analisis-kompleks-fungsi-analitik.pdf PDF

Preview

Summary

2. Fungsi Analitik 2. FUNGSI ANALITIK Fungsi f(z) disebut analitik di titik z0 apabila f (z ) ada di semua titik pada suatu lingkungan z0. Untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y) digunakan persamaan Cauchy – Riemann. Sebelum mempelejari persamaan Cauchy-Rieman...

Description

2. Fungsi Analitik

2. FUNGSI ANALITIK

f (z )

Fungsi f(z) disebut analitik di titik z0 apabila Untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks

ada di semua titik pada suatu lingkungan z0.

w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y) digunakan persamaan Cauchy –

Riemann. Sebelum mempelejari persamaan Cauchy-Riemann akan diperkenalkan terlebih dahulu pengertian tentang limit fungsi dan turunan fungsi pada bilangan kompleks. Oleh karena itu, setelah membaca Bab 2, mahasiswa diharapkan dapat 









Mengerti definisi fungsi analitik Menghitung nilai limit dari fungsi kompleks Menentukan kekontinuan fungsi Mencari turunan fungsi Menentukan fungsi analitik dan fungsi harmonik

2.1 Fungsi Peubah Kompleks Definisi

zS

Misalkan S himpunan bilangan kompleks. Fungsi kompleks f pada S adalah aturan yang mengawankan setiap

dengan biangan kompleks w.

Notasi w = f(z). Dalam hal ini, S disebut domain dari f dan z dinamakan variabel kompleks.

Misalkan w = u + iv adalah nilai fungsi f di z = x + iy, sehingga u + iv = f(x + iy). Masing-masing bilangan riil u dan v bergantung pada variabel riil x dan y, sehingga f(z) dapat dinyatakan sebagai pasangan terurut dari variabel riil x dan y, yaitu f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Jika koordinat polar r dan θ pada x dan y digunakan, maka u + iv = f(reiθ), dimana w = u + iv dan z = reiθ. Sehingga f(z) dapat ditulis menjadi f(z) = u(r,θ) + iv(r,θ). Contoh 1

2

Misalkan w = f(z) = z +3z. Tentukan u dan v serta hitung nilai dari f pada z = 1 + 3i. Nyatakan juga u dan v dalam bentuk polar. Penyelesaian: Misal z = x + iy, sehingga

f ( z)  f ( x  iy )  ( x  iy ) 2  3( x  iy )  x 2  3x  y 2  i(2 xy  3 y)

Jadi

u  x 2  3x  y 2

Untuk z = 1 + 3i maka

dan

v  2 xy  3 y .

f ( z )  f (1  3i)  (1  3i) 2  3(1  3i)  5  15i .

Jadi u(1,3) = -5 dan v(1,3) = 15. iθ

Jika koordinat polar digunakan dimana z = re , maka

f ( z )  f (rei )  (rei ) 2  3(rei )  r 2 e 2i  3rei

 r 2 cos 2  ir 2 sin 2  3r cos   3ir sin 

 r 2 cos 2  3r cos   i (r 2 sin 2  3r sin  )

Jadi

u  r 2 cos 2  3r cos 

dan

v  r 2 sin 2  3r sin  .

10

2. Fungsi Analitik

2.2 Pemetaan / Transformasi Sifat-sifat dari fungsi bernilai riil dapat dilihat dari grafik fungsinya. Tetapi untuk w = f(z), dimana w dan z bilangan kompleks, tidak ada grafik yang menyatakan fungsi f karena setiap bilangan z dan w berada di bidang bukan di garis bilangan. Definisi Transformasi

Korespondensi antara titik-titik di bidang-z dengan titik-titik di bidang-w disebut pemetaan atau transformasi dari titik-titik di bidang-z dengan titik-titik di bidang w oleh fungsi f.

Pemetaan dapat berupa:   

Translasi / pergeseran Rotasi / perputaran Refleksi / pencerminan

Sebagai contoh, pemetaan 



   w  iz  r exp i   , dimana z = reiθ dan i = eiπ/2, merotasi 2  

w = z + 1 = (x+1) +iy, dimana z = x + iy, mentranslasikan / menggeser setiap titik z satu satuan ke kanan.

