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Soluciones Capítulo 2 Fuerza Desarrollado por Juan Carlos López Márquez SOLUCIONES AL LISTADO DE EJERCICIOS DEL CROMER CAPÍTULO 2: FUERZA 1. Un bloque de 7 kp cuelga de una cuerda atada a un gancho en el techo. El gancho pesa 0,1 kp y se puede despreciar el peso de la cuerda. Dar el módulo y la dire...

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Soluciones Capítulo 2 Fuerza Desarrollado por Juan Carlos López Márquez

SOLUCIONES AL LISTADO DE EJERCICIOS DEL CROMER CAPÍTULO 2: FUERZA 1. Un bloque de 7 kp cuelga de una cuerda atada a un gancho en el techo. El gancho pesa 0,1 kp y se puede despreciar el peso de la cuerda. Dar el módulo y la dirección de las siguientes fuerzas: (a) fuerza de la gravedad sobre el bloque, (b) fuerza de contacto ejercida por la cuerda sobre el bloque, (c) fuerza de contacto ejercida por la cuerda sobre el gancho, (d) fuerza de la gravedad sobre el gancho, (e) fuerza de contacto ejercida por el gancho sobre la cuerda y (f) fuerza de contacto ejercida por el bloque sobre el gancho. (g) De estas fuerzas, ¿cuáles son pares acción-reacción? (h) ¿Cuál es la tensión de la cuerda? Solución: a) La fuerza de gravedad actúa siempre verticalmente hacia abajo, y si el peso bloque es de 7 kp, entonces la fuerza de gravedad es de 7 kp verticalmente hacia abajo, puesto que el peso de un cuerpo es equivalente a la fuerza de gravedad que la Tierra ejerce sobre él. b) Como el sistema está en equilibrio, la cuerda debe anular la fuerza que la Tierra ejerce sobre el bloque, por lo tanto, la fuerza de contacto ejercida por la cuerda es de 7 kp verticalmente hacia arriba. c) Las cuerdas transmiten en toda su extensión la misma fuerza, por lo tanto en el gancho la cuerda ejerce una fuerza de 7 kp verticalmente hacia abajo, la dirección es hacia abajo por que las cuerdas sólo pueden tirar del cuerpo al que se encuentran unidas. d) El gancho pesa 0,1 kp, luego la fuerza de gravedad es de 0,1 kp. e) Como la cuerda está en equilibrio, y el bloque tira de la cuerda con 7 kp hacia abajo, el gancho debe anular esta fuerza, tirando con 7 kp hacia arriba. f) El bloque y el gancho no están en contacto luego no existe fuerza entre ellos. g) Acción y Reacción son: gancho cuerda. h) La tensión en la cuerda es de 7 kp. (Igual al peso que soporta).

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2. Encima de un bloque de 4 kp colocado en una balanza se pone otro bloque de 12 kp. Dar el módulo y la dirección de las siguientes fuerzas: (a) fuerza de la gravedad sobre el bloque de 4 kp, (b) fuerza de contacto ejercida por la balanza sobre el bloque de 4 kp, (c) fuerza de contacto ejercida por el bloque de 12 kp sobre el de 4 kp, (d) fuerza de contacto ejercida por el bloque de 12 kp sobre la balanza y (e) fuerza de contacto ejercida por el bloque de 4 kp sobre el de 12 kp. (f) De estas fuerzas, ¿cuáles son pares acción-reacción? Solución: a) 1 kp = 9,8 N Fg = 4 kp = 39,2 N ; dirección hacia abajo. b) Fc = 16 kp = 156,8 N ; dirección hacia arriba. c) Fc = 12 kp = 117,6 N ; dirección hacia abajo. d) Fc = 12 kp = 117,6 N ; dirección hacia abajo. e) Fc = 12 kp = 117,6 N ; dirección hacia arriba. f) Los pares acción y reacción son: d y e ; a + c con b.

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3. ¿Cuáles son las tensiones T1 y T2 de las cuerdas de las Fig. 2.41? Solución:

Debemos construir un diagrama de cuerpo libre o diagrama de fuerzas en cada uno de los cuerpos. Así entonces del primer diagrama tenemos T2 = T1 + Fg T1 = Fg2 Entonces T1 = 3 kp y como T2 = T1 + Fg T2 = 3 kp + 8 kp = 11 kp

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4. ¿Cuál es la tensión de la cuerda de la Fig. 2.42?

