8-Fuerza electromotríz inducida PDF

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Ley de Faraday - Henry en forma integral Mediante el experimento que ilustra la figura, Faraday demostró que en presencia de un campo magnético variable en un circuito se induce una corriente aun cuando no se halle conectado a ninguna fuente de energía. Puedes observar un circuito, que denominaremos primario, constituido por una batería, un interruptor y una bobina. Esta bobina está montada sobre un núcleo de hierro con el propósito de lograr mayor intensidad de campo magnético. También puedes identificar otro circuito, que llamaremos secundario, formado por otra bobina sobre el mismo anillo de hierro, que está conectada en serie con un instrumento de medición. Los circuitos primario y secundario no mantienen ninguna conexión eléctrica.

Figura 21

Fuente: Serway y Jewett, 2004, p. 192.

Cuando se cierra el interruptor, el galvanómetro indica, mediante la deflexión de la aguja, que lo atraviesa una corriente eléctrica. Durante el lapso en el que permanece cerrado, el indicador vuelve a cero. Luego, durante la apertura del interruptor vuelve a indicar el paso de corriente. Observa que solamente cuando el campo magnético es variable (que es el momento en que se establece la corriente en el primario y cuando esta se interrumpe), aparece la indicación de paso de corriente por el circuito secundario. La variación de corriente eléctrica en el primario origina un campo magnético variable que actúa en el secundario. El circuito secundario se comporta como si se conectara a una fuente de energía que llamamos fem (fuerza electromotriz inducida). Un campo magnético que varía en el tiempo puede generar una corriente eléctrica. Un campo magnético estable no es capaz de generar corriente.

La fem inducida en un circuito es igual a la variación con respecto al tiempo del flujo magnético que atraviesa el circuito.

Esta es la expresión de la Ley de Faraday: 𝜀=−

𝑑∅𝐵 𝑑𝑡

Si el circuito es una bobina de 𝑁 espiras idénticas y el flujo las atraviesa a todas, entonces la fem se incrementa 𝑁 veces porque están en serie.

𝑑∅𝐵 𝜀 = − 𝑁 𝑑𝑡

Si el campo magnético es uniforme en toda el área de la espira 𝐴 de la siguiente figura: Figura 22

Fuente: Serway y Jewett, 2004, p. 193.

Entonces, el flujo magnético que atraviesa la espira: ∅𝐵 = ∫ 𝑩 . 𝑑𝑨 = 𝐵 ∫ 𝑑𝑨 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 ∫ 𝑑𝑨 ∅𝐵 = 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃𝐴

Por lo tanto, la fem inducida: 𝜀 = −𝑁

𝑑(𝐵𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝑑𝑡

Ley de Faraday - Henry en forma diferencial Para arribar a la forma diferencial de la Ley de Faraday, te propongo que consideres un camino rectangular infinitesimal PQRS y de lados 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 . Con un procedimiento similar al seguido para la forma diferencial de Ley de Ampere, calcularemos el recorrido del campo eléctrico 𝐸 a lo largo de este trayecto. ∮ 𝐸. 𝑑𝑙 = = − 𝑁

𝑃𝑄𝑅𝑆

𝑑∅𝐵 𝑑𝑡

Recuerda que un campo magnético variable genera una fem inducida y una corriente inducida que implica la existencia de un campo eléctrico. A diferencia de los campos estáticos, este campo inducido se caracteriza por ser no conservativo. Ahora, la integral a lo largo de una línea cerrada no es cero, sino que es igual a ℰ . Figura 23

Fuente: Alonso y Finn, 1970, p. 656.

