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FUERZAS EN CABLES

1.- INTRODUCCION Los cables son elementos de reducida sección transversal en comparación con su longitud, son utilizados por una combinación de su buena resistencia, poco peso y flexibilidad, No soportan flexión y solo soportan esfuerzos de tracción, lo que significa que la fuerza que en ella se ejerce tiene la dirección de la recta tangente en la dirección del cable, en cada punto de su recorrido. Por lo general están sometidos a la acción de su propio peso, como carga distribuida, expresado en (kgf/m), cargas como el viento y las cargas concentradas debido como el peso de las personas o de los vehículos en el caso de los puentes. 2.-FORMAS DEL CABLE BAJO LA ACCION DE CARGAS. Bajo la acción de una sola carga en el centro adopta la forma de un triángulo simétrico. Si aumentamos el número de cargas adopta una forma poligonal; Si consideramos un número de cargas infinitamente pequeñas como el peso propio del cable entonces adoptara una configuración curva, que por lo general es una parábola o una catenaria. 2.1.-CABLE EN FORMA POLIGONAL Se suscita cuando el cable soporta cargas concentradas separadas una de otra Un ejemplo vendría a ser el peso de una cabina y sus ocupantes de un teleférico. Un puente de acero soportado por cables perpendiculares a tablero.

1

Fig. Nº 1 Cable en forma poligonal

2.2-CABLE PARABOLICO Si el cable soporta una carga distribuida por unidad horizontal de longitud, su forma es parabólica; por lo tanto el peso puede ser considerado uniformemente repartido o distribuido a lo largo de una recta horizontal, ejemplo líneas de trasmisión de energía eléctrica, telefonía, puentes colgantes

Fig Nº 2 Cable parabólico con carga distribuida por unidad horizontal

En cambio en otras aplicaciones el peso del cable es despreciable en relación a las cargas que lo solicitan, como por ejemplo los cables principales que sostienen un puente colgante. FigNº 3. En ese caso las cargas se aplican por medio de cables secundarios (péndolas) que se colocan a poca distancia uno de otro, lo que permite aproximar el análisis (prescindiendo del peso propio del cable y pendolas) y

Fig Nº. 3. Cable parabólico que soporta un puente colgante. Tomado del google.com

2

proponiendo una carga uniformemente distribuida a lo largo de una horizontal (peso propio de la estructura por la que circulan los vehículos). Los ingenieros utilizan cables para crear estructuras estéticas con espacios interiores abiertos como por ejemplo las lonas de tela. Ver figura 3

Fig Nº4 Puente colgante Queswachaca, en Canas (Cusco)

Fig Nº. 5 Lonas Tomada del google.com.

sobre el río Apurímac, de 33 m de luz

Es el caso de muchas líneas eléctricas, en la que la relación flecha a largo del cable 𝑓 𝐿

es menor a 1/10, en otras palabras la flecha es pequeña comparada con la longitud

del cable. Para que pueda suceder este caso es cuando se tensa el cable formándose una parábola. ANALISIS DE UN CABLE PARABOLICO Se trata de un cable entre dos puntos fijos cuya curva se forma por la acción de su propio peso, o por la acción de un peso adicional que se desee agregar, en este caso consideramos como una carga uniformemente repartida a lo largo de la recta horizontal. Fig Nº 6.

Fig. Nº 6 (Extraído del google.com)

3

El cables solo tiene capacidad para resistir tracción por lo tanto podemos afirmar, que la fuerza interna en cualquier punto, tendrá la dirección tangente en ese punto de la curva.

𝑤 = 𝑞𝑥

𝑡𝑎𝑛𝜃 =

𝑠𝑒𝑛𝜃 =

Fig. Nº 7(Extraído del google.com)

1

𝑤

2

𝐻 𝑤

3

𝑇

𝐻

𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑇

4

𝑇 2 = 𝐻2 + 𝑤 2

5

T= Representa la fuerza de tensión tangente (tracción) en cualquier punto del cable o en los apoyos, Tensión máxima en el punto B. q= Peso del cable repartido (medido en forma horizontal) kgf/m H=Es la fuerza de tensión horizontal en el punto más bajo del cable, Tensión mínima en el punto C. w=qx Peso del cable concentrado, en kgf. De la ecuación 1 en 5 𝑇 = √𝐻 2 + 𝑊 2 , Si x= 0

