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                                                         MULTIPLICADORES DE LAGRANGE  Multiplicadores de LaGrange  Es el método empleado para resolver problemas de optimización restringida. Consiste en  convertir un problema de extremos restringidos en una forma tal que se pueda aplicar las  condici...

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INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI MATEMÁTICAS PARA INGENIEROS                                                       

 

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE  Multiplicadores de LaGrange  Es el método empleado para resolver problemas de optimización restringida. Consiste en  convertir un problema de extremos restringidos en una forma tal que se pueda aplicar las  condiciones para extremos libres.    Planteamiento  geométrico.  Supongamos  una  superficie,  definida  por  la  función 

z = f ( x, y ) ,  y  sobre  esta  superficie  tracemos  una  curva,  definida  por  la  ecuación  g ( x, y ) = 0 . Se trata de encontrar los máximos y mínimos de esta curva espacial.    Planteamiento analítico. Se trata de hacer máxima o mínima una función  f ( x, y )  sujeta a  una restricción  g ( x, y ) = 0 . 

.c om

  Reducción a una variable: Teóricamente el problema se puede resolver despejando “y” en 

a1

la  ecuación  g ( x, y ) = 0 : y = h ( x )   y  sustituyendo  en  f ( x, y ) = f ( x, h ( x ) ) = k ( x ) ,  con  lo 

m

variables en la ecuación  g ( x, y ) = 0 . 

at

ic

cual el problema se reduce a calcular un máximo o un mínimo de una sola variable.  El  problema  se  presenta  cuando  no  es  práctico  o  no  es  posible  despejar  una  de  las 

at e

 

Método  de  los  multiplicadores  de  Lagrange.  Los  extremos  de  la  función  f ( x, y )  

M

condicionados  por  la  restricción  g ( x, y ) = 0 ,  se  producen  en  los  puntos  críticos  de  la 

ww

w.

función de Lagrange:  L ( x, y, λ ) = f ( x, y ) + λ g ( x, y )      Condiciones  necesarias  de  extremo.  Las  condiciones  necesarias  del  extremo  de  una  función de Lagrange vienen dadas por el sistema de ecuaciones.    ⎧ ∂L ⎪ ∂x = f x ( x, y ) + λ g x ( x, y ) = 0 ⎪ ⎪ ∂L ⎨ = f y ( x, y ) + λ g y ( x, y ) = 0    ⎪ ∂y ⎪ ∂L = g ( x, y ) = 0 ⎪ ∂λ ⎩   Para resolver el sistema, eliminamos  λ  de las dos primeras ecuaciones y el resultado lo  sustituimos en la tercera (procurando no perder soluciones con las simplificaciones).  162       http://www.damasorojas.com.ve               Dr. DÁMASO ROJAS

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CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS.   a) Caso de dos variables  Sea  P ( x0 , y0 )   un  punto  crítico  de  la  función  de  Lagrange  L ( x, y, λ ) ,  obtenido  para  un  valor concreto  λ = λ0 . Formamos la función de Lagrange para ese    λ = λ0 , L ( x, y, λ0 ) = f ( x, y ) + λ0 g ( x, y )   Para estudiar su naturaleza podemos seguir dos caminos:    (a‐1) Método de la diferencial segunda  El problema de la existencia y el carácter del extremo condicional se resuelve averiguando  el signo de la segunda diferencial de la función de Lagrange (particularizada para λ = λ0 )  d 2 L ( x0 , y0 , λ0 ) =

∂2 L 2 ∂2 L ∂2 L 2 dx + dxdy + dy 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2  a condición de que:  

.c om

g x dx + g y dy = 0

at

ic

a1

Si  d 2 L > 0   la  función  tiene  un  mínimo  condicionado,  y  si  d 2 L < 0   la  función  tiene  un  máximo condicionado.  (a‐2) Método del Hessiano  Hallamos el Hessiano de la función de Lagrange  

m

L ( x, y, λ0 ) = f ( x, y ) + λ0 g ( x, y ) , f xx ( x0 , y0 )     En  el  punto  crítico  correspondiente,  y  sólo 

at e

podemos concluir en el caso de que sea positivo. 

w.

