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Ableitungstabelle...

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Stammfunktion

komplex-differenzierbar in jedem Punkt

c ∈ C, ′ f: C ′ → C ′ f (z) := c (z ∈ C) ′

z∈ C ′ mit Ableitung ′ f (z) = 0

n ∈ IN, f : C ′ → C ′ n f (z ) := z (z ∈ C) ′

z∈ C ′ mit Ableitung ′ f (z) = nz n−1

f: C ′ → C ′ \ {0}

z∈ C ′ mit Ableitung

ln : C ′ \ {0} → C ′

z∈ C ′ \ (−∞|0] mit Ableitung ln′ (z) =

α ∈ C, ′ f: C ′ \ {0} → C ′ α f (z) := z (z ∈ C ′ \ {0})

z∈ C ′ \ (−∞|0] mit Ableitung ′ f (z) = αz α−1

sin : C ′ → C ′

z∈ C ′ mit Ableitung

z

f (z) := e

(z ∈ C) ′

f ′ (z) = ez

cos : C ′ → C ′

sin′ (z) = cos(z), cos′ (z) = − sin(z)

D := C ′ \ { π2 + kπ | k ∈ ZZ}

z ∈ D mit Ableitung 1 tan′ (z) = = 1 + tan2 (z) 2 cos (z)

tan : D → C ′ D := C ′ \ {kπ | k ∈ ZZ} cot : D → C ′ sinh : C ′ → C ′ cosh : C ′ → C ′

z ∈ D mit Ableitung 1 cot′ (z) = − 2 = −(1 + cot2 (z)) sin (z) z∈ C ′ mit Ableitung ′ sinh (z ) = cosh(z ), cosh′ (z ) = sinh(z )

D := C ′ \ {j( π2 + kπ ) | k ∈ ZZ } z ∈ D mit Ableitung 1 tanh : D → C ′ tanh′ (z) = = 1 − tanh2 (z) 2 cosh (z) D := C ′ \ {jkπ | k ∈ ZZ} coth : D → C ′

z ∈ D mit Ableitung 1 = 1 − coth2 (z) coth′ (z) = − 2 sinh (z)

1 z

Stammfunktion

reell-differenzierbar in jedem Punkt

arcsin : [−1|1] → [− π2 | π2 ]

x ∈ (−1|1) mit Ableitung 1 arcsin′ (x) = √ 1 − x2

arccos : [−1|1] → [0|π]

x ∈ (−1|1) mit Ableitung 1 arccos′ (x) = − √ 1 − x2

arctan : IR → (− 2π | π2 )

x ∈ IR mit Ableitung 1 arctan′ (x) = 1 + x2

arccot : IR → (0|π)

x ∈ IR mit Ableitung 1 arccot′ (x) = − 1 + x2

arsinh : IR → IR

x ∈ IR mit Ableitung 1 arsinh′ (x) = √ 1 + x2

arcosh : [1|∞) → [0|∞)

x ∈ (1|∞) mit Ableitung 1 arcosh′ (x) = √ 2 x −1

artanh : (−1|1) → IR

|x| < 1 mit Ableitung 1 artanh′ (x) = 1 − x2

D := (−∞| − 1) ∪ (1|∞)

|x| > 1 mit Ableitung 1 arcoth′ (x) = 1 − x2

arcoth : D → IR \ {0}

Stammfunktion

reell-differenzierbar in ...

k ∈ IN, k ≥ 2, c ∈ C, ′ f : IR \ {c} → C ′ −1 f (x) := (k − 1)(x − c)k−1

x ∈ IR \ {c} mit Ableitung 1 f ′ (x) = (x − c)k

α ∈ IR, f : IR \ {α} → IR

x ∈ IR \ {α} mit Ableitung 1 f ′ (x) = x−α

f (x) := ln(|x − α|) α, β ∈ IR, β 6= 0, c := α + jβ, f : IR → C ′   x−α f (x) := ln(|x − c|) + j arctan β

x ∈ IR mit Ableitung 1 f ′ (x) = x−c

α, β ∈ IR, β 6= 0, c := α + jβ, f : IR → IR a, b ∈ IR, A := a + jb   x−α f (x) := 2a · ln(|x − c|) −2b · arctan | {z } β

x ∈ IR mit Ableitung

=a·ln((x−α)2 +β 2 )

f ′ (x) =

A A + |x − c {z x − c} =

2a(x−α)−2bβ (x−α)2 +β 2

Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen: Es sei α ∈ C ′ \ {0}, m ∈ IN , k1 , . . . , km ∈ IN sowie paarweise verschiedene Zahlen c1 , . . . , cm ∈ C ′ und ein Polynom p : C ′ → C ′ vorgegeben. Dann gibt es ur alle stets ein Polynom pe : C ′ → C ′ sowie Koeffizienten Aµν ∈ C, ′ so daß f¨ z∈ C ′ \ {c1 , . . . , cm } die folgende ’kanonische Zerlegung im Komplexen’ gilt: R(z) :=

p(z) α · (z − c1 · · · (z − cm )km )k1

= pe(z) + + .. . +

A11 A12 A1k1 + + ... + 2 z − c1 (z − c1 ) (z − c1 )k1 A2k2 A21 A22 + ... + + 2 (z − c2 )k2 z − c2 (z − c2 ) Amkm Am1 Am2 + ... + + 2 (z − cm )km z − cm (z − cm )...