/ memutar setiap titik taknol z ke

kanan dari pusatnya berlawanan arah jarum jam. 

w  z  x  iy

merefleksikan / mencerminkan setiap titik z = x + iy pada sumbu riil.

2.3 Limit Secara umum definisi limit dalam kompleks sama dengan definisi limit pada bilangan riil dalam kalkulus. Kalau pada bilangan riil bila x mendekati x0 hanya mendekati sepanjang garis riil sedangkan pada bilangan kompleks bila z mendekati z0 akan mendekati dari semua arah dalam bidang kompleks. Definisi Limit

lim f ( z )  w0

z  z0

dibaca “limit f(z) untuk z menuju z0 sama dengan w0 “, dan

lim f ( z )  w0    0   0  0  z  z 0  

didefinisikan sebagai berikut: z  z0

berlaku

f ( z )  w0   .

Secara geometri definisi di atas mengatakan bahwa untuk setiap lingkungan- dari w0, yaitu |w - w0 |<  ada suatu

lingkungan- dari z0, yaitu 0 < |z - z0| <  sedemikian sehingga setiap titik z pada image w berada pada lingkungan Dalam hal ini  

Jika limit tersebut ada, maka limitnya tunggal z mendekati z0 dari berbagai arah atau lintasan



Jika untuk lintasan yang berbeda, nilai f(z) untuk z menuju z0 berbeda maka



f(z) tidak disyaratkan terdefinisi di z = z0

lim f ( z )

z z0

11

tidak ada

2. Fungsi Analitik

f ( z) 

Contoh 2 Misalkan

iz i , z  1 . Buktikan lim f ( z )  .  z 1 2 2

Bukti: Ambil

> 0 sebarang. Pilih

f ( z) 

  2  z  1  

i iz i i ( z  1) i z  1 1 z  1      2 2 2 2 2 2 

z 1 2







2

2  2

Jadi untuk setiap z dan  positif berlaku gambar 2. Sehingga menurut definisi limit terbukti

Contoh 3 Misalkan

berlaku

f ( z) 

f ( z) 

i  2

lim f ( z )  z 1

bila

0  z  1  2 , lihat

i . 2

z . Buktikan lim f ( z ) tidak ada. z0 z

Bukti: Akan ditunjukkan nilai limit dengan lintasan yang berbeda. 

x  iy x  i.0  lim  lim 1  1. ( x , y )( 0, 0 ) x  iy ( x , 0 ) x  i.0 x 0

Pendekatan sepanjang sb-x positif, dalam hal ini y = 0.

lim f ( z ) 

z 0



lim

x  iy 0  i. y  lim  lim  1  1 . y 0 ( x , y )( 0, 0 ) x  iy ( 0, y ) 0  i. y

Pendekatan sepanjang sb-y positif, dalam hal ini x = 0.

lim f ( z ) 

z 0



lim

x  iy x  i.x x(1  i) 1  i  lim  lim  . ( x , x )( 0, 0 ) x  iy x 0 x  i.x x 0 x(1  i ) 1 i

Pendekatan sepanjang garis y = x.

lim f ( z ) 

z 0

lim

Karena pendekatan sepanjang arah yang berbeda menghasilkan nilai yang tidak sama maka

lim f ( z ) tidak ada.

z0

Teorema 1

lim f ( z )  0



u( x, y)  u0

Andaikan f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z0 = x0 + iy0 , ω0 = u0 + iv0 maka z  z0

(  ) Misalkan Bukti:

lim

lim

( x , y ) ( x0 , y 0 )

( x , y )( x0 , y0 )

u( x, y)  u 0

  0 1 ,  2  u  u 0  v  v0 

Pilih

  min(1 ,  2 ) .

 2



2

dan

dan

lim

lim

( x , y ) ( x0 , y 0 )

( x , y )( x0 , y0 )

v( x, y)  v0

v( x, y)  v0 , artinya

,0  ( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2   1

,0  ( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2   2

12

2. Fungsi Analitik

(u  iv )  (u0  iv 0 )  (u  u0 )  i(v  v0 )  u  u0  v  v0

Karena

dan

( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  ( x  x0 )  i( y  y0 )  ( x  iy )  ( x0  iy 0 )

maka Jadi



(u  iv )  (u 0  iv 0 ) 

lim f ( z )  0 .

