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Contém os resumos da disciplina de Algebra Linear I...

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´ Linear 1 MAT048: Algebra John MacQuarrie 23 de Agosto de 2018 Plano do curso 1. Espa¸cos vetoriais 2. Transforma¸c˜oes lineares 3. Espa¸cos vetoriais com produto interno 4. Operadores autoadjuntos

Materiais did´ aticas 1. A material principal ser´a as anota¸c˜oes das aulas. Pretendo passar periodicamente um documento em PDF das anota¸c˜oes 2. As anota¸c˜oes v˜ao ser baseadas nos seguintes livros: ´ linear e aplica¸c˜oes” por Reginaldo J. Santos. Dispon´ıvel na • “Algebra p´agina do Reginaldo (UFMG) ou pode ser comprado na livraria do ICEx. Reginaldo disse que vai pedir uns livros direto para quem quer comprar. Caso quiser comprar, o pre¸co ser´a R$87. Por favor me informar at´e dia 23/09 se vai querer uma c´opia. ´ Linear” por Serge Lang. • “Algebra 3. Vou passar listas de exerc´ıcios periodicamente. Vamos ter aulas em quais vocˆes v˜ao poder tirar d´ uvidas sobre as listas. 4. A mat´eria tem um monitor, Fernando. Ainda n˜ao sei como ele vai ser utilizado.

Avalia¸c˜ ao O curso vai ter 3 provas, com valores 33, 33, 34. As datas previstas pras provas s˜ao: P1: 19/09 P2: 24/10 P3: 28/11 As datas poderiam mudar um pouco. Caso acontecer, vou avisar. 1

Prerequisitas de GAAL Vou usar alguns resultados de GAAL. Sejam confort´aveis com o seguinte tipo de coisa: • Propriedades b´asicas de vetores e matrizes (defini¸c˜oes, soma, produto por escalar, produto de matrizes,. . .) • Sistemas lineares (como resolver com matrizes, resultados do tipo: “um sistema com matriz quadrada A tem u ´nica solu¸c˜ao se, e somente se, det(A) 6= 0”)

Introdu¸ca ˜o ´ Algebra Linear 1 ´e uma continua¸c˜ao de GAAL. Em GAAL, estudamos propriedades de: • Matrizes com entradas em R • Vetores (geralmente em R2 ou R3 ) ´ Linear 1 vamos re-estudar os conceitos de vetor e matriz. Umas Em Algebra ideias principais: • Um espa¸co vetorial V ser´a uma cole¸c˜ao de todos os vetores de um dado tipo (por exemplo, R2 , R3 s˜ao espa¸cos vetoriais). Vamos considerar espa¸cos do tipo Rn com n maior, e at´e espa¸cos com “n = ∞”. • Uma matriz ser´a considerada como um tipo de aplica¸c˜ao especial entre espa¸cos vetoriais. Tais aplica¸c˜oes se chamam transforma¸co˜es lineares. Por exemplo, uma matriz 3 × 2 vai ser uma transforma¸c˜ao linear de R2 a R3 . Com essas ideias em m˜ao, v´arias defini¸c˜oes peculiares de GAAL se tornam mais naturais. Por exemplo, suponha que temos transforma¸c˜oes lineares assim: f

g

− R2 . − R3 ← R4 ← • f corresponde a uma matriz 3 × 2 A, • g corresponde a uma matriz 4 × 3 B. A composi¸c˜ao gf ´e uma transforma¸c˜ao linear de R2 a R4 , logo corresponde a uma matriz 4 × 2. Qual? R: a matriz da composi¸ca˜o ser´a o PRODUTO BA das matrizes B e A. Por isso o produto de matrizes ´e definido assim.

Espa¸cos Vetoriais Os espa¸cos vetoriais que conhecemos de GAAL s˜ao: • R1 = R • R2 = {(x, y) | x, y ∈ R}

(o “plano”) 2

• R3 = {(x, y, z) | x, y, z ∈ R}

(o “espa¸co”)

• Rn = {(x1 , . . . , xn ) | x1 , . . . , xn ∈ R}

(“espa¸co n dimensional”).

