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sexta clase del curso de Teoria de campos electromagneticos del profesor Merma de la FIEE...

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Teoría de Campos Electromagnéticos

Corrientes eléctricas estacionarias Marco A. Merma Jara http://mjfisica.blogspot.com Abril del 2019

Marco A. Merma Jara

Naturaleza de la corriente eléctrica

Movimiento de los electrones en un metal Los iones son mas pesados, estáticos

Corriente producida por el movimiento de portadores de carga negativos y positivos

Movimiento de deriva de portadores de carga a través de un plano

Marco A. Merma Jara

Movimiento de cargas eléctricas • El movimiento de cargas eléctricas genera dos tipos de corriente – Corrientes de convección • Partículas con carga positiva (huecos) o negativa en el vacío o gas enrarecido – Ejemplo: electrones en haces de tubo de rayos catódicos – Partículas cargadas en tormentas

– Corriente de conducción • Movimiento hidrodinámico implica transporte de masa, no regidas por la ley de Ohm

Marco A. Merma Jara

Densidad de corriente y ley de Ohm 1. Corriente de convección Sea un movimiento de cargas de algún tipo de portadores de cargas, negativos, con velocidad u a través de Δs Número de portadores de carga por unidad de volumen

N

# portadores de carga volumen

D e n s id a d d e c o rrie n te J  Nqu (A /m 2 ) I  J  s

Espacio recorrido : ut Carga que pasa: Q=Nquanst

L a c o rrie n te to ta l

La corriente I

I=  J  d s

Q I=  Nquan s t I  Nqu s (A)

s

(A )

Carga libre por unidad de volumen

v =Nq J   vu

Densidad de corriente de convección

Marco A. Merma Jara

Ejemplo Sea una densidad de carga libre de -0,3 (nC/mm2) en un tubo de vacío. Si la densidad de corriente es de -2,4ax (A/mm2), encuentre a) la corriente total que pasa por una capa semiesférica especificada por R=5mm , b) la velocidad de las cargas libres

v  0,3(nC / mm3 ) J  ax (2,4A / mm2 ) R  5mm

a) I= J  ds   2,4(ax  aR )ds 

2

/2

0 0

 2

( 2,4)(cos )(5 sendd )

 /2

0

2

60sen d(sen )  /2

 sen2   120     60   188,5A 2  0

b) u 

2,4 J  ax s 0,3  10 9

 ax 8  109 (mm / s)  ax 8  109 (mm / s)

Marco A. Merma Jara

Densidad de corriente y ley de Ohm 2. Corriente de conducción Mas de un tipo de portador de carga: electrones, huecos, iones Se mueven aleatoriamente Generalizando la densidad de corriente

2 J   Ni qu (A/m ) i i i

2 Para conductores metálicos e :movilidad (m / V.s)

J  eeE La densidad de carga de electrones en movimiento q=e

e  Ne

ue  eE (m/s) Movilidad para algunos metales

Cu

La densidad de corriente de conducción

3

2

4

2

3,2  10 (m / V.s)

Al

1,4  10 (m / V.s)

Ag

5,2  103 (m2 / V.s)

Ley de Ohm

J  E

(A/m2 )

Constante de proporcionalidad: Conductividad eléctrica

  ee

Marco A. Merma Jara

Conductividad y resistividad eléctrica La constante de proporcionalidad Es la conductividad eléctrica

  e e

  e e  hh e  h (m /V.s) e Ge Si

A / (V.m)  S / m La conductividad de lo semiconductores depende de la temperatura (aumenta con esta)

Para semiconductores, se considera los electrones y huecos

2

Unidades

h

0,38 0,18 0,12 0,03

 (S / m )

M a te rial Cu Ge

5 ,8 0  1 0 7 2 ,2

Si

1 ,6  10  3

C a u cho

10  1 5

Resistividad eléctrica

1  

(.m)

Marco A. Merma Jara

Conductividades eléctricas

Marco A. Merma Jara

Ley de Ohm para circuitos Para circuitos, la ley de Ohm es

V12  IR Diferencia de potencial 1

V12   Edl  El 2

La corriente total

I   J ds  JS s

De

J  E

V12 I  S l

 l  V12    RI   S 

l l  R S S Ley de Poulliet

( )

Marco A. Merma Jara

Ejercicio a)

Determine la resistencia para corriente continua de 1km de alambre de cobre con radio 1mm

b)

Su un alambre de aluminio de la misma longitud debe tener la misma resistencia ¿cuál de ser su radio?

