3. Hidrocinematica 2020 PDF

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CAPITULO III HIDROCINEMATICAHIDROCINEMATICAEs la parte de la Hidráulica que estudia el movimiento de los fluidos desde un puntode vista descriptivo, sin considerar las causas que lo originan, mantienen y modifican. Dicho de otro modo, se ocupa del estudio de las partículas que integran el campo de f...

Description

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HIDRAÚLICA GENERAL y APLICADA

CAPITULO III

HIDROCINEMA HIDROCINEMATICA TICA

HIDROCINEM HIDROCINEMATICA ATICA

Es la parte de la Hidráulica que estudia el movimiento de los fluidos desde un punto de vista descriptivo, sin considerar las causas que lo originan, mantienen y modifican. Dicho de otro modo, se ocupa del estudio de las partículas que integran el campo de flujo de un fluido, sin considerar la masa ni las fuerzas que actúan sobre el fluido. Para el estudio del movimiento de las partículas se requiere del conocimiento de algunas magnitudes cinemáticas de las mismas como la velocidad y aceleración.

Para empezar con el estudio analítico del movimiento del agua es necesario que definamos:

Campo o Región d de e Flujo:

Cualquier región en el espacio donde hay un fluido en movimiento, con la única condición de que la región o subregión de flujo debe quedar íntegramente ocupada por el fluido. En cada punto del campo de flujo es posible determinar o especificar una serie de magnitudes físicas, ya sea escalares, vectoriales o tensoriales. Como ejemplo de campos se pueden mencionar:

• Campos escalares = la presión, densidad y temperatura;

• Campos vectoriales = la velocidad, la aceleración y la rotación;

• Campos tensoriales = el esfuerzo, deformación unitaria y momento de inercia.

Las magnitudes físicas de los campos escalares y vectoriales de un campo de flujo son funciones de punto y de tiempo, ya que su magnitud puede variar no sólo de un punto a otro, sino también (en un punto fijo) de un instante a otro.

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

La Cinemática de Fluidos tiene una correspondencia biunívoca con el Primer Principio de la Termodinámica aplicado a sistemas abiertos. En un fluido en movimiento, cada partícula posee una velocidad V que depende de la posición (x,y,z) de dicha partícula y del tiempo t, es decir:

V = f(x, y, z, t)

y sus proyecciones sobre los tres ejes son función también de dichas variables, viniendo representadas por:

u = u (x, y, z, t) ; v = v (x, y, z, t) ; w = w (x, y, z, t)

Apunte Hidráulica General y Aplicada – Recopilación Ing.: Esteban Díaz

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Se llama movimiento permanente o estacionario a aquel en que sus características, como la presión, velocidad, etc, son independientes del tiempo, es decir, son sólo función de la posición (x,y,z)

p = f1(x,y,z)

V = f2(x,y,z) ⇒

u = u ( x, y, z) ; v = v (x, y, z) ; w = w(x, y, z)

La trayectoria es el lugar geométrico de las posiciones ocupadas por una misma partícula, cuando varía el tiempo t. Si en un instante dado se asigna a cada punto un vector representando, la velocidad en dicho punto, se obtiene un conjunto de vectores llamado campo de velocidades.

VELOCIDAD Y ACELERACI ACELERACIÓN ÓN

Campo de Velocidades

El análisis del movimiento de una partícula de fluido que recorre una curva se puede hacer de dos maneras diferentes; a) por el conocimiento del vector posición r de la partícula, como una función vectorial del tiempo t. 𝑟 = 𝑟 (𝑡)

𝑟 = 𝑋 𝚤 + 𝑌 𝚥  + 𝑍 𝑘 X = x(t) Y = y(t) Z = z(t) b) por el conocimiento de la curva que recorre la partícula y la función camino recorrido. En este caso la posición de la partícula se determina por la longitud del camino recorrido, siguiendo la curva (a partir de un punto origen), como una función escalar del tiempo.

El vector velocidad de una partícula fluida se define como la rapidez temporal del cambio en su posición. Si se considera el seguimiento del vector de posición sobre una curva determinada, entonces la velocidad queda definida por: 𝑣=





donde dr representa el vector diferencial de arco sobre la curva, que recorre la partícula en el tiempo dt.

