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Álgebra y Trigonometría CON GEOMETRÍA ANALÍTICA

EARL W. SWOKOWSKI • JEFFERY A. COLE

13a. edición

ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA

DÉCIMO TERCERA EDICIÓN

EARL W. SWOKOWSKI JEFFERY A. COLE Anoka-Ramsey Community College

Traducción:

Patricia Solorio Gómez Revisión técnica:

Dr. Ernesto Filio López Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas Instituto Politécnico Nacional

M. en C. Manuel Robles Bernal Escuela Superior de Física y Matemáticas Instituto Politécnico Nacional

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

Álgebra y trigonometría con geometría analítica, Décimo tercera edición Swokowski, Earl W./ Jeffery A. Cole Director de producto y desarrollo Latinoamérica: Daniel Oti Yvonnet Director editorial y de producción Latinoamérica: Raúl D. Zendejas Espejel Editor: Sergio R. Cervantes González Coordinadora de producción editorial: Abril Vega Orozco Editor de producción: Timoteo Eliosa García Coordinador de manufactura: Rafael Pérez González Ilustrador: Scientific Illustrators Diseño de portada: Roger Knox

© D.R. 2011 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning™ es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27, de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro: Algebra and Trigonometry with Analytic Geometry, 13th ed. Earl W. Swokowski/Jeffery A. Cole Publicado en inglés por Brooks/Cole, Cengage Learning, © 2011 ISBN-13: 978-0-8400-6852-1 ISBN-10: 0-8400-6852-2

Imagen de portada: David J. Nightingale, Chromasia.com

Datos para catalogación bibliográfica: Swokowski, Earl W./Jeffery A. Cole Álgebra y trigonometría con geometría analítica, Décimo tercera edición ISBN: 978-607-481-612-9

Composición tipográfica: Imagen Editorial

Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 14 13 12 11

A L A M E M O R I A D E E A R L W. S W O KO W S K I

Contenido Lista de temas para calculadora graficadora

ix

Prefacio xi

C A P Í T U LO 1

CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA 1.1 1.2 1.3 1.4

C A P Í T U LO 2

ECUACIONES Y DESIGUALDADES 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

C A P Í T U LO 3

55

Ecuaciones 56 Problemas de aplicación 64 Ecuaciones cuadráticas 75 Números complejos 87 Otros tipos de ecuaciones 94 Desigualdades 103 Más sobre desigualdades 112 Capítulo 2 Ejercicios de repaso 118 Capítulo 2 Ejercicios de análisis 122 Capítulo 2 Examen de capítulo 123

FUNCIONES Y GRÁFICAS 3.1 3.2 3.3 3.4

iv

Números reales 2 Exponentes y radicales 16 Expresiones algebraicas 28 Expresiones fraccionarias 40 Capítulo 1 Ejercicios de repaso 50 Capítulo 1 Ejercicios de análisis 52 Capítulo 1 Examen de capítulo 53

125

Sistemas de coordenadas rectangulares 126 Gráficas de ecuaciones 133 Rectas 148 Definición de función 164

1

C ont e nido

3.5 3.6 3.7

C A P Í T U LO 4

FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

C A P Í T U LO 5

227

Funciones polinomiales de grado mayor que 2 228 Propiedades de la división 238 Ceros de polinomios 245 Ceros complejos y racionales de polinomios 257 Funciones racionales 265 Variación 280 Capítulo 4 Ejercicios de repaso 288 Capítulo 4 Ejercicios de análisis 290 Capítulo 4 Examen de capítulo 291

FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

C A P Í T U LO 6

Gráficas de funciones 180 Funciones cuadráticas 195 Operaciones con funciones 209 Capítulo 3 Ejercicios de repaso 218 Capítulo 3 Ejercicios de análisis 224 Capítulo 3 Examen de capítulo 225

