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Instituto Politécnico Nacional2° EXAMEN PARCIALALUMNA: YAÑEZ ISIDRO DANNAASIGNATURA: ELECTRICIDAD Y MAGNETISMOPROFESOR: MIGUEL ANGEL ARVIZU COYOTZI Dos esferas conductoras idénticas, que tienen cargas de signo opuesto, se atraen entre sí con una fuerza de 0 N cuando están separadas por 50 cm. Las es...

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Instituto Politécnico Nacional

2° EXAMEN PARCIAL ALUMNA: YAÑEZ ISIDRO DANNA ASIGNATURA: ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO PROFESOR: MIGUEL ANGEL ARVIZU COYOTZI

1. Dos esferas conductoras idénticas, que tienen cargas de signo opuesto, se atraen entre sí con una fuerza de 0.108 N cuando están separadas por 50.0 cm. Las esferas se conectan súbitamente con un alambre conductor delgado, que luego se retira, y después las esferas se repelen entre sí con una fuerza de 0.036 N. ¿Cuáles eran las cargas iniciales de las esferas? F=0.108 N

Q1

Q2

50cm=0.50m

Cargas de signo opuesto=atracción

𝐹=𝐾

𝑞1 𝑞2 𝑟2

= 0.108 N

…(a)

Para cargas de signo opuesto: QT=q1 −q2

𝑞 = 𝑄𝑇 = 2 (𝑞1 − 𝑞2 ) 1

2

1

𝑞1 = 2𝑞 + 𝑞2 … (b)

Sustituyendo a 𝑞1 en (a)

𝐹=𝐾

(2𝑞+𝑞2 )𝑞2 𝑟2

𝐹2 = 𝐾

𝑞1 𝑞2 = 0.036 𝑁 𝑟2 𝑞2

𝐹2 = 𝐾 𝑟2

𝑞2

𝐹𝑟 2 = 𝐾

𝑞=√

Q1

𝐹𝑟 2 𝐾

𝑞 = 1 × 10−6

Q2

F=0.036N 50cm=0.50m

Cargas de igual signo= repulsión

…(c)

Despejando a 𝑞2 de (c) 𝐹𝑟 2 = 𝐾 (2𝑞 + 𝑞2 )𝑞2

𝑘𝑞22 + 2𝐾𝑞𝑞2 -F𝑟 2 =0 → Ecuación cuadrática 𝑥 = 𝑞2 =

−2𝐾𝑞 ± √(2𝑘𝑞)2 − 4(𝑘)(−F𝑟 2 ) 2𝐾

𝑞2 =

−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎

𝑁𝑚 2 𝑁𝑚 2 𝑁𝑚2 )(1 × 10−6 𝐶) ± √(2(9 × 109 2 )(1 × 10−6 𝐶))2 + 4(9 × 109 2 )((0.50𝑚)2 (0,108𝑁) 2 𝐶 𝐶 𝐶 𝑁𝑚 2 9 ) 2(9 × 10 𝐶2 −6 = 1 × 10 𝐶

−2(9 × 109

Sustituyendo a 𝑞2 𝑦 q en (b)

𝑞1 = 2(1 × 10−6 𝐶) + 1 × 10−6 𝐶=3 × 10−6 Respuesta:

𝑞1 = 3 × 10−6 C 𝑞2 = 1 × 10−6 𝐶

2. Cuatro cargas están unidas mediante hilos de seda de longitud l de la manera expuesta en la figura. Determínese el ángulo β entre los hilos.

𝑙 Q 𝑙

𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1(𝑥/𝑦)

q 𝜃 𝛽

𝑙 q

𝑙 Q 𝑙

𝜃 = 𝑡𝑎𝑛

−1

𝐿 2 𝐿 2

𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1(1)

𝜃 = 45°

𝛽 = 2(𝜃)

Respuesta: 𝛽 = 90°

2𝐿

( ) =𝑡𝑎𝑛−1 ( ) 2𝐿

3. Una barra aislante de longitud 𝐿 tiene carga −𝑞 distribuida uniformemente a lo largo de su longitud, como se muestra en la figura.

a) Calcule el campo eléctrico en el punto 𝑃 a una distancia 𝑎 del extremo de la barra. 𝑑𝑥

