Blatt 02 lsg - Week 2 PDF

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Übungen zur Vorlesung Mathematik I für Studierende der Chemie (WS 2019/2020) Institut für Chemie und Biochemie, FU Berlin PD Dr. Dirk Andrae Blatt 2 2019-10-23 1. Welche der beiden Zahlen 2. Berechnen Sie 4 X 1 (a) k

√

2 und

(b)

√ 3

3 ist die grössere? (Keine Dezimalzahlen nutzen!)

3 X

2m

(c)

j=0

m=−3

k=1

5 X (−1)j (j − 1)2 .

3. Fassen Sie jeweils zu einer Summe zusammen: 10 11 4 X X X (a) bk − a11 + a5 am − (aj − bj ) + m=6 n X

j=0

(b)

n X

(1 + xj )2 − 2

j=0

j=0

k=5 n X   (1 + xj )(1 − xj ) xj + j=0

4. Schreiben Sie mit Hilfe des Summenzeichens (a) die Summe aller positiven geraden Zahlen von einer kleinsten bis zu einer grössten; (b) die Summe aller positiven ungeraden Zahlen von einer kleinsten bis zu einer grössten. Führen Sie nun die beiden Summationen aus, um jeweils einen knappen, geschlossenen Pn Ausdruck zu erhalten (so wie z. B. n(n + 1)/2 für k=1 k). Wenden Sie anschliessend die so erhaltenen Formeln an zur Berechnung (i) der Summe aller geraden Zahlen von 2 bis 20, und (ii) der Summe aller ungeraden Zahlen von 1 bis 99. 5. Gegeben sei die Menge T = {t ∈ Q | t = (2k + 1)/(2l + 1) mit k, l ∈ Z} . Zeigen Sie, dass diese Menge eine Gruppe unter Multiplikation bildet. Ist diese Gruppe abelsch?

Lösungen: √ √ 1. 2< 3 3

2.

(a) 25/12; (b) 127/8; (c) − 9

3.

10 X (a) (aj − bj ); (b) 2(n + 1) j=0

(i) 110; (ii) 2500

5. —

4.

Ausführliche Lösungen: √ √ 1. (1) Annahme: ( 2 = 21/2 < 31/3√= 3 √ 3) ⇒ (26/2 = 23 = 8 < 9 = 32 = 36/3 ) X ; Annahme war Es gilt 2 31/3√= 3 3)√⇒ (23 = 8 > 9 = 32 ) ✗ ; Annahme war falsch! Also ist 2 < 3 3. 2. Ausschreiben der Summen ist hier stets der erste Schritt zur Lösung: (a) 4 X 1 1 1 25 1 12 + 6 + 4 + 3 =1+ + + = = . k 12 2 3 4 12 k=1

(b) 3 X

2m =

m=−3

1 1 1 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 127 . + + +1+2+4+8= = 8 8 4 8 2

Alternativ unter Nutzung der Formel für die Summe einer endlichen geometrischen Reihe (k = m + 3): 3 X

6 X

2m = 2−3

m=−3

2k =

k= 0

1 27 − 1 127 . = 8 8 2−1

(c) 5 X (−1)j (j − 1)2 = + 1 − 0 + 1 − 4 + 9 − 16 = − 9 . j=0

3. Anwendung der bekannten Rechengesetze für Addition und Multiplikation: (a) 4 X

(aj − bj ) +

j=0

=

5 X 10 X

am −

m=6

aj −

j=0

=

11 X

4 X

bj +

j=0

aj −

j=0

10 X

10 X

10 X

am −

m=6

bj =

j=0

10 X

bk − a11 + a5

k= 5 10 X

bk

k=5

(aj − bj )

j=0

(b) n n n X X X   (1 + xj )(1 − xj ) xj + (1 + x j )2 − 2 j=0

j=0

=

j=0 n X

  (1 + xj )2 − 2xj + (1 + xj )(1 − xj )

=

j=0 n X

n n X   X 1 = 2(n + 1) (1 + 1) = 2 1 + 2xj + xj 2 − 2xj + 1 − xj 2 =

j=0

j=0

j=0

4. Anwendung (ggf. mehrfach) der bekannten Rechengesetze für Addition und Multiplikation in den gewohnten Zahlenmengen ... (a) ... und Nutzung der Formel für die Summe aller ganzen Zahlen von 1 bis n: *) k max X

2k = 2

k=kmin

k max X

k=2

k=kmin

k max X

k−

k=1

kmin −1 X k= 1

!

k

 1 1 kmax (kmax + 1) − (kmin − 1) kmin = 2 2 2 = kmax (kmax + 1) − (kmin − 1) kmin = (kmax + kmin)(kmax + 1 − kmin) 

(b) ... und mit Nutzung des eben erhaltenen Ergebnisses: **) kX max

(2k + 1) =

k=kmin

k max X k=kmin

2k +

k max X

1

k=kmin

= kmax (kmax + 1) − (kmin − 1) kmin + kmax − (kmin − 1) = kmax (kmax + 2) − (kmin − 1)(kmin + 1) = (kmax + 1 + kmin)(kmax + 1 − kmin) In den jeweils letzten Schritten wurden folgende Beziehungen genutzt: *) a(a + 1) − (b − 1)b = a2 + a − b2 + b = a2 − b2 + a + b = (a + b)(a − b) + a + b = (a + b)(a + 1 − b); **) a(a + 2) − (b − 1)(b + 1) = a2 + 2a − (b2 − 1) = a2 − b2 + 2a + 1 = (a + 1)2 − b2 = (a + 1 + b)(a + 1 − b).

Damit wird (i) die Summe aller geraden Zahlen von 2 bis 20 (kmin = 1, kmax = 10): 10 X k= 1

2k = (10 + 1)(10 + 1 − 1) = 11 · 10 = 110

(ii) die Summe aller ungeraden Zahlen von 1 bis 99 (kmin = 0, kmax = 49): 49 X k= 0

(2k + 1) = (49 + 1 + 0)(49 + 1 − 0) = 50 · 50 = 2500 .

5. Vorbemerkungen: Das Produkt von zwei ungeraden ganzen Zahlen, a = 2k + 1 und b = 2l + 1 (k, l ∈ Z), ist stets ebenfalls eine ungerade Zahl: a · b = (2k + 1)(2l + 1) = 2m + 1

mit

m = k + 2kl + l .

Prüfung der Gruppenaxiome: (G1) Abgeschlossenheit: Für alle s, t ∈ T gilt s · t = u mit u ∈ T wegen der allgemeinen Regel zur Multiplikation rationaler Zahlen (Multiplikation von Brüchen) und der oben genannten Eigenschaft. (G2) Gültigkeit des Assoziativgesetzes: Für alle s, t, u ∈ T gilt (s · t) · u = s · (t · u), denn dies gilt allgemein in Q. (G3) Existenz eines neutralen Elements (Singular!): Es gibt genau ein e ∈ T , so dass t · e = e · t = t für alle t ∈ T gilt. Es ist e = (2k + 1)/(2k + 1) = 1. (G4) Existenz inverser Elemente (Plural!): Für jedes t ∈ T existiert ein t−1 ∈ T , so dass t · t−1 = t−1 · t = e gilt. Das inverse Element zu t = (2k + 1)/(2l + 1) ist der Kehrwert t−1 = (2l + 1)/(2k + 1). (G5) Gültigkeit des Kommutativgesetzes: Für alle s, t ∈ T gilt s · t = t · s, denn dies gilt allgemein in Q. Also ist (T, ·) eine kommutative (abelsche) Gruppe.

— q.e.d....