Com os elements destes conjuntos, a gente pode fazer duas coisas principais: • Somar dois elementos. Por exemplo, em R2 a gente tem: (w, x) + (y, z) = (w + y, x + z). • Multiplicar um elemento por um escalar λ ∈ R. Por exemplo, em R2 a gente tem λ · (x, y) = (λx, λy). Tais opera¸c˜oes tˆem v´ arias propriedades que ajudam com as contas. Por exemplo dados u, v ∈ R2 e λ ∈ R, temos λ(u + v) = λu + λv. Vamos definir agora um espa¸co vetorial em geral, usando propriedades assim para defin´ı-lo: Defini¸ c˜ ao. Um espa¸co vetorial sobre R ´e um conjunto V de elementos (chamados “vetores”) junto com opera¸co˜es de soma (u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V ) e produto por escalar (u ∈ V, λ ∈ R =⇒ λu ∈ V ). As opera¸c˜ oes tˆ em que satisfazer as seguintes condi¸co˜es 1. (u + v) + w = u + (v + w) 2. u + v = v + u

∀u, v, w ∈ V (“associatividade”),

∀u, v ∈ V (“commutatividade”),

3. Existe um elemento 0 ∈ V tal que u+0 =u

∀u ∈ V.

4. Para cada u ∈ V , existe um elemento −u ∈ V tal que u + (−u) = 0, 5. λ(u + v) = λu + λv

∀λ ∈ R, ∀u, v ∈ V ,

6. (λ + µ)u = λu + µu

∀λ, µ ∈ R, ∀u ∈ V ,

7. (λµ)u = λ(µu) 8. 1 · u = u

∀λ, µ ∈ R, ∀u ∈ V ,

∀u ∈ V .

Dados u, v ∈ V , vamos denotar por u − v o elemento u + (−v). A partir dessas propriedades, podemos deduzir outras. Por exemplo: FATO: 0 · u = 0 ∀u ∈ V . Demonstra¸c˜ ao. Temos P8

6

8

0u + u = 0u + 1u = (0 + 1)u = 1u = u. Logo: 3

(∗)

4

4

0u = 0u + 0 = 0u + u − u = u − u = 0.

3

(∗)

Exemplos. • Rn ´e um espa¸co vetorial ∀n. Exerc´ıcio: confirme que Rn satisfaz as propriedades 1–8. • Quando n = 1 acima, obtemos que R = R1 ´e um espa¸co vetorial sobre R. As opera¸c˜oes de soma e multiplica¸c˜ao por escalar s˜ ao simplemente a soma e produto de n´ umeros reais: (a) + (b) = (a + b) λ(a) = (λa). • O menor espa¸co vetorial de todos: {0} ´e um espa¸co vetorial. Temos somente um jeito definir a soma e produto por escalar: 0+0= 0 λ · 0 = 0. Este espa¸co parece meio est´ upido, mas ele ´e muito importante. • Denote por Mm,n (R) o conjunto das matrizes m × n com entradas em R. Se lembre que podemos somar duas matrizes em Mm,n (R): Se A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm,n (R) ent˜ ao A + B = (aij + bij ) ∈ Mm,n (R). Tamb´em podemos multiplicar uma matriz por um escalar: Se A = (aij ), λ ∈ R ent˜ ao λA = (λaij ) ∈ Mm,n (R). De fato, com essas opera¸c˜oes, Mm,n (R) ´e um espa¸co vetorial. Confirmo, por exemplo, que satisfaz Propriedade 3. A matriz 0 ser´a a matriz cujas entradas s˜ao todas 0:   0 ... 0   0 =  ... . . . ...  . 0

...