−𝑞

− − − −

𝐿

−

𝑥

󰇍 𝐸

−

𝑦 𝑃

𝑥

𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑥

𝑘𝑑𝑞 󰇍 = ∫ 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑑𝐸 = ∫ 2 …(a) 𝐸

𝜆=

𝑄 𝐿

𝑟

Encontrar la magnitud del campo eléctrico en P debido a un segmento de la barra que tenga una carga dq

𝑑𝐸 = 𝑘

𝑑𝑞 𝑘𝜆𝑑𝑥 = 2 𝑥2 𝑥

Sustituyendo a 𝑑𝑞 en (a) e integrando: 𝐸󰇍 = ∫

𝑎

𝐸󰇍 = 𝑘𝜆 ∫

𝐸󰇍 =

𝐸󰇍 =

𝑘𝜆𝑑𝑥 𝑥2

𝐿+𝑎

𝑑𝑥 𝑥2

𝐿+𝑎

𝑎

𝜆 1 𝐿+𝑎 ] [− | 𝑥𝑎 4𝜋𝜀𝜊

1 𝜆 1 + ] [− 4𝜋𝜀𝜊 (𝐿 + 𝑎) 𝑎

∫

𝑑𝑥 1 =− 2 𝑥 𝑥

𝐸󰇍

=

𝜆

] 𝐿 [𝑎(𝐿 +𝑄𝑎)

4𝜋𝜀𝜊 a 𝜆 = Sustituyendo Respuesta:

𝐸󰇍 =

𝐿

𝑘𝑄 𝑎(𝐿 + 𝑎)

b) Si 𝑃 estuviese muy lejos de la barra en comparación con 𝐿, la barra podría considerarse como una carga puntual. Demuestre que la respuesta del inciso anterior se reduce al campo eléctrico de una carga puntual para 𝑎 ≫ 𝐿 Si P está lejos de la barra ,en tal caso se puede ignorar en el denominador de la ecuación obtenida en el inciso a) de tal modo que : 𝑘𝑄 𝐸󰇍 = 𝑎2 .

Siendo esta la forma para una carga puntual. Por lo tanto, a valores grandes de es una carga puntual de magnitud Q .

𝑎

𝐿

la distribución de carga

4. Una esfera pequeña cuya masa es de 0.12 𝑚𝑔 contiene una carga de 19.7 𝑛𝐶 . Se encuentra sujeta por un extremo de un hilo de seda que puede considerarse imponderable. El otro extremo del hilo está unido a una lámina muy grande no conductora y uniformemente cargada como en la figura. El hilo hace un ángulo 𝜃 = 27.4° con la lámina. Calcule la densidad de carga uniforme 𝜎 de la lámina. Datos:

𝑚 = 0.12 𝑚𝑔 𝑞 = 19.7 𝑛𝐶 𝑔 = 9.8

𝑚 𝑠2

𝜀𝜊 = 8.85 × 10−12

𝜃 = 27.4°

Fuerza eléctrica Fuerza gravitacional σ 𝐸󰇍 = 2εο

(c)

Como 𝐹𝑒 =𝐹𝑔 entonces; Sustituyendo (a) y (b)

𝑞𝐸󰇍 = 𝑚𝑔𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑚𝑔𝑡𝑎𝑛𝜃 𝐸󰇍 = 𝑞

(d)

Sustituyendo (c) en (d):

𝜎 𝑚𝑔𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑞 2𝜀𝜊

Despejando a densidad 𝜎:

𝜎=

𝑚𝑔𝑡𝑎𝑛𝜃2𝜀𝜊 𝑞

𝐹𝑒 = 𝑞𝐸󰇍

𝐹𝑔 = 𝑚𝑔𝑡𝑎𝑛𝜃

(a) (b)

1.2 × 10−7 𝑘𝑔

1.97 × 10−8 𝐶

𝐶2 𝑁𝑚2

𝜎=

𝑚)tan (27.4°) −7 𝐶2 10−8 𝑘𝑔)(9.8𝑠 2 1.97 ××10 𝐶 2(8.85 × 10−12 𝑁𝑚2 )(1.2

Respuesta:

𝜎 = 5.47 × 10−10 5. La figura muestra una carga puntual 𝑞 = 126 𝑛𝐶 en el centro de la cavidad esf´erica de 3.66 𝑐𝑚 de radio en un trozo de metal. Use la ley de Gauss para hallar el campo eléctrico: a) en el punto 𝑃1, en un punto medio entre el centro y la superficie Datos:

