Bibmath-Exercices corrigés - Différentielles PDF

Preview

Summary

L'étudiant peut mieux se préparer dans ces types de calcul à savoir les résolutions d'équations différentielles...

Description

[email protected] Rechercher sur le site...

Bibm@th

Rechercher sur le site...

Accueil Lycée Supérieur Bibliothèques Références Thèmes Bibliothèque d'exercicesBibliothèque de problèmesAutomatismes Accueil Lycée Collège Seconde Supérieur Math Sup Math Spé Capes Agreg interne BTS Bibliothèques Bibliothèque d'exercices Bibliothèque de problèmes Automatismes Références Dictionnaire Biographie de mathématiciens Formulaire Lexique français/anglais Thèmes Cryptographie et codes secrets Jeux et énigmes Carrés magiques Mathématiques au quotidien Dossiers Forum Ressources mathématiques > Exercices d'analyse > Accéder à mon compte > Accéder à ma feuille d'exercices >

Forum

Exercices corrigés - Différentielles Différentielle dans Exercice 1

- Différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé Justifier que les fonctions suivantes sont différentiables, et calculer leur différentielle .

1. 2. 3.

. .

Indication Il est facile de vérifier que toutes ces fonctions sont de classe , donc différentiables. Pour calculer leur différentielle, utiliser la formule avec les dérivées partielles, ou différentier directement Corrigé 1.

admet des dérivées partielles

et

Ces fonctions sont continues sur

, la fonction

est différentiable, et on a :

Avec la notation différentielle, on a (ce qu'on peut obtenir aussi en différentiant directement ), on a aussi

2.

est clairement

3. est clairement linéaire de dans

et

On en déduit que

, et est donc différentiable. On a donc

, et est donc différentiable. La différentielle de . On a

est une application

Exercice 2

- Matrices jacobiennes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé Justifier que les fonctions suivantes sont différentiables, et calculer leur matrice jacobienne. 1. 2.

Indication Corrigé Il suffit de vérifier que les fonctions coordonnées sont différentiables, et elles sont clairement a respectivement

. On

1.

2.

Exercice 3

- Différentielle d'une composée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé Soit

définie par

et

définie par

.

1. Justifier que et sont différentiables en tout vecteur , puis écrire la matrice jacobienne de et celle de en . 2. Pour , déterminer l'image d'un vecteur par l'application linéaire en utilisant les deux méthodes suivantes : 2.1. en calculant ; 2.2. en utilisant le produit de deux matrices jacobiennes. Indication Corrigé 1. et sont clairement de classe comme composée de fonctions calculant les dérivées partielles, on montre facilement que

2.

. De plus, en

2.1. On a .

. On en déduit la matrice jacobienne de

en

Il vient

2.2. D'après la formule de composition des différentielles, on sait que

Mais,

Le produit des deux matrices redonne alors le résultat précédent.

Exercice 4

- Différentiable? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé On définit sur

1. 2. 3.

l'application suivante :

est-elle continue en ? admet-elle des dérivées partielles en est-elle différentiable en ?

?

Indication 1. ; 2. Calculer le taux d'accroissement. 3. Utiliser une question précédente. Corrigé 1. Remarquons que continue en 0. 2. Puisque 3.

Exercice 5

,

tend vers 0 :

existe et vaut 0. De même,

ne peut pas être différentiable puisqu'elle n'est pas continue!

- Différentiable? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé Soit

, qui ne tend pas vers 0 si

définie par :

n'est pas

existe, et vaut 0.

1. 2. 3.

est-elle continue sur ? est-elle de classe sur est-elle différentiable sur

? ?

Indication 1. 2. 3. Théorème du cours. Corrigé 1. D'une part, est continue sur comme quotient de deux fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas. En utilisant par exemple l'inégalité classique , puis l'inégalité triangulaire pour la valeur absolue, on obtient :

ce qui prouve la continuité de en . 2. Remarquons d'abord que est de classe sur , comme quotient de deux fonctions de classe dont le dénominateur ne s'annule pas. Par ailleurs, si on a

D'autre part, on a

, ce qui prouve que

,

existe et vaut . On a

alors :

où on a utilisé que continue sur

et

. Par (anti)symétrie des rôles joués par

même résultat est vrai pour

. On a donc prouvé que

3. Toute fonction de classe

étant différentiable,

Exercice 6

. Ceci prouve que et est

existe et est

dans l'expression de sur

, le

.

est différentiable sur

.