0

Para qualquer matriz A = (aij ) a gente tem

A + 0 = (aij ) + (0) = (aij + 0) = (aij ) = A. X Exerc´ıcio: confirme que mais algumas das propriedades valem. • Um exemplo menos ´obvio. Seja X um conjunto qualquer e considere o conjunto das fun¸c˜oes (= aplica¸c˜oes) de X a R: F (X, R) = {f : X → R uma fun¸c˜ao}. Podemos definir a soma de duas fun¸c˜oes: Dadas fun¸c˜oes f, g : X → R, definimos uma fun¸c˜ao nova (f + g) : X → R como (f + g)(x) := f (x) + g(x). Tamb´em podemos definir o produto por escalar de uma fun¸c˜ao f pelo escalar λ assim: (λf )(x) := λ · f (x). Com essas opera¸c˜oes, F (X, R) ´e um espa¸co vetorial. Vamos confirmar umas propriedades: 4

2: Dadas fun¸c˜oes f, g : X → R, queremos confirmar que as fun¸c˜oes f + g e g + f s˜ao iguais. Para fazer isso, temos que confirmar que (f + g)(x) = (g + f )(x) para todo x ∈ X. Mas isso ´e f´acil: (f + g)(x) = f (x) + g (x) = g(x) + f (x) = (g + f )(x). 3: a fun¸c˜ao 0 ∈ F (X, R) ser´a a fun¸c˜ao que leva todo x ∈ X pro elemento 0 ∈ R. Ou seja, 0(x) := 0 ∀x ∈ X. Temos que confirmar que f + 0 = f , logo temos que confirmar que (f + 0)(x) = f (x) ∀x ∈ X. Mas (f + 0)(x) = f (x) + 0(x) = f (x) + 0 = f (x). Exerc´ıcio: Defina a fun¸c˜ao “−f ” e confirme que as outras propriedades valem.

Subespa¸cos Um subespa¸co W de um espa¸co vetorial V ser´ a um espa¸co vetorial “menor” contido dentro de V . Observe que um espa¸co vetorial possui v´ arios subespa¸cos diferentes: y

W1

W2 x

Os espa¸cos vetoriais W1 , W2 , W3 s˜ao subespa¸cos de R2

W3 Vamos passar tempo estudando como os subespa¸cos de um espa¸co vetorial podem interagir entre si. Defini¸c˜ao formal: Defini¸ c˜ ao. Um subespa¸co do espa¸co vetorial V ´ e um subconjunto n˜ ao vazio W de V tal que 1. u, v ∈ W =⇒ u + v ∈ W , 2. u ∈ W e λ ∈ R =⇒ λu ∈ W . Quando W ´ e um subespa¸co de V , vamos a`s vezes escrever W 6 V . Outras propriedades seguem da defini¸c˜ao: Fato: Para todo subespa¸co W de V , 0 ∈ W .

5

Demonstra¸c˜ ao. W 6= ∅, ent˜ ao existe algum w ∈ W . Mas agora 0·w =0∈ W pela segunda condi¸ca˜o de subespa¸co. Exerc´ıcio: Confirme que um subespa¸co W de V ´e de fato um espa¸co vetorial. A defini¸c˜ao de subespa¸co ´e mais curta pois certas propriedades seguem automaticamente. Por exemplo, ∀u, v, w ∈ W temos que (u + v) + w = u + (v + w) pois essa propriedade j´a vale em V . Exemplos (gerais). Seja V um espa¸co vetorial. Uns subespa¸cos de V : • {0} 6 V , pois 0 + 0 = 0 ∈ {0} e λ0 = 0 ∈ {0} para qualquer λ ∈ R. • V 6V. • Seja w um vetor qualquer de V e seja W = {λw | λ ∈ R} o conjunto de todos os m´ ultiplos escalares de w. Ent˜ao W 6 V : λw, µw ∈ W =⇒ λw + µw = (λ + µ)w ∈ W

X

λw ∈ W, µ ∈ R =⇒ µ(λw) = (µλ)w ∈ W. X Subespa¸cos dessa forma em Rn s˜ ao retas que passam pela origem, como os subespa¸cos W1 , W2 , W3 no diagrama acima. Exemplo. Se lembre que um sistema linear ´e uma equa¸c˜ao da forma AX = B em que A, X, B s˜ao as matrizes 

a11  .. A= .

am1

a12 .. . am2

... ...

