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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA AMBIENTAL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS Y ESTUDIOS Y ESTUDIOS ESPECÍFICOS BÁSICOS PERIODO ACADÉMICO 2019-2

AA232 - BIOESTADÍSTICA SOLUCIONARIO EXAMEN FINAL – Tema A Profesoras Día y hora Indicaciones

1.

: CASTAÑEDA SALDAÑA Beatriz, ARANA LOPEZ Sara : 11 de diciembre del 2019 - 11:00am – 13:00pm : Sin copias ni apuntes. Prohibido el préstamo de calculadoras y el uso de Celulares.

El Instituto de Nutrición de la Región Norte ha publicado una investigación en la cual informa que en la ciudad de Chulucanas el peso de niños de 5to grado de primaria es normal con los siguientes parámetros, según clasificación por sexo: V  45kg V  6. 4kg;  M  40kg  M  5Kg a) Determine la probabilidad de que al seleccionar una muestra de 20 niños y una muestra de 25 niñas, el peso medio de los niños supere al menos en 10 kg al peso medio de las niñas. 2p

Solución Al seleccionar muestras de tamaño n1= 20 y n2=25 Como las muestras proceden de poblaciones normales, entonces

( XV  X M ) es Normal con

X

V

X M

 V   M  5;

X

V

XM



 V2 n1



 M2 n2

 1.75

Se pide determinar

P ( X V  X M  10)  P ( Z  b)

10  5 )  P ( Z  2. 857)  0.0021 1. 75

Si luego de seleccionar las muestras de 20 niños y 25 niñas se obtuvo xV  47 kg; S V  6 .5 kg y x M  38kg; S M  4.5kg ¿son estos datos evidencia para contradecir lo publicado en la investigación en relación a la comparación de pesos? Proporcione la significancia p o nivel crítico. 2p

Solución Para responder a esta pregunta realizamos la prueba de las siguientes hipótesis: De la información publicada al comparar los pesos formulamos

H0 : V   M  5 ( lo que publica implícitamente la investigación) H1 :  V   M  5 ( contradice los resultados de la investigación) Con la data de las muestras verificamos si la data corrobora las varianzas de los pesos para cada población

H 0 :  V2  6 . 4 ² H 1 :  V2  6 .4 ²  se acepta que  V2  6 .4 ² X2

2 ( n 1  1) S V

 V2



19( 6. 5²)  19 . 6 6 .4 ²

p v  2 * P (  (219 )  19 . 6 )  0. 84  0 .05

H 0 :  M2  5² H 1 :  M2  5²  se acepta que  X2

(n 2  1 )S



2 M



2 M

24 (4 .5 ²)  19 . 44 5²

2 M

 5²

p v  2 * P ( 2(24 )  19 . 44 )  0. 54  0 .05

Con los resultados anteriores para la prueba de comparación de medias aplicaremos la estadística Z para comparación de medias con varianzas conocidas

Z

( XV  X M )  5



2 V

n1





2 M



(47  38 )  5  2.286 1 .75

p v  2 * P (Z  2.286)  0.022

n2

Lo cual indica que la diferencia encontrada para los pesos medios en las muestras es significativamente mayor a 5 kg (pv < 0.05) lo cual contradice a los resultados ofrecidos con la investigación. 2.

El tiempo de reacción de un conductor a un estímulo visual tiene una distribución normal con media 0.4 segundos y desviación estándar de 0.05 segundos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el conductor reaccione en más de 0.5 segundos? 1p Solución Sea X: Tiempo de reacción del conductor X es Normal con  = 0.4 seg y σ = 0.05 seg

P ( X  0 .5)  P( Z  2)  0 .023 b)

¿Cuál es el tiempo de reacción que se espera exceder el 90% de las veces? 1p

Solución El tiempo que se excede el 90% de las veces es el percentil 10

Z 0.10  c)

X 0.10  0. 4   1. 28  X0 .10  0.336 seg 0 .05

Se observó el tiempo de reacción de 20 conductores luego de haber ingerido cierto medicamento obteniéndose los siguientes resultados: x = 0.48 segundos, S= 0.08 seg ¿Son estos datos una evidencia de que el medicamento tiene un impacto para retardar y aumentar la variabilidad del tiempo de reacción?. Proporcione el nivel crítico. 2p

Solución Para responder a la pregunta realizamos las siguientes pruebas de hipótesis 1) H0: σ² = 0.05² H1: σ² > 0.05² (el medicamento aumenta la varianza del tiempo de reacción)

X2

19 * (0 .08 ²)  48. 64 pv  P (  (219 )  48. 64)  0.0002  0.001 0 .05²

Concluimos que los resultados de la muestra son evidencia de que el medicamento tiene impacto en aumentar de manera significativa la variabilidad del tiempo de reacción (pv 0.4 (el medicamento retarda el tiempo de reacción) Como la muestra es pequeña n = 20, aplicaremos la prueba T