M

⎡ Lxx ( x0 , y0 ) Lxy ( x0 , y0 ) ⎤ ⎧⎪ Lxx ( x0 , y0 ) >→ Hay mínimo condicional    D ( x0 , y0 ) = ⎢ ⎥ >0⇒⎨ ⎪⎩ Lxx ( x0 , y0 ) < 0 → Hay máximo condicional ⎣ Lyx ( x0 , y0 ) Lyy ( x0 , y0 ) ⎦ Es  decir,  si  el  Hessiano  es  positivo  hay  extremo  (el  tipo  lo  da  Hay  máximo  condicional 

ww

f xx ( x0 , y0 )  ; si es negativa máximo y si es positiva mínimo).   En los demás casos hay duda (que habrá que resolver por otro método)  b) Caso de tres o más variables (caso general).   Calculamos los siguientes determinantes (con las derivadas evaluadas en   P ( x0 , y 0 ) : ⎡0 ⎢ Δ3 = ⎢ gx ⎢gy ⎣

gx Lxx L yx

gy ⎤ ⎥ L xy ⎥ L yy ⎥⎦

⎡0 ⎢g x Δ4 = ⎢ ⎢gy ⎢ ⎣⎢ g z

gx L xx L yx Lzx

gY L xy L yy L zy

gz ⎤ L xz ⎥⎥ L yz ⎥ ⎥ L zz ⎦⎥

 

Δ n =:::::::::: 163       http://www.damasorojas.com.ve               Dr. DÁMASO ROJAS

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a) Si todos los determinantes tienen signo negativo, entonces la función tiene un mínimo  condicionado en  P ( x0 , y0 )   b) Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor positivo), entonces  la función tiene un máximo condicionado en  P ( x0 , y0 )    c)  Si  todos  los  Δ k ≠ 0   pero  no  se  cumplen  ninguna  de  las  dos  condiciones  anteriores,  entonces la función no posee extremo condicionado en  P ( x0 , y0 )   d) Si algún Δ k ≠ 0   hay duda.    Reducción  a  dos  variables:  Los  extremos  de  la  función  f ( x, y, z ) ,  condicionados  por  la  restricción  g ( x, y, z ) = 0 ,  pueden  reducirse  a  un  extremo  de  dos  variables  en  aquellos  casos en que sea posible despejar una de las variables de la ecuación  g ( x, y, z ) = 0 . 

.c om

 

a1

Extremos  condicionados  con  varias  ligaduras:  Los  extremos  de  la  función  f ( x ⋅ y ⋅ z ) , 

ic

condicionados  por  las  restricciones  g ( x, y, z ) = 0 y h ( x, y, z ) = 0   se  producen  en  los 

at

puntos críticos de la función de Lagrange:  L ( x, y, z ) = f ( x, y, z ) + λ g ( x, y, z ) + Φh ( x, y, z )  

f ( x, y ) = 25 − x 2 − y 2  con la restricción  x 2 + y 2 − 4 y = 0 . 

w.

1.

M

at e

m

  EJERCICIOS RESUELTOS.    Utilice el método de multiplicadores de LaGrange para determinar los puntos críticos de la  función sujeta a la restricción. 

ww

f ( x, y ) = 25 − x 2 − y 2  y  x 2 − y 2 − 4 y = 0 .  F ( x, y , λ ) = 25 − x 2 − y 2 + λ ( x 2 + y 2 − 4 y ) ⇒ Fx ( x, y , λ ) = 2 x + 2λ x Fy ( x, y , λ ) = −2 y + λ ( 2 y − 4 ) ⇒ Fλ ( x, y , λ ) = x 2 + y 2 − 4 y

 

Ajustando  Fx ( x, y , λ ) = 0 ,  obtenemos  λ = 1   o  x = 0 .  Ajustando  Fy ( x, y , λ ) = 0   vemos  que  λ = 1  es imposible. Ajustando  Fλ ( x, y , λ ) = 0  y con  x = 0  obtenemos  y = 0  y  y = 4 .  Por lo tanto, el punto crítico es  ( 0, 0 )  y  ( 0, 4 ) .    2.