Apunte Hidráulica General y Aplicada – Recopilación Ing.: Esteban Díaz

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La velocidad es entonces un campo vectorial dentro de un campo de flujo, y al desplazarse la partícula según la curva s, es un vector tangente en cada punto de la misma que, en general, depende de la posición de la partícula y del tiempo:

v = v(r,t)

La velocidad, en términos de sus componentes según los tres ejes coordenados:

v = vxi + vyj + vzk

Entonces dichas componentes de la velocidad son también funciones de la posición de la partícula y del tiempo: 𝑣 = 𝑣 (𝑥, 𝑡) =

𝑣 = 𝑣 (𝑦, 𝑡) = 𝑣 = 𝑣 (𝑧, 𝑡) =

 





 

Puesto que la magnitud del vector dr es 

|𝑑𝑟| = 󰇻 󰇻 𝑑𝑡 = 𝑑𝑠  

󰇻  󰇻 =





donde ds es el elemento diferencial de arco sobre la trayectoria, resulta que la magnitud de la velocidad es 𝒗 =

𝒅𝒔 𝒅𝒕

𝟐

𝟐

𝟐

𝒅𝒚 𝒅𝒛 𝒅𝒙 = 󰇡𝒅𝒕 󰇢 + 󰇡 𝒅𝒕 󰇢 + 󰇡𝒅𝒕󰇢

Campo de Aceleraciones

El campo vectorial de aceleraciones es derivado del campo de velocidades, ya que el vector aceleración de una partícula en un punto se define como la variación temporal de la velocidad en ese punto, esto es; 𝑎 =

 

Donde el vector velocidad depende del tiempo y de las tres coordenadas espaciales, su derivada se escribe: 𝑑𝑣 =









𝑑𝑥 +  𝑑𝑦 +  𝑑𝑧 +

 

Por lo tanto, la aceleración será:

𝒂 =

𝒅𝒗 𝒅𝒕

𝑑𝑡

=

𝝏𝒗 𝒅𝒙 𝝏𝒙 𝒅𝒕

+ 𝝏𝒚 𝒅𝒕 +

𝝏𝒗 𝒅𝒛



+ 𝑣





)+( )

𝝏𝒗 𝒅𝒚

𝝏𝒛 𝒅𝒕

𝝏𝒗

+ 𝝏𝒕

Donde se pueden expresar las derivadas espaciales como componentes de la velocidad. Con lo cual la aceleración se escribe como: 𝑎 = (𝑣



+ 𝑣

 

 

De acuerdo con las derivadas parciales y considerando cada una de las componentes del vector velocidad, tenemos; Apunte Hidráulica General y Aplicada – Recopilación Ing.: Esteban Díaz

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𝒂𝒙 =

𝒂𝒚 = 𝒂𝒛 =

𝝏𝒗

𝒅𝒗𝒙

= (𝒗𝒙 𝝏𝒙𝒙 + 𝒗𝒚

𝒅𝒕

𝒅𝒗𝒚

= (𝒗𝒙

𝒅𝒕

𝒅𝒗𝒛

= (𝒗𝒙

𝒅𝒕

𝝏𝒗𝒚 𝝏𝒙

𝝏𝒗𝒛

+ 𝒗𝒚

+ 𝒗𝒚

𝝏𝒙

𝝏𝒗𝒙

𝝏𝒚

𝝏𝒗𝒚 𝝏𝒚

𝝏𝒗𝒛 𝝏𝒚

+ 𝒗𝒛

+ 𝒗𝒛 + 𝒗𝒛

𝝏𝒗𝒙 𝝏𝒛

)+(

𝝏𝒗 𝒙 𝝏𝒕

)

𝝏𝒗𝒚

𝝏𝒗𝒚

𝝏𝒗𝒛

𝝏𝒗

𝝏𝒛

𝝏𝒛

) + ( 𝝏𝒕 )

) + ( 𝝏𝒕𝒛 )

cómo puede observar son función de punto y tiempo.

Aceleración Total = (Aceleración convectiva) + (Aceleración Local)

La aceleración de las partículas de fluido puede considerarse como la superposición de dos efectos: I.

II.

En el instante t, se supone que el campo es independiente del tiempo; en estas circunstancias la partícula cambiará de posición en ese campo y su velocidad sufrirá variaciones en los diferentes puntos del mismo. Esta aceleración debida aceleración ón convectiva, a cambio de posición, se llama aceleraci

En el término del segundo paréntesis, la aceleración no proviene del cambio de posición de la partícula, sino de la variación de la velocidad en la posición ocupada por la partícula al transcurrir el tiempo. A esta aceleración se le llama aceleración loca locall.

Campo Rotacional

Además de los campos de velocidades y aceleraciones, existe en el seno líquido otro campo llamado campo rotacional que se deriva de las velocidades. Evalúa la rotación local de una partícula y se define matemáticamente por el producto vectorial del operador nabla    , por el vector velocidad (V). O sea que: rot    V Se llama rotor de v o rotacional de v al vector: 𝚤 𝚥 𝑘 𝑟𝑜𝑡𝑣 =

 

𝑣

𝑟𝑜𝑡𝑣 = 󰇡

 





𝑣

−





𝑣



󰇢 𝚤 + 󰇡 

 

−

 

󰇢 𝚥 + 󰇡

 

−

 

 󰇢𝑘

que también es función de punto y de tiempo. Y es una medida de la rotación o vorticidad de la partícula dentro del flujo.