Solución: Debemos construir un diagrama de cuerpo libre en la polea, sabiendo que esta soporta un peso de 25 kp. Entonces del diagrama de cuerpo libre, tenemos … T1 + T2 = T3 T1 = T2 ; porque la cuerda que rodea a la polea es una sola. T3 = 25 kp Luego … 2 T = T3 T = T3 / 2 T =25 kp /2 T = 12,5 kp

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5. (a) Hallar las tensiones T1 T2 y T3 de las tres cuerdas de la Fig. 2.43. (b) ¿Qué fuerza debe aplicarse a la cuerda por la mano para sostener el peso de 50 kp

Solución: a) Usando sólo la lógica en este ejercicio podemos decir que T2 = 50 kp, ya que T2 soporta los 50 kp. También podemos decir que T3 es igual a 25 kp, ya que en la polea de abajo T3 pasa dos veces por ella dividiendo en dos el peso de 50 kp. Y de T1 podemos decir que es igual a 75 kp. Ya que si observamos la polea alta, vemos que T1 tira hacia arriba, y T3 pasa tres veces por la polea y en cada ocasión T3 tira hacia abajo, y como T3 es igual a 25 kp, T1 será igual a 3 · T3 = 3 · 25 kp = 75 kp b) la fuerza que debe ejercer la mano para sostener el peso de 50 kp debe ser igual a T3, es decir 25 kp.

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6. Hallar las tensiones T1, T2 y T3 de las tres cuerdas de la Fig. 2.44?

Solución: Usemos nuevamente la lógica, vemos que T2 = 80 kp, ya que T2 soporta todo el peso de 80 kp. T3 rodea dos veces a la polea baja, dividiendo la fuerza T2 en dos, luego T3 = 40 kp. T1 soporta dos veces a T3, luego T1 = 2 · T3 = 80 kp

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7. La Fig. 2.45 representa un hombre de 70 kp de pie con los pesos de diferentes partes de su cuerpo indicados. (a) ¿Cuál es el módulo de la fuerza de contacto que sostiene la cabeza y el cuello? (Ésta la ejerce principalmente la séptima vértebra cervical.) (b) ¿Cuál es la fuerza que sostiene a un brazo? (Esta fuerza es ejercida por los músculos y ligamentos que abrazan la articulación del hombro.) (c) ¿Cuál es la fuerza total que sostiene al tronco en las dos articulaciones de la cadera? (Si el hombre está de pie y derecho, alrededor de la mitad de esta fuerza se ejerce en cada articulación.) (d) ¿Cuál es la fuerza de contacto total en las articulaciones de las rodillas? (e) Si el hombre se apoya en un pie, ¿cuál es la fuerza de contacto de la articulación de la rodilla sobre la que está apoyado? (f) ¿Cuál es la fuerza en la articulación de la rodilla que sostiene la pierna que no se apoya en el suelo? Solución: a) Esta fuerza debe sostener el peso de la cabeza, es decir, 5 kp. b) La fuerza que sostiene a un brazo debe sostener el peso de este, 3,5 kp. c) La fuerza que sostiene al tronco es la suma de todas las partes que están sobre el, es decir, 5kp + 37 kp + 3,5 kp + 3,5 kp = 49 kp d) La fuerza total en las rodillas es la suma de todas las partes que están sobre ellas, es decir, 5 kp + 37 kp + 3,5 kp + 3,5 kp + 6,5 kp + 6,5 kp = 62 kp e) Si una rodilla soporta el peso del cuerpo entonces hay que agregar la masa de la pierna que queda suspendida, es decir, 62 kp + 4 kp = 66 kp. f) La rodilla de la pierna que queda en el aire sostiene a la pierna que queda suspendida, luego ella sujeta la parte de la pierna que queda por debajo de ella, esto es 4 kp.

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8. ¿Cuál es el módulo de la fuerza horizontal necesaria para empujar por el suelo una canasta de 120 kp si el coeficiente de rozamiento estático entre la canasta y el suelo es 0,45? Solución: Analicemos el diagrama de fuerzas …  = 0,45 Sumemos las fuerzas en cada eje … Fy: N – Fg = 0  N = Fg = 120 kp Fx: F – fr = 0  F = fr =  · N = 0,45 · 120 kp = 54 kp Entonces el módulo de la fuerza es de 54 kp.