𝑞 = 126 𝑛𝐶 𝑅 = 3.66𝑐𝑚

𝑟 = 𝐸󰇍 =

1 𝑞 4𝜋𝜀𝜊 𝑟 2

1 1.26 × 10−7𝐶 𝐸󰇍 = 4𝜋𝜀𝜊 3.66 × 10−2𝑚 2 ) ( 2

𝐸󰇍 = (9 × 109

𝑁𝑚2 1.26 × 10−7𝐶 ) 𝐶 2 334.89 × 10−6 𝑚2

Respuesta:

𝐸󰇍 = 3.386 186 50 × 106

𝑁 𝐶

𝑅 2

1.26 × 10−7 𝐶 3.66 × 10−2𝑚

b)en el punto 𝑃2 a 5 𝑐𝑚 del centro de la cavidad. Datos:

𝑞 = 126 𝑛𝐶

1.26 × 10−7𝐶

𝑟 = 5𝑐𝑚

𝐸󰇍 = 𝐸󰇍 =

5 × 10−2 𝑚

1 𝑞 4𝜋𝜀𝜊 𝑟 2

1 1.26 × 10−7 𝐶 4𝜋𝜀𝜊 (5 × 10−2𝑚)2

𝐸󰇍 = (9 × 109

Respuesta:

𝑁𝑚2 1.26 × 10−7𝐶 ) 𝐶2 2.5 × 10−3𝑚2

𝐸󰇍 = 4.536 × 105

𝑁 𝐶

8. Un electrón de 115 𝑘𝑒𝑉 se dispara directamente hacia una lámina plástica grande y plana que tiene una densidad superficial de carga de −2.08 µ𝐶/𝑚2 . ¿Desde qué distancia debe disparase el electrón para que apenas falle en chocar con la lámina? (Haga caso omiso de efectos relativistas). Datos: 𝜎 = −2.08

𝜇𝐶 𝑚2

𝑊 = 115𝑘𝑒𝑉

𝜀𝑜 = 8.85 × 10−12 𝑞 = 1.6 × 10−19𝐶

− 2.08 × 10−6 𝐶2

𝑚2 𝑁

𝐶 𝑚2

1.8425 × 10−14𝐽

𝐸󰇍

𝜎 = 2𝜀𝑜 󰇍 𝑞𝑑 𝑊=𝐸

(𝐚)

𝑊

𝑑 = 𝐸󰇍𝑞

(b)

Sustituyendo (a) en (b)

𝑑=

𝑑=

𝑑=

𝑊

σ q 2εo

2εo W σq

2(8.85×10−12 ) (1.8425×10−14 ) (−2.08×10−6 )(1.6×10−19 )

Respuesta:

𝑑 = 97.99 × 10−2m

9. Dos placas metálicas paralelas y grandes están separadas por 1.48 𝑐𝑚 y contienen cargas iguales en magnitud, pero opuestas en signo sobre sus superficies enfrentadas. La placa negativa hace tierra y se considera que su potencial es cero. Si el potencial en medio de las dos placas es de +5.52 𝑉 , ¿cuál es el campo eléctrico en esta región?

-

𝑑

+ + + + + + + + + + + +

𝐸󰇍

Datos:

𝑑 = 1.48 𝑐𝑚

𝑉−𝑞 = 0

1.48 × 10−2 𝑚

𝑉𝑒𝑛 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎𝑠 = +5.52 𝑉

𝐸󰇍 =

∆𝑉 𝑑

∆V → Diferencial de potencial d → distancia entre las placas

(a)

𝑉+𝑞 = 2(5.52𝑉) =11.04 V ∆𝑉 = 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 (b)

Como las líneas de campo eléctrico siempre apuntan en la dirección de potencial decreciente , entonces:

𝑉𝑓 = −𝑞

y 𝑉𝑖 =+q

Sustituyendo 𝑉𝑓 y 𝑉𝑖 en (b) ∆𝑉 =0−11.04 = −11.04 V

Sustituyendo a diferencial de potencial ∆V y a la distancia entrre las placas d en (𝐚)

𝐸󰇍 = −

(−11.04 V)

1.48 × 10−2 𝑚

Respuesta:

𝐸󰇍 = 745.945

𝑉 𝑚

= 745.945

𝑉 𝑚...