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Análisis Matemático Mónica Clapp Instituto de Matemáticas Universidad Nacional Autónoma de México Enero 2013

2

Índice general

I

Continuidad, compacidad y completitud

1. Motivación

1 3

2. Espacios métricos

7

2.1.

De…nición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.

Espacios normados

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.3.

Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.4.

El espacio de funciones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.5.

Subespacios métricos e isometrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.6.

Ejercicios

24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Continuidad

8

31

3.1.

De…niciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.2.

Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados

37

. . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.

Convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.4.

Ejercicios

46

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Compacidad

55

4.1.

Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

4.2.

El teorema de Heine-Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

4.3.

Existencia de máximos y mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

4.4.

Semicontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.5.

Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

4.6.

Ejercicios

70

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Completitud

75

5.1.

Espacios métricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

5.2.

Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

5.3.

Espacios completos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

5.4.

Series en espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

3

4

ÍNDICE GENERAL

5.5.

Ejercicios

5.6.

Proyecto: Completación de un espacio métrico . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

5.6.1.

Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

5.6.2.

Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

5.6.3.

Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

6. El teorema de punto …jo de Banach y aplicaciones

99

6.1.

El teorema de punto …jo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.

Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

6.3.

Ecuaciones integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

6.3.1.

La ecuación integral de Fredholm del segundo tipo . . . . . . . .

104

6.3.2.

La ecuación integral de Volterra del segundo tipo

99

. . . . . . . .

107

6.4.

El problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

6.5.

Ejercicios

116

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Compacidad en espacios de funciones

121

7.1.

Conjuntos totalmente acotados

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

7.2.

El teorema de Arzelà-Ascoli

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

7.3.

El problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

7.4.

Existencia de trayectorias de longitud mínima

135

7.5.

Ejercicios

7.6.

Proyecto: Un espacio completo sin trayectorias de longitud mínima

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140 144

7.6.1.

Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

7.6.2.

Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

8. Teoremas de aproximación

II

90

147

8.1.

El teorema de aproximación de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . .

147

8.2.

El teorema de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

154

8.3.

Ejercicios

158

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Diferenciabilidad

161

9. Diferenciabilidad

163

9.1.

El espacio de funciones lineales y continuas . . . . . . . . . . . . . . . .

164

9.2.

Diferenciabilidad

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

166

9.3.

El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171

9.4.

Un criterio de diferenciabilidad

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176

9.5.

Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

180

9.6.

Derivadas de orden superior

183

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ÍNDICE GENERAL

5

9.7.

La fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

188

9.8.

Ejercicios

191

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.El teorema de la función implícita

199

10.1. El teorema de la función implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Extremos locales de una función diferenciable sobre una variedad

201

. . .

205

10.3. Homeomor…smos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

208

10.4. Demostración del teorema de la función implícita

211

10.5. Ejercicios

III

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La integral de Lebesgue

216

221

11.La integral de una función continua con soporte compacto

223

11.1. De…nición y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

224

11.2. Unicidad de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

228

11.3. Invariancia bajo isometrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

235

11.4. El teorema de cambio de variable

240

11.5. Ejercicios

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.Funciones Lebesgue-integrables

246

253

12.1. La integral de una función semicontinua

. . . . . . . . . . . . . . . . .

254

12.2. Propiedades de la integral de funciones semicontinuas . . . . . . . . . .

261

12.3. El volumen de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

267

12.4. Funciones Lebesgue-integrables

272

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.5. Propiedades básicas de la integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . .

278

12.6. Conjuntos integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

282

12.7. La integral sobre un subconjunto de

284

12.8. Ejercicios

Rn .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.Teoremas fundamentales de la teoría de integración

286

291

13.1. Conjuntos nulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

292

13.2. El teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

298

13.3. Teoremas de convergencia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

301

13.4. La integral de funciones radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

310

13.5. El teorema de cambio de variable 13.6. Ejercicios

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

314 319

6

ÍNDICE GENERAL

14.Los espacios de Lebesgue

327

14.1. Conjuntos y funciones medibles 14.2. Los espacios

Lp ()

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

328

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

337

14.3. Aproximación mediante funciones suaves . . . . . . . . . . . . . . . . .

347

14.4. Un criterio de compacidad en

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

354

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

358

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

359

14.5. Un criterio de nulidad 14.6. Ejercicios

Lp () .

15.Espacios de Hilbert

367

15.1. Conceptos y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

368

15.2. Complemento ortogonal

372

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.3. El teorema de representación de Fréchet-Riesz . . . . . . . . . . . . . .

376

15.4. Bases de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

379

15.5. Convergencia débil 15.6. Ejercicios

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

380

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

386

16.Espacios de Sobolev

16.1. Derivadas débiles

393

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

394

16.2. Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

399

16.3. Problemas elípticos con condición sobre la frontera

. . . . . . . . . . .

410

16.3.1. Un problema de Dirichlet homogéneo . . . . . . . . . . . . . . .

410

16.3.2. Un problema de Dirichlet no homogéneo

414

16.4. Ejercicios

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17.Encajes de Sobolev

17.1. Desigualdades de Sobolev

415 419

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

420

17.2. El teorema de Rellich-Kondrashov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

430

17.3. Valores propios del laplaciano 17.4. Ejercicios

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

434

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

440

Parte I Continuidad, compacidad y completitud

1

Capítulo 1 Motivación

El siguiente problema guiará el desarrollo de la primera parte de este texto.