2





2



bila

0  ( x  iy )  ( x0  iy 0 )   .

z  z0

() Misalkan lim f ( z )  0 , artinya z  z0

  0  (u  iv )  (u0  iv 0 )  

bila 0

 ( x  iy )  ( x0  iy 0 )   .

u  u 0  (u  u 0 )  i(v  v0 )  (u  iv )  (u 0  iv 0 )

Perhatikan bahwa

v  v0  (u  u 0 )  i(v  v0 )  (u  iv )  (u 0  iv 0 )

( x  iy )  ( x0  iy 0 )  ( x  x0 )  i( y  y0 )  ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2

dan

Sehingga

u  u0  

dan

v  v0  

0  ( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2  

Jadi

Teorema 2

Andaikan 

lim

( x , y )( x0 , y0 )

u( x, y)  u 0

.

dan

lim f ( z )  A , lim g ( z )  B

z  z0

z  z0

lim  f ( z )  g ( z )  A  B .

bila

lim

( x , y )( x0 , y0 )

v( x, y)  v0 .

maka

z  z0

lim f ( z ) g ( z )  AB .



z  z0



lim

z  z0

f ( z) A  . g ( z) B

2.4 Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga Kadang-kadang suatu bidang kompleks memuat titik di tak hingga.Bidang kompleks yang memuat titik tersebut disebut bidang kompleks yang diperluas.

Teorema 3

Jika z0 dan w0 titik-titik pada bidang z dan w, maka

lim f ( z )  

1)

z  z0

2)

z 

3)

z 

lim f ( z )  w0

lim f ( z )  

1 0 z  z0 f ( z ) 1 jhj lim f    w0 z 0 z 1 jhj lim 0 z 0 f (1 / z )

jhj

lim

Bukti:

13

2. Fungsi Analitik

1)

lim f ( z )   ,

z  z0

Misalkan

artinya

  0  f ( z ) 

............…………………………………..(#). Akan dibuktikan

lim

z  z0

bila 0 < |z – z0| <

1  0. f ( z)

Titik w = f(z) berada di suatu lingkungan- ,yaitu |w| > 1/ lingkungan 0 < |z – z0| < dari z0. Sehingga persamaan (#) dapat ditulis menjadi

2)



1

1  0   bila 0 < |z – z0| < f ( z) 1  0. Jadi lim z  z0 f ( z ) Misalkan lim f ( z )  w0 ,

dari ∞ bila z ada di

.

z 

  0  f ( z )  w0  

artinya

Akan dibuktikan

1 lim f    w0 . z 0 z

bila |z| >1/ .............(*).

Pada persamaan (*) rubah z dengan 1/z, maka akan diperoleh

1 lim f    w0 . z 0 z Misalkan lim f ( z )   , < |z – 0| < .

1 f    w0   z

bila 0

Jadi

3)

z 

artinya

  0  f ( z ) 

Akan dibuktikan

lim

z 0



1

bila |z| > 1/ ……………....(**).

1  0. f (1 / z )

Pada persamaan (**) rubah z dengan 1/z, maka akan diperoleh

1 0  f (1 / z )

0 < |z – 0| < . Jadi

lim

z 0

1  0. f (1 / z )

2.5 Kekontinuan Definisi Kontinu

Fungsi f(z) dikatakan kontinu di z = z0 jika  



lim f ( z )

ada

z z0

lim f ( z )  f ( z 0 )

f(z0) ada z  z0

lim f ( z )  f ( z 0 )    0   0  z  z 0  

Dengan kata lain f(z) kontinu di z = z0 jika z  z0

f ( z)  f ( z0 )   .

14

berlaku

bila

2. Fungsi Analitik

Fungi kompleks f(z) dikatakan kontinu pada region D jika f(z) kontinu pada tiap titik z dalam D. Misalkan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) kontinu di z0 = x0 + iy0 ,

 u(x,y) dan v(x,y) kontinu di (x0,y0) 

lim

( x , y )( x0 , y0 )

Sifat-sifat fungsi kontinu

u( x, y)  u( x0 , y0 )

dan

v( x, y)  v( x0 , y0 ) .

