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Prof. Dr. A. Krieg F. Schaps, M. Sc.Erste Klausur Online-Kurs H ̈ohere Mathematik I(HM4mint)- Vertiefung Lineare Algebra -am 18. Juli 2019 Dauer: 120 Min., Gesamtpunktzahl: 100 Punkte, Bestehensgrenze: 50 Punkte (davon mindestens 25 Punkte aus den Aufgaben 6-14)RWTH-Matrikelnummer (falls vorhanden):...

Description

Prof. Dr. A. Krieg F. Schaps, M. Sc.

Erste Klausur Online-Kurs Ho¨ here Mathematik I (HM4mint.nrw) - Vertiefung Lineare Algebra am 18. Juli 2019 Dauer: 120 Min., Gesamtpunktzahl: 100 Punkte, Bestehensgrenze: 50 Punkte (davon mindestens 25 Punkte aus den Aufgaben 6-14)

RWTH-Matrikelnummer (falls vorhanden): Name: ¨ Offnen Sie den Klausurbogen erst nach Aufforderung! andig und nur mit den zugelassenen HilfsmitIch versichere, die Klausur selbstst¨ auschungsversuchen – teln zu bearbeiten. Mir ist bekannt, dass die Klausur bei T¨ auch solchen zugunsten anderer – als nicht bestanden gewertet wird. Weiter versiaß zur chere ich, die Zulassungsvoraussetzungen erfullt ¨ zu haben und ordnungsgem¨ Klausur angemeldet zu sein. an der Daruber ¨ hinaus best¨ atige ich, dass ich mich gesund und in der Lage fuhle, ¨ Prufung ¨ teilzunehmen. Unterschrift:

Aufgabe

1

2

3

4

6

7

8

9

10 11 12 13 14

∑

Maximalpunktzahl

6

4

4

11 11 7

3

6

4

12 8

100

erreichte Punktzahl

5

6

12 6

Mathematik I (HM4mint.nrw) Klausur zur Online-Kurs Hohere ¨ Matr.-Nr.: Vertiefung Lineare Algebra

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Aufgabe 1 (1 + 1 + 2 + 2 = 6 Punkte) Geben Sie eine Funktionsvorschrift fur ¨ die beiden abgebildeten Geraden und Parabeln an! (Die markierten Punkte auf den Funktionsgraphen besitzen ganzzahlige Koordinaten; bei den Parabeln ist jeweils auch der Scheitelpunkt markiert. Sie brauchen Ihre Aussagen nicht zu begrunden.) ¨

−2

−1

f (x)

f (x)

4

4

3

3

2

2

1

1

0

1

x

2

−1

0

−1

−1

−2

−2

a)

1

2

2

3

x

b)

−3

c)

−2

−2

−1

f (x)

f (x)

2

2

1

1

0

1

2

x

−1

0

−1

−1

−2

−2

d)

1

x

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Aufgabe 2 (4 Punkte) Skizzieren Sie in dem Koordinatensystem einen Funktionsgraphen zu einer Funktion f : (−2; 2) → R mit den folgenden Eigenschaften: 1 f (0 ) = − , 2 x ∈ (−2; 2), f ′ ( x ) > 0 fur ¨ ′′ x ∈ (−2; 0), f ( x ) > 0 fur ¨ f ′′ ( x ) < 0

fur ¨

x ∈ (0; 2).

f (x) 2 1

−2

0

−1

1

2

−1 −2

Aufgabe 3 (4 Punkte) an: Geben Sie die Werte der folgenden Ausdrucke ¨   5 π = cos 4 arcsin(−1) = 8− /3 =   1 = log2 16 1

x

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Seite 5

Aufgabe 4 (2 + 3 + 3 + 3 = 11 Punkte) a) Berechnen Sie zu der Funktion f ( x ) = 3(4x − 5)6 die Ableitung und eine Stammfunktion. b) Berechnen Sie die folgenden Integrale: b1)

Z 4

b2)

