y b” o “a más b”. 3. El signo

· representará el concepto primitivo operación producto (o, simplemente, producto o multiplicación). La sintaxis es: a · b. Se leerá “el producto de a y b” o “a por b”. 4. Las proposiciones de la teoría Números Reales se definen recursivamente así: i. Todas las proposiciones de la teoría Conjuntos son proposiciones de la teoría Números Reales. ii. a ∈ R es una proposición. Además de leer “a pertenece a R”, también se leerá así: “a es un número real”. iii. Si A y B representan proposiciones de la teoría Números Reales,

¬A ,

A ∧ B,

A ∨ B,

A ⇒B

y

A ⇔ B,

también representan proposiciones de esta teoría. iv. Una proposición de la teoría Números Reales se obtiene únicamente por la aplicación de las tres reglas anteriores. Como la teoría Números Reales es una extensión de la teoría de Conjuntos, son teoremas de la primera las siguientes proposiciones sobre la igualdad de “números reales”. T EOREMA 1.1 (Propiedades de la igualdad de números reales). Dados los números reales a, b y c, se deducen: 1. Reflexiva: a = a. 2. Simétrica: si a = b, entonces b = a. 3. Transitiva: si a = b y b = c, entonces a = c. 4. Sustitución: si A representa una proposición, entonces se tiene que a = b ⇒ (A (a) ⇔ A (b)), donde A (b) se obtiene a partir de A (a) al sustituir algunas (no necesariamente todas) de las apariciones del número real a en A por el número real b . Veamos algunos ejemplos de proposiciones de esta teoría.

EPN - MAYO - 2021

Cátedra: Fundamentos de Matemática

5

Ejemplos: Proposiciones 1. La expresión

¬(a = c) es una proposición. En efecto, por la regla i. de la definición de proposiciones, a=c es una proposición. Luego, por la regla iii. de la definición de proposiciones, se tiene que ¬(a = c) también es una proposición. 2. La expresión A⊆R es una proposición, por la regla i. de la definición de proposiciones. 3. La expresión a ∈ R∧b ∈ /R es una proposición, por las reglas ii. y iii. de la definición de proposiciones. 4. La expresión R∈U es una proposición (por el paso i. de la definición de proposición) y, de hecho, es verdadera (cualquier conjunto pertenece a la clase universal). 5. La expresión a ∨ b no es una proposición, porque no se obtiene por ninguna de las reglas de la definición de proposiciones (a y b no representan proposiciones; son conjuntos que pertenecen a R; es decir, son números reales). 6. La expresión R \ {a} no es una proposición, porque no se obtiene por la aplicación de ninguna de las reglas de la definición de proposiciones.

1.1.3

Axiomas de cuerpo

Los siguientes 11 axiomas definen implícitamente los conceptos de suma y producto y les denomina axiomas de cuerpo. A XIOMA 1.2 (Clausuras de la suma y el producto)

EPN - MAYO - 2021

Cátedra: Fundamentos de Matemática

6

Si a ∈ R y b ∈ R, entonces a+b ∈ R

y

a · b ∈ R.

Este axioma garantiza que la suma y el producto de dos números reales es un número real. Con esto, tenemos que a + b y a · b no son proposiciones; mientras

que, a + b ∈ R y a · b ∈ R sí lo son.

A XIOMA 1.3 (Conmutativas de la suma y el producto) Si a ∈ R y b ∈ R, entonces a+b = b+a

y

a · b = b · a.

En otras palabras,

la suma de a y b es igual a la suma de b y a y

el producto de a y b es igual al producto de b y a. Dicho de otro modo, este axioma nos permite “intercambiar” entre sí los números que se suman o que se multiplican, “preservando” la suma o la multiplicación. En este sentido, decimos que la suma y el producto son operaciones conmutativas. A XIOMA 1.4 (Asociativas de la suma y el producto) Si a ∈ R, b ∈ R y c ∈ R, entonces a + (b + c) = ( a + b) + c

y

a · (b · c) = ( a · b) · c.

