17-Espaces euclidiens PDF

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Cours mathématiques L1 Univ Lille 1 2016-2017...

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Cours mathématiques L1 Univ Lille 1 2016-2017

17-Produits scalaires Dans tout ce chapitre, on considère des  -espaces vectoriels.

A) Produit scalaire, orthogonalité 1) Définitions Définition : soit E un  -espace vectoriel. Soit h une application de E  E dans  .  On dit que h est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire par rapport à chacune de h ( x  x ', y )  h (x ,y )  h (x ',y ) ) ses variables (  x, x ', y, y '  E ,    ,   h( x,  y  y ')   h ( x , y )  h ( x , y ')  On dit que h est symétrique si et seulement si  x, y  E , h( x, y )  h( y, x )  On dit que h est positive si et seulement si  x E, h( x, x )  0  On dit que h est définie si et seulement si u  E, h(u, u )  0  u  0 . Définitions (*) : soit E un  -espace vectoriel. Soit h une application de E  E dans  .  h est un produit scalaire sur E si et seulement si h est symétrique, bilinéaire, positive et définie.  Un espace préhilbertien est un  -espace vectoriel muni d’un produit scalaire  Un espace euclidien est un espace préhilbertien de dimension finie. Notation : si ( x, y )  E 2 , on note ( x / y) , x , y , ou x .y . Exemples (*) : - produit scalaire euclidien dans le plan et dans l'espace. Produit salaire canonique dans n . - produit scalaire canonique dans l'ensemble des fonctions continues sur un intervalle. Remarque : Soit (E ,

) un espace préhilbertien. Soit a, b, c, d E , , , ,    Alors

 a   b,  c   d   a, c   a, d   b, c   b, d 2) Norme associée à une produit scalaire Définition : Soit ( E, , ) un espace préhilbertien. L’application définie sur

x  ( x / x ) est la norme associée au produit scalaire Propriétés : soit ( x, y )  E 2 . Soit    . Alors : 2

2

2

2

2

2



x  y  x  y  2( x / y )



x  y  x  y  2(x / y )



x   x

preuve : immédiate. 1

, sur E .

E

par

Proposition : inégalité de Cauchy-Schwarz (*,PV) : soit ( E, , ) un espace préhilbertien. 1)  (x , y ) E 2 , (x / y )  x . y (1) 2) Il y a égalité dans (1) si et seulement si la famille ( x, y ) est liée. A expliquer dans le plan avec un dessin. Preuve : à faire. 1/ 2

 n 2 Exemples (*) : soit x1 ,..., xn , y1 ,..., yn   . Démontrer  x k y k    x k  k 1  k 1  n

 n 2   yk   k 1 

1/ 2

1/ 2

 n 1  1 Ainsi,   n   2  k 1 k  k 1 k  n

Inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales (*) : soit f et g continues sur un segment 1/ 2

b  a, b ( a  b ), à valeurs réelles. Alors :  f (t ) g (t )dt    f 2 (t )dt  a a  il y a égalité dans Cauchy-Schwartz si et seulement si f et g sont liées. b

1/2

b  .  g 2 (t )dt  . De plus, a 

2

1  1 Exemple : 2   t f (t ) dt    ( f (t ))2 dt 0 0  Proposition : inégalité triangulaire (*) : soit (E , , ) un espace préhilbertien. Alors ( x, y)  E 2, x  y  x  y

(2) . De plus, il y a égalité dans (2) si et seulement si x  0E

ou     , y   x . Preuve : avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Corollaire (*) : ( E, , ) un espace préhilbertien. Soit x1 ,..., xn  E . Alors

n

n

k 1

k 1

 x k   xk

Définition : soit E un   espace vectoriel et N une application de E dans  . Alors N est une norme sur E si et seulement si :  u E , N (u )  0  u E , N (u )  0  u  0E (séparation) 

u E ,    , N ( u )   N (u ) (homogénéité)



u , v E , N (u  v )  N (u )  N (v ) (inégalité triangulaire)

Propriétés : soit ( E, , ) un espace préhilbertien. Alors l’application définie sur E par

x  ( x / x ) associée à ce produit scalaire est une norme sur E .