Dados un subconjunto X de Rn y dos puntos a q en X de longitud mínima?

Problema 1.1

trayectoria de

p

Precisemos esta pregunta. Una 

!R

: [0; 1]

n tal que 

Su

(0) = p;



longitud

se de…ne como

L( ) :=

sup

donde

P m

k

(

 tk 1

k  k := p(  x

y

k =1

x1

y1

(1) = q



)

trayectoria

)2 +

 t

k

 + (  xn

p

a

()

y

( ) : 0 = t0

 tk

de

yn

q

2

en

X

X

    t1

)2

p; q

2

X;

¿existe una

es una función continua

8 2 [0 1] t

;

tm

= 1;

:

m

2N

denota la distancia de

x

 ;

a

(1.1)

y:

q

p Observa que

L( )  kp  q k :

Una trayectoria de

p

a

q

a la de todas las demás. Por cumple que p

a

q

en

Rn

de longitud mínima si su longitud es menor o igual ejemplo, si X = Rn ; la trayectoria  (t) = (1 t)p + tq

en

X

es



L( ) = kp  q k : De modo que  es una trayectoria de longitud mínima de

:

3

4

1. MOTIVACIÓN

q

p

Sin embargo, si X

6= Rn

no siempre existe una trayectoria de longitud mínima, como

lo muestra el siguiente ejemplo. Recuerda que, si  es continuamente diferenciable, 1

entonces la longitud de  está dada por la integral

Z

L( ) =

1 0

k 0(t)k dt:

Ejemplo 1.2 No existe una trayectoria de longitud mínima de p 2 en X = (x; y ) : (x; y) = (21; 0) :

f

2R

6

g

( ) = (t; k1sent);

Demostración:

Considera las trayectorias  k t

satisface

L( k )

Z

k k k =

Z 1r

0

=

Z 1 0

<

0

Por tanto,

1

lmk!1 L( k ) = 1:

1+

 k

1+ 0

R2

de longitud

1

k



jcos tj

dt

cos2 t

= 1+

2 k

k

a q

= (1; 0)

2 N: Su longitud

dt

:

De modo que, si existiera una trayectoria de longitud

mínima de p a q en X , ésta debería tener longitud q en

  2

= (0; 0)

pasa por el punto

(21; 0);

1:

Pero cualquier trayectoria de p a

que no pertenece a X:

Este ejemplo muestra que el Problema 1.1 no es un problema trivial. Para intentar resolverlo, empezaremos expresándolo como un problema de minimización. 1

Consulta por ejemplo el libro de J.E. Marsden y A.J. Tromba, Cálculo Vectorial, México: Addison-

Wesley, Pearson Educación, 1998.

5

Denotemos por

T

p;q

(X ) al conjunto de todas las trayectorias de p a q

en X: Podemos

entonces considerar a la longitud como una función de…nida en dicho conjunto, es decir,

L:T

p;q

T

Diremos que la función p;q

(X )

(X )

! R [ f1g

L( ) := longitud de :

;

L alcanza su mínimo en T

p;q

L( 0 )  L( )

tal que

(X )

8 2T 

p;q

si existe una trayectoria  0

2

(X ):

En estos términos el Problema 1.1 se expresa como sigue.

Problema 1.3

¿Alcanza

L su mínimo en T

p;q

(X )?

En los cursos de cálculo diferencial e integral tratamos un problema parecido y vimos 2

el siguiente resultado .

Teorema 1.4

no vacío de

R

n

! R es una función continua y

Si f : R ; entonces n

f

alcanza su mínimo en ( )

f x0

Ahora bien, como

T

p;q



( )

f x

K;

8 2 x

K es un subconjunto compacto es decir, existe x0 K tal que

2

K:

(X ) es un conjunto de funciones y no de puntos en R

n

; no tiene

sentido aplicar este teorema al problema que nos interesa. Pero sí podemos inspirarnos 3

en él. El gran matemático francés Henri Poincaré a…rmó lo siguiente :

"La matemática es el arte de nombrar de la misma manera cosas distintas". Entonces, ¿será posible pensar a las trayectorias como si fuesen puntos? ¿El Teorema

L:T

! R [ f1g

T

1.4 tendrá algún sentido para la función longitud? ¿Qué querría decir que la función p;q

(X )

es continua o que un subconjunto de

p;q

(X )

es compacto?

El análisis matemático da respuesta a este tipo de preguntas. Profundiza en los

conceptos y los resultados que aprendimos en cálculo, captura su esencia, y los extiende

T

a otros espacios distintos del euclidiano. Muy especialmente, a espacios de funciones, como el conjunto de trayectorias subconjunto de

R

n

p;q

(X ): Y a funciones como L, cuyo dominio no es un

sino un conjunto de funciones.

Los espacios de funciones aparecen de manera natural en muchos problemas de las matemáticas y de sus aplicaciones. Por ejemplo, las soluciones de una ecuación diferencial son funciones....