     b1 x1 a1n  b2   x2       ..  , X =  ..  , B =  ..  . .  .   .  amn bm xn

As entradas de A, B s˜ ao n´ umeros, enquanto as entradas de X s˜ ao vari´aveis. Uma solu¸c˜ao do sistema acima ´e uma matriz n × 1, S (de n´ umeros) tal que a equa¸c˜ao AS = B vale. Por exemplo, o sistema linear      x 3 1 1 = 0 0 y 0   1 tem solu¸c˜ao S = , pois 2        1 1+2 3 1 1 = = . 0 0 2 0+0 0 6

X

O conjunto das solu¸c˜oes deste sistema ´e    3 − α  S= α∈R . α

Observe que S n˜ ao ´e um subespa¸co de M2,1 (R): por exemplo,           2 1 2 3 1 , ∈ S mas + = 6∈ S. 2 1 2 1 3 MAS: Um sistema homogˆeneo ´e um sistema linear da forma AX = 0. Temos Proposi¸ c˜ ao. O conjunto solu¸c˜ ao de um sistema homogˆ eneo AX = 0 com n vari´ aveis ´e um subespa¸co de Mn,1 (R). Demonstra¸c˜ ao. Observe primeiro que o conjunto solu¸c˜ao n˜ao ´e vazio, pois 0 ´e sempre uma solu¸c˜ao de um sistema homogˆeneo. Vamos confirmar as outras propriedades de subespa¸co. Sejam S, T solu¸c˜oes do sistema. Ent˜ ao A(S + T ) = AS + AT = 0 + 0 = 0, logo S + T tamb´em ´e solu¸c˜ao. Sejam λ ∈ R e S uma solu¸c˜ao. Ent˜ ao A(λS) = λAS = λ0 = 0, logo λS tamb´em ´e uma solu¸c˜ao. Ent˜ ao o conjunto solu¸c˜ao do sistema homogˆeneo AX = B ´e um subespa¸co de Mn,1 (R). Defini¸ c˜ ao. Sejam v1 , . . . , vn elementos do espa¸co vetorial V . Uma combina¸ca˜o linear de v1 , . . . , vn ´ e um elemento de V da forma λ1 v1 + . . . + λn vn , com λ1 , . . . , λn elementos de R. Teorema. Seja X um conjunto de elementos do espa¸co vetorial V . Ent˜ ao o conjunto   W = λ1 v1 + . . . + λn vn | n ∈ N , λ1 , . . . , λn ∈ R , v1 , . . . , vn ∈ X

de todas as combina¸c˜ oes lineares (finitas!) de elementos de X ´ e um subespa¸co de V . Diremos que W ´e gerado por X . Demonstra¸c˜ ao. Exerc´ıcio! ´E f´acil mas muito importante. Exemplos.

• Considere o seguinte subconjunto de M2,3 (R):       0 1 0 0 0 2 1 0 0 , , . X= 0 0 1 0 0 0 0 1 0

7

Uma combina¸c˜ao linear geral de elementos de X tem a forma         1 0 0 0 1 0 0 0 2 a b 2c a +b +c = , 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 c a ent˜ao o subespa¸co de M2,3 (R) gerado por X ´e    a b 2c  a, b, c ∈ R . 0 c a 