- Différentiabilité à paramètres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé 1. Démontrer que, pour tous réels, alors . 2. Soit la fonction de dans définie par et , où et sont des entiers naturels non nuls. Pour quelles valeurs de fonction est-elle continue? 3. Montrer que si , alors n'est pas différentiable.

et

si cette

4. On suppose que , et que est différentiable en . Justifier qu'alors il existe deux constantes et telles que . En étudiant les applications partielles et , justifier que . Conclure, à l'aide de , que n'est pas différentiable en . Indication 1. 2. Distinguer le cas 3. 4. Pour prouver que

et

.

, calculer

et utiliser l'unicité du développement limité.

Corrigé 1. On a 2. Seule la continuité en

, ce qui donne l'inégalité demandé! pose problème. On a donc

. Cette dernière quantité tend vers 0, sauf si , c'est-à-dire sauf si . Dans ce cas, on a , qui ne tend pas vers 0 si tend vers 0. n'est alors pas continue en . 3. Si , la fonction n'est pas continue : a fortiori, elle ne peut pas être différentiable. 4. Si , et que est différentiable en , alors . Mais la différentielle est ici une application linéaire de dans . On note sa matrice. On obtient alors le résultat demandé. Ensuite, puisque , on obtient, par unicité du développement limite, que . De même en étudiant l'application , on trouve . Ainsi, . Mais (cf le calcul fait avant), qui n'est pas un .

Différentielle ailleurs... Exercice 7

- Différentielle de la fonction carré d'une matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille

d'exos]

Enoncé Soit différentielle de

définie par en tout

. Justifer que

est de classe

et déterminer la

.

Indication Calculer

pour revenir à la définition d'une différentielle.

Corrigé Remarquons déjà que on a

est de classe

Posons

Ainsi,

.

est la différentielle de

Exercice 8 feuille d'exos]

puisque

est polynômiale. Soient

. Alors

est linéaire et

en

.

- Différentielle de la fonction inverse d'une matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma

Enoncé Soit

. 1. Démontrer que est différentiable en et calculer sa différentielle en ce point. 2. Même question en quelconque.

Indication 1. Exprimer, pour petit, comme somme d'une série géométrique. 2. Se ramener à la question précédente. Corrigé Remarquons avant de commencer que est un ouvert de de calculer la différentielle de en un élément de . 1. Soit

tel que

Puisque

,

, et donc il est bien possible

. Alors

et donc

où

On a

si

. Ainsi,

et on a prouvé que

Ainsi, est différentiable en 2. Prenons maintenant

pourvu que question,

Ainsi,

et sa différentielle vaut et

. . Alors on a

. Il vient, par un raisonnement identique à celui de la première

est différentiable en

et

Exercice 9

- Différentielle du déterminant [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé Soit

. 1. Démontrer que l'application déterminant est de classe 2. Soit et . Que vaut ? 3. En déduire la valeur de 4. 5. 6. 7.

sur

.

.

En déduire l'expression de la différentielle de en . Retrouver ce résultat en calculant en trigonalisant . Démontrer que si est inversible, alors Démontrer que la formule précédente reste valide pour toute matrice

. .

Indication 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Polynôme... Séparer le cas et le cas . Utiliser la définition de la dérivée partielle. Exprimer la différentielle en fonction des dérivées partielles. Factoriser par pour se ramener au cas précédent. Procéder par densité.

Corrigé 1. L'expression du déterminant (ou son développement suivant une ligne ou une colonne) montre qu'il s'agit d'un polynôme en les coefficients de la matrice. Donc il s'agit d'une fonction de classe . 2. Si , alors on a et si , alors . 3. Par définition de la dérivée partielle du déterminant par rapport à la coordonnée donnée par , on a

et cette quantité vaut 4. Rappelons que

si

,

sinon. est une base de . On en déduit que :

. Toute matrice

5. En notant les valeurs propres complexes de est triangulaire supérieure,

Ainsi, 6. On écrit que

.

s'écrit

, on a, par trigonalisation, où

Ceci démontre que

Mais c'est le même résultat que celui donné par l'énoncé, car . 7. L'ensemble des matrices inversibles est dense dans . Notons l'application de dans , qui à associe et l'application de dans , qui à associe . Alors et sont deux applications continues, et elles coïncident sur l'ensemble des matrices inversibles, qui est dense dans . Cela implique que et sont égales sur , ce qu'il fallait démontrer.