f ( x, y ) = 4 x 2 + 2 y 2 + 5  con la restricción  x 2 + y 2 − 2 y = 0 . 

f ( x, y ) = 4 x 2 + 2 y 2 + 5  y  g ( x, y ) = x 2 + y 2 − 2 y = 0  

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F ( x, y, λ ) = 4 x 2 + 2 y 2 + 5 + λ ( x 2 + y 2 − 2 y ) ⇒ Fx ( x, y, λ ) = 8 x + 2λ z = 2 x ( 4 + λ ) ⇒ Fλ ( x, y, λ ) = 4 y + 2λ y = 2 y ( 2 + λ ) = 0

 

De  Fx ,  o  x = 0   y  de  g , y = 0   o  y = 2   con  satisfacer  Fy   con  λ = −2 ;  o  λ = −4 ,  y  de  Fy , y = 0  así  x = 0  de  g . Así  ( 0, 0 )  y  ( 0, 2 )  son el punto crítico. 

  3.

f ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2  con la restricción  3 x − 2 y + z − 4 = 0  

f ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 , y  3 x − 2 y + z − 4 = 0 . 

F ( x, y , z , λ ) = x 2 + y 2 + z 2 + λ ( 3 x − 2 y + z − 4 ) Fx = 2 x + 3λ = 0 ⇒ Fy = 2 y − 2λ = 0 ⇒ Fz = 2 z + λ = 0 ⇒ Fλ = 3 x − 2 y + z − 4 = 0

 

a1

.c om

4 6 7 2 Resolver  al  mismo  tiempo,  obtenemos  λ = − , x = , y = −   y  z = .  Por  lo  tanto,  el  7 7 4 7 ⎛6 4 2⎞ punto crítico es  ⎜ , − , ⎟ .  ⎝7 7 7⎠

 

ic

Dejar 

f ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2  con la restricción  y 2 − x 2 = 1 . 

g ( x, y, z ) = x 2 − y 2 + 1 . 

Dejar 

F 

at

4.

la 

función 

m

F ( x, y, z, λ ) = f ( x, y, z ) + λ g ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 + λ x 2 − λ y 2 + λ . 

definida 

por 

Encontramos 

los 

at e

puntos críticos de la función  F . Dejar 

 

  

 

 

 

 

(1) 

Fy ( x, y, z, λ ) = 2 y − 2λ y = 2 y (1 − λ ) = 0  

 

 

 

 

 

 

(2) 

Fz ( x, y, z, λ ) = 2 z = 0  

w.

M

Fx ( x, y, z, λ ) = 2 x + 2λ x = 2 x (1 + λ ) = 0  

 

 

 

 

 

 

 

(3) 

Fλ ( x, y, z, λ ) = x 2 − y 2 + 1 = 0  

 

 

 

 

 

 

 

(4) 

ww

 

De  (3)  tenemos  z = 0 .  De  (2)  tenemos  bien  λ = 1   o  y = 0 .  Rechazamos  y = 0   porque  entonces la ecuación (4) sería necesario que  x 2 + 1 = 0  lo cual es imposible. Si  λ = 1  en la  ecuación  (1),  obtenemos  x = 0 .  Sustituyendo  x = 0   en  la  ecuación  (4),  tenemos  − y 2 + 1 = 0, y = ±1 . Por lo tanto,  ( 0,1, 0 )  y  ( 0, −1, 0 )  son los puntos críticos.    Utilice el método de multiplicadores de LaGrange para determinar los extremos absolutos  de  f   sujeta  a  la  restricción.  También  determine  los  puntos  en  los  que  ocurren  los  extremos.  5.

f ( x, y ) = x 2 + y  con la restricción  x 2 + y 2 = 9 . 

f ( x, y ) = x 2 + y , y  x 2 + y 2 = 9   165       http://www.damasorojas.com.ve               Dr. DÁMASO ROJAS