Funciones inversas 294 Funciones exponenciales 305 La función exponencial natural 318 Funciones logarítmicas 327 Propiedades de los logaritmos 341 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Capítulo 5 Ejercicios de repaso 360 Capítulo 5 Ejercicios de análisis 363 Capítulo 5 Examen de capítulo 366

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 6.1 6.2 6.3

349

367

Ángulos 368 Funciones trigonométricas de ángulos 378 Funciones trigonométricas de números reales 393

293

v

vi

C ont e nido

6.4 6.5 6.6 6.7

C A P Í T U LO 7

TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

C A P Í T U LO 8

459

Verificación de identidades trigonométricas 460 Ecuaciones trigonométricas 466 Fórmulas de suma y resta 480 Fórmulas de ángulos múltiples 490 Fórmulas de producto a suma y suma a producto 499 Funciones trigonométricas inversas 504 Capítulo 7 Ejercicios de repaso 519 Capítulo 7 Ejercicios de análisis 521 Capítulo 7 Examen de capítulo 523

APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

C A P Í T U LO 9

Valores de las funciones trigonométricas 410 Gráficas trigonométricas 417 Gráficas trigonométricas adicionales 430 Problemas de aplicación 437 Capítulo 6 Ejercicios de repaso 449 Capítulo 6 Ejercicios de análisis 455 Capítulo 6 Examen de capítulo 456

525

La ley de los senos 526 La ley de los cosenos 535 Vectores 544 Producto punto 558 Forma trigonométrica para números complejos 568 Teorema de De Moivre y las raíces n-ésimas de números complejos Capítulo 8 Ejercicios de repaso 579 Capítulo 8 Ejercicios de análisis 582 Capítulo 8 Examen de capítulo 584

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES 9.1 9.2 9.3

Sistemas de ecuaciones 588 Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables Sistemas de desigualdades 606

597

587

574

C ont e nido

9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10

C A P Í T U L O 10

SUCESIONES, SERIES Y PROBABILIDAD 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8

C A P Í T U L O 11

Programación lineal 613 Sistemas de ecuaciones lineales con más de dos variables 621 Álgebra de matrices 636 La inversa de una matriz 645 Determinantes 651 Propiedades de determinantes 657 Fracciones parciales 665 Capítulo 9 Ejercicios de repaso 671 Capítulo 9 Ejercicios de análisis 674 Capítulo 9 Examen de capítulo 676

Sucesiones infinitas y notación de suma 680 Sucesiones aritméticas 693 Sucesiones geométricas 700 Inducción matemática 710 El teorema del binomio 716 Permutaciones 724 Permutaciones y combinaciones distinguibles 731 Probabilidad 738 Capítulo 10 Ejercicios de repaso 753 Capítulo 10 Ejercicios de análisis 755 Capítulo 10 Examen de capítulo 757

TEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6

679

Parábolas 760 Elipses 769 Hipérbolas 782 Curvas planas y ecuaciones paramétricas Coordenadas polares 806 Ecuaciones polares de cónicas 820 Capítulo 11 Ejercicios de repaso 826 Capítulo 11 Ejercicios de análisis 828 Capítulo 11 Examen de capítulo 830

759

793

vii

viii

C ont e nido

Apéndices 833 I II III IV

Gráficas comunes y sus ecuaciones 834 Un resumen de transformaciones de gráficas 836 Gráficas de funciones trigonométricas y sus inversas 838 Valores de las funciones trigonométricas de ángulos especiales en una circunferencia unitaria 840

Respuestas a ejercicios seleccionados A1 Índice A87

1

Conceptos fundamentales de álgebra 1.1

Números reales

La palabra álgebra proviene de ilm al-jabr w’al muqabala, título de un

1.2

Exponentes y radicales

se ha traducido como la ciencia de restauración y reducción, lo cual

1.3

Expresiones algebraicas

transliteración latina de al-jabr llevó al nombre de la rama de las

1.4

Expresiones fraccionarias

libro escrito en el siglo IX por el matemático árabe Al-Juarismi. El título significa trasponer y combinar términos semejantes (de una ecuación). La matemáticas que ahora llamamos álgebra. En álgebra usamos símbolos o letras, por ejemplo a, b, c, d, x, y, para denotar números arbitrarios. Esta naturaleza general del álgebra está ilustrada por las numerosas fórmulas empleadas en ciencia y la industria. A medida que el lector avance en este texto y pase a cursos más avanzados en matemáticas, o a campos de actividad donde se utilizan matemáticas, estará cada vez más consciente de la importancia y poder de las técnicas algebraicas.

