Aritmética y principios e historia de Álgebra lineal PDF

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los principios del álgebra lineal así como su historia y utilizacion en lo profesional...

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I.1.1 Introducción Conocer la evolución histórica de los conceptos matemáticos es de vital importancia ya que estimula la reflexión, aumentando así la capacidad de pensamiento crítico que contribuya a una comprensión mayor de los conceptos; también representa un factor de motivación al mostrarnos la humanización de sus contenidos exponiendo su desarrollo con errores y perfeccionamientos. A través del componente histórico, algunos de los conceptos matemáticos podrían ser más atractivos y evidentes si nos enteramos de su génesis. De esta manera, aprenderemos el porqué y el cómo hemos llegado al grado de desarrollo de las matemáticas en la actualidad. Conocer la historia de las matemáticas permite formarnos una idea de su naturaleza, extensión y aplicación. Esta sección está dedicada a situar a la aritmética y al álgebra en su perspectiva histórica.

I.1.2 La idea de número ¿Cómo es que el hombre primitivo empieza a pensar en números? ¿A qué época se remonta la idea de número? En la actualidad se pensaría que la idea de número es algo obvio para todas las personas; sin embargo, un momento de reflexión nos pondría en una situación verdaderamente alarmante si descubrimos que los números nada tienen que ver con las cosas físicas con los que los asociamos, sino que pertenecen al orden de las ideas. Ningún maestro en sus cabales le pediría a un alumno que le muestre físicamente el número 5 , es decir, ¿dónde se encuentra tal número? Este problema está relacionado con una de las cualidades intrínsecas que el ser humano posee: la abstracción, parte fundamental de las matemáticas. Tal vez la dificultad de ser conscientes de esta virtud fue lo que provocó que muchas civilizaciones del

mundo antiguo, a pesar de poseer literatura, arte, filosofía, religión e instituciones complejas, no fueran capaces de desarrollar un lenguaje o una estructura matemática.

En primera instancia, podemos decir que los animales superiores, los hombres primitivos o salvajes y los niños pequeños, no son completamente ajenos al concepto de número y espacio; poseen, todos ellos, nociones rudimentarias de aritmética y geometría (ciencias en primera instancia aisladas) que han marchado acompañadas constituyendo a las matemáticas. En función de la experiencia de estos seres, se puede hablar de una percepción de la pluralidad: esto significa que el pájaro o el niño se dan cuenta vagamente de una diferencia entre dos conjuntos de objetos análogos. Asimismo, esas inteligencias poco desarrolladas reconocen que un conjunto (poco numeroso) ha sufrido una modificación cuando es percibido una segunda vez después de que se les ha quitado o añadido un constituyente.

El hombre prehistórico no estaba por tanto más avanzado que algunos pájaros, y fue sin embargo de ese núcleo de donde salió nuestra concepción del número. No hay la menor duda de que, reducido a esta percepción directa, el hombre no hubiera hecho más progreso que los pájaros. Esta percepción directa de la pluralidad es extraordinariamente limitada: se circunscribe a la visión global de “espacio ocupado” por un conjunto de objetos. Después de una larga y penosa evolución el hombre terminó por adueñarse de dos técnicas, que en adelante formarán parte de su “equipo mental”: el apareamiento y el censo.

Cuando reconocemos conjuntos en la naturaleza y podemos discernir los elementos del mismo, se debe a un procedimiento que domina a todas las matemáticas conocido como

"apareamiento" (acoplamiento o técnicamente correspondencia biunívoca), el cual consiste en hacer corresponder a cada constituyente de uno de los conjuntos con otro constituyente de otro conjunto, continuando así hasta que uno de los conjuntos, o ambos, estén agotados.

Por lo tanto, en alguna remota civilización, tal vez alrededor de 4000 años a.C., comenzaron a emplear este equipamiento mental reconociendo el número de objetos que poseían. Por ejemplo, sabían que tres flechas y tres borregos tenían algo en común, una característica que relacionaba a ambos conjuntos y que era necesario introducir dicha realidad en nuestra mente, abstraerla y transformarla en idea a través de un artificio o símbolo que la sustituyera: el número. La apreciación del número como idea abstracta fue el detonante de las matemáticas.

El siguiente paso de estas civilizaciones primitivas fue el de las operaciones con los números. En algún momento de su evolución, los seres humanos agruparon sus posesiones; tenían la posibilidad de disponer de una colección de objetos materiales, cada uno de los cuales representaba una unidad. Al separarlos de uno en uno y para reunirlos de nuevo, formaron sucesivas colecciones de uno, dos, tres o más elementos.

