übersicht gewinnmax kostenmin PDF

Preview

Summary

Download übersicht gewinnmax kostenmin PDF

Description

——————————————————————————————————————————–

¨ Ubersicht Gewinnmaximierung - Kostenminimierung ——————————————————————————————————————————– Es gibt in der Produktionstheorie zwei unterschiedliche Wege den optimalen Produktionsplan (x∗1 , x∗2 , y∗ ) zu bestimmen: durch Gewinnmaximierung und Kostenminimierung. Diese beiden Verfahren sind jedoch nicht gegens¨atzlich zueinander. Ein Unternehmen, das seinen Gewinn maximiert, ist immer auch eines, das (f¨ur eine gegebene Output-Menge ) seine Kosten minimiert. Beide Verfahren f¨uhren zu den selben optimalen Produktionspl¨anen bei gegebener Produktionsfunktion.

1. Gewinnmaximierung - einstufiges Verfahren Bei der Gewinnmaximierung wird direkt aus dem Maximierungsproblem die optimale Faktornachfrage (x∗1 , x2∗) abgeleitet. Es stellt sich dabei dem Unternehmen die folgende Frage: wie viel Einheiten der Produktionsfaktoren m¨ussen eingesetzt (nachgefragt) werden, damit der Gewinn maximiert wird? L¨ osungsweg: Die Gewinnfunktion des Unternehmens ist Π(x1 , x2 , y) = py − w1 x1 − w2 x2 die zu beachtende Nebenbedingung ist y = f (x1 , x2 ) Wird die Nebenbedingung in die Zielfunktion eingesetzt so reduziert sich das Maximierungsproblem auf max Π = pf (x1 , x2 ) − w1 x1 − w2 x2 x1 ,x2

Daraus ergeben sich die folgenden Bedingungen erster Ordnung: ∂Π ∂f (x1 , x2 ) ! =p − w1 = 0 ←→ pM P1 = w1 ∂x1 ∂x1 ∂f (x1 , x2 ) ∂Π =p − w2 =! 0 ←→ pM P2 = w2 ∂x2 ∂x2

(1) (2)

Die Interpretation der Bedingung ist sehr intuitiv: ∂f (x1 , x2 )/∂x1 und ∂f (x1 , x2 )/∂x2 sind jeweils das Grenzprodukt des Produktionsfaktor 1 (M P1 ) und Produktionsfaktor 2 (M P2 ). Im Gewinnmaximum soll der Wert des Grenzprodukts eines Faktors gleich seinem Preis sein. Ein Unternehmen erh¨oht also die Menge eines Produktionsfaktor somit solange bis der Erl¨os, den das Unternehmen durch die zus¨atzliche Produktion erlangt, genauso hoch ist wie die Kosten, die durch den zus¨atzlichen Input entstehen. Solange die Kosten f¨ ur zus¨atzlichen Output geringer sind als der Erl¨os, den das Unternehmen daf¨ ur bekommt, kann das Unternehmen seinen Gewinn erh¨ohen indem es mehr von dem jeweiligen Produktionsfaktor einsetzt. Stellt man die Gleichungen um, so ergibt sich M P1 =

w2 w1 und M P2 = p p

Im Gewinnmaximum muss die Steigung der Isogewinngerade somit gleich der Steigung der kurzfristigen Produktionsfunktion sein (Grafik siehe Vorlesungsfolien S. 310). Mit Hilfe der Gleichungen (1) und (2) kann man dann die optimale Faktornachfrage x∗1 (w1 , w2 , p) und x∗2 (w1 , w2 , p) finden. Soll der optimale Output berechnet werden, so setzt man einfach die optimalen Faktornachfragen in die Produktionsfunktion ein und erh¨alt y∗ (w1 , w2 , p).