1

2

C APÍT U LO 1

C O N C EPTO S F U N D AMEN TALES D E ÁLG EB RA

1.1 Números reales

Los números reales se usan en toda la matemática y el estudiante debe estar familiarizado con los símbolos que los representan, por ejemplo 1, 73,

49 12 ,

⫺5,

3 兹2, 0, 兹⫺85 , 0.33333 . . . , 596.25,

y otros. Los enteros positivos, o números naturales, son 1,

2,

3,

4,

....

Los números enteros (o enteros no negativos) son los números naturales combinados con el número 0. Los enteros se escriben como sigue ...,

⫺4, ⫺3,

⫺2,

⫺1, 0, 1, 2, 3, 4,

...

En todo este texto, las letras minúsculas a, b, c, x, y,… representan números reales arbitrarios (también llamados variables). Si a y b denotan el mismo número real, escribimos a ⫽ b, que se lee “a es igual a b” y se denomina igualdad. La notación a ⫽ b se lee “a no es igual a b”. Si a, b y c son enteros y c ⫽ ab, entonces a y b son factores, o divisores, de c. Por ejemplo, como 6 ⫽ 2 ⭈ 3 ⫽ 共⫺2兲共⫺3兲 ⫽ 1 ⭈ 6 ⫽ 共⫺1兲共⫺6兲, Sabemos que 1, ⫺1, 2, ⫺2, 3, ⫺3, 6 y ⫺6 son factores de 6. Un entero positivo p diferente de 1 es primo si sus únicos factores positivos son 1 y p. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19. El teorema fundamental de la aritmética expresa que todo entero positivo diferente de 1 se puede expresar como el producto de números primos en una forma y sólo una (excepto por el orden de los factores). Algunos ejemplos son 12 ⫽ 2 ⭈ 2 ⭈ 3, 126 ⫽ 2 ⭈ 3 ⭈ 3 ⭈ 7,

540 ⫽ 2 ⭈ 2 ⭈ 3 ⭈ 3 ⭈ 3 ⭈ 5.

Un número racional es un número real que se puede expresar en la forma a兾b, donde a y b son enteros y b ⫽ 0. Note que todo entero a es un número racional, dado que se puede expresar en la forma a兾1 . Todo número real se puede expresar como decimal, y las representaciones decimales para números racionales son finitas o no finitas y periódicas. Por ejemplo, podemos demostrar, con el uso del proceso aritmético de la división, que 5 4

⫽ 1.25 y

177 55

⫽ 3.2181818 . . . , 177

En escritura técnica, el uso del símbolo ⬟ es aproximadamente igual a es conveniente.

donde los dígitos 1 y 8 en la representación de 55 se repiten indefinidamente (a veces se escribe como 3.218). Los números reales que no son racionales son números irracionales. Las representaciones decimales para números irracionales son siempre no finitas y no periódicas. Un número irracional común, denotado por p, es la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. A veces usamos la notación p 艐 3.1416 para indicar que p es aproximadamente igual a 3.1416. No hay número racional b tal que b2 ⫽ 2, donde b2 denota b × b, pero hay un número irracional denotado por 兹2 (la raíz cuadrada de 2), tal que 共 兹2 兲2 ⫽ 2. El sistema de números reales está formado por todos los números racionales e irracionales. Las relaciones entre los tipos de números empleados en álgebra están ilustradas en el diagrama de la figura 1, donde una línea que enlaza dos rectángulos significa que los números mencionados en el rectángulo más alto incluyen los del rectángulo más bajo. Los números complejos, que se estudian en la sección 2.4, contienen a todos los números reales.