𝑇 = √𝐻 2 + 𝑞 2 𝑥 2

𝑇 = 𝐻,

𝑇𝑚𝑖𝑛 = 𝐻

4

La tensión en el cable es mínimo para x=0, en el punto más bajo de la curva .La tensión en el cable aumenta con el valor de x, teniendo el mayor valor en los extremos. Para un valor de x= L/2 en los soportes: 𝑞𝐿

𝑇𝑚𝑎𝑥 = √𝐻 2 + ( )2 2

6

En 6, es necesario conocer el valor de H, para el cual se plantea el equilibrio de momentos respecto al punto D y tenemos: ∑ 𝑀𝐷 = −𝐻𝑦 + 𝑦=

𝑤𝑥 2

= 0,

𝑦=

Pero 𝑤 = 𝑞𝑥

𝑞𝑥2

𝑤𝑥

2𝐻

,

7

2𝐻

Esta fórmula es la ecuación de equilibrio del cable y resulta ser la ecuación de una parábola. Calculando el valor de H para las siguientes condiciones de borde x= L/2, y=f 𝑓=

𝐿

𝑞(2)2 2𝐻

𝑞𝐿2

=

8

8𝐻

𝑞𝐿2 8𝑓 Otra forma de expresar T max en función de H seria: 𝐻=

𝑇 = √𝐻 2 + 𝑞 2 𝑥 2 ,

𝑇 = √𝐻 2 (1 +

𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝐻 √1 + (

Calculo de la longitud del cable.

𝑞 𝑥)2 𝐻

𝑞2

𝐻2

𝑥2)

La longitud del cable entre C y D, se puede calcular mediante las ecuaciones

Dividiendo entre dx 𝑠

𝑑𝑥

Remplazando

𝑑𝑠2 = 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 , 𝑋

𝑑𝑦

= ∫0 𝐷 √1 + ( )2 , 𝑑𝑥

Pero 𝑦 =

𝑞𝑥2 , 2𝐻

𝑑𝑠 = √𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 𝑋

𝑑𝑦

𝑠 = ∫0 𝐷 √1 + ( )2 𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥

=

𝑞𝑥 2 2𝐻

𝑑𝑥

=

𝑞𝑥 𝐻

5

𝑋

𝑞𝑥

𝑠 = ∫0 𝐷 √1 + ( )2 𝑑𝑥 , 𝐻

𝑋

2 2

𝑞 𝑥 𝐷 𝑠 = ∫0 √1 + 𝐻 2 𝑑𝑥

El radical se desarrolla por medio del teorema del binomio de newton para un exponente fraccionario. El binomio de Newton solamente funciona para un número entero n natural, es decir un entero n positivo. Si n es un número negativo o fraccionario, el desarrollo del binomio no tendría fin. Cuando n no es un número natural (entero) el binomio de Newton es utilizado como un recurso para obtener resultados con cierta estimación; la mejor dicha estimación dependerá del número de términos que se empleen.

Desarrollando: (1 + 𝑥) Remplazando:

1/2

=1

𝑥 +

1/2 0

(1 + 𝑥)1/2 𝑋𝐷

1 1 ( − 1) (1−2) 1 2 𝑥2 + ⋯ +2 2 2! 1 1 = 1 + 𝑥 − 𝑥2 + ⋯ 2 8

1 1/2(1)2−1 𝑥 1

𝑠 = ∫ (1 + Integrando

0

𝑞2𝑥 2 𝑞4𝑥 4 + ⋯ )𝑑𝑥 − 8𝐻 4 2𝐻 2

𝑞2𝑥 3 𝑞4𝑥 5 𝑠 = (𝑥 + − + ⋯) 3(2𝐻 2 ) 5(8𝐻 4 ) 𝑠 = 𝑥𝐵 (1 +

𝑞 2 𝑥2𝐷 𝑞 4 𝑥𝐷4 − + ⋯) 6𝐻 2 40𝐻 4 𝑞𝑥 2

, 𝑦𝐷 = 2𝐻𝐷 2 𝑦𝐷 𝑞 2 𝑥𝐷 4( )2 = 2 𝐻 𝑥𝐷 2 𝑦𝐷 2 2 𝑦𝐷 4 𝑠 = 𝑥𝐷 (1 + ( ) − ( ) + ⋯ ) 5 𝑥𝐷 3 𝑥𝐷

6

𝑦

La serie converge para valores de la relación 𝐷 menor de 0.5, en la mayoría de los 𝑥 𝐷

casos, la relación es mucho más pequeña y solo es necesario efectuar el cálculo con los dos primeros términos de la serie: 2 𝑦

