BAHAN AJAR SMK TEKNIK KELAS XI SEMESTER GANJIL OPERASI MATRIKS PDF

Preview

Summary

BAHAN AJAR SMK TEKNIK KELAS XI SEMESTER GANJIL OPERASI MATRIKS Oleh : Aris Arianti, S. Pd. SMK NEGERI 1 KUNDURAN OPERASI MATRIKS Kompetensi Dasar : 3.15 Menerapkan operasi matriks dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks 4.15 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks Indik...

Description

BAHAN AJAR SMK TEKNIK KELAS XI SEMESTER GANJIL

OPERASI MATRIKS

Oleh : Aris Arianti, S. Pd. SMK NEGERI 1 KUNDURAN

OPERASI MATRIKS Kompetensi Dasar : 3.15 Menerapkan operasi matriks dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks 4.15 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks

Indikator Pencapaian Kompetensi : 3.15.1 Menjelaskan unsur matriks dan jenis matriks ( IPK Pendukung) 3.15.2 Menentukan kesamaan dua matriks (IPK Kunci) 3.15.3 Menghitung penjumlahan dan pengurangan matriks dalam menyelesaiakan masalah yang berkaitan dengan matriks ( IPK Kunci ) 3.15.4 Menghitung perkalian matriks dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks (IPK Kunci) 3.15.5 Menerapkan operasi matriks dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks (IPK Pengayaan) 4.15.1 Mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan matriks (IPK Pendukung) 4.15.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks (IPK Kunci) 4.15.3 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan matriks (IPK Pengayaan)

Aris Arianti, S. Pd.

1

Peta Konsep Konsep Matriks Unsur & Jenis Matriks Jenis Matriks

Operasi Matriks

Kesamaan Dua Matriks

Penjumlahan

Pengurangan Operasi Matriks Perkalian Skalar Perkalian Dua Matriks

A. Unsur & Jenis Matriks 1. Konsep Matriks Dalam kehidupan sehari-hari banyak kita jumpai berbagai kejadian yang memiliki pola tertentu sehingga hal tersebut sangat membantu dalam aktivitas, salah satu contoh di showroom mobil. Dalam penataannya, pihak showroom mobil memajangkan mobil-mobil dengan berjejer rapih. Perhatikan gambar 1, salah satu showroom di Jakarta memajang mobil-mobilnya di tiga tingkat lantai dan setiap tingkat lantai diberi tiga lapak mobil sedemikian sehingga setiap lapak hanya terisi oleh satu mobil. Apabila banyak tingkat lantai merepresentasikan baris dan banyak lapak setiap tingkat lantai merepresentasikan kolom, dapatkah kalian menyebutkan banyak baris dan kolom pada situasi tersebut? (baris ada 3, kolom ada 3)

Aris Arianti, S. Pd.

2

Susunan mobil yang ada di showroom tersebut, bisa kita sajikan seperti berikut: 1 (1 1

1 1 1 1) 1 1

Konsumen dengan mudah memilih mobil tersebut hanya dengan menyebutkan baris dan kolomnya. Misal, seorang konsumen ingin membeli mobil putih yang ada di lantai dua pojok kanan. Bagaiamana cara efektif menyebutkan menggunakan baris dan kolom? (baris kedua, kolom ketiga) Baris, kolom dan unsur (elemen baris dan elemen kolom) merupakan pembentuk matriks. Mobil sebanyak satu merepresentasikan elemen matriks. Artinya unsur matriks untuk baris kesatu dan kolom kesatu sebanyak 1, unsur matriks untuk baris kesatu dan kolom kedua sebanyak 1, dan seterusnya. Menurut kalian, bagaimana jika setiap lantai dan setiap lapak boleh diisi lebih dari satu mobil? ❖ Matriks didefinisikan sebagai susunan berbentuk persegi panjang dari elemen-elemen yang diatur berdasarkan baris dan kolom. ❖ Matriks dinotasikan dengan huruf kapital, seperti A, B, C, dan sebagainya. ❖ Elemen / entri matriks dinotasikan dengan huruf kecil, seperti a, b, c, dan sebagainya. ❖ Sebuah matriks dengan m baris dan n kolom dapat disajikan sebagai berikut. Misal matriks A. Baris ke-1 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 … 𝑎 Baris ke-2 𝑎 𝑎22 2𝑛 ) Dst 𝐴 = ( ⋮21 ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 Baris ke-m Kolom Kolom ke-1 ke-2 Aris Arianti, S. Pd.