Z π/2

2

0

1

e 2 x−1 dx sin3 x · cos x dx

Aufgabe 5 (3 + 4 + 4 = 11 Punkte)       2 4 d ~      Sei ~a = 4 , b = 4 und ~c = 0  mit einem Parameter d ∈ R. 1 3 −2 a) Berechnen Sie auf zwei verschiedene Weisen, fur ¨ welchen Wert von d die ~ drei Vektoren ~a, b und ~c in einer Ebene liegen: a1) Indem Sie untersuchen, fur ¨ welche d sich ~c als Linearkombination ~ von ~a und b darstellen l¨asst. a2) Indem Sie einen zu ~a und ~b orthogonalen Vektor n~ finden und untersuchen, fur ¨ welches d auch ~c senkrecht zu ~n ist. b) Untersuchen Sie, ob es ein d ∈ R gibt, so dass die Vektorena~und ~c ein Quadrat aufspannen, und geben Sie dieses ggfs. an. Aufgabe 6 (7 Punkte) andiger Induktion die folgende Aussage: Beweisen Sie mittels vollst¨ Zahlen n ∈ N, n ≥ 1, gilt die Gleichung Fu ¨ r alle naturlichen ¨ n

1 n = . (3k − 2)(3k + 1) 3n + 1 k =1

∑

Aufgabe 7 (3 Punkte) Gegeben sei die in der Skizze eingezeichnete komplexe Zahl z ∈ C. Tragen Sie

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die Potenzen z2 , z3 und z4 in die Skizze auf dem Antwortbogen ein. Im( z) 8 16

z

6 16 4 16 2 16 8 − 16

6 − 16

4 − 16

2 − 16

2 16

4 16

6 16

8 16

Re( z)

2 − 16 4 − 16 6 − 16 8 − 16

Aufgabe 8 (6 Punkte) Skizzieren Sie die folgende Teilmenge der komplexen Zahlen: M = {z ∈ C, z + z ≤ 2, Im(z − z) ≤ 1} Hinweis: Schreiben Sie z ∈ C zun¨achst in der Form z = x + iy mit x, y ∈ R. Beachten Sie, dass aus Ihrer Zeichnung klar erkennbar sein muss, welche Elemente zu M geh¨oren.

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Aufgabe 9 (4 Punkte) Bestimmen Sie den Grenzwert der konvergenten Folge 2n3 − 3in . −2n + 3in3

an =

Geben Sie den Grenzwert in der Form a + ib mit a, b ∈ R an. Aufgabe 10 (4 + 5 + 3 = 12 Punkte) (a) Bestimmen Sie den Wert der Reihe ∞

3 + (−2)k ∑ 4k −1 . k =0 (b)

i) Bestimmen Sie den Konvergenzradius R der Potenzreihe ∞

∑

√

n2 + 6 n −

√

n2 + 1

n

xn .

n2 + 1

n

xn ,

n2 32n

n =1

ii) Zeigen Sie, dass obige Reihe ∞

∑

√

n2 + 6 n −

n =1

√

n2 32n

fur ¨ | x | = 3 absolut konvergiert.

Hinweis: Sie durfen ¨ ohne Beweis benutzen, dass √

2−3n1 q 1+ n6 + 1+

1 n2

≤ 1 gilt.

Aufgabe 11 (8 Punkte) Sie die Funktion Prufen ¨  2x − 4    √ x + 7 − 3 g : R → R, x 7 → g( x ) := x     12

in allen Punkten x ∈ R auf Stetigkeit.

fur ¨ − 3 < x < 2, 2 < x < 9, fur ¨ x ≥ 9, x ≤ −3, fur ¨ x = 2.

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Aufgabe 12 (6 Punkte) Vertiefung Lineare Algebra Es sei A = ( a i j )1≤i,j≤3 die reelle Matrix mit den Eintr¨ agen   i, a ij = 1,   i · j,

falls 1 ≤ i = j ≤ 3,

falls 1 ≤ i < j ≤ 3, sonst.

Stellen Sie die Matrizen A und AT auf und berechnen Sie die Determinante von A und AT . Aufgabe 13 (4 + 8 = 12 Punkte) Vertiefung Lineare Algebra Seien       1 1 1      v 1 := −1 , v 2 := 0 und v 3 := 1  ∈ R3 2 1 1 gegeben. angig sind. a) Zeigen Sie, dass v 1 , v 2 und v 3 linear unabh¨ b) Bestimmen Sie ein Orthonormalsystem {u1 , u2 , u3 } ⊆ R3 mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens. Aufgabe 14 (2 + 4 = 6 Punkte) Vertiefung Lineare Algebra a) Sei Aα ∈ R3×3 gegeben durch   1 2 α Aα = 0 1 4  , α ∈ R. 0 0 1 Zeigen Sie, dass Aα fur ¨ alle α ∈ R invertierbar ist.

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b) Sei nun α = 8 und A8 gegeben durch   1 2 8 A8 = 0 1 4 . 0 0 1 Berechnen Sie das Matrixinverse von A8 mit Hilfe des GaußAlgorithmus.