2

B) Orthogonalité dans un espace préhilbertien. 1) Familles et espaces orthogonaux. Définition : soit ( E, , ) un espace préhilbertien, soit ( x, y )  E 2 . Soit A et B deux sousespaces vectoriels de E . On dit que - x et y sont orthogonaux lorsque ( x/ y)  0 - A et B sont orthogonales lorsque x  A, y  B, ( x / y)  0 . Exemple : droites de l'espace. Définition : soit ( E, , ) un espace préhilbertien et A un sous-espace vectoriel de E . On appelle orthogonal et A et on note A l'ensemble défini par A    x  E , a  A ,(a / x )  0 . Propriété : soit (E , , ) un espace préhilbertien et A un sous-espace vectoriel de E . On suppose que A est de dimension finie et que (a1 ,.., ak ) est une base de A . Soit x  E . Alors

x  A   i  k , x a i  0 . Exemples : dans l'espace  3 , déterminer l'orthogonal du plan x  y : droite engendrée par (1, 1,0) . Remarque : on suppose  x  A,  y  B, ( x / y)  0 . Que peut-on conclure pour A  et B ? Penser à deux droites dans l’espace. Définitions (*) : soit (E , , ) un espace préhilbertien -

Une

( xi )i I d'éléments

famille

de

E

est

orthogonale

si

et

seulement

si

(i  j )  ( xi , x j )  0

-

Une famille ( xi )i I d'éléments de E est orthonormale (ou orthonormée) si et seulement si  i, j  I , ( xi / x j )   ij

Exemples :  dans K n , la base canonique est orthonormée pour le produit scalaire usuel. 

Dans  4 X  , on considère le produit scalaire

4

P , Q   P (k )Q (k ) . Vérifier que k0

c’est un produit scalaire. Calculer 1,1  5 et 1, X  10 . Proposition (théorème de Pythagore) : soit ( E, , ) un espace préhilbertien. Soit ( x, y )  E 2 . Alors x  y

2

 x

2

 y

2

 (x / y )  0 p

Soient de plus ( x i )1 i p une famille orthogonale d'éléments de E . Alors

 xi i 1

Preuve : immédiat pour la première partie ; par récurrence pour l'autre.

3

2

p

  xi i1

2

Propriété (*) : soit ( E, , ) un espace préhilbertien. Alors : 

Soit x1 ,..., xn des vecteurs non nuls de E . On suppose que (x1 ,..., x n ) est une famille

orthogonale. Alors ( x1 ,..., xn ) est libre.  En particulier, toute famille orthonormée finie est libre. Preuve : en utilisant le calcul de la norme de la combinaison linéaire. 2) Orthonormalisation de Gram-Schmidt Théorème (*,PV) : orthogonalisation de Gram-Schmidt.

Soit (E , , ) un espace

préhilbertien. Soit (e1 ,...,ep) une famille libre de vecteurs de E . Alors il existe une unique famille orthogonale ( V1 ,...,Vp ) de vecteurs non nuls de E telle que

 V1  e1 .  2  k  p ,V k  e k Vect V 1 ,...,V k 1  On a alors  k  1,..., p ,vect (e 1 ,...,ek ) vect (V 1 ,...,V k ).





Dessin dans le plan. Preuve : par analyse et synthèse on prouve l’unicité et on trouve l’unique famille possible. On montre ensuite qu’elle convient par récurrence. On montre ensuite Fk  vect (e1 ,..., e k )  vect ( V1 ,...,V k ) par récurrence simple. Corollaire (*) : orthonormalisation de Schmidt. Soit ( E, , ) un espace préhilbertien. Soit (e1 ,...,e p) une famille libre de vecteurs de