1

2. Kostenminimierung - zweistufiges Verfahren Bei der Kostenminimierung wird nicht direkt die Menge an Produktionsfaktoren ausgew¨ahlt, die den Gewinn maximiert. Stattdessen wird das Problem in Kostenminimierung und Wahl der optimalen Outputmenge zerlegt. Das Unternehmen geht zun¨achst von einem fest vorgegebenen (Mindest-) Output y¯ aus (der nicht optimal sein muss), und ¨uberlegt sich, mit welcher Input-Kombination dieses Produktionsziel am billigsten erreicht werden kann. Das Ergebnis sind konditionale Faktor-Nachfragen ′ ′ (x 1 (w1 , w2 , y), x2 (w1 , w2 , y)), die vom Produktionsziel y = y¯ abh¨angig sind. Um den vollst¨andigen optimalen Produktionsplan (x∗1 , x∗2 , y∗ ) zu bestimmen, muss nach der Kostenminimierung dann die optimale Outputmenge bestimmt werden. L¨ osungsweg: 2.1 Kostenminimierung Die Kostenfunktion des Unternehmens ist: C(x1 , x2 ) = w1 x1 + w2 x2 die zu beachtende Nebenbedingung ist y¯ = f (x1 , x2 ) Die Lagrangefunktion ist somit: L = w1 x1 + w2 x2 − λ(f (x1 , x2 ) − y¯) Das Minimierungsproblem hat die folgenden Bedingungen erster Ordnung: ∂L ∂f (x1 , x2 ) ! = w1 − λ =0 ∂x1 ∂x1 ∂L ∂f (x1 , x2 ) ! = w2 − λ =0 ∂x2 ∂x2 ∂L ! = f (x1 , x2 ) − y¯ = 0 ∂λ Wir k¨onnen die ersten beiden Gleichungen umformen und die erste durch die zweite dividieren und erhalten dann: M P1 w1 = w2 M P2 ∂f (x1 , x2 )/∂x1 und ∂f (x1 , x2 )/∂x2 sind jeweils das Grenzprodukt des Produktionsfaktor 1 (M P1 ) und Produktionsfaktor 2 (M P2 ), M P1 /M P2 ist die technische Rate der Substitution. Im Kostenminimum muss also die technische Rate der Substitution gleich dem Faktorpreisverh¨altnis sein. Mit anderen Worten: der Anstieg der Isoquante muss gleich dem Anstieg der Isokostengerade sein (Grafik siehe Vorlesungsfolien S. 329). ′ Mit Hilfe der Bedingungen erster Ordnung k¨onnen die konditionalen Faktornachfragen x1 (w1 , w2 , y) und ′ x 2 (w1 , w2 , y) bestimmt werden. Das sind die optimalen Inputmengen, die die Kosten f¨ur einen vorgegeben ′ ′ Output minimieren. Wenn man x 1 und x 2 in die Kostengleichung einsetzt erh¨alt man die Kostenfunktion C(y). 2.2 Bestimmung der optimalen Outputmenge Hat man die Kostenfunktion bestimmt, stellt sich die Frage, wie viel produziert werden soll, d.h. mit welchem Output man den h¨ochsten Gewinn erzielen kann. Das zuvor angenommene Outputniveau muss noch nicht die optimale Outputmenge sein. Dazu wird hier der Gewinn bei gegebener Kostenfunktion maximiert. Gewinnfunktion:

Π = py − C(y) max py − C(y) ( Maximierung ohne Nebenbedingung ) y

∂C ∂C ! ∂Π = 0 ←→ p = =p− ∂y ∂y ∂y Das Unternehmen w¨ahlt die Outputmenge also so, dass im Optimum Preis ist gleich Grenzkosten gilt. Solang der Preis, den es f¨ur eine zus¨atzlich produzierte Einheit bekommt, h¨oher ist als die Kosten f¨ur diese Einheit wird das Unternehmen die Produktion ausweiten. Um den Gewinn zu maximieren erh¨oht das Unternehmen die Produktionsmenge so lange bis die Kosten f¨ur die Produktion einer weiteren Einheit gleich dem Preis ist, den das Unternehmen f¨ur diese Einheit bekommt. ′

L¨ ost man die Bedingung erster Ordnung nach y auf, erh¨alt man y∗ (w1 , w2 , p). Wird y∗ nun in x 1 und ′ x 2 eingesetzt, erhalten wir x∗1 (w1 , w2 , p) und x2∗ (w1 , w2 , p). Das Ergebnis (x∗1 , x∗2 , y∗ ), dass wir durch die Kostenminimierung und anschließender Gewinnmaximierung (bei gegebener Kostenfunktion) erhalten, ist das selbe wie bei der Gewinnmaximierung. 2...