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UniversidadeVigo- EEI C ́alculo II y E. Curso 2013/Nombre y apellidos: DNI:no escribir en esta cajanota sobre 10Examen Final23 de mayo de 2014, 9:00hPregunta 1(1 pt.) SeaRla regi ́on de integraci ́on correspondiente a la siguiente integral doble: ∫ 30∫ 2√y1x 2dxdy.(0 pt.)(a) Dibuja la regi ́onR.(0 p...

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UniversidadeVigo - EEI

C´alculo II y E.D.

Nombre y apellidos:

Curso 2013/14 DNI: no escribir en esta caja

Examen Final 23 de mayo de 2014, 9:00h

Pregunta 1 (1.5 pt.) Sea R la regi´on de integraci´on correspondiente a la siguiente integral doble: Z

0

3Z 2

1 dxdy . x2

√ y

(0.5 pt.)

(a) Dibuja la regi´on R.

(0.5 pt.)

(b) Escribe la integral iterada que se obtiene al cambiar el orden de integraci´on.

(0.5 pt.)

(c) Calcula el valor de la integral.

Soluci´ on:

(a) Regi´on: 3

2

1

1

(b)

(c)

Z Z

√ 3

Z

0 3 0

0

Z

2

√ y

x2

1 dy dx + x2

1 dxdy = x2

Z

2

√ 3

Z 3 0

3 2

Z

3 0

1 − x

1 dy dx. x2

2

√ y

dy =

Z

0

3

  √ 1 3 1 − + √ dy = 2 3 − . y 2 2

nota sobre 10

UniversidadeVigo–EEI

C´alculo II y E.D. – Examen Final

Curso 2013/14

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Pregunta 2 (2 pt.) Considera el siguiente campo vectorial en el plano:

(1 pt.) (0.6 pt.)

(0.4 pt.)

  F(x, y) = y3 + 1 , 3xy2 + 1 .

(a) ¿Es F conservativo? En caso afirmativo calcula una funci´on potencial para F. (b) Plantea y eval´ ua la integral de l´ınea de F a lo largo del segmento que va del punto (0, 0) al punto (2, 0) usando una parametrizaci´on del mismo. (c) ¿Cu´anto vale la integral de l´ınea de F a lo largo de la semicircunferencia (x − 1)2 + y2 = 1 con y ≥ 0 desde (0, 0) a (2, 0)?

Soluci´ on:

(a)

∂(3xy2 + 1) = 3y2 , ∂x ∂(y3 + 1) = 3y2 . ∂y Las dos parciales coinciden, por tanto es conservativo. Una funci´on potencial es f (x, y) = xy3 + x + y.

(b) r(t) = ti = t(1, 0), 0 ≤ t ≤ 2;





F r(t) ·dr = F(t, 0)·idt = dt;

Z

C

F·dr =

Z

2

dt = 2.

0

(c) Puesto que el campo es conservativo, la integral de l´ınea es independiente del camino y por tanto tambi´en vale 2. Otra forma de calcularla es usando la funci´on potencial y el teorema fundamental de las integrales de l´ınea, obteni´endose el mismo resultado: f (2, 0) − f (0, 0) = 2 − 0 = 2

C´alculo II y E.D. – Examen Final

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Pregunta 3 (1.5 pt.) Calcula la integral triple ZZZ

E

2

2

 3  cos (x2 + y2 + z 2 ) 2 dV,

donde E es la esfera unitaria x + y + z 2 ≤ 1. Soluci´ on:

Como estamos integrando en el interior de una esfera centrada en el origen lo m´as apropiado es usar coordenadas esf´ericas, especialmente teniendo en cuenta que en coordenadas esf´ericas  3  x2 + y2 + z 2 = ρ2 y por tanto el integrando es cos (x2 + y2 + z 2 ) 2 = cos(ρ3 ). Por tanto: ZZZ

E



2

2

2

cos (x + y + z )

3 2



Z

2π

Z

π

Z

1

   3 dV = ρ cos ρ dρ sen(φ) dφ dθ 0  Z 1 Z 2π 0  Z0 π   3 2 sen(φ) dφ = dθ ρ cos ρ dρ 0 0 0  Z 1  1 = 2π × 2 × cos u du 3 0 4π sen(1). = 3 2

C´alculo II y E.D. – Examen Final

UniversidadeVigo–EEI

Curso 2013/14

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Pregunta 4 (2 pt.) Sea S = ∂E la superficie frontera del s´olido E limitado inferiormente por el paraboloide z = 1 + x2 + y2 y superiormente por el plano z = 5. Calcula el flujo del campo F(x, y, z) = (xy, y2 , z − 5) a trav´es de la superficie S orientada hacia afuera del s´olido. Soluci´ on: Primera forma: El flujo pedido es la suma del flujo a trav´es del paraboloide orientado por el vector normal que apunta hacia abajo y el flujo hacia arriba a trav´es del c´ırculo, en el plano z = 5, que hace de “tapa”. Como en los puntos de dicho plano la componente del campo perpendicular al mismo (que es la componente z del campo) se anula, el campo es tangente a dicha “tapa” y por tanto el flujo a trav´es de la tapa es cero. As´ı pues, el flujo pedido se puede calcular usando el vector normal al paraboloide:   ∂(1 + x2 + y2 ) ∂(1 + x2 + y2 ) ,− , 1 = (−2x, −2y, 1) N= − ∂x ∂y El correspondiente elemento vectorial de superficie “hacia abajo” es: dS =