Kolom ke-n 3

❖ Dengan 𝑎𝑖𝑗 menyatakan elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j, dapat ditulis matriks 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) 2 ❖ Contoh: 𝐵 = (17 9

1 3 6 −5 𝑎 6 ), 𝑃 = ( 0 −8 51), dan 𝑇 = ( 𝑐 37 9 17 18

𝑏 ) 𝑑

❖ Matriks B, P, dan T di atas memiliki ukuran yang berbeda. Ukuran matriks disebut Ordo. ❖ Ordo atau ukuran suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom. ❖ Pada contoh di atas, matriks B terdiri 3 baris dan 2 kolom, maka ordo matriks B adalah 3 × 2 (dibaca 3 kali 2), ditulis 𝐵3×2. Untuk matriks P berordo 3 × 3 dan matriks T berordo 2 × 2. Contoh: 1. Tuliskan ordo dari masing-masing matriks berikut. 2 a. 𝐴 = (0

6 1 − 2)

7 −5 −8 ) 41 0 12 4 8 −6 c. 𝐶 = (13 48 −16) 10 23 7 b. 𝐵 = (

Jawab: 2 a. 𝐴 = (0

6 1 − 2) 2 baris Banyak baris = 2 dan banyak kolom = 2 sehinggan matriks A berordo 2 × 2, atau ditulis 𝐴2×2

2 kolom

7 41

b. 𝐵 = (

−5 −8 ) 0 12

Banyak baris = 2 dan banyak kolom = 3 sehingga matriks B

berordo 2 × 3, ditulis 𝐵2×3 4 8 c. 𝐶 = (13 48 10 23

−6 −16) 7

Banyak baris = 3 dan banyak kolom = 3 sehingga matriks C

berordo 3 × 3, ditulis 𝐶3×3 2. Diketahui matriks : 5 4 1 0 5 4 0 1 5 3 2 0 𝐴= 5 3 1 1 5 3 0 2 5 2 2 1 a.( Banyak baris 5 1 0 4

9 8 8 7 6 6 2)

b. Banyak kolom

Tentukan : Aris Arianti, S. Pd.

4

a. Banyak baris

f. Elemen baris ke-2 kolom ke-3 (𝑎23 )

b. Banyak kolom c. Ordo matriks

g. Elemen baris ke-4 kolom ke-2 (𝑎42 )

d. Elemen-elemen matriks pada baris

h. 𝑎35

ke-2 e. Elemen-elemen kolom ke-3

i. 𝑎53 j. 𝑎75

Jawab: a. Banyaknya baris adalah 7 b. Banyaknya kolom adalah 5 c. Ordo matriks A adalah 7 × 5 d. Elemen-elemen matriks pada baris ke-2 adalah 5, 4, 0, 1, dan 8 e. Elemen-elemen kolom ke-3 adalah 1, 0, 2, 1, 0, 2, dan 0 f. Elemen baris ke-2 kolom ke-3 (𝑎23 ) adalah 0 g. Elemen baris ke-4 kolom ke-2 (𝑎42 ) adalah 3 h. 𝑎35 = 8 i. 𝑎53 = 0 j. 𝑎75 = 2 2. Jenis-jenis Matriks Berikut jenis-jenis matriks : a. Matriks Baris Matriks baris adalah matriks yang terdiri atas satu baris saja. Biasanya, ordo matriks adalah 1 × 𝑛, dengan n banyak kolom pada matriks. Contoh:

𝑇1×2 = (6 48) 𝑇1×4 = (22

19

14 12)

b. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang terdiri atas satu kolom saja. Matriks kolom berordo 𝑚 × 1, dengan m banyak baris pada matriks.