De esa manera inventaron los números y simultáneamente aprendieron a contar. También mediante este proceso comprendieron los conceptos de suma y resta, ya sea reuniendo dos colecciones de números y contando el resultado final de éstos o quitando elementos en alguna colección. Civilizaciones como la egipcia, la babilónica, la hindú y la china, fueron las primeras que desarrollaron y aplicaron estas primitivas matemáticas. Desde entonces, los pueblos que descubrieron este conocimiento, en el transcurso de su historia, han

dirigido sus esfuerzos al estudio de las matemáticas, siempre partiendo del número, a través de la aritmética y el álgebra, y de la geometría que le permitía hacer “tangible” la abstracción numérica.

Aunque el origen del número es tan incierto como el del lenguaje y el arte, podemos estar seguros de que los números son producto de la capacidad de abstracción que los seres humanos poseemos: venimos al mundo ya equipados con esa cualidad. De esta manera podemos asegurar que el entendimiento de las matemáticas, en particular del número, sus operaciones y su representación simbólica, es posible para todos.

I.1.3 Los griegos Cuando se habla de ciencia y matemáticas, siempre se hace mención a la civilización griega y sus grandes personajes como Arquímedes, Sócrates, Platón, Euclides o Pitágoras, sólo por mencionar algunos. ¿Qué hicieron los griegos en relación con la ciencia y las matemáticas que merecen ser mencionados cuando se tratan estos temas? Antes que ellos, civilizaciones como la egipcia o la babilónica habían desarrollado y aplicado matemáticas en la agricultura o en la construcción de sus templos y palacios.

Entonces, ¿por qué son los griegos a los que siempre recordamos y no a estas antiguas civilizaciones? Lo que sabemos es que los griegos poseían una mentalidad muy diferente que dio fruto en lo que a matemáticas se refiere. La primera lección griega que deberíamos considerar es que el propósito de las matemáticas nada tenía que ver con el interés práctico de

las mismas, es decir, las matemáticas no fueron creadas para calcular intereses de impuestos, transacciones comerciales o para determinar volúmenes de graneros.

Las matemáticas estaban para entender la naturaleza. De todos los fenómenos el que más les atraía era el de los cuerpos celestes. Los griegos también estudiaron la luz, el sonido y el movimiento de los cuerpos en la Tierra. Mientras que diversas civilizaciones, aun después de los griegos, concebían a la naturaleza en relación con lo sobrenatural y la superstición. Los griegos afirmaban que la naturaleza era racional y matemática, y que la razón humana, aliada a las matemáticas, permitía comprenderla.

Los griegos estuvieron especialmente interesados en la geometría. Alrededor del año 300 a.C. Tales, Pitágoras y sus seguidores (los discípulos de Platón) construyeron una estructura lógica, que en su mayoría fue incorporada por Euclides en su famoso libro “Elementos”. Los griegos también hicieron aportes al estudio de los números, sus propiedades y la solución de ecuaciones, pero la mayoría de sus trabajos estuvieron relacionados con la geometría.

Para los griegos los números eran entidades vivas y principios universales imbuidos en todo: de los cielos hasta la ética de los hombres. Los griegos acostumbraban a representar a los números mediante guijarros o puntos. Algunos de estos números se podían poner en una disposición geométrica de triángulo equilátero, a los que llamaron números triangulares. Uno de ellos, el número diez, fue llamado Tetraktys, considerándolo sagrado. Para los seguidores de Pitágoras, el Tetraktys era tan fundamental que tenían un juramento que decía: “Juro por aquel que trasmitió a nuestra alma la Tetraktys en la cual se encuentra la fuente y la raíz de la

eterna naturaleza”. Una posible explicación de esta veneración se puede deber a que los griegos comprendían que la geometría y los números describían al mundo en el que vivían. En este caso, el Tetraktys revelaba las dimensiones de lo que se percibía, tal como lo muestra la figura.

Otro concepto numérico que los griegos tenían era el Gnomon (en griego γνώμων). Para Euclides el Gnomon es el complemento acomodado en cuadrados que los carpinteros llaman comúnmente “escuadra”, que resulta ser una palabra técnica que expresa a la perfección la extracción de un cuadrado en el mismo centro de ese ángulo recto hueco. El Gnomon servía para representar números como lo muestra la figura.