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9. Un bloque de madera de 2 kp colocado sobre una mesa también de madera se dispone a deslizar cuando se le aplica una fuerza horizontal de 0,8 kp. (a) ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la mesa? (b) Encima del bloque se coloca un peso de 5 kp. ¿Cuál es el módulo de la fuerza horizontal necesario para mover ahora el bloque? Solución: a)  = ? F = 0,8 kp Fg = 2 kp Si el bloque se dispone a deslizar es porque la suma de fuerzas es igual a cero, luego … F = fr fr =  N N = Fg Entonces …  = Fr / N = F / Fg = 0,8 kp / 2 kp = 0,4 b) Ahora viendo el diagrama de fuerzas, vemos que en el eje vertical se agrega una fuerza, luego … Fx: F = fr =  N Fy: N = Fg + Fc Entonces … F =  (Fg + Fc) F = 0,4 (2 kp + 5 kp) F = 2,8 kp

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10. Un esquiador de 55 kp necesita un impulso de 3 kp para comenzar a desplazarse sobre una superficie horizontal cubierta de nieve. ¿Cuál es el módulo del impulso necesario para poner en movimiento a un esquiador de 90 kp? Solución: Como el esquiador comienza a desplazarse, esta es la situación en que la suma de las fuerzas es igual a cero, luego podemos conocer el coeficiente de roce entre el esquiador y la superficie cubierta de nieve. Fx: F = fr =  N  = F / N = 3 kp / 55kp = 0,054 Si un esquiador es de 90 kp, entonces F = ? Sabemos que F = fr =  N Luego … F = 0,054 · 90 kp = 4,9 kp

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11. Dos bloques están conectados por una cuerda, como se muestra en la Fig. 2.28. El bloque A pesa 20 N y el coeficiente de rozamiento estático entre éste y la superficie es 0,4; el bloque B pesa 10 N y el coeficiente de rozamiento estático entre él y la superficie es 0,5. (a) ¿Qué fuerza mínima Fa debe aplicarse al bloque A para desplazar todo el conjunto? (b) ¿Cuál será la tensión T de la cuerda de unión en el instante mismo en que el conjunto empieza a desplazarse? Solución: a) Los datos del enunciado son … FgA = 20 N A = 0,4 FgB = 10 N B = 0,5 Si ahora analizamos los diagramas de fuerzas tenemos … Para el cuerpo B Fx: T = frB

Fy: NB = FgB

Entonces: T = B NB = B FgB = 0,5 · 10 N = 5 N Para el cuerpo A Fx: F = T + frA

Fy: NA = FgA

Entonces: F = T + A NA = T + A · FgA F = 5 N + 0,4 · 20 N F = 13 N b) Al analizar el cuerpo B, se dedujo que la tensión entre los cuerpos es igual a 5 N.

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12. Un bloque de 10 kp está encima de uno de 20 kp que descansa sobre una mesa. El coeficiente de rozamiento estático es de 0,30 entre ambos bloques y de 0,50 entre el bloque de 20 kp y la mesa. (a) ¿Cuál es la fuerza mínima que ha de aplicarse sobre el bloque de 20 kp para que ambos bloques empiecen a deslizarse sobre la mesa? (b) ¿Cuál es la fuerza máxima que puede aplicarse sobre el bloque de 10 kp sin que deslice sobre el bloque de 20 kp? Solución: a) La fuerza mínima es la que mantiene el sistema en equilibrio, F2 = ? Fx: F2 = fr Fy: N = Fg1 + Fg2 F2 = 2 (Fg1 + Fg2) F2 = 0,5 (10 kp + 20 kp) F2 = 15 kp Si se aplica una fuerza mayor, entonces el bloque de 10 kp desliza sobre el de 20 kp. b) Para que el bloque no deslice la fuerza máxima es la que equilibra la fuerza de roce estático, F1 = ? Fx: F1 = fr Fy: N = Fg1 F1 = 1 Fg1 F1 = 0,30 (10 kp) F1 = 3 kp

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13. La longitud de un muelle aumenta 2 cm cuando se cuelga de él un peso de 3 kp. (a) ¿Cuál es la constante del muelle? (b) Cuando otro objeto se suspende del muelle, éste se alarga 3 cm. ¿Cuál es el peso del objeto? Solución: a) La fuerza elástica de un muelle está determinada por la ley de Hooke, es decir F = k · x, donde F es la fuerza aplicada al muelle, y x es la deformación que experimenta el muelle, luego k = F / x = 3 kp / 2 cm = 1,5 kp/cm b) El peso del objeto es equivalente a la fuerza que ejerce el muelle, es decir … F = k · x = 1,5 kp/cm · 3 cm = 4,5 kp