Aris Arianti, S. Pd.

5

Contoh:

𝑇3×1

43 = (22) 19

𝑇5×1

46 43 = 22 19 (12)

c. Matriks Persegi Panjang Matriks persegi panjang adalah matriks yang banyak barisnya tidak sama dengan banyak kolomnya. Matriks ini memiliki ordo 𝑚 × 𝑛.

Contoh:

𝑇2×3 = (

46 19

43 22 ) 14 12

46 43 𝑇3×2 = (22 19) 14 12

d. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan kolom sama. Matriks ini memiliki ordo 𝑛 × 𝑛. Contoh:

𝑇2×2 = (

46 22

43 ) 19

Perhatikan matriks persegi berordo 4 × 4 di bawah ini. Diagonal Samping matriks H 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14 𝑎23 𝑎24 𝑎 𝑎 𝐻4×4 = [𝑎21 𝑎22 𝑎 ] 33 𝑎34 31 32 𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44 Diagonal Utama matriks H Diagonal utama matriks adalah semua elemen matriks yang terletak pada garis diagonal dari sudut sudut kiri atas ke sudut kanan bawah. Diagonal samping matriks adalah semua elemen matriks yang pada garis diagonal dari sudut kiri bawah k sudut kanan atas. e. Matriks Segitiga Matriks segitiga adalah matriks persegi yang berordo 𝑛 × 𝑛 dengan elemen-elemen matriks di bawah atau diatas diagonal utama semuanya bernilai 0. −2 Contoh: 𝐹 = [ 0 0 0

Aris Arianti, S. Pd.

3 7 12 5 −8 4] 0 2 6 0 0 13

13 𝐺=[5 3 2

0 1 8 −4

0 0 1 2

0 0] 0 5

6

f. Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan pola “semua elemen bernilai nol, kecuali elemen diagonal utama tidak semua nol”. 2 2 0 0 1 0 Contoh : 𝐴 = [ ] , 𝐵 = [0 0 0] 𝐶 = [0 0 0 5 0 0 3 0

0 5 0 0

0 0 2 0

0 0], 0 1

g. Matriks Identitas Matriks identitas adalah matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya bernilai positif 1. Contoh: 𝐼2×2

1 =[ 0

1 0 0 0 ],𝐼 = [0 1 0 ] 0 3×3 0 0 1

h. Matriks Nol Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol. Contoh: 𝑂2×2 = [

0 0 0 0 ], 𝑂3×2 = [0 0], : 𝑂1×3 = [0 0 0 0 0

0 0]

B. Kesamaan Dua Matriks Dua matriks A dan B dikatakan sama jika ordo kedua matriks sama dan elemenelemennya yang seletak/bersesuaian sama. Contoh: 1. Perhatikan matriks-matriks berikut. Manakah di antara matriks-matriks berikut yang sama? 1 2 1 3 0 2 1 2 ), 𝐹 = ( ), 𝐺 = ( ), 𝐻 = ( ) −9 8 −9 6 −9 8 −9 8

𝐸=(

Jawab: Matriks yang sama adalah E dan H, karena elemen-elemennya keduanya yang seletak sama ( E = H). 2. Tentukan nilai a dan b dari kesamaan matriks berikut. 4 −2 4 )=( 0 1 𝑏

(

𝑎 ) 1

Jawab: 4 −2 4 )=( 0 1 𝑏

Diketahui ( Aris Arianti, S. Pd.