T 

X   0 0.48  0.4  4. 47  S / n 0 .08 / 20

pv  P ( t( 19)  4. 47)  0.00013  0.001

Concluimos que los resultados de la muestra son evidencia de que el medicamento tiene impacto en retardar de manera significativa el tiempo de reacción (pv 90% (la promoción expresa que la vacuna es efectiva en más del 90% de los casos) Con la data de la muestra calculamos p = (300-28)/300 = 0.907 (proporción de vacunados que no contrajo la hepatitis, es decir fueron protegidos por la vacuna) N = 8000 vacunados (población de vacunados) (n/N < 0.10 población grande)

Z

n= 300 muestra seleccionada

0. 907  0. 90  0. 404 pv  P ( Z  0. 404)  0. 344  0. 05 0.90 (0 .10 ) / 300

Los datos no corroboran la promoción el porcentaje protegido contra la hepatitis no supera de manera significativa al 90% (p > 0.05) b)

Con 90% de confianza estime el número total de personas que contraería la hepatitis B entre las 8000 que recibieron la vacuna. 2p

Solución Para obtener la estimación interválica del número de personas que contraería la hepatitis entre los 8000 que fueron vacunados, calculamos primero la estimación para el porcentaje de vacunados que contraería la hepatitis P = 28/300= 0.093 confianza 90%, entonces Z0.95 = 1.645

0 .093(0 .907 ) p(1  p )  0. 093  1. 96 300 n L  0. 093 0. 028 luego Li  0.065 Ls  0.121

L  p  Z 1/ 2

Luego el IC 90% para el total de vacunados que contraería la hepatitis lo calculamos expandiendo el resultado el tamaño poblacional Li(T) = 8000(0.065) = 520 Ls(T) = 8000(0.121) = 968 Con 90% de confianza estimamos que entre 520 y 968 vacunados no serían protegidos por la vacuna y contraerían la hepatitis. 2. En una partida grande de pilas eléctricas, la vida útil de ellas sigue una distribución normal con una media de 500 horas. Se sabe además que 95% de las pilas tiene una vida útil comprendida entre 402 y 598 horas. a) Proporcione la desviación estándar de la vida útil de este tipo de pilas 1p Solución Si el 95% tiene vida útil entre 402 y 598 horas, entonces como se observa estos límites son simétricos respecto de 500, por lo cual 598 es el percentil 97.5 al que le corresponde

Z 0.975  1. 96 

X 0. 975  





598  500



, entonces   50

b) Si se selecciona una muestra de 72 pilas de esta partida, i) ¿Cuál es el número esperado de pilas con una duración mínima de 580 h? 2p Solución Calculamos la probabilidad de que una pila tenga duración mínima 580 horas P(X  580) = P(Z  1.6) = 0.055 Sea Y: n° de pilas con duración mínima 580 horas, entre las 72 pilas inspeccionadas Y es binomial con P = 0.055 E(Y) = 72(0.055) = 3.96  4 ii) ¿cuál es la probabilidad de que la media de la muestra sea inferior a 495 horas? 1p Solución

P ( X  495)  P ( Z 

495  500 )  P (Z   0.85)  0 .20 50 / 72

3. El fabricante de una lectora de CD quiere saber si una reducción del 10% en el precio es suficiente para aumentar las ventas de su producto. A fin de investigar, el propietario seleccionó al azar 8 tiendas y vendió la lectora a precio rebajado. En otras 7 tiendas seleccionadas al azar, se vendió al precio regular. A continuación se reportan el número de unidades vendidas durante un mes en los establecimientos seleccionados. Precio regular 138 121 Precio rebajado 128 134

88 115 141 125 96 152 135 114 106 112

120

a) Al nivel del 0.01 de significancia ¿Puede el fabricante concluir que la reducción en el precio dio como resultado un aumento en las ventas? 2p

Solución Para este análisis postulamos las hipótesis H0: pReb =preg (el promedio de ventas con precio rebajado no supera al promedio de ventas con precio regular) H1: pReb > preg (el promedio de ventas con precio rebajado supera al promedio de ventas con precio regular) Obtenemos las medidas de resumen para las ventas en las tiendas de las muestras ni promedio S S² Precio Regular 7 117.71 19.91 396.57 Rebajado 8 125.13 15.09 227.84 Como las muestras son pequeñas analizamos la comparación de varianzas para elegir la estadística H0: σ²pReb = σ²preg