• Seja R[x] o conjunto

{an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 | a0 , . . . , an ∈ R} das fun¸c˜oes polinomiais de R a R. Um elemento f (x) ∈ R[x] (um polinˆomio) ´e uma fun¸c˜aa, definida como, b 7→ f (b) ∈ R. Logo R[x] ⊆ F (R, R). Afirmamos que R[x] ´e um subespa¸co de F (R, R): 1. Pegue duas fun¸c˜oes polinomiais f (x), g(x). J´a que uns coeficientes poderiam ser 0, podemos supor que os dois tˆem grau n: f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 g(x) = bn xn + . . . + b1 x + b0 . A soma de f e g (em F (R, R)) ´e (f + g)(x) = f (x) + g(x) = (an xn + . . . + a1 x + a0 ) + (bn xn + . . . + b1 x + b0 ) = (an + bn )xn + . . . + (a1 + b1 )x + (a0 + b0 ) ∈ R[x] ent˜ao a primeira propriedade vale. 2. Dado f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 ∈ R[x] e λ ∈ R, temos (λf )(x) = λ · f (x) = λ(an xn + . . . + a1 x + a0 ) = λan xn + . . . + λa1 x + λa0 ∈ R[x] ent˜ao a segunda condi¸c˜ao vale. Logo R[x] 6 F (R, R). Em particular, o conjunto R[x] ´e um espa¸co vetorial. Considere o conjunto das fun¸c˜oes polinomiais mais f´aceis: X = {1, x, x2 , x3 , . . .}. Observe que qualquer elemento f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 · 1 de R[x] ´e uma combina¸ca˜o linear dos elementos de X, e que toda combina¸c˜ao linear de elementos de X ´e um elemento de R[x]. Ent˜ ao, R[x] ´e o subespa¸co de F (R, R) gerado pelo conjunto X . 8

Interse¸c˜ oes e somas de subespa¸cos Sejam V um espa¸co vetorial e W, Y dois subespa¸cos de V . Proposi¸ c˜ ao. A interse¸c˜ ao W ∩ Y de W e Y ´ e mais um subespa¸co de V . Demonstra¸c˜ ao. Temos que confirmar que as propriedades de subespa¸co est˜ao satisfeitas. Primeiro, 0 ∈ W e 0 ∈ Y , logo 0 ∈ W ∩Y , mostrando que W ∩Y 6= ∅. 1. Sejam u, v ∈ W ∩ Y . Ent˜ ao • u, v ∈ W e W ´e subespa¸co, ent˜ ao u + v ∈ W , • u, v ∈ Y e Y ´e subespa¸co, ent˜ ao u + v ∈ Y . Logo u + v ∈ W ∩ Y . 2. Exerc´ıcio! A ideia ´e similar a` primeira parte.

Noutro lado, a uni˜ao de dois subespa¸cos de V geralmente n˜ao ´e um subespa¸co. Por exemplo, considere os seguintes subespa¸cos de R2 : X = {(x, 0) | x ∈ R} ,

Y = {(0, y) | y ∈ R}

(informalmente, X ´e o “eixo x” e Y ´e o “eixo y”). Os elementos (1, 0) , (0, 1) ∈ X ∪ Y, mas (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) n˜ao pertence nem a X nem a Y , logo (1, 1) 6∈ X ∪ Y : Y X ∪ Y ∋ (0, 1) •

X

• •

(1, 1) = (1, 0) + (0, 1) 6∈ X ∪ Y

(1, 0) ∈ X ∪ Y

O jeito correto para “juntar” dois subespa¸cos ´e o seguinte: Defini¸ c˜ ao. Sejam W, Y dois subespa¸cos do espa¸co vetorial V . A soma de W e Y ´ e W + Y := {w + y | w ∈ W , y ∈ Y }. Exerc´ıcio: Confirme que W + Y ´e sempre um subespa¸co de V . Exemplo. Seja V = R3 e considere os subespa¸cos W = {(x, y, 0) | x, y ∈ R} ,

Y = {(0, y, z ) | y, z ∈ R}.

O subespa¸co W + Y ´e o pr´oprio V : dado v = (x, y, z) ∈ V , podemos escrever (x, y, z) = (x, y, 0) + (0, 0, z) ∈ W + Y. 9