𝑎 ), maka 𝑎 = −2 dan 𝑏 = 0 1 7

3. Tentukanlah nilai x, y, dan z dari kesamaan dua matriks berikur. 2 6𝑧

8 −6

(

2𝑥 − 4 8 3𝑧 𝑧−2 ) )=( 2𝑦 −6 8 8

Jawab: Elemen baris ke-1 kolom ke-1 (𝑎11 ): 2𝑥 − 4 = 2 ⟺ 2𝑥 = 2 + 4 ⟺ 2𝑥 = 6 ⟺ 𝑥=3 Elemen baris ke-1 kolom ke-3 (𝑎13 ): 𝑧 − 2 = 3𝑧 ⟺ 𝑧 − 3𝑧 = 2 ⟺

−2𝑧 = 2

⟺

𝑧 = −1

Elemen baris ke-2 kolom ke-1 (𝑎21 ):

6𝑧 = 2𝑦

⟺ 6 ∙ −1 = 2𝑦 ⟺

2𝑦 = −6

⟺

𝑦 = −3

Jadi nilai x, y, dan z berturut-turut adalah 3, −3, dan −1.

TUGAS 1 1. Tabel di bawah ini merupakan ilustrasi jadwal kedatangan dan keberangkatan pesawat di Bandara X pada tanggal 22 Januari 2020. Terminal A Pesawat

Waktu

Waktu

Terminal B Waktu

Waktu

Terminal C Waktu

Waktu

Kedatangan Keberangkatan Kedatangan Keberangkatan Kedatangan Keberangkatan Garuda

3:00

4:00

6:00

7:00

8:00

9:00

Lion

4:00

2:00

11:00

14:00

9:00

10:00

Citilink

5:00

7:00

9:00

11:00

14:00

21:00

Batik

7:00

8:00

14:00

15:00

20:00

22:00

Air Asia

8:00

11:00

14:00

16:00

19:00

21:00

Aris Arianti, S. Pd.

8

Buatlah tabel di atas dalam bentuk matriks dan tentukan : a. Ordo matriks

d. 𝑎13

b. Elemen-elemen baris ke-3

e. 𝑎22 + 𝑎31

c. Elemen-elemen kolom ke-2

f. 𝑎51 − 𝑎42 + 𝑎56

2. Nyatakan apakah pernyataan di bawah ini benar dengan disertasi alasannya. a. Matriks identitas termasuk matriks diagonal b. Matriks persegi panjang tidak memiliki matriks identitas c. Matriks kolom berordo 1 × 𝑛 0 1 ) termasuk matriks identitas 1 0

d. Matriks (

3. Tentukan ordo masing-masing matriks di bawah ini. a. (

4 ) −3

b. (2

2 3 c. ( 7 0) −1 2

0 5)

4. Tentukan nilai a, b, dan c dari kesamaan-kesamaan matriks di bawah ini. 𝑎−𝑏 5 )=( ) 𝑎+𝑏 −3 𝑎−1 −7 2 −7 b. ( )=( ) 2𝑏 6𝑐 + 𝑏 𝑎+3 5 a. (

C. Operasi Matriks 1. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Matriks • Penjumlahan dan pengurangan dua matriks dapat dilakukan jika matriks tersebut mempunyai ordo yang sama. • Cara menentukan hasil penjumlahan dan pengurangan dua matriks atau lebih adalah dengan

menjumlahkan

atau

mengurangkan

elemen-elemen

yang

seletak

(bersesuaian). • Contoh: 6 −2 10 5 −2 ),𝑄 = ( ),𝑅 = ( −1 8 1 4 10

1. Diketahui 𝑃 = (

−2 3 ) , 𝑆 = (2 −3) 0 −4

dan 𝑇 = (−1 a. 𝑃 + 𝑄 Aris Arianti, S. Pd.