Marco A. Merma Jara

Conductancia G La conductancia es el inversos de la resistencia eléctrica

G

I S  R l

(Siemens S)

Ejemplo: Se conectan en serie tres resistencias de 1MΩ, 2MΩ, y 4MΩ. Calcule la conductancia y la resistencias totales

R eq  (1  2  4)M  7M

G

1 7M

Marco A. Merma Jara

Ecuación de continuidad y ley de corriente de Kirchhoff Principio de conservación de la carga

V : volumen

“Las cargas eléctricas no se crean ni se destruyen; todas las cargas, ya están en reposo o en movimiento, deben considerar en todo momento”

S : área

La corriente que sale a través de la región, es

I   Jds   s

dQ d    v dv ;v  cte dt dt V

Del teorema de la divergencia

v

 Jdv   

v

Para corrientes estacionarias

v dv t

Entonces

v  J   t

3

(A/m )

Ecuación de continuidad

v  cte



v 0 t

 J  0 La corriente eléctrica estacionaria es solenoidal

Marco A. Merma Jara

Ecuación de continuidad y ley de corriente de Kirchhoff Para la corriente eléctrica estacionaria

 J  0 Entonces

I

s Jds  0

Se re-escribe como

 Ij  0

(A)

j

Tiempo de equlibrio  J  E y E  v 

 v E   t  v   v  0 t  La solución de la ecuación

Ley de Krchhoff “Las suma algebraica de todas las corrientes que salen de una unión en un circuito eléctrico es cero”

v  o

  e 

 t 

(C /m 3 )

Marco A. Merma Jara

Tiempo de relajación En la solución de la ecuación

v  o

   t e 

(C/m3 )

o : Densidad en t=0

Para que la carga disminuya a 1/e

   t  1 t      Donde t= τ : es el tiempo de relajación

v 

o   t e  

Por ejemplo para el Cobre

8,85 10 12F / m   1,53  1019 s 7 5,80 10 (S / m)

Ejemplo: La constante dieléctrica y la conductividad del caucho son 3,0(S/m) y 10-15 (S/m). respectivamente. Determine a) El tiempo de relajación b) El tiempo necesario para que una densidad de carga disminuya al 1% de su valor inicial

Marco A. Merma Jara

Disipación de potencia y ley de Joule Macroscópicamente “Los electrones de un conductor, bajo la influencia de un campo eléctrico, tienen movimiento de deriva” Microscópicamente “Los electrones chocan con los átomos en las posiciones en la red cristalina y se transmite energía del campo E a los átomos por medio de vibración térmica” Trabajo para mover una carga eléctrica

w  F l  qE  l La potencia instantánea

w l p  lim  qE   qE u  t 0  t t Donde u es la velocidad de deriva

Marco A. Merma Jara

Disipación de potencia y ley de Joule Potencia por todos los portadores de carga en un volumen dv

dP 

 pi  E( Ni qui i )dv i

i

dP  EJdv dP  EJ (W/m 3 ) dv

Caso de un conductor de sección transversal ds y longitud l

dv  dsdl P   Edl Jds  VI L

s

Con VI=R La densidad de potencia para corrientes Estacionarias

2

P   E Jdv (W) V

Ley de Joule

P  I R (W) Potencia Ohmica

Marco A. Merma Jara

Ecuaciones para la densidad de corriente estacionaria De la ley de Ohm y postulado de la electrostática

J  E

Forma diferencial

 E  0

Forma integral

Marco A. Merma Jara

Condición en la frontera de componente normal de la densidad de corriente J 1) Un campo con divergencia nula tiene componente normal continua 2) Un campo Irrotacional tienen una componente tangencial continua

J1n  J2n (A/m2 )

J1t J2t  1 2

2 1

Marco A. Merma Jara

Referencias • David K. Cheng, Fundamentos de Electromagnetismo para Ingeniería, 3ra edición, Addison-Wesley Iberoamericana, S.A. E.U.A, 1997 • Fundamentos de la teoría electromagnética, Reitz, Milford, Christy, Addison-Wesley Iberoamericana....