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Messskalen...

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Erstellt von FS, Januar 2017

Messskalen 1. Allgemeines Skalen ordnen den Elementen einer Menge Ω Messwerte zu, d.h. eine Skala ist eine Abbildung m: Ω -> B Beispiel: Zeitmessung in Minuten Messwerte sind im Allgemeinen Zahlen (d.h. B ist Teilmenge der reellen Zahlen) Es gibt viele äquivalente Möglichkeiten, Zahlen zuzuordnen (Temperaturmessung, Zeitmessung, Abstandsmessung, usw.) m‘: Ω -> B Beispiel: Zeitmessung in Stunden Zulässige Skalentransformationen g: B -> B verbinden diese äquivalenten Messungen Beispiel: Umrechnung von Minuten in Stunden g(x) = 1 / 60 x Mit den Messwerten können nur solche Aussagen sinnvoll gemacht werden, deren Wahrheitsgehalt unabhängig von den äquivalenten Messmöglichkeiten ist. Beispiel: Aussage bei Zeitmessung: „a dauert doppelt so lange wie b“  Gilt diese Aussage bei Zeitmessung in Stunden, dann gilt sie auch für die Zeitmessung in Minuten Merkmale und Zufallsvariablen ergeben sich aus einer Messung, so dass „sinnvolle“ statistische Verfahren davon abhängen, welche zulässigen Skalentransformationen erlaubt sind Generell gilt: je kleiner die Menge der zulässigen Skalentransformationen, desto höher das Skalenniveau und desto mehr „sinnvolle“ statistische Verfahren können eingesetzt werden 2. allgemeine Grundbegriffe Untersuchungsziel = Welches Wissen soll durch die Untersuchung geschaffen werden (z.B. Information über Leserkreis einer Zeitschrift, über Vorkenntnisse einer Zielgruppe,…) Statistische Einheit = Informationsträger oder Merkmalsträger (z.B eine befragte Person, ein analysierter Datensatz,…) Grundgesamtheit = Menge aller relevanten Merkmalsträger (z.B. alle Studenten, alle Leser einer Zeitung, aller Teilnehmer…,…) Erhebungsgesamtheit = Menge aller tatsächlich erhobenen Merkmalsträger (z.B. alle befragten Personen, alle erhobenen Studenten,…)

Erstellt von FS, Januar 2017

Merkmal =

Merkmal der statistischen Einheit (z.B. Alter, Einkommen, Wohnort, Körpergröße,…) Erhebungsmerkmal = tatsächlich erhobenes Merkmal (Merkmal, welches tatsächlich in der Erhebung abgefragt worden ist) (z.B. Alter der befragten Studenten, Wohnort der befragten Leser,…) Merkmalsausprägung = alle alternativen möglichen Ausprägungen, die das Merkmal erfasst (z.B. beim Merkmal Wohnort: Nürnberg, Erlangen oder Fürth, Schulnoten 1-6, …) 3. Typen von Merkmalen Merkmalswerte bzw. Realisationen sind Messwerte auf einer Skala  Konsequenz: Merkmale (Zufallsvariablen) lassen sich bezüglich des Skalenniveaus unterscheiden

qualitative Merkmale (Zufallsvariable): - Ausprägungen können nur nach dem Kriterium gleich oder ungleich geordnet werden - Beispiel: Wohnort, Geschlecht  Nominalskala Komparative Merkmale (Zufallsvariable): - Ausprägungen können in natürliche Reihenfolge gebracht werden - Beispiel: Bewertung nach Schulnotensystem, Bewertung „besser“ oder „schlechter“  Ordinalskala Quantitativ/metrische Merkmale (Zufallsvariable): - Ausprägungen sind reelle Zahlen - Abstände haben Aussagekraft - Beispiel: Einkommen, Alter, Körpergröße, Gewicht, Länge  Kardinalskala Hierarchie: quantitativ/metrisch

komparativ

quantitativ

Konsequenz: Statistische Verfahren, die für einen Merkmalstyp sinnvoll sind, können auch für alle höheren Merkmalstypen sinnvoll angewendet werden