8). Tentukan hasil penjumlahan matriks berikut. b. 𝑆 + 𝑇

c. 𝑃 + 𝑅 9

Jawab: a. 𝑃 + 𝑄 = (

5+6 −2 + (−2) 6 −2 11 −2 )=( )+( )=( 4 + (−1) 10 + 8 −1 8 3 10

b. 𝑆 + 𝑇 = (2

−3) + (−1 8) = (2 + (−1) −3 + 8) = (1

5 4

5 4

c. 𝑃 + 𝑅 = (

10 −2 )+( 1 10

−4 ) 18

5)

−2 3 ) 0 −4

Kedua matriks tidak dapat dijumlahkan karena ordonya berbeda. 6 −2 10 −2 3 5 −2 ),𝑄 = ( ),𝑅 = ( ), −1 8 1 0 −4 4 10 −1 8 4 𝑆=( ) , 𝑇 = (2 −3) dan 𝑈 = (−1 8). Tentukan: 18 −7 2

2. Diketahui 𝑃 = (

a. 𝑄 − 𝑃

c. 𝑅 − 𝑆

b. 𝑃 − 𝑄

d. 𝑈 − 𝑇

e. 𝑃 − 𝑆

Jawab: 6 −2 6 − 5 −2 − (−2) 1 0 5 −2 )−( )=( )=( ) −1 8 −5 −2 4 10 −1 − 4 8 − 10 5−6 −2 − (−2) 6 −2 −1 0 5 −2 )=( b. 𝑃 − 𝑄 = ( )−( )=( ) 4 − (−1) 10 − 8 −1 8 5 2 4 10 a. 𝑄 − 𝑃 = (

10 −2 3 −1 8 4 )−( )= 1 0 −4 18 −7 2 10 − (−2) −2 − 8 3−4 12 −10 −1 ( )=( ) 1 − 18 0 − (−7) −4 − 2 −17 7 −6

c. 𝑅 − 𝑆 = (

d. 𝑈 − 𝑇 = (−1 8) − (2 −3) = (−1 − 2 8 − (−3)) = (−3 11) −1 8 4 5 −2 )−( ) 18 −7 2 4 10

e. 𝑃 − 𝑆 = (

Tidak dapat dioperasikan karena ordonya berbeda. • Secara umum, untuk setiap matriks A, B, dan C yang berordo sama, berlaku sifatsifat operasi penjumlahan sebagai berikut. ▪

Sifat asosiatif, 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶

▪

Sifat komutatif, 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴

▪

Penjumlahan dengan matriks nol menghasilkan matriks itu sendiri, 𝐴 + 𝑂 = 𝑂 + 𝐴 = 𝐴.

• Pada operasi pengurangan tidak berlaku sifat-sifat di atas.

Aris Arianti, S. Pd.

10

2. Operasi Perkalian Skalar pada Matriks Misalkan k suatu skalar dan A sebuah matriks, maka kA adalah sebuah matriks yang didapat dengan cara mengalikan setiap elemen matriks A dengan skalar k. Contoh: 1. Diketahui 𝑃 = (

6 −2 5 −2 10 −20 ),𝑄 = ( ),𝑅 = ( −1 8 4 10 −10 0

5 ),𝑆 = −40

−1 8 4 ( ). Tentukan: 18 −7 2 a. 2𝑃

b.

2 5

c. 3𝑃 − 2𝑄

𝑅

Jawab: a. 2𝑃 = 2 (

5 4

2∙5 −2 )=( 10 2∙4

2 ∙ (−2) 10 −4 )=( ) 8 20 2 ∙ 10 2

10 −20 b. 5 𝑅 = 5 ( −10 0 2

2

∙ 10 5 ) = (2 5 −40 ∙ (−10) 5

2 5

2

. (−20) 2

.0 5

5 2

.5

. (−40) 5

)

4 −8 2 ) −4 0 −16 6 −2 5 −2 c. 3𝑃 − 2𝑄 = 3 ( ) − 2( ) −1 8 4 10 2∙6 2 ∙ (−2) 3 ∙ 5 3 ∙ (−2) ) =( )−( 2 ∙ (−1) 2∙8 3∙4 3 ∙ 10 =(

=(

15 12

15 − 12 −6 − (−4) 12 −4 −6 ) )−( )=( 12 − (−2) 30 − 16 −2 16 30

=(

3 14

−2 ). 14

2. Jika X adalah matriks berordo 2 × 2, carilah X jika diketahui: 1 6 −2 2 −5 ( ) + 2𝑋 = 3( ). −1 8 4 −3

Jawab: 1 6 −2 2 ( ) + 2𝑋 = 3( −1 8 4 1 2 ⟺ 2𝑋 = 3( 4 1 6 ⟺ 2𝑋 = ( 12 1 0 ⟺ 2𝑋 = ( 13

Aris Arianti, S. Pd.