Flujo =

ZZ

N dxdy = (2x, 2y, −1)dxdy N·(−k) ZZ

(2x2 y + 2y3 − x2 − y2 + 4) dxdy  Z 2π Z 2   4 − r 2 + 2r 3 sen(θ) r dr dθ =

F·dS =

0

0

= 8π

Segunda forma: Por el teorema de la divergencia, el flujo es igual a la integral triple de la divergencia del campo: ∂(xy) ∂y2 ∂(z − 5) + + = y + 2y + 1 = 3y + 1, div F = ∂y ∂x ∂z en el s´olido E. Usando coordenadas cil´ındricas: ZZZ Z 5 Z Flujo = div F dV = √ E

1

=

Z

r≤ z−1 Z 2π Z √z−1

5

0

1

=

Z

1

=

Z

1

=

Z

1

5

(3r sen θ + 1)r dr dθ

Z

2π

Z 02π 5 0

5



(3r sen θ + 1)r dr dθ

0

√z−1  3 dθ r sen θ + 12 r 2 0 

dz !



dz

dz

√  (z − 1) z − 1 sen θ + 12 (z − 1) dθ

 0 + π(z − 1) dz = 8π



dz

C´alculo II y E.D. – Examen Final

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Pregunta 5 (1.5 pt.) Resuelve el siguiente problema de valor inicial: y′ + y =

2x , y

y(0) = 1.

Soluci´ on: Es una ecuaci´on de Bernoulli de orden n = −1. Se puede resolver de dos formas: Primera forma: Siguiendo el mismo m´etodo que para las ecuaciones lineales, suponemos y = uv donde v satisface v ′ + p(x)v = 0, o, dado que p(x) = 1, v ′ + v = 0 de donde v = e−x . Ahora hallamos la ecuaci´on para u, que resulta: Z x 2x ′ −2 2x ′ 2x 2 2 ′ 4te2t dt = e2x (2x − 1) + 1 ; u u = 2x v = 2xe ; 2u u = 4xe ; u − u0 = u v +0 = uv 0 La soluci´on general es, pues: y = ±e−x

q

u20 + 1 + (2x − 1)e2x = ±

y la soluci´on buscada tiene u0 = 1 o c1 = 2, luego es: y=±

p

p

c1 e−2x + 2x − 1

2e−2x + 2x − 1

Segunda forma: Hacemos el cambio de variable z = y1−n = y2 para transformarla en una ecuaci´on lineal para z. Se obtiene la ecuaci´on: z ′ + 2z = 4x cuya soluci´on general es z = c1 e−2x + 2x − 1 Por tanto, la soluci´on general de la ecuaci´on dada es: p y = ± c1 e−2x + 2x − 1

Usando la condici´on inicial, hallamos que la constante es c1 = 2 y la soluci´on del problema de valor inicial: p y = ± 2e−2x + 2x − 1.

C´alculo II y E.D. – Examen Final

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Pregunta 6 (1.5 pt.) Halla la soluci´on general de la siguiente ecuaci´ on diferencial equidimensional o de Euler-Cauchy: x2 y′′ + xy′ + 2y = 3x + 1

(x > 0).

Soluci´ on: Hacemos el cambio de variable x = ez de forma que dy dx dy = = y′ x. dz dx dz

dx dz

= ez = x y por tanto

 d ′  d  ′  dx  ′′ d2 y = yx = yx = y x + y′ x = x2 y′′ + xy′ 2 dz dz dx dz

Por tanto nuestra ecuaci´ on queda:

d2 y + 2y = 3ez + 1 dz2 que es una ecuaci´on lineal de segundo orden f´acil de resolver por coeficientes indeterminados: √ La homog´enea asociada es la ecuaci´on de ondas de frecuencia 2 en la variable z, luego su soluci´on general es √  √  yh = c1 sen 2z + c2 cos 2z .

Para buscar una soluci´on particular por coeficientes indeterminados, vemos que el t´ermino independiente es suma de funciones de dos tipos: exponencial y polinomio de grado cero. As´ı pues, 2 buscamos primero una soluci´on particular de ddzy2 +2y = 3ez que sea una exponencial de la forma 2 y = Aez , la cual sustituida en la ecuaci´on ddzy2 + 2y = 3ez nos da Aez + 2Aez = 3ez , de donde 2

d y A = 1. Ahora buscamos una soluci´on particular de dz 2 + 2y = 1 que sea un polinomio de grado cero, es decir una constante. Evidentemente tiene que ser y = 12 , por tanto la soluci´on particular de la ecuaci´on dada es la suma de estas dos:

1 yp = ez + . 2 En consecuencia, la soluci´on general es yh + yp , es decir c1 sen

√  √  1 2z + c2 cos 2z + ez + , 2

lo cual, deshaciendo el cambio de variable, ez = x, z = ln x, da: y = c1 sen

√  √  1 2 ln x + c2 cos 2 ln x + x + 2...