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F ( x, y , λ ) = x 2 + y + λ ( x 2 + y 2 − 9 ) Fx ( x, y, λ ) = 2 x + 2λ x = 0 ⇒ Fy ( x, y, λ ) = 1 + 2λ y = 0 ⇒ Fλ ( x, y, λ ) = x 2 + y 2 − 9 = 0

 

La resolución de estas ecuaciones de forma simultánea, obtenemos las soluciones:  1 1 1 1 x = 0, y = 3, λ = − ⇒ x = 0, y = −3, λ = ⇒ x = 35, y = , λ = −1 6 6 2 2   1 1 x=− 35, y = , λ = −1 2 2 1 ⎞ 37 ⎛ 1 f ( 0,3) = 3 ⇒ f ( 0, −3) = −3 , mínimo absoluto  f ⎜ ± , máximo absoluto.  35, ⎟ = 2⎠ 4 ⎝ 2   6.

f ( x, y ) = x 2 y  con la restricción  x 2 + 8 y 2 = 24 . 

f ( x, y ) = x 2 y  y  g ( x, y ) = x 2 + 8 y 2 = 24  

.c om

F ( x, y , λ ) = x 2 y + λ ( x 2 + 8 y 2 − 24 ) ⇒ Fx ( x, y , λ ) = 2 xy + 2λ x = 2 x ( y + λ ) = 0

 

a1

Fy ( x, y , λ ) = x 2 + 16λ y = 0

(

ic

Si  x = 0 ,  luego  de  g , y = ± 3 .  Si  λ = − y ,  luego  de  Fy , x 2 = 16 y 2 ,  y  de 

)

at e

7.

f ( ±4, −1) = −4 , 

m

mínimo absoluto.   

at

g , y = ±1, x = ±4 ⇒ f 0, ± 3 = 0 ⇒ f ( ±4,1) = 4 ,  máximo  absoluto; 

f ( x, y , z ) = xyz  con la restricción  x 2 + 2 y 2 + 4 z 2 = 4  

M

f ( x, y , z ) = xyz , y  x 2 + 2 y 2 + 4 z 2 = 4  

ww

w.

f ( x, y, z, λ ) = xyz + λ ( x 2 + 2 y 2 + 4 z 2 − 4 ) ⇒ Fx = yz + 2 z λ = 0; xyz = −2 x 2 λ Fy = xz + 4 yλ = 0; xyz = −4 y 2 λ ⇒ Fz = xy + 8 z λ = 0; xyz = −8 z 2 λ

 

1 1 .  Entonces  Por  lo  tanto  x 2 = 4 x 2 , y 2 = 2 x 2 ,  y  4 z 2 + 2 ( 2 z 2 ) + 4 z 2 = 4; z 2 = , z = ± 3 3 x=±

4 2 ,y=± .  3 3

⎛ 4 ⎛ 4 2 1⎞ ⎛ 4 ⎛ 4 2 2 1⎞ 2 1⎞ 1⎞ 2 f ⎜⎜ − , − , − ⎟⎟ = f ⎜⎜ − , , ,− , , , − ⎟⎟ = − 6 ⎟⎟ = f ⎜⎜ ⎟⎟ = f ⎜⎜ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 9 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 4 2 1⎞ ⎛ 4 ⎛ 4 2 ⎛ 4 2 1⎞ 1⎞ 2 1⎞ 2 f ⎜⎜ , , , − , − ⎟⎟ = f ⎜⎜ − , , − ⎟⎟ = f ⎜⎜ − , − , 6 ⎟⎟ = f ⎜⎜ ⎟= 3 3⎠ 3⎠ 3 3 ⎟⎠ 9 ⎝ 3 3 3⎠ ⎝ 3 ⎝ 3 3 ⎝ 3 Sí  λ = 0 ,  tenemos  6  puntos  críticos  adicionales  ( ±1, 0, 0 ) , ( 0, ±1, 0 ) , ( 0, 0, ±1)   en  la  que  f = 0 .  Porque  el  conjunto  de  restricciones  es  cerrado  y  acotado,  f   tiene  extremos,  166       http://www.damasorojas.com.ve               Dr. DÁMASO ROJAS

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tomados en los puntos críticos. Por lo tanto  f  tiene un valor máximo de  mínimo de  −

2 6  y un valor  9

2 6 .  9

  8. Dejar 

f ( x, y , z ) = y 3 + xz 2  con la restricción  x 2 + y 2 + z 2 = 1  

g ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 1 . 