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14. La constante elástica efectiva de un bloque de madera es 2  106 kp/cm. (a) ¿Cuánto se comprime el bloque al colocarle encima un peso de 10 kp? (b) ¿Cuánto se comprime el bloque cuando se le pone encima un peso de 1000 kp? OBSERVACIÓN. Este último problema muestra que la deformación de un objeto sólido, al igual que la de un muelle, varía con la fuerza aplicada. Sin embargo, la deformación es tan pequeña que pasa normalmente inadvertida. Solución: a) Usando la ley de Hooke, despejamos x, que sería equivalente a lo que se comprime el bloque. x = F / k = 10 kp / 2·106 kp/cm = 5·10–6 cm b) Usando la misma ecuación anterior, tenemos … x = F / k = 1000 kp / 2·106 kp/cm = 5·10–4 cm

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15. La Fig. 2.46 muestra tres fuerzas. Usar el método gráfico para hallar (a) la suma de F1 y F2; (b) la suma de F2 y F3; (c) la suma de F1, F2 y F3; (d) las componentes x e y de F1, F2 y F3.

Solución: Para realizar este ejercicio, debes usar una regla y un transportador para medir los ángulos. El método gráfico consiste en dibujar un vector después de otro, considera que las respuestas no son exactas, pero sí muy aproximadas. Si haces los dibujos con cuidado obtendrás las respuestas siguientes … (a) 7,13 kp; (b) 7,88 kp; (c) 2,27 kp; (d) (5,0 ; 8,66) kp; (2,07 ; –7,73) kp; (–5,0 ; 0) kp.

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16. Usar el método trigonométrico para hallar (a) las componentes x e y de cada uno de los tres vectores de la Fig. 2.46; (b) las componentes de la suma S = F1 + F2 + F3; (c) el módulo de S; (d) el ángulo que S forma con el eje de las x. Solución: a) Las componentes se pueden hallar con la función POL y REC de la calculadora. Importante es verificar que los ángulo en la calculadora estén en DEG. Para hallar las componentes usamos la función REC, así … F1 = REC (10 kp ; 60º) = ( 5 kp î ; 8,66 kp j) F2 = REC (5 kp ; 180º) = (–5 kp î ; 0 kp j) F3 = REC (8 kp ; –75º) = ( 2,07 kp î ; –7,73 kp j) b) Las componentes de la suma S = F1 + F2 + F3, es tan simple como sumar las componentes por separado, entonces … Sx = F1x + F2x + F3x = 5 kp – 5 kp + 2,07 kp = 2,07 kp Sy = F1y + F2y + F3y = 8,66 kp + 0 kp – 7,73 kp = 0,93 kp c) El módulo de S, lo podemos hallar con la función POL de la calculadora, así … POL (2,07 kp î ; 0,93 kp j) = (2,27 kp ; 24,2º ) POL entrega el módulo y la dirección, luego … el módulo es 2,27 kp d) El ángulo fue hallado con la función POL en la letra c de este ejercicio, y … El ángulo es 24,2º

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17. Un bloque de 30 N está sobre un plano inclinado 28° con respecto a la horizontal. (a) Hallar los módulos de la fuerza de contacto y de la de rozamiento sobre el bloque. (b) Dado que el bloque está en reposo, ¿cuál es el valor mínimo del coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano? Solución: a) Como el bloque está en reposo, está también en equilibrio, esto significa que la sumatoria de todas las fuerzas que actúan sobre él es cero. Notar de la figura, que el ángulo que forma la fuerza peso con la perpendicular al plano es igual al ángulo que forma el plano con la horizontal. Si consideramos la dirección del plano, como la dirección de movimiento, entonces … Fx: Fg · sen – fr = 0  fr = Fg · sen = 30 N · sen 28 = 14,08 N Fy: N – Fg · cos = 0  N = Fg · cos· cos  b) La fuerza de roce está definida como fr =  N, luego  = fr / N, entonces

 14,08 N / 26,49 N = 0,53

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18. Un método para determinar el coeficiente de rozamiento s entre un bloque y una superficie es inclinar la superficie hasta que el bloque empieza a deslizarse. Demostrar que el ángulo  que forma la superficie inclinada con la horizontal cuando el bloque empieza a deslizarse está relacionado con s, por s = tan . Solución: Del ejercicio anterior sabemos que … fr = Fg · sen N = Fg · cos Y también sabemos que fr = S N Por lo tanto …

S 

fr Fg �sen   tan  N Fg �cos

Finalmente S = tan 

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19. El tendón del bíceps de la Fig. 2.47 ejerce una fuerza Fm de 7 kp sobre el antebrazo. El brazo aparece doblado de tal manera que esta fuerza forma un ángulo de 40° con el antebrazo. Hallar las componentes de Fm (a) paralela al antebrazo (fuerza estabilizadora) y (b) perpendicular al antebrazo (fuerza de sostén).