Observe que esta soma n˜ ao foi muito “eficiente”, no sentido que para obter V como soma, a gente podia ter usada subespa¸cos menores. Por exemplo, pega Y ′ = {(0, 0, z) | z ∈ R} ( Y. Ainda temos W + Y ′ = {(x, y, 0) + (0, 0, z ) | x, y, z ∈ R} = {(x, y, z ) | x, y, z ∈ R} = R3 . Temos W ∩ Y = {(0, y, 0) | y ∈ R}, enquanto W ∩ Y ′ = {0}. A n˜ao eficiencia de W +Y surge do fato que W ∩Y 6= {0}. Damos nome especial para somas eficientes: Defini¸ c˜ ao. Sejam W, Y subespa¸cos de V . Dizemos que V ´e a soma direta de W e Y se 1. W + Y = V, 2. W ∩ Y = {0}. Neste caso, escrevemos V = W ⊕ Y . Uma propriedade u ´til das somas diretas: Proposi¸ c˜ ao. Sejam W, Y subespa¸cos de algum espa¸co vetorial e V = W + Y . Ent˜ ao V = W ⊕ Y se, e somente se, cada elemento de V pode ser escrito unicamente como w + y, com w ∈ W, y ∈ Y . Demonstra¸c˜ ao. Temos duas coisas para mostrar: • W ∩ Y = {0} =⇒ todo elemento pode ser escrito u ´nicamente: Suponha que algum v ∈ V pode ser escrito como w + y E como w′ + y′ (com w, w′ ∈ W, y, y′ ∈ Y ). Para mostrar unicidade da express˜ao, temos que confirmar que w = w′ e y = y′ . Temos w + y = v = w′ + y′ =⇒ w − w′ = y′ − y ∈ W ∩ Y. Mas W ∩ Y = {0}, ent˜ao w − w′ = 0, logo w = w′ e similarmente y = y′ . • todo elemento pode ser escrito u ´nicamente =⇒ W ∩ Y = {0}: Pegue v ∈ W ∩ Y . J´a que v, 0 ∈ W e v, 0 ∈ Y , as express˜oes v =v+0= 0+v em W + Y ser˜ao distintas sempre que v 6= 0. Mas todo elemento tem uma u ´nica express˜ao como uma soma em W + Y , logo v = 0. J´a que v ∈ W ∩ Y foi arbitr´ario, segue que W ∩ Y = {0}.

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Exemplo. Seja P2 o subespa¸co de R[x] gerado pelo conjunto {1, x, x2 }. Ent˜ao, P2 ´e o conjunto das fun¸c˜oes polinomiais da forma ax2 + bx + c (a, b, c ∈ R). Considere os subespa¸cos D = {ax2 + ax + a | a ∈ R} ,

E = {bx + c | b, c ∈ R}.

Vamos mostrar que P2 = D ⊕ E. Seja αx2 + βx + γ um elemento qualquer de P2 . Vamos tentar expressar este elemento como um elemento de D + E : αx2 + βx + γ = (ax2 + ax + a) + (bx + c) = ax2 + (a + b)x + (a + c). Obtemos que α = a. β = a + b = α + b =⇒ b = β − α. γ = a + c = α + c =⇒ c = γ − α. Seguem duas coisas: 1. todo elemento de P2 pode ser escrito como soma de um elemento de D e um elemento de E, logo P2 = D + E . 2. essa express˜ao ´e u ´nica (a = α , b = β − α , c = γ − α, n˜ ao temos escolha). Segue pela proposi¸c˜ao ent˜ ao que P2 = D ⊕ E .

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´ Algebra Linear 1. Professor John MacQuarrie

Dependˆ encia Linear Defini¸ c˜ ao. O conjunto X de vetores no espa¸co vetorial V ´e linearmente dependente (LD) se existem v1 , . . . , vn ∈ X e λ1 , . . . , λn ∈ R, n˜ ao todos 0, tais que λ1 v1 + . . . + λn vn = 0. Se X n˜ ao ´e linearmente dependente, ent˜ ao X ´e linearmente independente (LI). Logo X ´ e LI se dados v1 , . . . , vn ∈ X, λ1 v1 + . . . + λn vn = 0 =⇒ λi = 0 ∀i ∈ {1, . . . , n}. Exemplos.

• Seja v 6= 0 um vetor. Ent˜ ao X = {v} ´e LI, pois a equa¸c˜ao λv = 0

est´a satisfeita somente quando λ = 0. • Qualquer conjunto X que cont´em o vetor 0 ´e LD, pois 1·0=0

mas 1 6= 0.