H1: σ²pReb  σ²preg

F= 396.57/227.84 = 1.74

pv= 2*P(F(6,7)> 1.74) = 2*0.242=0.484 > 0.05

La diferencia encontrada no es significativa, por lo cual asumimos que las varianzas son semejantes. Entonces utilizamos la estadística T

T

( 125. 13 117.71)  0. 82; P (t (13 )  0. 82)  0. 21  0.01 6( 396. 57 7( 227.84) (1 / 7  1 /8 ) 13

El promedio de ventas con precio rebajado es mayor que el promedio de ventas con precio regular, pero la diferencia encontrada no alcanza significancia (p > 0.05), por lo cual no podemos concluir que la reducción del precio aumenta las ventas. b) Obtenga una estimación por intervalo para la diferencia del promedio de ventas a precio rebajado respecto del promedio de ventas a precio regular. Interprete el resultado. 2p Solución Para la estimación por intervalo asumimos confianza 95%

6( 396.57  7( 227.84 ) (1/ 7  1/ 8) 13 Li   12. 13 Ls  26. 97

L  ( 125. 13  117. 71)  2.16 L  7. 42 19. 55

Este resultado nos indica que con 95% de probabilidad es posible que las ventas promedio con precio regular superen hasta en 12.13 unidades a las ventas promedio de las ventas con precio rebajado como que también es probable que las ventas medias con precio rebajado sea superior a las ventas con precio hasta en 27 unidades o que no exista diferencia, por lo cual concluimos que no hay diferencia significativa entre las ventas bajo las dos condiciones para el precio.

4. Una compañía de servicios informáticos recibe en promedio 0.25 pedidos por hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en 4 horas haya recibido de 2 a 5 pedidos inclusive. 1p Solución Sea X: n° de pedidos recibidos por en 4 horas X es Poisson con la  = 4*0.25 = 1 5 1 P ( 2  X  5)  e  2

b)

1x  0. 264 x!

¿Cuál es la probabilidad de que luego de recibir un pedido, transcurran 2 horas sin recibir pedidos. 1p

Solución Teniendo en cuenta que bajo el modelo de Poisson las ocurrencias de hechos es independiente de una unidad a otra, por lo cual calculamos la probabilidad de no recibir pedidos en un periodo de 2 horas donde  = 0.5 P(X=0 en un periodo de 2 horas) = e-0.5 = 0.606 c)

Si se observan 5 turnos de 8 horas de atención cada uno, ¿cuál es la probabilidad de que en 3 de estos turnos se haya recibido al menos 7 pedidos?. 2p

Solución Primero consideramos la ocurrencia de pedidos en un turno de 8 horas, donde  = 2

P ( X  7 ) 1  P( X  6 )  1  0.9955  0 .0045 Se indica que se observa 5 turnos de 8 horas y se pide la probabilidad de que en 3 de estos turnos se haya recibido al menos 7 pedidos, entonces

P  C35 0. 00453 0.99552  9.03(10 7 ) 5.

Los “raitings” de público televidente han vuelto a los productores y patrocinadores muy sensibles a las afirmaciones acerca del auditorio que ve un programa dado. Una estación de televisión afirma que su noticiero de las 6 p.m. es visto por el 40% del auditorio de en su área de cobertura. a) Si lo afirmado es verdad, ¿cuál es la probabilidad de que en una muestra de 25 televidentes no más del 20% vea el noticiero? 1p

Solución Si el noticiero de las 6 pm tiene una audiencia del 40% = P P (porcentaje de televidentes que ven el noticiero) Si tomamos una muestra de n=25 televidentes X: n° de televidentes en la muestra que ven el noticiero es binomial con n= 25 y P = 0.40, luego si p = x/n P(p  0.20) = P(X  5) = 0.029

a) Una empresa que desea comprar tiempo de publicidad durante el noticiero desea validar la afirmación de la transmisora ¿De qué tamaño debe ser la muestra seleccionada por la empresa si desea que la precisión de su estimación sea de 5% con 90% de confianza? 1p Solución Asumiendo la información proporcionada por la estación de televisión, determinamos el tamaño de muestra E= 5% , confianza = 90% , P = 40%; entonces Z0.95 = 1.645

n b)

1.645²(0.4)(0.6 )  259 .8  260 0 . 05² Suponga que se toma una muestra aleatoria de 200 televidentes y 32% indican que ven el noticiero de las 6 p.m. ¿Es ésta evidencia suficiente de que la afirmación de la estación transmisora es falsa?. Proporcione el nivel crítico de la prueba. 2p

Solución Postulamos las hipótesis H0: P  0.40 (si la audiencia es 40% o más no se contradice a lo afirmado) H1: P < 0.40 (se contradice lo afirmado por la estación de televisión) Aplicamos la prueba Z

Z

0 .32  0 .4 p  P0   2.31 pv =P(Z...