Exercice 10

- Différentielle sur un espace de polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille

d'exos]

Enoncé On munit

de la norme

Démontrer que

est différentiable sur

. Soit

,

.

et calculer sa différentielle.

Indication Développer

.

Corrigé Soient

. On a

où

Or,

Ainsi,

. Puisque

différentiable en

est linéaire, on a prouvé que

et que

Exercice 11

est

.

- Composition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé Soit

, et soit

définie par

. Démontrer que

est de classe

Indication Calculer la différentielle de lipschitzienne.

en

, et démontrer que

est continue car

.

Corrigé On doit démontrer que est différentiable en chaque continue. Commençons par calculer la différentielle. On fixe

où on a utilisé que

et

, et que l'application . Alors,

est

sont linéaires. On a donc

L'application , est linéaire. Pour démontrer que différentiable en , il suffit de prouver que . Mais, si on a muni d'application linéaire subordonnée à une norme quelconque sur , on a

On a bien prouvé que est différentiable en et que est continue, on va prouver qu'elle est lipschitzienne. On fixe donc remarque que pour tout , on a

est de la norme

. Pour prouver que , et on

Ainsi,

Ceci prouve que

et donc que l'application

est bien lipschitzienne. Ainsi,

est de classe

.

Exercices théoriques sur la différentielle Exercice 12

- Constante! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé Soit

telle que, pour tout

Démontrer que

, on a

est constante.

Indication Justifier que

est différentiable et calculer sa différentielle.

Corrigé Fixons

. Alors, pour

, on a

Ceci signifie que est différentiable en et que . En particulier, est donc de classe . Comme est convexe (donc connexe par arcs), ceci implique que est constante.

Exercice 13 Enoncé

- Une question de dimension [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

sur

Soit une fonction définie sur un ouvert de à valeurs dans un ouvert de . On suppose que est différentiable en et que admet une fonction réciproque , différentiable au point . Démontrer que . Indication Se ramener à un raisonnement d'application linéaire. Corrigé Les fonctions

et

étant réciproques l'une de l'autre, on a les relations

En différentiant ces deux relations, l'une au point

Autrement dit, et nous dit alors que

Exercice 14

et l'autre au point , on trouve

sont deux applications linéaires réciproques l'une de l'autre. L'algèbre linéaire .

- Différentielle et fonction linéaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé Soit

différentiable. On suppose que, pour tout 1. Démontrer que 2. Démontrer que

et tout

,

.

. est linéaire.

Indication 1. 2. Fixer

et calculer la différentielle en

. Utiliser la relation, puis faire tendre

vers 0.

Corrigé 1. On a 2. On fixe

, et on écrit que

D'après la relation vérifiée par

On simplifie par

On fait tendre

Ainsi,

! (question subsidiaire : où vivent ces zéros???) est différentiable en . On a donc

et puisque

, on a

et on trouve

vers 0 et on a donc que pour tout

est linéaire.

Formules de Taylor Exercice 15

- [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

, on a

Enoncé Soit une application différentiable où est un ouvert de continue en . Démontrer que, pour tout , il existe tel que

. On suppose que

est

Indication Corrigé Puisque

est continue en , il existe

tel que

Quitte à réduire , on peut supposer que la boule est contenue dans . Prenons ensuite dans cette boule et appliquons la formule de Taylor à entre et à l'ordre (qui n'est rien d'autre que la formule fondamentale du calcul intégral...). On a alors

L'idée est que

est très proche de

Il ne reste plus qu'à remarquer que

et donc que

pourvu que

. Ainsi,

Discussions des forums Concours AlKindi Proba - 2 tirages Probabilité - contre exemple ordre des lettres Hors-programme utile PCSI Exercice de statistiques … Exemples de modèles d'évo … Compacité Plus grand périmètre L'approche cinématique de …

et que

Exercice propagation d'un … Ou sont ils les autres no … Probabilité f'(o) quand f(t) est une … Résolution d'un polynôme … Accéder aux forums

Mathématicien du mois

Charles-Jean de La Vallée Poussin (1866 - 1962) Toutes les biographies Mesurez Signaler une erreur/Nous contacterMentions LégalesConfidentialité Mesurez ContactConfidentialitéMentions légales...