1)

Fungsi konstan kontinu pada bidang kompleks

2)

Jika f dan g kontinu pada daerah D maka a)

f+g kontinu

b)

f-g kontinu

c)

f.g kontinu

d)

f/g kontinu kecuali di

z0  D

2.6 Turunan Definisi Turunan

lim

( x , y )( x0 , y0 )

Turunan fungsi f di z0, ditulis dengan

f ( z 0 )  lim

z 0

f ( z 0 )

f ( z 0  z )  f ( z 0 ) z

Notasi untuk turunan f di z adalah

sehingga g(z0) = 0.

f ( z ) 

didefnisikan sebagai berikut:

jika limitnya ada.

d f ( z) . dz

Aturan turunan pada bilangan riil berlaku juga pada bilangan kompleks. Aturan Turunan 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Contoh 4

d (c )  0 dz d ( z)  1 dz d c( f ( z )  cf ( z) dz d n ( z )  nz n 1 , z  0, n   dz d  f ( z)  g ( z)  f ( z)  g ( z) dz d  f ( z) g ( z)  f ( z) g ( z)  f ( z) g ( z) dz d  f ( z )  f ( z ) g ( z )  f ( z ) g ( z )  dz  g ( z )  g ( z)2

Tentukan turunan dari fungsi berikut: 1.

f(z) = (2z2 + i)5

15

2. Fungsi Analitik

2.

f ( z) 

( z  i) pada i z i

Penyelesaian : 1.

Dengan menggunakan aturan turunan (4) dan aturan rantai diperoleh

2.

Dengan menggunakan aturan turunan (7) diperoleh

f ( z )  5(2 z 2  i) 4 .4 z  20 z(2 z 2  i) 4 .

f ( z ) 

f ( z ) g ( z )  f ( z ) g ( z )

g ( z)

2



1( z  i)  ( z  i)1

z  i 

2



2i ( z  i) 2

Sehingga untuk z = i diperoleh

f (i) 

Aturan Rantai

2i 2i 1  2   i. 2 2 (i  i) 4i

Misalkan f mempunyai turunan di z0, dan g mempunyai turunan di f(z0). Maka fungsi F(z) =

F ( z0 )  g[ f ( z0 )]. f ( z0 ).

g[f(z)] mempunyai turunan di z0, dan

Dengan kata lain, jika w = f(z) dan W = g(w) = F(z), maka menurut aturan rantai

dW dW dw .  dz dw dz

Contoh 5

Tentukan turunan dari fungsi f(z) = (2z2 + i)5 dengan menggunakan aturan rantai! Penyelesaian: Misalkan w = 2z2 + I dan W = w5. Maka menurut aturan rantai

dW dW dw = (5w4)(4z) = 20z(2z2 + i)4.  dz dw dz

2.7 Persamaan Cauchy – Riemann Persamaan Cauchy – Riemann merupakan persamaan yang sangat penting pada analisis kompleks. Karena persamaan ini digunakan untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks

Definisi Persamaan Cauchy Riemann

w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y).

Fungsi f dikatakan analitik pada domain D jika dan hanya jika turunan parsial pertama dari u dan v memenuhi persamaan Cauchy – Riemann, yaitu

ux  vy

dengan

u y  v x

ux 

u x

uy 

16

u y

vx 

v x

vy 

v . y

2. Fungsi Analitik

Misalkan f(z) = z2 = x2 – y2 + 2ixy.

Contoh 6

Apakah f(z) analitik untuk semua z ? Penyelesaian : f(z) analitik jika memenuhi persamaan Cauchy – Riemann,

ux  vy

u y  v x .

Perhatikan bahwa u = x2 – y2 dan v = 2xy. Maka ux = 2x = vy dan uy = -2y = -vx. Karena memenuhi persamaan C-R maka f analitik untuk semua z.

Teorema 4

Misalkan f(z) = u (x,y) + iv (x,y) terdefinisi dan kontinu di suatu lingkungan dari z = x + iy dan mempunyai turunan di z maka ux , vy , uy , vx ada dan memenuhi persamaan Cauchy - Riemann

ux  vy

Teorema 5

u y  v x .