Entonces, abordando el recorrido de los lados QR y SP: ∫ 𝐸. 𝑑𝑙 + ∫ 𝐸. 𝑑𝑙 = (𝐸𝑦 − 𝐸𝑦´ )𝑑𝑦 = 𝑑𝐸𝑦 . 𝑑𝑦 𝑄𝑅

𝑆𝑃

𝑑𝐸𝑦 representa el cambio de 𝐸𝑦 , en virtud de la separación espacial 𝑑𝑥 , en términos de derivadas parciales 𝑑𝐸𝑦 =

𝜕𝐸𝑦 𝜕𝑥

𝑑𝑥, reemplazando:

∫ 𝐸. 𝑑𝑙

𝜕𝐸𝑦 𝑑𝑥. 𝑑𝑦 = 𝜕𝑥 𝑆𝑃 Análogamente, se calcula la contribución a la integral de los segmentos PQ y RS. Sumando el recorrido de campo en toda la trayectoria se obtiene: 𝑄𝑅

∫

𝑃𝑄𝑅𝑆

+ ∫ 𝐸. 𝑑𝑙

𝐸. 𝑑𝑙 = (

𝜕𝐸𝑥 𝜕𝐸𝑦 ) 𝑑𝑥 . 𝑑𝑦 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥

Calculando el flujo del campo 𝐵, y debido a que la superficie determinada por PQRS está en el plano xy, entonces la componente a considerar es la del eje 𝑧: ∫

𝑃𝑄𝑅𝑆

𝐵. 𝑑𝑆 = 𝐵𝑍. . 𝑑𝑥𝑑𝑦

Sustituyendo estas dos últimas expresiones en la inicial:

Cancelando 𝑑𝑥. 𝑑𝑦:

(

𝑑𝐵𝑍. . 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸𝑥 − ) 𝑑𝑥. 𝑑𝑦 = − 𝑁 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑑𝑡 (

𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸𝑥 𝑑𝐵𝑍. . − )=− 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑑𝑡

Si repitiéramos este desarrollo para los planos YZ y ZX, se obtiene: (

𝜕𝐸𝑦 𝑑𝐵𝑥. . 𝜕𝐸𝑧 − )=− 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑑𝑡

(

𝑑𝐵𝑦. . 𝜕𝐸𝑥 𝜕𝐸𝑧 )=− − 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑡

Estas tres expresiones representan la forma diferencial de la Ley de Faraday y exponen las relaciones que existen entre la derivada respecto al tiempo de B y el valor del campo eléctrico en el mismo punto. En forma compacta, haciendo uso del operador rot (rotor): 𝑟𝑜𝑡𝐸 =

𝜕𝐵 𝜕𝑡

Ley de Lenz La dirección de la fem inducida y de la corriente inducida queda determinada por la Ley de Lenz. La polaridad de la fem inducida en una espira es tal que genera una corriente cuyo campo magnético se opone al cambio en el flujo magnético que atraviesa la espira. La corriente inducida tiene una dirección tal que el campo magnético inducido tiende a mantener el flujo magnético original a través de la espira. Explicaremos esta afirmación con el siguiente ejemplo: Figura 24

Fuente: Serway y Jewett, 2004, p. 202.

Este circuito está constituido por una resistencia, dos rieles conductores y una barra móvil que puede desplazarse perpendicularmente a los rieles. Este circuito conforma una espira que, suponemos, está en el interior de un campo magnético 𝐵 en el sentido entrante al plano del dibujo.

Una resistencia, 𝑅, es un elemento de circuito que representa la relación entre la diferencia de potencial en sus extremos, 𝑉, y la corriente que este elemento

permite atravesar 𝐼. Esta relación depende de una característica de los materiales denominada resistividad. En el capítulo dedicado exclusivamente a Circuitos Eléctricos, encontrarás ampliado este concepto. Por ahora, necesitamos conocer solamente su presencia y la unidad de medida de resistencia eléctrica: el ohm [Ω]. A medida que se desplaza la barra, cambia el flujo de campo magnético que atraviesa la espira. Si se desplaza hacia la derecha, entonces el ∅𝐵 que atraviesa el circuito aumenta.

En esta situación, ∅𝑩 en aumento, la corriente inducida, según la ley de Lenz, debe tener un sentido tal que ella genere un campo magnético que se oponga al aumento de ∅𝐵 .

Aplicando la regla de la mano derecha, para generar un campo saliente del plano del dibujo, la corriente eléctrica deberá tener sentido antihorario.

