1. Test Lösung... PDF

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Summary

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Description

Probetest

Mathematik 1 f. ET UE

Matrikelnummer:

Übungsgruppe:

Beispiel

mögliche Punkte

1.

10

2.

10

3.

10

Summe

30

23.10.2019 Name:

Punkte

Hinweise: 1) Bitte keine zusätzlichen Blätter abgeben! Diese würden beim Korrigieren nicht berücksichtigt werden. Geben Sie Ihre Antworten auf dem bei den einzelnen Beispielen dafür vorgesehen freien Platz. 2) Unterlagen sind nicht erlaubt. 3) Einfache Taschenrechner (ohne Graphikdisplay, nicht programmierbar, ohne Gleichungslösern und Integralfunktionen) sind erlaubt. 4) Die Arbeitszeit beträgt 1 Stunde. 5) Berechnungen und Ergebnisse müssen nachvollziehbar sein. Besser zu viel als zuwenig hinschreiben.

Die bei den einzelnen Rechenschritten angegebene Punkteverteilung ist nicht ganz strikt. Wenn etwa bei Bsp. 1a) die zweite Zeile der Lösung am Blatt steht, aber der allgemeine Binomische Lehrsatz nicht hingeschrieben wurde, gibt es dafür auch 2 Punkte. Wenn nur der Binomische Lehrsatz hingeschrieben wurde, erhält man zumindest noch einen Punkt.

1. a) (5 Punkte) Berechnen Sie in (a−2b)5 die Koeffizienten aller auftretenden Terme ai bj . Die gesuchten Koeffizienten müssen als ganze Zahlen angegeben werden.

Mit dem Binomischen Lehrsatz n   X n k n−k x y , (x + y ) = k k=0 n

1 Punkt

gilt: 5   X 5 k a (−2b)5−k (a − 2b) = k k=0             5 5 5 5 5 5 5 0 5 4 4 3 2 3 2 3 2 1 4 1 (−2) a b + (−2) ab + (−2) a b + (−2) a b + (−2) a b + (−2)0 a5 b0 0 1 2 3 4 5 5 1 Punkt

1 Punkt

=

1 Punkt

=

−25 b5 + 5 · 24 ab4 − 10 · 23 a2 b3 + 10 · 22 a3 b2 − 5 · 2a4 b + a5

1 Punkt

=

−32b5 + 80ab4 − 80a2 b3 + 40a3 b2 − 10a4 b + a5 .

b) (5 Punkte) Berechnen Sie die Summe 9 X √ ( 2)k k=2

und vereinfachen Sie das Ergebnis bis es die Form √ mit passenden Zahlen a, b ∈

hat.

a 2−b

Mit der geometrischen Summenformel n X

qk =

k=0

1 − q n+1 1−q

1 Punkt

gilt 9 9 X √ k √ 2X √ ( 2) = ( 2) ( 2)k−2 k=2

k=2

1 Punkt

=

7 X √ ( 2)k 2 k=0

2 Punkte

=

√ 1 − ( 2)8 24 − 1 2 √ = 2√ 2−1 1− 2

1 Punkt

=

√

30 . 2−1

2. a) (3 Punkte) Zeigen Sie durch explizites Ausrechnen, dass für n = 1, 2, 3 gilt 2n−1

X k=1

(−1)k+1 k 2 = n(2n − 1).

Es gilt n=1

1 X (−1)k+1 k 2 = 1 = 1(2 · 1 − 1)

1 Punkt

3 X (−1)k+1 k 2 = 1 − 4 + 9 = 6 = 2(2 · 2 − 1)

1 Punkt

k=1

n=2

k=1 5

X (−1)k+1 k 2 = 1 − 4 + 9 − 16 + 25 = 15 = 3(2 · 3 − 1)

n=3

1 Punkt.

k=1

b) (7 Punkte) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n ∈

gilt

2n−1 X k=1

(−1)k+1 k 2 = n(2n − 1).

Der Induktionsanfang für n = 1 wurde schon in Punkt a) gemacht. 1 Punkt Induktionsschritt: angenommen die Gleichung 2n−1

X k=1

gilt für ein n ∈

(−1)k+1 k 2 = n(2n − 1)

1 Punkt. Es ist zu zeigen, dass die Gleichung auch für (n + 1) gilt, d.h. 2(n+1)−1

X k=1

(−1)k+1 k 2 = (n + 1)(2(n + 1) − 1) = (n + 1)(2n + 1).

Dies wird nun gezeigt. Es gilt 2(n+1)−1

X

(−1)k+1 k 2 =

k=1

Gl. gilt für n, 2 Punkte

=

2n+1 X

(−1)k+1 k 2

2 Punkte

=

2n−1 X k=1

k=1

(−1)k+1 k 2 − (2n)2 + (2n + 1)2

n(2n − 1) − (2n)2 + (2n + 1)2 = 2n2 − n − 4n2 + 4n2 + 4n + 1 = 2n2 + 3n + 1 = (n + 1)(2n + 1)

Damit gilt die Gleichung auch für (n + 1).

1 Punkt

=

(n + 1)(2(n + 1) − 1).

Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt die Gleichung somit für alle n ∈

3. Es seien A und B Teilmengen einer beliebigen Grundmenge M. Im Folgenden bezieht sich die Komplementbildung immer auf diese Grundmenge M . Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Dabei sind Beweise verlangt! a) (4 Punkte) (A ∩ B c ) ∪ (A ∩ B) = A

∀A, B : b) (3 Punkte) ∀A, B :

(A ∩ B c ) ∪ (Ac ∩ B) = A ∪ B

∃A, B :

(A ∩ B c ) ∪ (Ac ∩ B) = A ∪ B.

c) (3 Punkte)

Die Aussage a) ist wahr. Im Beweis wird das Distributivgesetz (Dist.) und die Tatsache B c ∪ B = M verwendet. Es gilt (A ∩ B c ) ∪ (A ∩ B)

Dist. 2 Punkte

=

A ∩ (B c ∪ B)

1 Punkt

=

A∩M

1 Punkt

=

A

Die Aussage b) ist falsch. Da sich die Behauptung auf alle Mengen M und alle Mengen A, B ⊂ M bezieht, kann sie durch ein Gegenbeispiel als falsch bewiesen werden. Ein Gegenbeispiel ist M = {1, 2} und A = {1, 2}, B = {1}. Für diese Mengen gilt A ∩ B c = {2},

Ac ∩ B = ∅

=⇒ (A ∩ B c ) ∪ (Ac ∩ B) = {2}.

und A ∪ B = {1, 2}.

Somit gilt für diese Mengen 3 Punkte

(A ∩ B c ) ∪ (Ac ∩ B) 6= A ∪ B.

Die Aussage c) ist wahr. Hier wird nur die Existenz von Mengen A, B behauptet, für die die Gleichung gilt. Dies wird durch Angeben eines Beispiels bewiesen. Es sei: M = {1, 2}, A = {2} und B = {1}. Dann gilt A ∩ B c = {2},

Ac ∩ B = {1}

Daher gilt (A ∩ B c ) ∪ (Ac ∩ B) = {1, 2}. Weiters gilt A ∪ B = {1, 2} und damit gilt für diese Mengen die Gleichung (A ∩ B c ) ∪ (Ac ∩ B) = A ∪ B. 3 Punkte Bemerkung: man kann leicht zeigen, dass (A ∩ B c ) ∪ (Ac ∩ B) = A ∪ B genau dann gilt, wenn A ∩ B = ∅. Das war aber nicht verlangt, könnte aber auch zu korrekten Lösungen von b) und c) führen....