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UVM UNIVERSIDAD DEL VALLE DE MEXICO METODOS NUMERICOS LILIANA JUAREZ SUAREZ ACTIVIDAD 1 REPORTE QUERETARO QRO. LUIS VERGARA BAEZ 23-09-21

ACTIVIDAD 1: Introducción Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensión de los principios científicos básicos. Los métodos numéricos ofrecen soluciones aproximadas muy cercanas a las soluciones exactas, la discrepancia entre una solución verdadera y una aproximada constituye un error, por lo que es importante saber qué se entiende por aproximar y aprender a cuantificar los errores, para minimizarlos.

Errores Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. El error numérico es una medida del ajuste o cálculo de una magnitud con respecto al valor real o teórico que dicha magnitud tiene. Un aspecto importante de los errores numéricos es su estabilidad numérica. Dicha estabilidad se refiere a como dentro de un algoritmo de análisis numérico el error de aproximación es propagado dentro del propio algoritmo.

 Concepto de algoritmos y pseudocódigo El algoritmo es un conjunto de operaciones que se utilizan para resolver problemas específicos. En estas instrucciones se indica la secuencia de operaciones que se deben realizar para que partiendo de los datos de entada se pueda obtener el resultado buscado. En ciencias de la computación, y análisis numérico el pseudocódigo (o falso lenguaje) es una descripción de un algoritmo informático de programación de alto nivel compacto e informal que utiliza las convenciones estructurales de un lenguaje de programación verdadero, pero que está diseñado para la lectura humana en lugar de la lectura en máquina, y con independencia de cualquier otro lenguaje de programación.

 Concepto de aproximación numérica Se entiende por aproximación numérica X* una cifra que representa a un número cuyo valor exacto es X. En la medida en que la cifra X* se acerca más al valor exacto X, será una mejor aproximación de ese número. Ejemplos: 3.1416 es una aproximación numérica de π

 Error inherente Los errores inherentes son aquellos que tienen los datos de entrada de un problema, y son debidos principalmente a que se obtienen experimentalmente, debiéndose tanto al instrumento de medición, como a las condiciones de realización del experimento

Por ejemplo, si necesitamos usar π en un cálculo, podemos escribirlo como 3.14, 3.1416, 3.1415926535589793..., etc. En muchos casos aún una fracción simple no tiene representación decimal exacta, por ejemplo 1/3, que puede escribirse solamente como una sucesión finita de números 3. Muchas fracciones que tienen representación finita en un sistema no la tienen en otro, el número 1/10 es igual a 0.1 en decimal y en binario es 0.000110011001100...

 Error de truncamiento Los errores de truncamiento se originan por el hecho de aproximar la solución analítica de un problema, por medio de un método numérico. Por ejemplo al evaluar la función exponencial por medio de la serie de Taylor, se tiene que calcular el valor de la siguiente serie infinita:

Ante la imposibilidad de tomar todos los términos de la serie, se requiere truncar después de cierto número de términos. Esto nos introduce ciertamente un error, que es el error de truncamiento.

 Error de redondeo Los errores de redondeo, se originan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritméticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de cifras que permita el instrumento de cálculo que se esté utilizando. Por ejemplo al calcular el valor de 1/3, tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3, que maneje nuestro instrumento de cálculo. Existen dos tipos de errores de redondeo:  Error de redondeo inferior: se desprecian los dígitos que no se pueden conservar dentro de la memoria correspondiente.  Error de redondeo superior: este caso tiene dos alternativas según el signo del número en particular.

 Error absoluto y relativo Utilizaremos el error absoluto cuando queramos ver cuánto nos hemos desviado del valor real y utilizaremos el relativo cuando queramos comparar dos o varias medidas que pueden o no tener algo en común para ver cuál de ellas tiene menor error en comparación con su valor real. Ejemplo: Medimos una mesa con una regla que aprecia milímetros y con la misma regla medimos un campo de fútbol. El error absoluto es el mismo (1 mm), pero no es lo mismo equivocarse en un milímetro de una medida grande que en un milímetro en una pequeña. En este caso el error relativo de la mesa sería mecho mayor que el error del campo del fútbol.

 Error de redondeo en punto flotante La aritmética de punto flotante tiene un alto grado de elaboración, una de las refinaciones es el redondeo, esto cobra especial importancia en este sistema numérico que en sí es una aproximación del número real. Se emplean bits adicionales denominados de guarda y redondeo en los cálculos

intermedios. Las operaciones en punto flotante requieren de algoritmos especiales y de un hardware dedicado (tradicionalmente como un coprocesador, con registros independientes, que puede comunicar los resultados a la memoria)

 Diferencia entre exactitud y precisión La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros.

DIAGRAMA DE FLUJO

Algoritmo y pseudocódigo Problema: Se cuenta con una llave de agua caliente y fría – un bote – shampoo y toalla INICIO SI (hace frío) Abrir la llave de agua caliente Si no Abrir la lave de agua fría Mojar al perro Ponerle shammpo Retirar el shampoo con agua Si (le quedo shampoo) Volver a enjuagarlo Secarlo FIN

Conclusiones Los métodos numéricos nos sirven para resolver problemas que no puedan manejarse con los métodos analíticos tradicionales, o no sea sencillo aplicarlos. Estos métodos proporcionan una sucesión de valores que se aproxima a la solución del problema. Al resolver un problema siempre tendremos presente errores. El error de redondeo es prácticamente inevitable y puede invalidar por completo la solución de un problema. Puede minimizarse su efecto, ya sea reduciendo de alguna manera él número de cálculos a realizar, ó reformulando la solución de un problema de tal forma que se evite las operaciones aritméticas que ocasionan más error. La suposición común de que trabajamos con números reales al realizar cálculos, no es cierta. Puede acarrearnos serias discrepancias entre valores teóricos y valores calculados. La precisión y la exactitud no son sinónimas. Una nos indica que tan confiable es un valor, y la otra que tan cerca estamos de él.

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