1.1

N úm e r os r e al e s

3

FIGURA 1 Tipos de números empleados en álgebra

Números complejos

Números reales

Números racionales

Números irracionales

Enteros

Enteros negativos

0

Enteros positivos

Los números reales son cerrados con respecto a la operación de adición (denotada por ⫹); esto es, a todo par a, b de números reales le corresponde exactamente un número real a ⫹ b llamado suma de a y b. Los números reales son también cerrados con respecto a la multiplicación (denotada por × ); esto es, a todo par a, b de números reales le corresponde exactamente un número real a × b (también denotado por ab) llamado producto de a y b. Importantes propiedades de la adición y multiplicación de números reales aparecen en la tabla siguiente. Propiedades de los números reales

Terminología

Caso general

(1) La adición es conmutativa.

a⫹b⫽b⫹a

(2) La adición es asociativa.

a ⫹ 共b ⫹ c兲 ⫽ 共a ⫹ b兲 ⫹ c

(3) 0 es la identidad aditiva.

a⫹0⫽a

(4) –a es el inverso aditivo, o negativo, de a. (5) La multiplicación es conmutativa. (6) La multiplicación es asociativa. (7) 1 es la identidad multiplicativa. 1 (8) Si a 苷 0, es el a inverso multiplicativo, o recíproco, de a.

a ⫹ 共⫺a兲 ⫽ 0

(9) La multiplicación es distributiva sobre la adición.

ab ⫽ ba a共bc兲 ⫽ 共ab兲c a⭈1⫽a a

冉冊

1 ⫽1 a

a共b ⫹ c兲 ⫽ ab ⫹ ac y 共a ⫹ b兲c ⫽ ac ⫹ bc

Significado

El orden es indiferente cuando se suman dos números. La agrupación es indiferente cuando se suman tres números. La suma de 0 con cualquier número da el mismo número. La suma de un número y su negativo da 0. El orden es indiferente cuando se multiplican dos números. La agrupación es indiferente cuando se multiplican tres números. La multiplicación de cualquier número por 1 da el mismo número. La multiplicación de un número diferente de cero por su recíproco da 1. La multiplicación de un número y una suma de dos números es equivalente a multiplicar cada uno de los dos números por el número y luego sumar los productos.

4

C APÍT U LO 1

C O N C EPTO S F U N D AMEN TALES D E ÁLG EB RA

Como a ⫹ (b ⫹ c) y (a ⫹ b) ⫹ c son siempre iguales, podemos usar a ⫹ b ⫹ c para denotar este número real. Usamos abc por a(bc) o (ab)c. Del mismo modo, si cuatro o más números reales a, b, c, d se suman o multiplican, podemos escribir a ⫹ b ⫹ c ⫹ d para su suma y abad para su producto, cualquiera que sea la forma en que los números se agrupen o intercambien. Las propiedades distributivas son útiles para hallar productos de muchos tipos de expresiones que comprendan sumas. El siguiente ejemplo da una ilustración.

Uso de propiedades distributivas

E J E M P LO 1

Si p, q, r y s denotan números reales, demuestre que 共 p ⫹ q兲共r ⫹ s兲 ⫽ pr ⫹ ps ⫹ qr ⫹ qs. Usamos las dos propiedades distributivas que aparecen en (9) de la tabla precedente: SOLUCIÓN

共 p ⫹ q兲共r ⫹ s兲

EJEMPLO 2

⫽ p共r ⫹ s兲 ⫹ q共r ⫹

segunda propiedad distributiva, con c ⫽ r ⫹ s

⫽ 共 pr ⫹ ps兲 ⫹ 共qr ⫹ qs兲

primera propiedad distributiva

⫽ pr ⫹ ps ⫹ qr ⫹ qs

elimine paréntesis

■

Guardar valores y evaluar expresiones

Evalúe el lado izquierdo y el lado derecho de la igualdad del ejemplo 1 para p ⫽ 5,

q ⫽ 3, r ⫽ ⫺6 y

s ⫽ 7.