−5 ) −3 6 −2 −5 )−( ) −1 8 −3 6 −2 −15 )−( ) −1 8 −9 −13 ) −17 11

0 ⟺ 𝑋 = 2( 13

−13 0 )=( −17 26

−26 ) −34 2 3 𝑎+2 3. Tentukan a, b, dan c jika diketahui 𝑃 = ( ),𝑄 = ( −1 0 𝑐 2 −1 ( ) sehingga berlaku 𝑃 − 2𝑄 = 𝑅. −3 8

𝑏+1 ), dan 𝑅 = −4

Jawab: 𝑃 − 2𝑄 = 𝑅 2 3 𝑎+2 ) − 2( −1 0 𝑐 𝑎+2 −2 ( 𝑐 𝑎+2 −2 ( 𝑐 𝑎+2 ( 𝑐 𝑎+2 ( 𝑐

⟺( ⟺ ⟺ ⟺ ⟺

2 −1 𝑏+1 )=( ) −3 8 −4 2 −1 2 3 𝑏+1 )=( )−( ) −3 8 −1 0 −4 0 −4 𝑏+1 )=( ) −2 8 −4 1 0 −4 𝑏+1 ) = −2( ) −2 8 −4 𝑏+1 0 2 )=( ) 1 −4 −4

Dari persamaan matriks tersebut didapat, 𝑎 + 2 = 0 ⟺ 𝑎 = −2 𝑏+1=2⇔𝑏 =1 𝑐=1 Jadi, 𝑎 = −2, 𝑏 = 1, dan 𝑐 = 1.

3. Operasi Perkalian Dua Matriks • Dua matriks dapat dikalikan apabila banyak kolom matriks pertama (matriks sebelah kiri) sama dengan banyak baris matriks kedua (matriks sebelah kanan), dan matriks baru hasil perkalian mempunyai ordo banyaknya baris matriks pertama dikali banyaknya kolom matriks kedua. • Elemen-elemen hasil perkalian dua matriks diperoleh dengan cara menjumlahkan dari hasil perkalian elemen-elemen baris pada matriks pertama dengan elemenelemen kolom pada matriks kedua. (

Aris Arianti, S. Pd.

𝑎 𝑐

𝑏 𝑒 )( 𝑑 𝑔

𝑓 𝑎∙𝑒+𝑏∙𝑔 )=( ℎ 𝑐∙𝑒+𝑑∙𝑔

𝑎∙𝑓+𝑏∙ℎ ) 𝑐∙𝑓+𝑑∙ℎ

12

• Hasil kali dua matriks A dengan ordo 𝑚 × 𝑛 dan matriks B dengan ordo 𝑛 × 𝑝, adalah sebuah matriks 𝐶 = 𝐴𝐵 yang berordo 𝑚 × 𝑝. 𝐴𝑚×𝑛 × 𝐵𝑛×𝑝 = 𝐶𝑚×𝑝 • Jika A, B, dan C adalah matriks-matriks yang memenuhi syarat-syarat perkalian matriks, maka pada perkalian matriks berlaku : Bersifat asosiatif, A(BC) = (AB)C Bersifat distributif terhadap penjualan, 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 dan (𝐵 + 𝐶)𝐴 = 𝐵𝐴 + 𝐶𝐴 Perkalian suatu matriks dengan matriks identitas (I) menghasilkan matriks itu sendiri, 𝐴𝐼 = 𝐼𝐴 = 𝐴 Contoh: 1. Tentukan hasil perkalian matriks: a. (