2

𝑠 = 𝑥𝐷 (1 + 3 ( 𝐷 ) ) 𝑥 𝐷

9

Ejemplo Calcular la flecha de un cable con un peso propio de 0.57 kgf/m, instalado en un vano o claro de 200m, al mismo nivel y una tensión en los apoyos de 1350kgf.ademas calcular la longitud del cable. Datos f = ¿? q = 0.57kgf/m. L = 200m T =1350kgf

qL2 f  8H Sin embargo 𝑇 = √𝐻 2 + 𝑞 2 𝑥 2 ,

1350 = √𝐻 2 + (0.57𝑥100)2 ,

𝐻 = √13502 − (0.57𝑥100)2

𝐻 = 1348.80

f 

0.57  2002  2.11m 8  1348.80

Comprobación, la relación flecha largo es menor a 1/10=0.1, por lo tanto 2.11/200=0.011, es correcto el uso de la fórmula de la parábola. Ejemplo.-Cual es el valor de f si la fuerza en B debe ser cero, además calcular la longitud del cable, para ambos tramos.

7

Fig Nº. 8

𝑦= Tramo AB 20 =

𝑞𝑥 2 2𝐻

𝑞(150)2 2𝐻

,

𝐻=

𝑞(150)2

𝐻=

𝑞(75)2

40

,

Tramo BC f=

𝑞(75)2 2𝐻

, 𝑞(150)2 40

=

𝑞(75)2 2𝑓

2𝑓

,

,

𝑓 = 5𝑚

Tramo BC. 2 5 2 𝑆 = 50 (1 + ( ) ) = 50.33𝑚 3 50 𝑆𝐵𝐶 = 2(50.33) = 100 .7𝑚

Tramo AB. 2

20

2

𝑆 = 100 (1 + ( 100) ) = 102 .67𝑚 3

𝑆𝐴𝐵 = 2(102.67) = 205 .34𝑚

2.3.-CABLE COMO CATENARIA Cuando la flecha es importante y el peso propio del cable es la carga principal que debe considerarse uniformemente repartida a lo largo de su trayectoria (no a lo largo

8

de una recta horizontal), entonces la forma del cable quedará definida por una forma catenaria. Este es un caso cuyo análisis es próximo a los cables de transporte o distribución de energía eléctrica.

Fig Nº. 9 Tomada del google.com

Se analiza para el caso de un cable cuya carga pueda considerarse uniformemente distribuida a lo largo del cable y no a lo largo de la horizontal. Al peso del cable le podemos agregar por ejemplo el peso del viento, o el peso del hielo sobre el cable, de tal manera que el peso total sea q (kgf/m). Es el caso en la que la relación flecha a largo del cable es mayor a 1/10.

Figura Nº 10 (Extraído del gologle.com)

Para el grafico:

9

q = Es la carga uniformemente distribuida en (kgf/m) a lo largo del cable o a lo largo de s s= Longitud del cable de la catenaria W= qs

10

W = Cantidad de carga que actúa verticalmente, entre el punto C y D en (kgf). c= es la ordenada del punto más bajo y se denomina parámetro de la Catenaria. Del triángulo de fuerzas de la figura 9, se tiene: 𝑇 = √𝐻 2 + 𝑊 2

𝑇 = √𝐻 2 + 𝑞 2 𝑠 2 Donde T es la tensión del cable en el punto D. Con la finalidad de simplificar los cálculos se introduce el parámetro. 𝑐 = 𝐻/𝑞, con lo cual podemos escribir. Donde “c” la ordenada del punto más bajo y se denomina parámetro de la catenaria.

𝐻 = 𝑞𝑐 11 La fuerza constante H es el producto de la carga distribuida q por una constante de valor “c” por lo tanto. 𝑇 = √𝑞 2 𝑐 2 + 𝑞 2 𝑠 2 = 𝑞√𝑐 2 + 𝑠 2 El diagrama de la figura 10 del tramo CD, no puede usarse sumatoria de momentos para obtener directamente la ecuación de la curva formada por el cable, puesto que no conocemos la distancia horizontal de D a la línea de acción de la resultante W. 2.3.1.-SE TRATA DE ENCONTRAR LA ECUACION QUE RELACIONAR LA “s” con “x”. Para obtener esta ecuación. En primer lugar se escribe la proyección horizontal de un pequeño elemento de cable de longitud ds 𝑑𝑥 = 𝑑𝑠𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝐻

𝑇

Pero: Entonces

10

𝐻

𝑑𝑥 = 𝑑𝑠 𝑇

Remplazando valores

𝑑𝑥 =

𝑞𝑐

𝑞√𝑐 2 +𝑠2

𝑑𝑥 = Integrando tenemos:

𝑑𝑥 = ∫

𝑑𝑠

𝑑𝑠

𝑑𝑠 2

√1+𝑠 2 𝑐

12

2

√1+𝑠 2 𝑐

Esta integral es conocida ∫

𝑑𝑡

√1+𝑡2

= 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑡)

13

La integral 12 se puede resolver por el método de sustitución, haciendo: 𝑠 𝑐

= 𝑡,

𝑠 = 𝑐𝑡 ,

Por lo tanto

𝑑𝑠 = 𝑐𝑑𝑡

Sustituyendo en 12, teniendo en cuenta la solución 13 y Seleccionando el origen de coordenadas a una distancia c directamente debajo de C , figura 10 , e integrando desde C(0,c) hasta D(x,y).

𝑥=∫

0

𝑠

𝑑𝑠

√1 + 𝑠 2 𝑐 2

=∫

𝑠 = 𝑐. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑡) = 𝑐. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ( ) 𝑐 √1 + 𝑡 2 𝑐𝑑𝑡 𝑠

𝑥 = 𝑐. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ( ) 𝑐

14

La ecuación encontrada relaciona la longitud s de la porción del cable CD con la distancia horizontal x, despejando x, para lo cual tomamos el senh, tenemos. 𝑠 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ( ) 𝑐 𝑐

𝑥 𝑠 𝑠𝑒𝑛ℎ( ) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ ( )) 𝑐 𝑐 𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ( ) = 𝑐 𝑐 𝑥

𝑠 = 𝑐. 𝑠𝑒𝑛ℎ( ) 𝑐

15 11

s= representa la longitud de la catenaria Otra forma de representar “s” seria: 𝐻 = 𝑞𝑐,

𝑐=

𝐻 𝑞

𝑥𝑞

𝐻

𝑠 = 𝑞 . 𝑠𝑒𝑛ℎ( )

16

𝐻

2.3.2.-SE TRATA DE ENCONTRAR LA ECUACION QUE RELACIONA LAS COORDENADAS “x” e“y” . Del grafico 9 se utiliza la relación:

𝑑𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑑𝑥 𝑊 𝑞𝑠 𝑠 𝑥 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ( )𝑑𝑥 𝑐 𝐻 𝑞𝑐 𝑐

Integrando desde C(0,c) hasta D(x,y)

𝑥

𝑦

𝑥 ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ( )𝑑𝑥 𝑐 0 𝑐

La integral se puede resolver por el método de sustitución, haciendo: 𝑥 𝑐

= 𝑡,

𝑥 = 𝑐𝑡

𝑑𝑥 = 𝑐𝑑𝑡

𝑥

𝑦

Por lo tanto 𝑥

∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑡)𝑐𝑑𝑡 = 𝑐 ∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑐. cosh(𝑡) 𝑐

0

0

𝑥 𝑦 − 𝑐 = 𝑐. [cosh ( ) − 1] 𝑐 𝑥

𝑦 = 𝑐. cosh ( ) 𝑐

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Ecuación de catenaria de eje vertical, otra forma de representar seria: 𝐻

𝑞𝑥

𝑦 = . cosh ( ) 𝑞 𝐻

18

Sin embargo: 𝑥

𝑓 + 𝑐 = 𝑐. cosh (𝑐 ), 𝐻

𝑓+ 𝑞𝑥

𝑓 = 𝑞 . (cosh ( ) − 1) 𝐻

𝐻

𝑞

𝐻

𝑞𝑥

= 𝑞 . cosh ( ) 𝐻 19

Ecuación que calcula la flecha de la catenaria. Sin embargo se sabe que: 12

𝑠𝑒𝑛ℎ(0) = 0,

𝑐𝑜𝑠ℎ (0) = 1

𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑣 − 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑣 = 1 𝑥 𝑥 Elevando al cuadrado los miembros, 𝑠 = 𝑐. 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑐 ), 𝑦 = 𝑐. cosh ( ) de las 𝑐

ecuaciones y restándolo se tiene 𝑦 𝑠 𝑥 𝑥 ( )2 − ( )2 = 𝑐𝑜𝑠ℎ2 ( ) − 𝑠𝑒𝑛ℎ2 ( ) 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑦 𝑠 ( )2 − ( )2 = 1 𝑐 𝑐 𝑦 2 − 𝑠2 = 𝑐2