SOLUCIÓN

SECUENCIA DE TECLEO PARA LA TI-83/4 PLUS Guarda valores en P, Q, R y S. Evalúa el lado izquierdo (LI). Evalúa el lado derecho (LD).

5

STO 䉯 (⫺) 6

ALPHA STO 䉯

P

:

ALPHA

ALPHA

R

3

ALPHA

STO 䉯 :

(

ALPHA

P

⫹

ALPHA

Q

)

(

ALPHA

R

⫹

ALPHA

S

)

ALPHA

P

ALPHA

R

⫹

ALPHA

Q

ALPHA

R

⫹

ALPHA

7 STO 䉯

Q

ALPHA

ALPHA

S

: ENTER

ENTER

ALPHA

P

ALPHA

S

⫹

ALPHA

Q

ALPHA

S

ENTER

Ambos lados son iguales a 8, lo cual presta credibilidad a nuestro resultado pero no demuestra que sea correcto. ■

1.1

N úm e r os r e al e s

5

Las siguientes son propiedades básicas de la igualdad.

Propiedades de la igualdad

Si a ⫽ b y c es cualquier número real, entonces (1) a ⫹ c ⫽ b ⫹ c (2) ac ⫽ bc

Las propiedades 1 y 2 expresan que el mismo número puede sumarse a ambos lados de una igualdad, y ambos lados de una igualdad pueden multiplicarse por el mismo número. Haremos amplio uso de estas propiedades en todo el texto para ayudar a hallar soluciones de ecuaciones. El siguiente resultado se puede demostrar.

Productos que involucran el cero

(1) a ⭈ 0 ⫽ 0 para todo número real a. (2) Si ab ⫽ 0, entonces a ⫽ 0 o b ⫽ 0.

Cuando usamos la palabra o como hicimos en (2), queremos decir que al menos uno de los factores a y b es 0. Nos referiremos a (2) como el teorema del factor cero en un trabajo futuro. Algunas propiedades de los negativos aparecen en la tabla siguiente. Propiedades de los negativos

Propiedad

Ilustración

(1) ⫺共⫺a兲 ⫽ a

⫺共⫺3兲 ⫽ 3

(2) 共⫺a兲b ⫽ ⫺共ab兲 ⫽ a共⫺b兲

共⫺2兲3 ⫽ ⫺共2 ⭈ 3兲 ⫽ 2共⫺3兲

(3) 共⫺a兲共⫺b兲 ⫽ ab

共⫺2兲共⫺3兲 ⫽ 2 ⭈ 3

(4) 共⫺1兲a ⫽ ⫺a

共⫺1兲3 ⫽ ⫺3

1 de un número real a diferente de cero a veces se denota como a a⫺1, como en la tabla siguiente.

El recíproco

Notación para recíprocos

Definición Si a 苷 0, entonces a⫺1 ⫽

Ilustraciones 1 . a

2⫺1 ⫽

冉冊 3 4

Note que si a ⫽ 0, entonces a ⭈ a⫺1 ⫽ a

冉冊 1 a

⫽ 1.

1 2

⫺1

⫽

4 1 ⫽ 3兾4 3

6

C APÍT U LO 1

Recíprocos

C O N C EPTO S F U N D AMEN TALES D E ÁLG EB RA

2 STO 䉯 x ⫺1

ALPHA

A

ENTER

ENTER x ⫺1

A

ALPHA

ENTER

En la figura, vemos dos formas de calcular el recíproco: (1) Con sólo presionar x ⫺1 obtenemos el recíproco de la última respuesta, que se guarda en ANS . (2) Podemos introducir una variable (o sólo un número) y luego hallar su recíproco.

Las operaciones de sustracción 共⫺兲 y división 共⫼兲 se definen c...