8-Dérivation Intégration PDF

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Révisions sur la dérivation et l’intégration
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L1 Portail BECV, Cours de Math´ematiques

Universit´e de Rennes 1, 2018-2019

Feuille 8 : R´ evisions sur la d´ erivation et l’int´ egration Exercice 1. 1. D´eriver les fonctions suivantes, o` u u = u(x) est une fonction : un , ln u, eu . 2. En d´eduire les d´eriv´ees des fonctions suivantes : (cos(x))3 , ln(1 + x8 ), esin x .

Dans les prochains exercices on calcule les int´egrales : Z 1/2 Z 1 Z 1 Z 1 1 2x 1 x2 dx , I = dx. I1 = dx , I2 = dx , I3 = 4 2 2 2 1 + x 1 − x2 1 + x 1 + x 0 0 0 0 Remarquer que les fonctions `a int´egrer se ressemblent beaucoup... Toutefois nous utiliserons des m´ethodes bien diff´erentes. Comparer (et retenir) ces m´ethodes apr`es avoir fait les 4 exercices. Exercice 2. 1. Donner une primitive de la fonction f (x) =

1 1+x2

(question de cours).

2x 1+x2

(par reconnaissance de primitives)

2. Calculer I1 .

Exercice 3. 1. Donner une primitive de la fonction f (x) = 2. Calculer I2 .

Exercice 4. 1. V´erifier que la fonction d´efinie par f (x) =

x2 1+x2

v´erifie f (x) = 1 −

1 . 1+x2

2. Calculer I3 .

Exercice 5. 1. Trouver a et b tels que

1 1−x2

=

a 1−x

+

b . 1+x

2. En d´eduire une primitive de la fonction d´efinie par f (x) =

Exercice 6. On veut calculer J =

R1 0

1 1−x2

sur ] − 1, 1[. Calculer I4 .

x arctan x dx.

1. Utiliser une int´egration par parties pour obtenir Z Z 1 π 1 1 x2 dx x × arctan x dx = − 8 2 0 1 + x2 0 2. En d´eduire la valeur de J en utilisant les exercices pr´ec´edents....