Si partimos de la unidad y le añadimos los números impares siguiendo el Gnomon, obtendremos los números cuadrados. Pitágoras se dio cuenta que un Gnomon más un cuadrado

producía otro cuadrado y que este triplete de números tenía una representación geométrica; esto es lo que conocemos como el teorema de Pitágoras, de gran utilidad en la ciencia. Pero la razón por la que se considera que las aportaciones de los griegos fueron fundamentales en el desarrollo de las matemáticas se debe a que proporcionaron, antes que todos, demostraciones lógicas y pruebas concluyentes del poder de la razón humana para deducir verdades nuevas. Por ejemplo, Pitágoras no solamente enunció su teorema, sino que también lo demostró.

Aún en nuestros días la obra de los griegos es la mejor muestra de poder y de logros de la razón. Cientos de generaciones han aprendido geometría con el trabajo de Euclides y reconocen que la mejor manera de entender los números naturales es a través de la definición Pitagórica. Si alguna persona intentara dar un claro ejemplo de un razonamiento matemático, inevitablemente recurriría a las matemáticas, aunque en un principio despreciara el valor de esta disciplina.

I.1.4 Los árabes El hombre de las primeras civilizaciones realizó un esfuerzo dramático para obtener una notación que le permitiera representar cómodamente los números y operar con ellos fácilmente; sin embargo no lo lograron. Este problema sólo pudo resolverse en la edad media con la invención hindú-arábica de la notación decimal. Esta notación permite leer y escribir los números de manera más cómoda, facilita las operaciones y sirve para precisar en términos puramente aritméticos los antiguos conceptos de magnitud conmensurable e inconmensurable con la unidad, sustituidos hoy por números racionales e irracionales.

Los árabes eran admiradores de los griegos debido a que habían creado obras maravillosas en muchos campos del conocimiento. Por tal motivo, se dedicaron a recolectar y estudiar todo lo que encontraron con respecto a ellos en las tierras que habían sometido durante su reinado, del año 800 al 1,200 d.C. Aunque existen pocas obras originales de la cultura griega, los árabes tradujeron a su idioma las obras de Aristóteles, Euclides, Arquímedes y Ptolomeo. Es importante mencionar que los árabes también se interesaron por la óptica, la astronomía y la medicina.

En el campo de las matemáticas los árabes se inclinaron mayormente por el aspecto práctico que por el del razonamiento. De las matemáticas griegas apreciaron su contenido abstracto y preciso, y estudiaron los métodos eficaces para resolver ecuaciones. Los árabes se apropiaron y trasmitieron las matemáticas desarrolladas por los hindúes, entre las que destaca

el empleo de símbolos especiales para los números del uno al nueve. También introdujeron el cero y la notación posicional de base diez.

La palabra álgebra, que utilizamos cotidianamente al hablar de matemáticas, es una palabra árabe tomada del título del libro Hisab Al-jabr wal muqabala, que podría traducirse como “La solución de ecuaciones por restitución y reducción”, del matemático y astrónomo Musulmán del siglo IX Mohammed ibn-Musa, mejor conocido como Al-Khwārismi.

Este libro se tradujo al latín en el siglo XII como Ludus algebrae et almucgrabalaeque y de aquí se redujo a álgebra. Mohammed también escribió el libro titulado Algorithmi de numero indorum que se puede traducir como “cálculo con números indios”. Con este libro los europeos aprendieron el sistema numérico posicional de la India y las operaciones de la aritmética de donde se popularizó la palabra "algoritmo", que proviene del apellido del autor (Al- Khwārismi).

Estos libros dan testimonio de que los árabes investigaron y escribieron, influenciados fuertemente por los griegos e hindúes, acerca de los números, de los métodos de cálculo y de los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Otro de los grandes personajes de las matemáticas árabes fue Omar Khayyam (Abdul-Fath Umar ibn Ibrahim al-Kayyami) quien contribuyó dando reglas para resolver ecuaciones cuadráticas y un método para la resolución de ecuaciones cúbicas con raíces reales.

Para encontrar los coeficientes del binomio, Khayyam consideró una estructura parecida al triángulo de Pascal intentando una demostración del postulado de las paralelas de

Euclides. Los árabes también conocieron una aproximación para el número π con 16 decimales correctos; en trigonometría se aproximaron al concepto de función al utilizar los conceptos de seno, tangente, cotangente y secante. De esta manera los árabes contribuyeron al desarrollo matemático que hoy conocemos, destacando su copiosa labor en estudiar, recopilar y difundir los trabajos realizados por los griegos e hindúes, preservándolos a lo largo de generaciones....