Jika dua fungsi kontinu yang bernilai riil u(x,y) dan v(x,y) mempunyai turunan parsial pertamanya kontinu dan memenuhi persamaan Cauchy – Riemann dalam domain D maka fungsi kompleks f(z) = u (x,y) + iv (x,y) analitik di D.

Apakah f(z) = z3 analitik?

Contoh 7

Penyelesaian Perhatikan bahwa u = x3 – 3xy2 dan v = 3x2 y – y3. Maka ux = 3x2 – 3y2 = vy dan

uy = -6xy = -vx. Karena

memenuhi persamaan C-R maka f analitik untuk semua z.

2.8 Fungsi Analitik Definisi Fungsi Analtik

Fungsi f(z) disebut analitik (atau holomorfik atau reguler atau monogenik) di titik z0 apabila f’(z) ada di semua titik pada suatu lingkungan z0.

Teorema 5

Misal f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Andaikan

ux  vy

u y  v x berlaku di setiap titik di

i.

ux , vy , uy , vx kontinu di semua titik dalam lingkungan tertentu N dari titik z0

ii.

persamaan Cauchy- Riemann N

maka f(z) analitik di z0. Buktikan f(z) = | z | 2 tidak analitik

Contoh 8

Bukti: Karena f hanya mempunyai turunan di z = 0 atau f’(z) tidak ada pada persekitaran z = 0. Beberapa hal yang perlu diperhatikan 





Jika f(z) analitik pada setiap titik di himpunan S maka f(z) analitik pada S. Jika f(z) analitik di seluruh bidang kompleks maka f(z) fungsi menyeluruh /fungsi utuh (entire function). Daerah keanalitikan (region of analycity) bagi f adalah keseluruhan titik pada bidang datar yang membuat f analitik.

17

2. Fungsi Analitik

Contoh 9 Misalkan

f ( z) 

z3  z 1 . Apakah f(z) analitik? z2 1

Penyelesaian: f’(z) ada di semua z kecuali di z2 + 1 = 0 atau z = ± i. Jadi f(z) analitik kecuali di z = ± i. Definisi Titik Singular

Titik z0 dinamakan titik singular bagi f jika dan hanya jika f gagal menjadi analitik pada z0 tetapi setiap lingkungan z0 memuat paling sedikit satu titik yang membuat f analitik.

Contoh 10 Misalkan

f ( z) 

2z  1 . Tentukan titik singular dari f dan tentukan dimana saja z3  z

f(z) analitik! Penyelesaian: f’(z) ada di semua z kecuali di z3 + z = 0 atau di z = 0 dan di z = ± i . Sehingga titik singular dari f adalah di z = 0 dan

di z = ± i. f(z) analitik di semua z

3

kecuali di z + z = 0 atau di z = 0 dan di z = ± i .

2.9 Fungsi Harmonik Definisi Fungsi Harmonik

Fungsi riil H(x,y) yang mempunyai turunan parsial orde 1 dan 2 yang kontinu dan

H xx ( x, y)  H yy ( x, y)  0

memenuhi persamaan Laplace

Contoh 11

disebut fungsi Harmonik.

Misalkan u(x,y) = x2 – y2 dan v(x,y) = 2xy. Apakah u dan v fungsi harmonik? Penyelesaian: Perhatikan bahwa: ux = 2x

vx = 2y

uxy = 0

vxy = 2

uy = -2y

vy = 2x

uyx = 0

vyx = 2

uxx = 2

vxx = 0

uyy = -2

vyy = 0

Karena ux = 2x = vy , uy = -2y = -vx , uxx + uyy = 2 + (-2) = 0 dan vxx + vyy = 0 + 0 = 0 dimana u dan v memenuhi persamaan Laplace maka u dan v fungsi harmonik.

Definisi Fungsi Harmonik Sekawan

Misalkan f(z) = u + iv.

v disebut fungsi harmonik sekawan dari u jika u fungsi

harmonik dan v fungsi harmonik.

Contoh 12

Misalkan u(x,y) = y3 – 3x2y. Tentukan fungsi harmonik sekawan dari u. Penyelesaian: ux = -6xy dan uy = 3y2 – 3x2. Menurut persamaan cauchy – Riemann diperoleh -6xy = ux

18

2. Fungsi Analitik

= vy. Sehingga

v(...