𝑠2 = 𝑦 2 − 𝑐2

20

Remplazando: 𝑇 = 𝑞 √𝑐 2 + 𝑠 2 = 𝑞√𝑐 2 + 𝑦 2 − 𝑐 2 = 𝑞𝑦 𝑇 = 𝑞𝑦

𝐻 = 𝑞𝑐 W= qs La expresión 𝑇 = 𝑞𝑦 indica que en cualquier punto del cable la tensión T es directamente proporcional a la coordenada y. Por otro lado del grafico 10, la sumatoria de fuerzas en x es igual a 0. ∑ 𝐹𝑥 == 𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐻 𝐻

𝑇 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑇=

𝐻 𝐻𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑠

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑑𝑥

𝑑𝑠

𝑥 𝑠 = 𝑐. 𝑠𝑒𝑛ℎ( ) 𝑐

𝑑𝑠 𝑥 1 = 𝑐. 𝑐𝑜𝑠ℎ( ) 𝑑𝑥 𝑐 𝑐 13

𝑇=

𝐻𝑑𝑠

𝑑𝑥 Representado de otra manera seria:

𝑥) = 𝐻𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑐

𝑞𝑥

𝑇 = 𝐻𝑐𝑜𝑠ℎ( 𝐻 )

21

Ecuación que relaciona La tensión máxima T con la tensión mínima H. Ejemplo Un cable que pesa 2 N/m, está suspendido entre dos soportes Ay B distantes 600m, siendo la flecha de 120 m, en el punto medio, calcular los valores máximo y mínimo de la tensión en el cable, y calcular la longitud del cable. Para la ecuación:

Del grafico

Sustituyendo tenemos

Tabulando encontramos c:

𝑥 𝑦 = 𝑐. cosh ( ) 𝑐 𝑥𝐵 = 300𝑚 𝑦𝐵 = 120 + 𝑐

300 ) 120 + 𝑐 = 𝑐. cosh ( 𝑐 120 300 ) + 1 = cosh ( 𝑐 𝑐

14

𝑐 = 390

𝑦𝐵 = 120 + 390 = 510 m.

Resulta

1) Valores de tensión máxima y mínima. 𝑇𝑚𝑖𝑛 = 𝐻 = 𝑞𝑥𝑐 = 2𝑥390 = 780.0 𝑁 𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝑞𝑥𝑦𝐵 = 2 ∗ 510 = 1,020.0 𝑁

2). Longitud del cable.

𝑦 2 − 𝑠2 = 𝑐2

2 = 𝑐2 𝑦𝐵2 − 𝑆𝐶𝐵

2 = 𝑦𝐵2 − 𝑐2 = 5102 − 390 2 = 108,000 𝑆𝐶𝐵

𝑆𝐶𝐵 = 328 .63

𝑆𝐴𝐵 = 2𝑥328.63 = 657.26𝑚 Comprobación, la relación flecha largo es mayor a 1/10=0.1, por lo tanto 120/600=0.2, es correcto el uso de la fórmula de la catenaria.

Ejemplo: Un cable de una línea de conducción de energía eléctrica pesa 40 N/m y está sujeto a dos torres situados a uno y otro lado de un valle tal como se indica en la figura. El punto A está a 15m por debajo del punto C. El punto más bajo del cable esta 10m por debajo del punto A. Si la tensión máxima es 2000 N, calcular la tensión en A , la tensión mínima 15

En una catenaria la tensión es función de la altura.

𝑇𝐶 = 𝑞𝑦

𝑇𝐶 = 𝑞 (𝑐 + 10 + 15) = 40(𝑐 + 25 )) = 2000𝑁 40(𝑐 + 25) = 2000𝑁

La tensión mínima es.

La tensión en A es.

𝑐 = 25𝑚

𝐻 = 40(25)) = 1000𝑁

𝑇𝐴 = 40(25 + 10) = 1400𝑁

Bibliografía Beer, F., Johnston, E., & Eisenberg, E. (2007). Mecanica Vectorial para Ingenieros Estatica. Mexico: Mc GRaw Hill Interamericana. Gamio Arisnabarreta, L. (2015). Estatica. Lima: Macro. Hibbeler, R. C. (2010). Estatica. Mexico: Pearson Educacion.

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