Erstellt von FS, Januar 2017

4. Ergänzungen zu Merkmalen Häufbare Merkmale und unvollständige Merkmale Häufbare Merkmale: - Werden ausgeschlossen (d.h. an einer statistischen Einheit kann nur genau eine Merkmalsausprägung erhoben werden) - Beispiel: Merkmal Studienfach, wenn zwei Hauptfächer (BWL und Religion) studiert werden  Lösung: zusätzliche Merkmalsausprägung „BWL und Religion“ Unvollständige Merkmale: - Merkmale werden ausgeschlossen (d.h. für jede statistische Einheit muss eine der Ausprägungen eines Merkmals erhoben werden) - Beispiel: Befragung Verkehrsmittel, Merkmalsausprägung „Privatjet“ nicht aufgeführt  Lösung: Restkategorie Sonstiges Extensive und intensive Merkmale Extensive (quantitative) Merkmale = sachlich sinnvolle Interpretation der Summenbildung (z.B. Länge, Gewicht, Umsatz, etc.) Intensive (quantitative) Merkmale = keine sachlich sinnvolle Interpretation der Summenbildung, sondern der Durchschnittsbildung (z.B. Temperatur, Intelligenz, etc.) Diskrete und stetige Merkmale Diskretes quantitatives Merkmal: - Endlich (oder abzählbar-unendlich) viele mögliche Merkmalsausprägungen - Beispiel: Semesterzahl, Anzahl der Kopfwürfe beim wiederholten Münzwurf  Punktwahrscheinlichkeiten Stetiges quantitatives Merkmal: - Überabzählbar viele mögliche Merkmalsausprägungen (ich komme mit Zählen nicht weiter) - Beispiel: Länge in Dimensionseinheiten ist prinzipiell diskret  Aber: Mit immer kleiner werdender Dimensionseinheit (höhere Messgenauigkeit) kann die Länge näherungsweise jede positive reelle Zahl annehmen  „Kleiner-Gleich-Wahrscheinlichkeiten“  Punktwahrscheinlichkeiten immer 0

Nominalskala

Ordinalskala

5. Skalenniveaus

Kardinalskala

Erstellt von FS, Januar 2017

Absolutskala

quantitatives Merkmal

Verhältnisskala

quantitatives Merkmal

Intervallskala

quantitatives Merkmal

komparatives Merkmal

qualitatives Merkmal

Merke: Jede Absolutskala -> Verhältnisskala -> Intervallskala -> Ordinalskala -> Nominalskala

Kardinalskala (metrische Skala):  Kardinalskalierte Merkmale nennt man auch quantitative Merkmale. Es gibt 3 Differenzierungen Absolutskala: - Skala ohne Dimensionseinheit und mit festem Nullpunkt - Bei Transformationen müssen Werte erhalten bleiben - Alle numerischen Operationen (Addition, Division, etc.) sinnvoll - Natürlicher Nullpunkt - Natürliche Einheit - Beispiel: Semesterzahl, Anzahl an Lebensjahren,… Verhältnisskala: - Skala mit Dimensionseinheit (Währungen, Längenmaße, usw.) und mit festem Nullpunkt - Bei Transformationen müssen Verhältnisse erhalten bleiben - Alle linearen Abbildungen als Transformationen zulässig - Es kann sinnvoll (= unabhängig von der Wahl der Skala) über die Wahrheit von Aussagen entschieden werden, die das Verhältnis von Messwerten betreffen z.B. „a macht doppelt so viel Umsatz wie b“ - Äquivalenz-, Ordnungs-, Abstands-, und Verhältnisrelation: Gleich/ungleich, größer/kleiner, Abstände und Verhältnisse - Beispiel: Einkommen in Euro oder Dollar, Körpergröße in cm und in m

Erstellt von FS, Januar 2017

Intervallskala: - Skala mit Dimensionseinheit und mit variablem Nullpunkt - Bei Transformationen müssen Abstände erhalten bleiben - Alle affin-linearen Abbildungen sind zulässig (bspw. Verknüpfung der Celsius- und Fahrenheit-Skala) -> Grad Celsius = 5/9 x Grad Fahrenheit – 160/9 - Äquivalenz-, Ordnungs- und Abstandsrelation: Gleich/ungleich, größer/kleiner, Abstände - Beispiel: Temperatur (Umrechnung Celsius in Fahrenheit)  Äußerst selten! Ordinalskala: - Objekte können bezüglich einer „Ordnung“ verglichen werden  Reihenfolge kann erstellt werden - Keine Aussagen über Abstände, Verhältnisse oder Nullpunkte möglich - Messwerte können Zahlen, aber auch sprachliche Begriffe sein - Wenn Messwerte Zahlen sind, sind alle Transformationen zulässig, die die Ordnung erhalten (g(x) streng monoton steigend) - Äquivalenz- und Ordnungsrelation: Gleich/ungleich, größer/kleiner - Beispiel: Zufriedenheit, Einstellungen, Leistungen, Nutzen, etc. Nominalskala: - Es kann lediglich entschieden werden, ob zwei Messwerte gleich oder ungleich sind (Äquivalenzrelation: gleich/ungleich) - Bei Transformation muss Gleichheit erhalten bleiben - Keine Aussagen über Rangfolge, Abstände, Verhältnisse oder Nullpunkte möglich - Messwerte können Zahlen, aber auch sprachliche Begriffe sein - Beispiel: Wohnort, Geschlecht...