Dejar 

F 

la 

función 

definida 

por 

F ( x, y, z, λ ) = f ( x, y, z ) + λ g ( x, y, z ) = y 3 + xz 2 + λ z 2 + λ z 2 − λ .  Nos  encontramos  con  los puntos críticos de la función  F . Sea 

Fx ( x, y, z, λ ) = x 2 + 2λ x = 0   

 

 

 

 

 

 

(1) 

Fy ( x, y, z, λ ) = 3 y 2 + 2λ y = y ( 3 y + 2λ )  

 

 

 

 

 

 

(2) 

Fz ( x, y, z, λ ) = 2 xz + 2λ z = 2 z ( x + λ )  

 

 

 

 

 

 

(3) 

Fλ ( x, y, z, λ ) = x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0    

 

 

 

 

 

(4) 

.c om

 

 

ic

a1

De la ecuación (3) o  z = 0  o  z = −λ .  Si  z = 0 ,  entonces  la  ecuación  (1),  o  x = 0 ;  entonces  la  ecuación  (4),  y = ±1 ,  o  λ = 0 ; 

at

entonces la ecuación (2),  y = 0  y de (4)  x = ±1 . 

m

Si  x = −λ , entonces de la ecuación (1)  z 2 = 2λ 2  y de la ecuación (2) o  y = 0 ; entonces de  1 1 2 2 3   así  x = m 3   y  z 2 =   o  y = − λ ;  entonces  de  (4),  3 3 3 3 4 9 λ 2 + λ 2 + 2λ 2 − 1 = 0, λ 2 = .  9 31 Enumeramos los puntos críticos, los valores de  f  y nuestra conclusión  y  x  λ  z  f ( x, y , z )

ww

w.

M

at e

(4),  3λ 3 − 1 = 0, λ = ±

1 

Máximo absoluto 

−1  

Mínimo absoluto 

0 

1 

0 

−

0 

−1  

0 

1 

0 

0 

3   2 0 

0 

−1  

0 

0 

0 

0 

1 3  3 1 3  3 1 − 3  3

0 

1 6  3 1 − 6  3 1 6  3

−

1 3  3 1 − 3  3 1 3  3

2 3  9 2 3  9 2 − 3  9

0  0 

3   2

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−

1 3  3 3   31

3 31 −3 31 −3 31

0 

     

2 31 2 31 −2 31 −2 31

−

 

1 6  3

3 2 31

 

 

−3 2 31

 

3 2 31

 

3 2 31

 

   

1 3  3 −3   31

−3 31 3 31 −3 31

−

2 3  9 2   31

2

 

31 2

 

31 −2

 

31

     

.c om

     Calcule  los  valores  máximo  y  mínimo  absolutos  de  f   en  la  región  indicada.  Utilice  las  9. La función del ejercicio  5, x 2 + y 2 ≤ 9 .  

a1

respuestas de los ejercicios para los extremos en la frontera. 

ic

f ( x, y ) = x 2 + y, x 2 + y 2 ≤ 9 ⇒ f x = 2 x = 0 ⇒ f y = 1 = 0 .  No  hay  puntos  críticos.  Los 

m

at

extremos absolutos son aquellos en los límites que figuran en la ecuación 5.   

at e

10. La función del ejercicio  6, x 2 + 8 y 2 ≤ 24 . 

f ( x, y ) = x 2 y   y  x 2 + 8 y 2 ≤ 24 ⇒ f x = 2 xy = 0 ⇒ f y = x 2 = 0 .  El  único  punto  crítico  es 

w.

ww

ejercicio 6.   