E . Alors il existe une famille orthonormée

( V1 ,...,Vp ) de E telle que k  1,..., p , vect (e1 ,...,e k  )  vect (V1 ,...,V k ). Preuve : on prend la famille précédente et on divise chaque vecteur, qui est non nul parce que vect (e1 ,..., ep  )  vect (V1 ,...,V p ) , par sa norme. Remarque : on voit sur un dessin et dans la preuve qu’il n’y a pas unicité de la famille concernée. Si on remplace Vk par (Vk ) , les vecteurs continuent à convenir. Exemples : en pratique, pour orthonormaliser une famille libre en petite dimension, on commence par l’orthogonaliser, puis dans un second temps on divise chaque vecteur par sa norme. 3 1) Dans  , soit F  Vect (u ,v ) , avec u  (1,1,1) et v  (2,1, 1) . Donner une base orthonormée de F et de F  1

2) Dans  2  X  , P, Q   P ( t ) Q (t ) dt . Montrer qu’on a un produit scalaire. Trouver un 0

base orthonormée de  2  X  pour ce produit scalaire.

4

3) Bases orthonormées dans un espace euclidien. Proposition (*) : soit E un espace vectoriel euclidien, E  0 . Alors il existe (au moins) une base orthonormée de E . Preuve : on prend une base de E et on lui applique le procédé de Gram-Schmidt. Propriétés (*) : soit E un espace euclidien de dimension p. Soit ( e1 , e2 ,..., ep ) une base orthonormale de E . Alors, si ( x, y )  E 2 de coordonnées respectives ( x1 ..x p ), ( y1 ... y p ) - 1  i  p, xi  ( x / ei ) p

-

i 1

-

x

2



p

 (x / e ) i

p

p

i1

i 1

- ( x / y)   ( x / ei )( y / ei )   x i y i

x   ( x / ei )ei 2



i 1

p

 (x )

2

i

i 1

preuve : aisée. A faire. Remarque : ceci n'est pas vrai si on ne prend pas une base orthonormale. 2 Propriété (*) : soit B(e1 ,e2 ,...,ep) une base orthonormale de E . Soit ( x, y )  E de matrices t t respectives X et Y dans la base B Alors X Y  Y X  ( x / y )

C) Projection orthogonale et distance dans un espace préhilbertien 1) Supplémentaire orthogonal. Proposition (*,PV) : Soit (E , , ) un espace préhilbertien. Soit V un sous-espace vectoriel de E . On suppose que V est de dimension finie. Alors V  V   E .

Preuve : par analyse et synthèse. On prend (V1 ,..,V k ) une base orthonormée de V . Si x  E vérifie x  a  b , avec a  V et b V  , on écrit a 

k

 a,V

i 1

i

Vi 

k



x, V

i

Vi , on a

i 1

unicité si existence, puis les deux conviennent. Corollaire (*) : on suppose que (E , , ) est un espace euclidien. Soit V un sous-espace vectoriel de E . Alors V  V   E et dim (V )  dim ( E)  dim (V ) Remarque : en dimension finie, il existe un unique sous-espace vectoriel F de E tel que E  F  V et F  V : c’est V  . Proposition (théorème de la base orthonormée incomplète) : on suppose que ( E, , ) est un espace euclidien. Alors toute famille orthonormée de E peut être complétée en une base orthonormée de E .

5

Preuve : avec V  V   E Propriété : on suppose que (E , , ) est un espace euclidien. Soit V un sous-espace vectoriel de E . Alors (V  )  V .

2) Projection orthogonale. Définitions : Soit ( E, , ) un espace préhilbertien. Soit V un sous-espace vectoriel de E . On suppose que V est de dimension finie.  On appelle projection orthogonale pV sur V la projection sur V parallèlement à V.



On appelle symétrie orthogonale sV par rapport à V la symétrie par rapport à V parallèlement à V  .