Solución: Para resolver este ejercicio necesitamos escoger un sistema de referencia inclinado, cuyo eje x tenga la misma inclinación del antebrazo, ahora la dirección positiva de este eje es arbitraria, de acuerdo con lo pedido en el enunciado sería conveniente escoger la dirección positiva hacia arriba, para que las componentes queden positivas si escogemos positivo hacia abajo entonces la componente x de la fuerza será negativa, pero esto no es significativo. Se debe comprender en este ejercicio que las componentes paralela y perpendicular corresponden efectivamente a las componentes del vector proyectadas en cada uno de los ejes inclinados. Entonces …. El vector Fm tiene las siguientes componentes polares … Fm = (7 kp ; 40º) o bien Fm = (7 kp ; 140º) Para encontrar las componentes rectangulares debemos usar la función REC de la calculadora, así se obtiene lo siguiente … Fm = (5,36 kp ˆi + 4,50 kp ˆj ) o bien (–5,36 kp ˆi + 4,50 kp ˆj ) Entonces la componente paralela que corresponde a la componente horizontal es igual a 5,36 kp o –5,36 kp, dependiendo de la orientación del eje x positivo. Y la componente perpendicular es igual a 4,50 kp.

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20. Un lápiz provisto de goma de borrar está en contacto con la superficie de una mesa formando un ángulo de 25° (Fig. 2.48). Hacia abajo y a lo largo del lápiz se ejerce una fuerza de 1 kp. Despreciar el peso del propio lápiz. (a) ¿Cuáles son las componentes vertical y horizontal de la fuerza aplicada? (b) Si el coeficiente de rozamiento estático entre el lápiz y la mesa es 0,40, ¿cuál es la fuerza máxima de rozamiento que puede ejercer la mesa contra el lápiz? (c) ¿Se moverá el lápiz? (d) Repetir las partes (a) y (b) con un ángulo de 70°.

Ahora hallaríamos que el lápiz no se mueve. ¿Qué fuerza debe aplicarse a lo largo del lápiz para lograr que se mueva? Probar con un lápiz como el de la Fig. 2.48. Solución: a) Hay que notar que el vector fuerza está en el tercer cuadrante por lo tanto la dirección del vector es 180º + 25 = 205º. Si aplicamos la función REC al vector (1 kp ; 205º) tenemos que … fuerza aplicada = (-0,91 kp î – 0,42 kp ˆj ) b) Si  = 0,40, sabemos que la fuerza de roce se define como … fr =  · N y como la normal es igual a la componente vertical de la fuerza pero con el signo contrario tenemos que … N = 0,42 kp luego … fr = 0,40 · 0,42 kp = 0,17 kp c) Sí, ya que la fuerza de roce es de sólo 0,17 kp, mientras que la componente de la fuerza en el eje x es de 0,91 kp, como el roce es menor con es capaz de equilibrar y el lápiz se moverá. d)  = 70º F = (1 kp ; 180º + 70º) = (1 kp ; 250º) aplicando REC tenemos … F = (-034 kp î – 0,94 kp ˆj )  = 0,40  fr =  · N = 0,40 · 0,94 kp fr = 0,38 kp Ahora notamos que la fuerza de roce (0,38 kp) es mayor que la componente horizontal de la fuerza aplicada (0,34 kp), por lo tanto ahora el lápiz no se mueve. La componente horizontal debe ser igual o mayor a 0,38 kp y como la componente vertical es de 0,94 kp Entonces, con una fuerza de 1,01 kp a 68º sobre la horizontal, el lápiz se mueve.

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21. Las partes posterior y anterior del músculo deltoides elevan el brazo al ejercer las fuerzas Fp y Fa que muestra la Fig. 2.49. ¿Cuánto vale el módulo de la fuerza total sobre el brazo y qué ángulo forma con la vertical...