22014 1415-3-7-Espacios-Metricos-Completos PDF

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3.7. Espacios Métricos Completos La convergencia de sucesiones fue discutida en la sección 3.2. En esta sección, esa discusión continúa en el contexto de una propiedad de los espacios métricos que asegura la convergencia de ciertas sucesiones. La propiedad de interés es la completitud. Hablando intuitivamente, esta propiedad es característica de aquellos espacios en los que toda sucesión convergente converge a un punto en el espacio. Por ejemplo, el intervalo unitario abierto (0,1) no es completa debido a que la secuencia converge al punto que no está en (0,1). Esta idea es hecha precisa en la definición que sigue. Definición: Sea (X,d) un espacio métrico. Una sucesión de puntos de X es una sucesión de Cauchy siempre y cuando para cada número positivo existe un entero positivo N tal que si m y n son enteros mayores o iguales a N, entonces Una comparación de definiciones demostrará que toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy. Definición: Un espacio métrico (X,d) es completa si cada secuencia de Cauchy en X converge a un punto en X Ejemplo 3.7.1. (a) La completitud de la recta real es de hecho del análisis elemental. Una prueba también puede ser hecha usando El teorema de intervalos anidados de Cauchy (b) La completitud de se sigue de la de . Para ver esto, considera una sucesión de Cauchy Para la sucesión de las coordenadas iésimas de los puntos xk es una sucesión de Cauchy en y por tanto converge al número real zi. Se sigue fácilmente que converge a (c) Cada intervalo cerrada [a,b] es completo. Para probar esto, considere una secuencia de Cauchy en [a,b]. Dado que es completa, esta secuencia converge al número real x en . Dado que [a,b] es cerrado, se sigue fácilmente que x pertenece a [a,b] (d) Los intervalos abiertos y los intervalos semi-abiertos semi-cerrados no son completos. Por ejemplo, es una sucesión de Cauchy en (0,1) que no converge a un punto de (0,1). Ejemplos análogos muestran la incompletitud de (a,b), (a,b], y [a,b) para todos los números reales a...