Figura 25

Fuente: Serway y Jewett, 2004, p. 165.

Si la barra se desliza hacia la izquierda, el ∅𝑩 que atraviesa el circuito está disminuyendo. En tal caso, la corriente inducida ha de tener un sentido de circulación tal que sea capaz de generar un campo magnético que se oponga al

cambio de ∅𝑩 en cuestión. Si aplicas la regla de la mano derecha una vez más, deducirás que la corriente gira en sentido horario. Esta es la explicación al signo - (menos) que aparece en la expresión de fem inducida en la Ley de Faraday.

“La dirección de cualquier efecto de la inducción magnética es la que se opone a la causa del efecto” (Sears, Zemansky y otros, 2009, p. 1004).

4.4 Autoinducción o inducción mutua Hemos analizado anteriormente que en un circuito por el que circula una corriente, se establece un campo magnético que da lugar a un flujo a través del mismo circuito. Este flujo cambia cuando la corriente cambia. Así, cualquier circuito por el que circule una corriente variable tiene una fem inducida en él debida a su propio campo magnético variable. Esta fem se llama autoinducida. Figura 26

Fuente: Sears, Zemansky y otros, 2009, p. 1034.

Si el circuito contiene una bobina con N espiras, entonces la fem autoinducida se intensifica. Como resultado de la corriente, hay un ∅𝑩 que atraviesa cada espira.

Se define autoinductancia o, sencillamente, inductancia L: ∅ 𝐿=𝑁𝑖

La unidad de inductancia en el SI (Sistema Internacional 𝑊𝑏 de Unidades) se denomina Henry [𝐻 = ]. 𝐴

Si la corriente cambia, el flujo cambia. Reacomodando la ecuación anterior y expresando las tasas de cambio mediante las derivadas en función del tiempo: 𝑁

𝑑∅𝐵 𝑑𝑖 = 𝐿 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Y aplicando la Ley de Faraday, obtenemos la expresión para la fem autoinducida: 𝜀 = −𝐿

𝑑𝑖 𝑑𝑡

Ahora analicemos las fem inducidas en las bobinas de la figura. Figura 27

Fuente: Sears, Zemansky y otros, 2009, p. 1031.

Una corriente 𝑖1 (denotamos con 𝑖 minúscula a una corriente variable en el tiempo) en la bobina 1 establece un campo magnético y algunas líneas de campo atraviesan la bobina 2. ∅𝐵2 es el campo magnético debido a la corriente 𝑖1 que atraviesa cada espira de la bobina 2.

El campo magnético creado es proporcional a 𝑖1 y, por lo tanto, el flujo también.

Cuando 𝑖1 cambia, ∅𝐵2 cambia, y este flujo cambiante induce una fem en el circuito 2: 𝜀2 = − 𝑁2

𝑑∅𝐵2 𝑑𝑡

La proporcionalidad entre 𝑖1 y ∅𝐵2 se puede expresar introduciendo una constante 𝑀12 , de la siguiente forma: 𝑁2 ∅𝐵2 = 𝑀21 𝑖1

Introduciendo la derivada en el tiempo para representar las variaciones que tienen lugar: 𝑁2

𝑑∅𝐵2 𝑑𝑖1 = 𝑀21 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Y retomando la definición de fem:

𝜀2 = −𝑀21

𝑑𝑖1 𝑑𝑡

Es decir que una variación en la corriente 𝐢𝟏 en la bobina 1, produce una fem directamente proporcional en la bobina 2. 𝑀21 es una constante que, si la bobina está en vacío (no tiene núcleo de material magnético), depende solamente de la geometría de la bobina (tamaño y forma de la espira, cantidad de espiras). Si la bobina está montada en material magnético, entonces la inductancia mutua depende de las características magnéticas del material (𝑘).