• O subconjunto {(1, 1), (1, −1)} ⊆ R2 ´e LI: suponha que λ(1, 1) + µ(1, −1) = 0. Temos que confirmar que λ = µ = 0. Mas λ(1, 1) + µ(1, −1) = (λ + µ, λ − µ) = (0, 0). O segundo componente diz que λ − µ = 0, ent˜ ao λ = µ. O primeiro componente diz que 0 = λ + µ = λ + λ = 2λ, ent˜ ao λ = µ = 0, logo {(1, 1), (1, −1)} ´e LI. • Exerc´ıcio: Sejam u, v vetores n˜ ao nulos. Mostre que {u, v} ´e LD se, e somente se, u ´e m´ ultiplo escalar de v. • Sejam V = R3 e X = {(1, 2, 5) , (7, −1, 5) , (1, −1, −1)} . Para ver se X ´e LD ou LI, temos que decidir se a equa¸c˜ao x1 (1, 2, 5) + x2 (7, −1, 5) + x3 (1, −1, −1) = (0, 0, 0) possui solu¸ca˜o n˜ao trivial ou n˜ao. A dente ´e  1 7  2 −1 5 5

1

matriz do sistema linear correspon 1 0 −1 0 −1 0

cuja forma escalonada reduzida ´e  1 0 −2/5 0 1 1/5 0 0 0

 0 0 . 0

A terceira coluna n˜ao possui pivˆo, ent˜ ao x3 ´e livre. Em particular, o sistema possui solu¸co˜es n˜ao triviais. Segue da defini¸c˜ao que X ´e linearmente dependente. Um subconjunto X ´e LD se existir uma dependˆencia linear entre os elementos de X. Mais precisamente: Proposi¸ c˜ ao. Seja X um subconjunto de V com pelo menos dois elementos. Ent˜ ao X ´e LD se, e somente se, pelo menos um dos vetores v de X pode ser escrito como combina¸c˜ ao linear dos outros. Demonstra¸c˜ ao. Exerc´ıcio. Dicas: =⇒ Suponha que X ´e LD. Ent˜ao existem v1 , . . . , vn ∈ X tais que λ1 v1 + . . . + λn vn = 0 com n˜ao todo λi = 0. Pegue um vi com λi 6= 0. Isole ele em um lado para expressar ele como combina¸c˜ao linear dos outros. ⇐= Expresse algum v ∈ X como combina¸c˜ao linear de outros vetores em X . Rearrange.

Este resultado mostra que um conjunto LD ´e “ineficiente”, no sentido que um vetor em X j´a pertence ao subespa¸co gerado pelos outros, ent˜ ao ele ´e desnecess´ario. Um conjunto LI ´e um conjunto de vetores eficiente, no sentido que TODO vetor de X ´e necess´ario para gerar o subespa¸co gerado por X. Conjuntos de geradores LI s˜ao extremamente importantes e merecem um nome: Defini¸ c˜ ao. Seja V um espa¸co vetorial. O subconjunto X de V ´ e uma base de V se • V ´ e gerado por X , • X ´ e linearmente independente. Exemplos.

• A base canˆonica de Rn ´e o conjunto dos n vetores B = {(1, 0, 0, . . . , 0) , (0, 1, 0, . . . , 0) , . . . , (0, . . . , 0, 1)} .

Afirmo que ´e ´obvio que B gera Rn e que B ´e LI. Recomendo que confirmar estes fatos. Ent˜ ao, B ´e uma base de Rn . • Mas Rn (de fato, qualquer espa¸co vetorial) tem MUITOS bases diferentes. De um exemplo anterior: X = {(1, 1) , (1, −1)} 2

´e uma base de R2 : J´a confirmamos que X ´e LI. X gera R2 , pois a equa¸c˜ao λ(1, 1) + µ(1, −1) = (a, b) tem solu¸c˜ao λ=

a+b , 2

µ=

a−b . 2

• Mm,n (R) tamb´em tem uma base canˆonica. Dados a ∈ {1, . . . , m}, b ∈ {1, . . . , n}, seja Eab a matrix (eij ) com eab = 1 e eij = 0 quando i = 6 a ou j 6= b. O conjunto X das mn matrizes...