1 3

2 5 ) dan ( 4 7

2 b. ( 5

8 −4 7 ( ) dan −1) 6 3 10

6 ) 8

Jawab: 1 3

2 5 6 1∙5+2∙7 1∙6+2∙8 5 + 14 6 + 16 19 22 )( )=( )=( )=( ) 4 7 8 43 50 3∙5+4∙7 3∙6+4∙8 15 + 28 18 + 32 8 2 ∙ 8 + (−4) ∙ (−1) + 7 ∙ 10 16 + 4 + 70 2 −4 7 90 )=( b. ( ) (−1) = ( )=( ) 5 ∙ 8 + 6 ∙ (−1) + 3 ∙ 10 40 − 6 + 30 5 6 3 64 10 4 7 2 −1 1 0 5 2. Diketahui 𝑃 = (2 0 1), 𝑄 = ( ), 𝑅 = ( ), 𝑆 = ( ), 𝑇 = ( 0 8 ), dan 3 5 0 1 −3 −5 −3 2 𝑈 = (−9). Tentukan: 1 a. (

a. 𝑃𝑈

b. 𝑈𝑃

c. 𝑅𝑇

d. 𝑆𝑄

Jawab: a. 𝑃𝑈 = (2 0

Aris Arianti, S. Pd.

2 1) (−9) = (2 ∙ 2 + 0 ∙ (−9) + 1 ∙ 1) = (4 + 0 + 1) = (5) 1 13

2 2∙2 2∙0 2∙1 4 0 b. 𝑈𝑃 = (−9) (2 0 1) = (−9 ∙ 2 −9 ∙ 0 −9 ∙ 1)=(−18 0 1 1∙2 1∙0 1∙1 2 0 4 7 2 −1 c. 𝑅𝑇 = ( )( 0 8) 3 5 −5 −3

2 −9) 1

Tidak dapat dikalikan karena banyaknya kolom matriks pertama dengan banyaknya baris matriks kedua tidak sama. 1 0 5 5 d. 𝑆𝑄 = ( )( ) = ( ) 0 1 −3 −3 Sifat perkalian suatu matriks dengan matriks identitas (I) menghasilkan matriks itu sendiri. 3. Diketahui matriks 𝐴 = (

2 1

3 4 ), 𝐵 = ( −5 6

2 1 8 ) dan 𝐶 = (−2 5). Tentukan nilai dari −1 4 7

𝐶(𝐴 + 𝐵). Jawab:

2 3 ) + (4 8 ) = (6 11 ) 1 −5 6 −1 7 −6

𝐴+𝐵 =(

2∙6+1∙7 2 ∙ 11 + 1 ∙ (−6) 2 1 6 11 𝐶(𝐴 + 𝐵) = (−2 5) ( ) = (−2 ∙ 6 + 5 ∙ 7 −2 ∙ 11 + 5 ∙ (−6)) 7 −6 4 7 4∙6+7∙7 4 ∙ 11 + 7 ∙ (−6) 12 + 7 = (−12 + 35 24 + 49

22 + (−6) 19 −22 + (−30)) = (23 44 + (−42) 73

16 −52) 2

TUGAS 2 7 4

1. Diketahui 𝑃 = ( a. 𝑃 + 𝑅

4 −3 4 3. Diketahui 𝐾 = ( 9 a. (𝐾 − 𝐿) ∙ 𝑀 2. Diketahui 𝐴 = (

Aris Arianti, S. Pd.

−3 −2 1 ), 𝑄 = (−2 0), 𝑅 = ( ) dan 𝑆 = (12 −2). Tentukan : 0 12 5 b. 𝑄 + 𝑆 2 −1 ) dan 𝐵 = ( ). Tentukan 𝐴𝐵. 0 5 12 −3 2 0 ), 𝐿 = ( ), dan 𝑀 = ( −7 0 −4 4

3 ). Tentukan: 1

b. 𝐿 ∙ (𝐾 + 𝑀)

14...