Este axioma asegura que

la suma de a y la suma de b y c es igual a la suma de la suma de a y b , y de c , y también

el producto de a y el producto de b y c es igual al producto del producto de a y b , y c. Por el sentido de este axioma, a la suma y al producto se les dice que son operaciones asociativas. Por la propiedad simétrica de la igualdad, de a + (b + c) = ( a + b) + c, se deduce (a + b) + c = a + (b + c). EPN - MAYO - 2021

Cátedra: Fundamentos de Matemática

7

Luego, la segunda igualdad también es verdadera (ya que la primera lo es, por ser un axioma); también nos referiremos a esta igualdad como la propiedad asociativa de la suma. A partir de ahora, no haremos distinción entre las dos proposiciones cuando hagamos referencia a esta propiedad. Una situación similar aplicaremos a la propiedad asociativa del producto. En general, cada vez que establezcamos que una “igualdad es verdadera”, utilizaremos la mayoría de veces la “otra igualdad”, obtenida por la simétrica a partir de la primera, sin mencionar explícitamente la propiedad simétrica. Este convenio también aplica a la “desigualdad” a 6= b; es decir, si a 6= b es

verdadera, también lo es b 6= a (ya que la negación “preserva” la doble implicación y las equivalencias lógicas, como recordarán las lectoras y los lectores). Lo mismo sucederá con las propiedades conmutativas. Por ejemplo, de a · (b · c) = ( a · b) · c,

por la propiedad conmutativa del producto y el axioma de sustitución, se deducen, entre otras, las siguientes proposiciones: a · (c · b) = c · ( a · b )

y

(c · b ) · a = ( a · b) · c.

En todos los casos, las igualdades obtenidas será referidas como la propiedad asociativa del producto. Convenio similar aplicará también a la propiedad asociativa de la suma y, por supuesto, a cada una de las igualdades establecidas en los siguientes axiomas. Como hemos indicado en varias ocasiones, usamos los paréntesis para evitar la ambigüedad en el significado de las expresiones simbólicas. Así, al escribir a·b+c sin ningún paréntesis, dejamos abierta la posibilidad de dos lecturas: (a · b) + c

y

a · (b + c),

expresiones que representan números reales, en general, distintos (si b = 0, representarán el mismo número). La ambigüedad se establece porque no sabemos, de antemano, “qué operación se realiza primero”: ¿la suma o la multiplicación? La primera expresión “indica” que se multiplique en primer lugar y luego se sume; la segunda, en cambio, “indica” que el orden es inverso. Por otra parte, la presencia de muchos paréntesis en una expresión dificulta la lectura y comprensión de la misma. Por ello, se adoptan algunas reglas para omitir paréntesis en una expresión sin que se introduzca ambigüedad en la expresión. Estas reglas nos dicen, fundamentalmente que, en la ausencia de paréntesis, qué operación se realizará antes; por ello, estas reglas se conocen como reglas de precedencia de las operaciones. EPN - MAYO - 2021

Cátedra: Fundamentos de Matemática

8

La selección de estas reglas es arbitraria totalmente. En este curso, adoptaremos las siguientes: 1. Los productos se realizarán antes que las sumas; es decir, el producto tiene mayor precedencia que la suma. 2. La aplicación de paréntesis se realizará desde la izquierda; es decir, las operaciones que están “más a la izquierda” tienen mayor precedencia. A la aplicación de estas reglas en una expresión, normalmente se le denomina “restauración” de paréntesis. Veamos algunos ejemplos. Ejemplos: Reglas de precedencia

1. En la expresión a + b · c, se realizará primero el producto; por tanto, “restaurando” los paréntesis, esta expresión representará de manera unívoca el número a + (b · c) y no el número (a + b) · c. Por ello, si queremos indicar que se haga el producto en primer lugar, no requeriremos colocar paréntesis; simplemente, escribiremos: a + b · c; en cambio, si queremos indicar que la suma deberá realizarse en primera lugar, escribiremos: (a + b) · c. 2. Al escribir a · b + d · f, expresamos (a · b) + (d · f ). En efecto, la “restauración” de los paréntesis es la siguiente: i. a · b + d · f = (a · b) + d · f

ii. a · b + d · f = (a · b) + (d · f ) En el primer paso, aplicamos la regla 2 y luego la regla 1; en el segundo paso, la regla 1. 3. Restauremos los paréntesis en la expresión a · (a + b) + b EPN - MAYO - 2021

Cátedra: Fundamentos de Matemática

9

Para ello, aplicamos la regla 2 (desde la izquierda) y, en seguida aplicamos la regla 1 para obtener: (a · (a + b)) + b. Si en el número a · (a + b) + b colocamos paréntesis de la siguiente manera: a · ((a + b) + b), obtenemos, en general, un número diferente. Como se puede apreciar, la expresión a · (a + b) + b se “lee mejor” que (a · (a + b)) + b, a pesar ser números iguales.