CLASIFIC CLASIFICACIÓN ACIÓN DE LOS FLUJOS

a) Si existen variaciones en eell tiempo

Flujo permanente o estacionario: las propiedades físicas de un fluido como la

densidad y la viscosidad, y las características del movimiento como presión, velocidad y esfuerzo tangencial, permanecen constantes en el transcurso del tiempo o bien si las variaciones son muy pequeñas con respecto a sus valores medios y éstos no varían con el tiempo. Apunte Hidráulica General y Aplicada – Recopilación Ing.: Esteban Díaz

Hidrocinemática. - 5 – -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------







󰇡 󰇢 = 0 ; 󰇡 󰇢 = 0 ; 󰇡 󰇢 = 0 ; 󰇡 󰇢 = 0 ; 𝑒𝑡𝑐.    

Flujo no permanente, variable, o transitorio: es todo lo contrario al flujo

permanente.

b) Si existen variacion variaciones es en el espacio

Flujo uniforme: Si en un instante particular el vector velocidad es idéntico en cualquier punto del flujo, se dice que el flujo es uniforme. En general, puede expresarse como que las propiedades físicas del fluido y las características de movimiento del mismo permanecen constantes a lo largo de la trayectoria de movimiento de una partícula de fluido. 







󰇡 󰇢 = 0 ; 󰇡 󰇢 = 0 ; 󰇡 󰇢 = 0 ; 󰇡 󰇢 = 0 ; 𝑒𝑡𝑐.   

Flujo no uniforme: si las características del movimiento de las partículas del fluido y las propiedades físicas del mismo varían de una posición a otra.

c) De acuerdo con las componentes del vector velocidad

Flujo tridimensional: es aquel que varía en el espacio, o sea que los gradientes de flujo existen en las tres direcciones de un plano cartesiano.  







= ( +  + )

ds representa el cambio en el espacio en sus tres ejes coordenados.

Flujo bidimensional: las componentes del vector velocidad se presentan en dos ejes en una familia de planos, no habiendo componente en la dirección perpendicular a dicho plano.  





= 󰇡 + 󰇢 ;





=0

Apunte Hidráulica General y Aplicada – Recopilación Ing.: Esteban Díaz

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Flujo unidimensional: es el flujo que se presenta en una sola dirección, siendo las trayectorias de las partículas paralelas entre sí, por lo que, el vector velocidad se puede representar con una sola componente, siendo esta el mismo vector velocidad. 𝑣 = 𝑣

d) De acuer acuerdo do con la existen existencia cia de variación en la densidad del fluido.

Flujo incompresible: En este tipo de flujo la densidad de las partículas que constituyen el fluido mantiene constante su densidad a través del tiempo y el espacio. Esto es: 



󰇡 󰇢 = 0 ;󰇡 󰇢 = 0  

𝜕𝑠 es la variación en el espacio.

Flujo compresible: es el flujo con características contrarias a las del flujo

incompresible. 



󰇡 󰇢 ≠ 0 ;󰇡 󰇢 ≠ 0  

e) Consi Considerando derando la viscosidad del fluido

Flujo real: en este caso, se considera que la viscosidad del fluido en movimiento es mayor que cero, generando esfuerzos cortantes entres sus partículas y respecto a las fronteras del mismo. 𝜇>0 ; 𝜏>0

Flujo ideal: para que un flujo sea ideal se debe considerar que la viscosidad del fluido en movimiento es igual a cero o prácticamente despreciable. En el caso de un fluido teórico se considera que la viscosidad es nula μ = 0 y τ = 0; del mismo modo se puede presentar el caso de un fluido real pero fuera del alcance del efecto friccionante provocado por el contacto entre el fluido y las fronteras que limitan el campo de flujo.

Figura. Efecto de la viscosidad del fluido sobre un líquido. Apunte Hidráulica General y Aplicada – Recopilación Ing.: Esteban Díaz

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f) Consider Considerando ando la turbulencia d del el flujo

La turbulencia de un flujo se define como el estado de agitación de las partículas del fluido en movimiento. La turbulencia es un resultado propiamente de la viscosidad del fluido y se mide de acuerdo con una clasificación establecida por Reynolds (número de Reynold). De acuerdo con el número de Reynolds, en tuberías trabajando completamente llenas, los flujos se clasifican en:

Flujo laminar: este flujo se caracteriza porque el movimiento de las partículas se

produce siguiendo trayectorias separadas perfectamente definidas, no necesariamente paralelas, sin existir mezcla macroscópica o intercambio transversal entre ellas.