Análogamente, si analizamos el efecto de una corriente 𝑖2 sobre la bobina 1, la constante de proporcionalidad 𝑀12 resulta igual a 𝑀21 , aun cuando las bobinas no sean simétricas. Esta constante se denomina inductancia mutua. 𝑀 = 𝑁2

∅𝐵1 ∅𝐵2 = 𝑁1 𝑖1 𝑖2

Circuito RL Serie Analizaremos en este apartado el comportamiento de un circuito cuyos elementos son una resistencia 𝑅 , una bobina caracterizada por un valor de inductancia dado por 𝐿 y una fuente de energía que denominamos 𝜀 .

Como explicamos en los apartados previos, la existencia de un inductor en un circuito ocasiona un efecto de oposición a los cambios rápidos de corriente del circuito. Su presencia puede generar un efecto deseable cuando, por ejemplo, la fuente no proporciona energía de manera estable. Figura 28

Fuente: Sears, Zemansky y otros, 2009, p. 1042.

La siguiente función describe el comportamiento de la corriente de un circuito RL con fem: 𝑖=

𝑅 𝜀 𝑡) (1 − 𝑒 (− 𝐿 ) 𝑅

La figura muestra el comportamiento de la corriente en el circuito cuando se cierra el interruptor. 𝜀

En el momento 𝑡 = 0, 𝑖 = 0 y 𝑑𝑡 = 𝐿 𝑑𝑖

La corriente instantánea crece con rapidez, luego con lentitud y tiende a alcanzar 𝜀 un valor final . 𝑅

Cuando 𝑡 = 𝑅, reemplazando en la ecuación de la corriente, puedes comprobar que: 𝐿

𝑖=

𝜀

𝑅

𝜀 (1 − 𝑒 (−1)) = 0.63 𝑅

𝜀 La corriente ha alcanzado el 63% del valor final 𝑅. Es un valor útil, ya que representa la rapidez de la corriente en alcanzar el valor final y se denomina 𝑳 constante de tiempo 𝝉 = para el circuito R-L. 𝑹

Ejemplo:

Un circuito electrónico que funciona con una corriente 36 𝑚𝐴 debe protegerse evitando que la corriente alcance 4.9 𝑚𝐴 en los primeros 48 𝜇𝑠 después de cerrado el interruptor. Para ello, se coloca en serie una bobina. ¿Qué valor de inductancia es necesario? ¿Cuál es el valor de 𝜏 ? Utiliza 𝑅 = 100Ω. Partimos de la expresión que describe el comportamiento de la corriente en un circuito R-L:

Para 𝑡 → ∞

𝑖=

𝑅 𝜀 𝑡) (1 − 𝑒 (− 𝐿 ) 𝑅

𝑖=

𝜀 𝑅

De esta ecuación, puedes conocer el valor de 𝜀 = 𝑖𝑅 reemplazando el valor de 𝑅 = 100Ω y el valor de corriente final que se establecerá en el circuito 36 𝑚𝐴. 𝜀 = 𝑖𝑅 = 36 [𝑚𝐴] × 100[𝛺] = 3.6 [𝑉]

Reacomodando la expresión de la corriente, obtenemos L (puedes consultar el desarrollo matemático en la sección 30.4 de Sears, Zemansky y otros, 2009). 𝐿=

−𝑅𝑡

𝑙𝑛(1 −

𝑖𝑅 ) 𝜀

Aplicamos esta ecuación para el valor de corriente que no debe superarse a los 48 [𝜇𝑠]

𝐿=

𝐿=

−100[𝛺]48 [𝜇𝑠] 4.9 [𝑚𝐴]100[𝛺]) 𝑙𝑛(1 − 3.6 [𝑉]

−100[𝛺]48 × 10−6 [𝑠] −48 ×0.049 10 −4 [𝛺][𝑠] 4.9 × 10−3 [𝐴]100[𝛺] = 𝑙𝑛(1 − 𝑙𝑛(1 − ) 3.6 ) 3.6 [𝑉] −48 × 10−4 𝐿= [𝛺][𝑠] = 342 [𝑚𝐻] −0.014