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Aufgabe 1 (1 + 1 + 2 + 2 = 6 Punkte) Geben Sie eine Funktionsvorschrift fur ¨ die beiden abgebildeten Geraden und Parabeln an! (Die markierten Punkte auf den Funktionsgraphen besitzen ganzzahlige Koordinaten; bei den Parabeln ist jeweils auch der Scheitelpunkt markiert. Sie brauchen Ihre Aussagen nicht zu begrunden.) ¨

−2

−1

f (x)

f (x)

4

4

3

3

2

2

1

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0

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x

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0

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1

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b)

a)

−3

c)

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f (x)

f (x)

2

2

1

1

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x

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0

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d)

1

x

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Aufgabe 2 (4 Punkte) Skizzieren Sie in dem Koordinatensystem einen Funktionsgraphen zu einer Funktion f : (−2; 2) → R mit den folgenden Eigenschaften: 1 f (0 ) = − , 2 x ∈ (−2; 2), f ′ ( x ) > 0 fur ¨ ′′ x ∈ (−2; 0), f ( x ) > 0 fur ¨ f ′′ ( x ) < 0

fur ¨

x ∈ (0; 2).

f (x) 2 1

−2

−1

0

−1 −2

1

2

x

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Mathematik I (HM4mint.nrw) Klausur zur Online-Kurs Hohere ¨ Matr.-Nr.: Vertiefung Lineare Algebra Aufgabe 3 (4 Punkte) an: Geben Sie die Werte der folgenden Ausdrucke ¨   5 cos π = 4 arcsin(−1) = 8− /3 =   1 = log2 16 1

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Aufgabe 4 (2 + 3 + 3 + 3 = 11 Punkte) a) Berechnen Sie zu der Funktion f ( x ) = 3(4x − 5)6 die Ableitung und eine Stammfunktion. b) Berechnen Sie die folgenden Integrale: b1)

Z 4

b2)

Z π/2

2

0

1

e 2 x−1 dx sin3 x · cos x dx

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Aufgabe 5 (3 + 4 + 4 = 11 Punkte)       2 4 d     ~  4 , b = 4 und ~c = 0  mit einem Parameter d ∈ R. Sei ~a = −2 1 3 a) Berechnen Sie auf zwei verschiedene Weisen, fur ¨ welchen Wert von d die drei Vektoren ~a, ~b und ~c in einer Ebene liegen: a1) Indem Sie untersuchen, fur ¨ welche d sich ~c als Linearkombination ~ von ~a und b darstellen l¨asst. a2) Indem Sie einen zu ~a und ~b orthogonalen Vektor n~ finden und untersuchen, fur ¨ welches d auch ~c senkrecht zu ~n ist. b) Untersuchen Sie, ob es ein d ∈ R gibt, so dass die Vektoren a~ und ~c ein Quadrat aufspannen, und geben Sie dieses ggfs. an.

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Mathematik I (HM4mint.nrw) Klausur zur Online-Kurs Hohere ¨ Matr.-Nr.: Vertiefung Lineare Algebra Aufgabe 6 (7 Punkte) andiger Induktion die folgende Aussage: Beweisen Sie mittels vollst¨ Zahlen n ∈ N, n ≥ 1, gilt die Gleichung Fu ¨ r alle naturlichen ¨ n

1 n . = 3n +1 (3k − 2)(3k + 1) k =1

∑

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Aufgabe 7 (3 Punkte) Gegeben sei die in der Skizze eingezeichnete komplexe Zahl z ∈ C. Tragen Sie die Potenzen z2 , z3 und z4 in die Skizze auf dem Antwortbogen ein. Im( z) 8 16

z

6 16 4 16 2 16 8 − 16

6 − 16

4 − 16

2 − 16

2 − 16 4 − 16 6 − 16 8 − 16

2 16

4 16

6 16

8 16

Re( z)

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Aufgabe 8 (6 Punkte) Skizzieren Sie die folgende Teilmenge der komplexen Zahlen: M = {z ∈ C, z + z ≤ 2, Im(z − z) ≤ 1} Hinweis: Schreiben Sie z ∈ C zun¨achst in der Form z = x + iy mit x, y ∈ R. Beachten Sie, dass aus Ihrer Zeichnung klar erkennbar sein muss, welche Elemente zu M geh¨oren.

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Mathematik I (HM4mint.nrw) Klausur zur Online-Kurs Hohere ¨ Matr.-Nr.: Vertiefung Lineare Algebra Aufgabe 9 (4 Punkte) Bestimmen Sie den Grenzwert der konvergenten Folge an =

2n3 − 3in . −2n + 3in3

Geben Sie den Grenzwert in der Form a + ib mit a, b ∈ R an.