M

( 0, 0 ) ⇒ f ( 0, 0 ) = 0 . Los extremos absolutos son aquellos en los límites que figuran en el  11. La función del ejercicio  7, x 2 + 2 y 2 + 4 z 2 ≤ 4 . 

f ( x, y, z ) = xyz, x 2 + 2 y 2 + 4 z 2 ≤ 4 ⇒ f x = yz = 0 ⇒ f y = xz = 0 ⇒ f z = xy = 0 . 

Cada 

punto de cada eje es un punto crítico y  f = 0 . Los extremos absolutos son aquellos en los  límites que figuran en el ejercicio 7     12. La función del ejercicio  8, x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 .  Encontramos los puntos críticos de  f . 

f x ( x, y, z ) = x 2 = 0 ⇒ f y ( x, y, z ) = 3 y 2 = 0 ⇒ f z ( x, y, z ) = xz = 0   Por  lo  tanto,  cualquier  punto  del  eje  x   es  un  punto  crítico.  Porque  f ( x, y, z ) = 0   si 

x = z = 0 , los extremos absolutos son aquellos en los límites que figuran en ejercicio 8.    168       http://www.damasorojas.com.ve               Dr. DÁMASO ROJAS

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Calcule el valor mínimo absoluto de  f  sujeta a la restricción.  13. f ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2  con la restricción  xyz = 1 . 

f ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 , y  xyz = 1   f ( x, y, z, λ ) = x 2 + y 2 + z 2 + λ ( xyz − 1) ⇒ Fx ( x, y, z, λ ) = 2 x + λ yz = 0; 2 x 2 = −λ xyz = −λ Fy ( x, y, z , λ ) = 2 y + λ xz = 0; 2 y 2 = −λ xyz = −λ ⇒ Fz ( x, y, z, λ ) = 2 z + λ zy = 0; 2 z 2 = −λ xyz = −λ Por  lo  tanto  x 2 = y 2 = z 2 .  De  xyz = 1   tenemos  los  cuatro  puntos  críticos 

(1,1,1) , (1, −1, −1) , ( −1,1, −1) , y  ( −1, −1,1) . En cada uno de estos puntos  f ( x, y, z ) = 3  que  es el número de  f .    14. f ( x, y , z ) = xyz  con la restricción  x 2 + y 2 + z 2 = 1 .  f ( x, y , z ) = xyz , y  x 2 + y 2 + z 2 = 4  

.c om

f ( x, y, z, λ ) = xyz + λ ( x 2 + y 2 + z 2 − 1) ⇒ Fx = yz + 2 z λ = 0; xyz = −2 x 2 λ

 

a1

Fy = xz + 2 yλ = 0; xyz = −2 y 2 z = −2 y 2 ⇒ Fz = xy + 2 z λ = 0; xyz = −2 z 2 λ

4 2 8 ;z=± 3 .  En  + + +, + − −, − + −, + − −, f = 3   y  en   3 3 9 8 − − −, − + + , + − + , + + −, f = − 3 .  Si  λ = 0 ,  hemos  ( ±2, 0, 0 ) , ( 0, ±2, 0 ) , ( 0, 0, ±2 )   en  la  9 8 que  f = 0 . El mínimo es  − 3 .  9   Obtenga el valor máximo absoluto de  f  sujeta a la restricción 

w.

M

at e

m

at

ic

Por  lo  tanto  x 2 = y 2 = z 2 =

ww

 

15. f ( x, y, z ) = x + y + z  con la restricción  x 2 + y 2 + z 2 = 9 . 

f ( x, y, z ) = x + y + z  y  x 2 + y 2 + z 2 = 9 .  1 f ( x, y, z , λ ) = x + + z + λ ( x 2 + y 2 + z 2 − 9 ) ⇒ Fx = 1 + 2λ x = 0; x = − λ 2 1 Fy = 1 + 2λ z = 0; z = − λ , x = y = z ⇒ Fz = x 2 + y 2 + z 2 − 9; x 2 +...