El cálculo de 𝝉 = proporciona el siguiente valor: 𝑹 𝑳

𝐿 342 × 10−3 [𝐻] 𝜏= = = 3420 𝜇𝑠 𝑅 100[𝛺]

Recién a los 3420 𝜇𝑠 la corriente alcanza el 63% del valor final (0.63 × 36 𝑚𝐴 = 22.68 𝑚𝐴). A continuación, analizaremos el comportamiento de la corriente cuando, en ausencia de fem, se abre el interruptor. La corriente eléctrica decae según lo muestra la función: 𝑖=

𝑅 𝜀 (1 − 𝑒 (− 𝐿 𝑡) ) 𝑅

Figura 29

Fuente: Sears, Zemansky y otros, 2009, p. 1044.

Designamos 𝑡 = 0 al instante en el que se cierra el interruptor. Considerando que la corriente establecida en el circuito era 𝐼0 , a partir de este instante 𝐼0 decrece lentamente según la función: 𝑅

𝑖 = 𝐼0 𝑒 (− 𝐿

𝑡)

Una vez que avances en el estudio de los circuitos eléctricos (tema al que nos dedicaremos enteramente en el próximo módulo), puedes, si lo deseas, razonar la obtención de esta expresión siguiendo el desarrollo matemático expuesto en la sección 30.4 de Sears, Zemansky y otros (2009). Ahora, asumimos que esta es la función que describe el decaimiento de la corriente en un circuito R-L. Si reemplazamos el valor de la constante de tiempo 𝝉 = 𝑹, deducimos que la corriente: 𝑳

𝑖 = 𝐼0 𝑒 (−1) = 𝐼0 /𝑒 𝑖=

𝐼0 = 0.37 𝐼0 𝑒

Esto significa que para el valor de tiempo 𝜏, el valor de la corriente es sólo el 37% de 𝐼0 . Otra vez 𝜏 nos da una medida de la rapidez de decaimiento de la corriente.

4.6 Energía del campo magnético Cuando una corriente se establece en un circuito a través de una bobina, no lo hace de manera instantánea, sino que crece desde cero hasta un valor en el que se estabiliza en un intervalo de tiempo dado.

La energía que se suministra hasta que la corriente adquiere el valor final 𝐼 y permanece almacenada en el inductor se calcula mediante la siguiente expresión: 𝐼

𝑈 = 𝐿 ∫ 𝑖 𝑑𝑖 = 0

1 2 𝐿𝐼 2

Una vez que la corriente alcanzó el valor 𝐼, no se proporciona más energía al inductor.

Cuando la corriente es cero, no hay energía almacenada. Cuando la corriente es 1 𝐼, la energía almacenada es 𝐿𝐼2 . 2

La apertura intempestiva de un circuito por el que circula corriente hace que esta caiga bruscamente a cero, por lo que se genera una fem inducida grande tendiente a restablecer las condiciones previas. De esta forma, la energía almacenada se libera pudiendo ocasionar chispas o un arco eléctrico entre los extremos abiertos del circuito. Un ejemplo de aplicación de uso cotidiano es el uso de bobinas para el encendido de un motor a partir de la chispa producida por una bujía Figura 30

Fuente: Sears, Zemansky y otros, 2009, p. 1040.

Una bobina primaria de alrededor de 250 espiras está conectada a la batería del vehículo y produce un campo magnético intenso. Esta bobina está rodeada por una bobina secundaria con cerca de 25000 espiras de alambre muy delgado. Cuando es el momento de encender la bujía la corriente hacia la bobina primaria se interrumpe, el campo magnético disminuye a cero con rapidez y en la bobina secundaria se induce una fem de decenas de miles de voltios. La energía almacenada en el campo magnético se convierte en un potente pulso de corriente que recorre la bobina secundaria hacia la bujía, donde genera la chispa que enciende la mezcla de combustible con aire en el cilindro del motor. (Sears y Zemansky y otros, 2009, p. 1040).

Oscilaciones eléctricas. Circuitos LC y RLC Ahora, analizaremos el funcionamiento del siguiente circuito L-C.