Flujo transitorio: en este tipo de flujo la trayectoria de las partículas se ondula, sin llegar a presentarse el efecto de mezclado total.

Flujo turbulento: En este flujo, las partículas se mueven sobre trayectorias completamente erráticas, sin seguir un orden establecido; se presenta en flujos con grandes velocidades y se puede reconocer fácilmente por la gran irregularidad del movimiento.

Figura. Esquema de flujo laminar y de flujo turbulento.

g) Clasificación según el comportamiento d de e las partículas líquid líquidas. as.

Según el comportamiento de las partículas líquidas en el espacio y en escurrimientos de líquidos perfectos:

Flujo Rotacional: cuando las partículas líquidas poseen componente de la velocidad

que produce una rotación alrededor de su centro de gravedad.

Flujo Irrotacional : cuando dichas partículas no rotan alrededor de su centro de

gravedad.

En la práctica:   

para las velocidades ordinarias el movimiento del agua es rotacional; para velocidades altas puede ser considerado irrotacional y

para la hipótesis de líquido perfecto (sin viscosidad) el movimiento es de hecho irrotacional.

Apunte Hidráulica General y Aplicada – Recopilación Ing.: Esteban Díaz

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MÉTODOS PARA DESCR DESCRIBIR IBIR UN FL FLUJO UJO

Con el fin de obtener la representación completa de un flujo, es necesario determinar la posición de cada partícula en cada instante y encontrar la velocidad en cada posición, a medida que el tiempo transcurre. Para estudiar el movimiento de las partículas se utilizan dos métodos: − −

Método Euleriano Método Lagrangiano

Aparentemente el método lagrangiano, tiene aspectos muy convenientes; sin embargo, las ecuaciones generales del movimiento, deducidas con este método, son difíciles de resolver por su naturaleza no lineal; es más sencillo utilizar el método euleriano.

Métod Método o Euleriano:

Estudia la variación del movimiento en cada punto del espacio en función del tiempo que transcurre, es decir, estudia las características del movimiento de las sucesivas partículas que pasan por cada punto del espacio. Consiste en determinar las características cinemáticas en cada punto de un flujo y en cada instante, sin considerar el destino que tenga cada partícula individual. Una vez elegida la posición de una partícula en el espacio, sus características cinemáticas son funciones del tiempo, a saber: v=v(r,t)

Métod Método o Lagrangiano:

Consiste en determinar las características cinemáticas del movimiento de cada partícula, en cada instante, siguiendo su recorrido. Se sigue el movimiento de cada partícula durante su desplazamiento, cada partícula por lo tanto queda definida por la posición que ocupa en un instante dado.

Una vez identificada una partícula por su posición inicial r0(x0,y0,z0) en el instante t = t0, en otro instante cualquiera t, la misma partícula se encuentra en la posición r (x,y,z). Entonces la posición de la partícula se tiene conocida en cualquier instante si el vector de posición r se determina como función del tiempo t y la posición inicial r0; o sea: r =r (r0,t).

Apunte Hidráulica General y Aplicada – Recopilación Ing.: Esteban Díaz

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x = fx (x0,y0,z0,t)

y = fy (x0,y0,z0,t) z = fz (x0,y0,z0,t)

LÍNEAS D DE E CORR CORRIENTE IENTE

Trayectoria:

Es la línea definida por las posiciones sucesivas de una partícula en el seno de un fluido en movimiento a través del espacio y el tiempo. Para determinar una trayectoria se puede identificar una partícula en un instante de tiempo usando un colorante y tomar fotografías de su movimiento. La línea trazada por la partícula constituye una trayectoria. Es el camino que en el espacio y el tiempo recorre una partícula, o también el lugar geométrico ocupado por las sucesivas posiciones de una partícula en el tiempo.

La trayectoria interpreta el movimiento según el Método de Langrange.

Líneas d de e corriente o de flu flujo: jo:

Es toda línea trazada en el interior de un campo de flujo, de manera que la tangente en cada uno de sus puntos proporciona la dirección del vector velocidad correspondiente al mismo punto. Para un flujo permanente, o cuando siendo inestable únicamente la magnitud del vector velocidad varia con el tiempo, la línea de corriente coincide con la trayectoria. Por lo tanto, son las envolventes de los vectores velocidad de una partícula.

Estas líneas pueden ser convergentes o paralelas, pero nunca cortarse, ya que implicaría que un punto posee dos vectores velocidad, y eso representa una discontinuidad en el líquido perfecto que estamos estudiando. Apunte Hidráulica General y Aplicada – Recopilación Ing.: Esteban Díaz

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Estas condiciones corresponden a un flujo no permanente en un instante particular; al cambiar de un tiempo a otro, la configuración de las líneas de corriente será distinta.

En el método de Euler, las líne...