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Aufgabe 10 (4 + 5 + 3 = 12 Punkte) (a) Bestimmen Sie den Wert der Reihe ∞

3 + (−2)k ∑ 4k −1 . k =0 (b)

i) Bestimmen Sie den Konvergenzradius R der Potenzreihe n √ √ ∞ n2 + 6 n − n2 + 1 xn . ∑ 2 32n n n =1 ii) Zeigen Sie, dass obige Reihe n √ √ n2 + 6 n − n2 + 1 ∞

∑

n =1

fur ¨ | x | = 3 absolut konvergiert.

n2 32n

Hinweis: Sie durfen ¨ ohne Beweis benutzen, dass √

xn ,

2−3n1 q 1+ n6 + 1+ 12 n

≤ 1 gilt.

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Mathematik I (HM4mint.nrw) Klausur zur Online-Kurs Hohere ¨ Matr.-Nr.: Vertiefung Lineare Algebra Aufgabe 11 (8 Punkte) Sie die Funktion Prufen ¨

g : R → R, x 7 → g( x ) :=

  √ 2x − 4    x+7−3    

x 12

in allen Punkten x ∈ R auf Stetigkeit.

fur ¨ − 3 < x < 2, 2 < x < 9, fur ¨ x ≥ 9, x ≤ −3, fur ¨ x = 2.

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Aufgabe 12 (6 Punkte) Vertiefung Lineare Algebra Es sei A = ( a i j )1≤i,j≤3 die reelle Matrix mit den Eintr¨ agen   i, a ij = 1,   i · j,

falls 1 ≤ i = j ≤ 3,

falls 1 ≤ i < j ≤ 3, sonst.

Stellen Sie die Matrizen A und AT auf und berechnen Sie die Determinante von A und AT .

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Aufgabe 13 (4 + 8 = 12 Punkte) Vertiefung Lineare Algebra Seien       1 1 1 v 1 := −1 , v 2 :=  0 und v 3 := 1  ∈ R3 1 2 1 gegeben. angig sind. a) Zeigen Sie, dass v 1 , v 2 und v 3 linear unabh¨ b) Bestimmen Sie ein Orthonormalsystem {u1 , u2 , u3 } ⊆ R3 mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens.

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Aufgabe 14 (2 + 4 = 6 Punkte) Vertiefung Lineare Algebra a) Sei Aα ∈ R3×3 gegeben durch   1 2 α Aα = 0 1 4  , α ∈ R. 0 0 1 Zeigen Sie, dass Aα fur ¨ alle α ∈ R invertierbar ist. b) Sei nun α = 8 und A8 gegeben durch   1 2 8 A8 = 0 1 4 . 0 0 1 Berechnen Sie das Matrixinverse von A8 mit Hilfe des GaußAlgorithmus.

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RWTH-Matrikelnummer (falls vorhanden): Name: ¨ Offnen Sie den Klausurbogen erst nach Aufforderung! andig und nur mit den zugelassenen HilfsmitIch versichere, die Klausur selbstst¨ auschungsversuchen – teln zu bearbeiten. Mir ist bekannt, dass die Klausur bei T¨ auch solchen zugunsten anderer – als nicht bestanden gewertet wird. Weiter versiaß zur chere ich, die Zulassungsvoraussetzungen erfullt ¨ zu haben und ordnungsgem¨ Klausur angemeldet zu sein. an der Daruber ¨ hinaus best¨ atige ich, dass ich mich gesund und in der Lage fuhle, ¨ Prufung ¨ teilzunehmen. Unterschrift:

Aufgabe

1

2

3

4

6

7

8

9

10 11 12 13 14

∑

Maximalpunktzahl

6

4

4

11 11 7

3

6

4

12 8

100

erreichte Punktzahl

5

6

14 4

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Aufgabe 1 (1 + 1 + 2 + 2 = 6 Punkte) Geben Sie eine Funktionsvorschrift fur ¨ die beiden abgebildeten Geraden und Parabeln an! (Die markierten Punkte auf den Funktionsgraphen besitzen ganzzahlige Koordinaten; bei den Parabeln ist jeweils auch der Scheitelpunkt markiert. Sie brauchen Ihre Aussagen nicht zu begrunden.) ¨

−2

−1

f (x)

f (x)

4

4

3

3

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2

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0

1

x

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0

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b)

a)

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f (x)

f (x)

2

2

1

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0

1

2

x

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0

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d)

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