Supongamos que inicialmente el capacitor cuenta con una carga 𝑄 y que la diferencia de potencial entre sus placas es 𝑉𝑚 . Cuando se cierra el interruptor, se establece en el circuito una corriente que al atravesar la bobina genera una fem inducida que se opone al crecimiento de la corriente. La corriente crece gradualmente hasta alcanzar el valor 𝐼𝑚 mientras el capacitor se descarga. Figura 31

Fuente: Sears, Zemansky y otros, 2009, p. 1046.

En el circuito se cumple que, en cada instante, la diferencia de potencial en el condensador es igual a la fem inducida. Cuando se completó la descarga del capacitor, el potencial en el capacitor es cero y también la fem inducida, mientras que la corriente se establece en el valor 𝐼𝑚 . La energía que al inicio estaba almacenada en el capacitor se transfirió durante este proceso al campo magnético creado por la bobina.

Aunque el capacitor alcanzó carga cero, la corriente no cae a cero inmediatamente debido a la inductancia del circuito, que produce una disminución lenta debido a la fem inducida que se opone a la disminución (genera una corriente inducida en el mismo sentido que retarda el decrecimiento). Con el tiempo, la corriente y el campo magnético se anulan mientras el capacitor adquirió carga en el sentido opuesto al inicial. Todo el proceso se repite y si no se considera la pérdida de energía asociada, el circuito LC se comporta estableciendo una oscilación eléctrica.

La energía total del circuito es constante, la oscilación implica una transferencia de energía del capacitor a la bobina y de ésta al capacitor de manera alternativa.

La explicación de este comportamiento tiene analogía con el movimiento armónico simple. Te invito a que detenidamente lo revises para profundizar en la comprensión del fenómeno oscilatorio. Para el circuito eléctrico LC, la frecuencia angular de la oscilación es: 𝜔=√

1 𝐿𝐶

Y la función que describe el comportamiento de la corriente es: 𝑖 = −𝜔𝑄 sen(𝜔𝑡 + 𝜗)

Los valores de 𝑄 y 𝜗 quedan determinados por las condiciones iniciales.

Si para el valor de 𝑡 = 0, la carga del capacitor es 𝑄 y la corriente 𝑖=0; entonces, 𝜗=0 El circuito LC es un sistema conservativo. La cantidad de energía se mantiene constante y oscila entre la forma de energía magnética y eléctrica. Energía del campo eléctrico

𝑞2

2𝐶

Energía del campo magnético

.

1

2

𝐿𝑖 2 .

𝑞 2 1 2 𝑄2 + 𝐿𝑖 = 2𝐶 2 2𝐶

Ejemplo:

Una fuente de 150𝑉 se utiliza para cargar un capacitor de 15𝜇𝐹. Una vez cargado, se desconecta la fuente y se conecta una bobina de 10𝑚𝐻. Determina: Frecuencia y período de oscilación del circuito.

La carga y la corriente en el circuito después de 1.2ms de haber conectado la bobina. a) La frecuencia está relacionada con la frecuencia angular mediante 𝜔 = 2𝜋𝑓 1 1 𝜔=√ = √ −3 10 × 10 [𝐻]15 × 10−6[𝐹] 𝐿𝐶

𝜔= √ 𝑓=

1 = 2.58 × 103 [𝑟𝑎𝑑/𝑠] 150 × 10−9 [𝐻][𝐹]

𝜔 2.58 × 103 [𝑟𝑎𝑑/𝑠] = 410,6 [𝐻𝑧] = 2𝜋 2𝜋

b) La expresión de la corriente es:

𝑖 = −𝜔𝑄 sen(𝜔𝑡 + 𝜗)

La caga máxima corresponde a 𝑡 = 0

𝑄 =𝐶 ×𝜀

𝑄 = 15 × 10−6 [𝐹] × 150[𝑉] 𝑄 = 2.25 × 10−3 [𝐶]

La carga 𝑞 en cualquier momento es:

𝑞 = 𝑄 cos(𝜔𝑡)

Par...