En el último ejemplo, aparecen dos números que “lucen” o se “ven” diferentes: a · (a + b) + b

y

a · ((a + b) + b).

Estos números son, en general, diferentes. Decimos “en general”, porque si a es 1 y b es diferente de 0, los dos números son iguales; en otros casos, no. Hay que evitar afirmar que dos números no son iguales únicamente porque “se ven diferentes”; por ejemplo, a + b y b + a son iguales, a pesar de que se “lucen” diferentes. A XIOMA 1.5 (Distributiva del producto respecto de la suma) Si a ∈ R, b ∈ R y c ∈ R, entonces a · (b + c) = a · b + a · c. Este axioma expresa que

el producto de a y la suma de b y c es igual a la suma de los productos de a y b y de a y c, respectivamente. Este axioma establece una relación entre la suma y el producto. Por lo dicho arriba, entre otras, las igualdades (b + c) · a = b · a + c · a

y

a · b + a · c = a · (b + c)

también son verdaderas y serán referidas como la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. Para evitar un uso inadecuado de la propiedad distributiva del producto respecto de la suma, es importante observar que ni de este axioma, ni de ningún otro, se EPN - MAYO - 2021

Cátedra: Fundamentos de Matemática

10

deducirá la “distribución” de la suma respecto de la multiplicación; es decir, no se postula que el número real a + (b · c) sea igual al número ( a + b) · ( a + c). A XIOMA 1.6 (Existencia y unicidad del elemento neutro de la suma) Existe un único número real, denominado cero y representado por 0, tal que para todo número real a, se tiene a + 0 = a. Que 0 sea único significa que si para todo número real a, se tiene que a + b = a, entonces b = 0. Este axioma asegura que la suma de cualquier número real y 0 siempre es igual a dicho número real; es decir, la suma de un número y 0 es el mismo número. Por esta razón, a cero se le conoce también con el nombre de elemento neutro para la suma1 . La unicidad de 0 nos dice que este es el único número real con esta propiedad. A XIOMA 1.7 (Existencia y unicidad del elemento neutro del producto) Existe un único número real, denominado uno y representado por 1, tal que 1 6= 0 y para todo número real a, se tiene a · 1 = a. Que 1 sea único significa que si para todo real a, distinto2 de 0, se tiene que a · b = a, entonces b = 1. Este axioma establece que el producto de cualquier número real y 1 es igual al mismo número real. Por esta razón a uno se le conoce también con el nombre de elemento neutro para el producto3 . La unicidad de 1 significa que es el único número real con esta propiedad. 1 En

la literatura, también se le conoce como el “neutro aditivo”. exclusión del 0 se debe a que a · 0 = 0 es un teorema de esta teoría, como lo veremos más adelante. Si a = 0, a · b = a nos da 0 · b = 0, de donde b no es necesariamente igual a 0. 3 En la literatura, también se le conoce como el “neutro multiplicativo”. 2 La

EPN - MAYO - 2021

Cátedra: Fundamentos de Matemática

11

A XIOMA 1.8 (Existencia y unicidad del inverso aditivo) Para todo número real a, existe un único número real, denominado inverso aditivo de a y representado por − a, tal que a + (− a) = 0. La unicidad del inverso aditivo de a significa que si b ∈ R tal que a + b = 0, entonces b = − a necesariamente. A XIOMA 1.9 (Existencia del inverso multiplicativo) Para todo número real a distinto de 0, existe un único número real, denominado inverso multiplicativo de a y representado por a −1 , tal que a · a −1 = 1. Es decir, la proposición a 6 = 0 ⇒ a · a −1 = 1 es verdadera. La unicidad de a −1 significa que si a 6= 0 y a · b = 1, entonces b = a −1 necesariamente.

1.1.4

Teoremas de cuerpo

A continuación, presentaremos algunas deducciones sencillas de teoremas importantes de la teoría Números reales. En primer lugar, veamos que el inverso aditivo de 0 es el mismo 0. En efecto, del axioma de la existencia del neutro aditivo...