Actividad DE Funciones Exponenciales Y Logaritmicas PDF

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ACTIVIDAD DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICASAdrián Manuel Salgado MartínezViviana Pacheco BuendíaProfesor:Leonardo Fabio Carvajal FernándezUniversidad De CórdobaFacultad De IngenieríaDepartamento De Ingeniería Mecánica Montería, Córdoba2018 Funciones exponenciales. La función se llama una fun...

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ACTIVIDAD DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

Adrián Manuel Salgado Martínez Viviana Pacheco Buendía

Profesor: Leonardo Fabio Carvajal Fernández

Universidad De Córdoba Facultad De Ingeniería Departamento De Ingeniería Mecánica Montería, Córdoba 2018

1. Funciones exponenciales. La función el exponente.

se llama una función exponencial porque la variable, x, es

En general, una función exponencial es una de la forma: Donde a es una constante positiva. Recordemos el significado de esto. Si x=n, donde n es un entero positivo, entonces

Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función.

1.1.

Propiedades.

La función exponencial (y exponencial en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales. 

 

 

Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)

1.2.

Leyes De Los Exponenciales.

Estas son algunas de las leyes que se deben tener en cuenta para usar las funciones exponenciales.



Primera Ley: Cuando se multiplican dos factores con las bases iguales, su producto será esa base elevada a la suma de las potencias.



Segunda Ley: Se utiliza cuando tenemos dos factores cualquiera elevados por el mismo exponente.



Tercera Ley: Cuando un cociente (o una fracción) es elevado completamente por un exponente



Cuarta Ley: La cuarta ley de los exponentes es necesaria cuando tenemos un exponente dentro de otro exponente.



Quinta Ley: Se aplica solamente cuando estamos hallando el cociente de dos exponentes con bases iguales.



Sexta Ley: Toda expresión elevada a cero es igual a uno excepto el cero.



1.3.

Séptima Ley: Toda expresión elevada a un número negativo es equivalente a su recíproco pero con el exponente siendo positivo.

Ejemplos De Aplicación

 Una población de aves, cuenta inicialmente con 50 individuos y se triplica cada 2 años.  ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de aves?  ¿Cuántas aves hay después de 4 años?  ¿Después de cuánto tiempo la población de aves será de 1000 individuos?

Desarrollo: 

¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de aves? Si x representa el número de años transcurridos la fórmula para la población es:



¿Cuántas aves hay después de 4 años? Usando la fórmula para x = 4, la población será:

 Se administra 50 miligramos de cierto medicamento a un paciente. La cantidad de miligramos restantes en el torrente sanguíneo del paciente disminuye a la tercera parte cada 5 horas.

 

¿Cuál es la fórmula de la función que representa la cantidad del medicamento restante en el torrente sanguíneo del paciente? ¿Cuántos miligramos del medicamento quedan en el torrente sanguíneo del paciente después de 3 horas?

Desarrollo: 

¿Cuál es la fórmula de la función que representa la cantidad del medicamento restante en el torrente sanguíneo del paciente? Si x representa el número de horas transcurridas, la fórmula para la cantidad de medicamento en el torrente sanguíneo del paciente es:



¿Cuántos miligramos del medicamento quedan en el torrente sanguíneo del paciente después de 3 horas? Usando la fórmula para x = 3:

Después de 3 horas quedan aproximadamente 25.86 miligramos del medicamento en el torrente sanguíneo del paciente.

2. Función Logarítmica. Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como:

, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que:

Representación gráfica de funciones logarítmicas y de sus inversas (exponenciales). 2.1.

Propiedades. Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que: 

La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo

2.2.



Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.



En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que en cualquier base.



La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.



La función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.

Ejemplos.

 

 Una población de aves, cuenta inicialmente con 50 individuos y se triplica cada 2 años. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de aves? ¿Después de cuánto tiempo la población de aves será de 1000 individuos?

Desarrollo: 

¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de aves?

Si x representa el número de años transcurridos la fórmula para la población es:



¿Después de cuánto tiempo la población de aves será de 1000 individuos? Queremos encontrar el valor de x para el cual f(x) = 1000:

La población de aves será de 1000 individuos después de 5.4 años.

 Se administra 50 miligramos de cierto medicamento a un paciente. La cantidad de miligramos restantes en el torrente sanguíneo del paciente disminuye a la tercera parte cada 5 horas. 

¿Cuál es la fórmula de la función que representa la cantidad del medicamento restante en el torrente sanguíneo del paciente?



¿Después de cuánto tiempo quedará solo 1 miligramo del medicamento del torrente sanguíneo del paciente?

Desarrollo: 

¿Cuál es la fórmula de la función que representa la cantidad del medicamento restante en el torrente sanguíneo del paciente?

Si x representa el número de horas transcurridas, la fórmula para la cantidad de medicamento en el torrente sanguíneo del paciente es:



¿Después de cuánto tiempo quedará solo 1 miligramo del medicamento del torrente sanguíneo del paciente? Queremos encontrar el valor de x para el cual f(x) = 1:

Después de aproximadamente 17.8 horas, solo quedará 1 miligramo del medicamento en la sangre del paciente....