Propriétés : Soit ( E, , ) un espace euclidien. Soit V un sous-espace vectoriel de E . Alors : 

sV  2 pV  Id E



pV  pV   IdE

Preuves : à faire. Proposition (*) : Soit (E , , ) un espace préhilbertien. Soit V un sous-espace vectoriel de E . On suppose que V est de dimension finie. Soit (V1 ,.., Vk ) une base orthonormée de V . Soit p

x  E . Alors pV ( x)   ( x / Vi )Vi i 1

Preuve : vu au moment de prouver V V



 E : si (V1 ,.., Vk ) une base orthonormée de V . k

Si x  E vérifie x  a  b , avec a V et b V  , on écrit a   a ,V i1

k

i

Vi   x ,V

i

Vi ,

i1

d’où le résultat. Remarques :  Si (V1 ,..,V k ) est seulement une base orthogonale de V , la formule devient p

pV (x )   (x /Vi ) i 1



Dans

le k

Vi Vi

procédé e k 1,V k

Vk 1  ek 1   i 1

Vk

2

2

d’orthogonalisation

Vk .

Si

on

note

Vk 1  ek 1  pF (ek  1) , orthogonal à V1 ,...,V k . k

6

de

Gram-Schmidt,

Fk  vect (V1 ,...,Vk ) ,

on

écrit

il

vient

Méthode (*) : Soit (E , , ) un espace préhilbertien. Soit V un sous-espace vectoriel de E . On suppose que V est de dimension finie. Soit x  E . Pour calculer pV ( x) , on peut :  



Ecrire x  a  b , avec a V et b  V  . On a alors pV ( x)  a . Si on connait une base (V1 ,..,V k ) de V , Chercher a  a1 V1  ... ak Vk  V tel que

 i 1,..., k , x  a, V i  0 . Bien en petite dimension. A privilégier si on veut seulement le projeté orthogonal d’un seul vecteur. p V Utiliser la formule pV ( x)   ( x / Vi ) i 2 à condition d’avoir une base i 1 Vi orthonormée de V (qu’on peut obtenir avec Gram-Schmidt). Intéressant si V est de petite dimension.

Exemples (*) :  Donner dans la base canonique de 3 la matrice de la projection orthogonale sur le plan d’équation P : x  y  z  0 et celle de la symétrie orthogonale par rapport à P. 1



Dans  2  X  , P ,Q   P (t )Q (t )dt . Déterminer le projeté orthogonal de X 3 sur 0

1  X  .

Proposition (*,PV) : inégalité de Bessel. Soit (E , , ) un espace préhilbertien. Soit V un sous-espace vectoriel de E . On suppose que V est de dimension finie. Soit x E .Alors pV ( x)  x Preuve : immédiat avec Pythagore. Remarque : on peut aussi prouver Cauchy-Schwarz avec la projection orthogonale : si y  0 , OK.

Sinon,

x , y  p F (x ), y ,

F  Vect ( y ) .

avec

On

a

pF ( x)   y

et

x, y  pF ( x) y , ce qui donne le résultat. :

3) Distance à un sous-espace vectoriel. Définition : Soit (E , , ) un espace préhilbertien. Soit V un sous-espace vectoriel de E . On suppose que V est de dimension finie. Soit x  E . La distance de x à V est d ( x, V )  inf ( x  y ) . y F

Remarque : a priori, cette borne inférieure existe, mais n’est pas forcément atteinte. Proposition (*,PV) : Soit (E , , ) un espace préhilbertien. Soit V un sous-espace vectoriel de E . On suppose que V est de dimension finie. Soit x  E .Alors d( x, V )  min( x  y ) (la yV

7

borne

inférieure

est

atteinte).

On

a

alors

d ( x, V )  x  pV ( x)

et

 y  F, y  pF( x)  x  y  d( x, F) .

Remarque : si E est un espace euclidien, on a alors d( x, V )  x  p V ( x)  p V  ( x) Exemples :  Déterminer la distance du vecteur (1,1,0) au plan d’équation cartésienne y  z . On trouve

 0,1, 1 normal

au plan. On a (1,1,0)  (0, a , a )  (1,1  a , a ) , avec a 

1 . 2

1 1 2 d  (0, ,  )  2 2 2 1



Dans  2 X  , P ,Q   P (t )Q (t )dt . En utilisant le projeté orthogonal de X 3 sur 0

  1  X  . Calculer inf  ( t 3  at  b) 2dt  . a ,b  0  1

8...