Blatt 7 DM LoesungWS20/21 PDF

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WS20/21...

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¨ Ubungen zur Mathematik I f¨ ur Studierende Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2020/2021, Blatt 7 Fachbereich Mathematik, Stefan Geschke

A: Pr¨ asenzaufgaben am 17. und 18. Dezember 2020 1. Wie lautet der Koeffizient von x4 y10 in (x + y)14 ? L¨ osung. Nach dem binomischen Lehrsatz lautet der Koeffizient von x4 y10

14 4

= 1001.

2. In eine Getr¨ankekiste passen 9 Flaschen. Wieviele M¨oglichkeiten gibt es eine Kiste ganz zu f¨ullen, wenn 5 Getr¨ankesorten zur Verf¨ugung stehen? Wir nehmen dabei an, dass von jeder Sorte gen¨ ugend Flaschen vorhanden sind und dass es nicht darauf ankommt, an welcher Stelle in der Kiste sich eine bestimmte Flasche befindet.  −1 13 L¨ osung. Nach Grundaufgabe 4 gibt es 9+5 = 4 = 715 M¨oglichkeiten. Dabei entspricht jede 5−1 Getr¨ankesorte einem Gef¨aß. Wie viele Flaschen von einer Sorte in der Kiste sind, entspricht der Anzahl der Kugeln in dem jeweiligen Gef¨aß. B: Hausaufgaben zum 11. Januar 2020 1. Berechnen Sie (a + b)5 . L¨ osung. Es gilt (a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5 . 2. (a) Wie viele verschiedene Tipps gibt es beim Lotto 6 aus 49“? ” (b) Die Menge M habe 510 Elemente. Wie viele Teilmengen mit mindestens 508 Elementen hat M? L¨ osung. (a) Es gibt   49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 49 = = 13983816 6·5·4·3·2·1 6 verschiedene Tipps. (b) Wir z¨ahlen nicht die Teilmengen mit mindestens 508 Elementen, sondern deren Komplemente, also Mengen mit h¨ochstens 2 Elementen. Es gibt eine Teilmenge mit 0 Elementen, leere Menge.   die ·509 = 129795 Es gibt 510 Teilmengen mit genau einem Element. Schließlich gibt es noch 510 = 5102·1 2 Teilmengen mit genau 2 Elementen. Insgesamt erhalten wir 129795 + 510 + 1 = 130306 Teilmengen mit h¨ochstens 2 Elementen. Das ist auch die Zahl der Teilmengen mit mindestens 508 Elementen. 3. Zeigen Sie mittels vollst¨andiger Induktion, dass f¨ur alle n ≥ 3 die Gleichung n   X i i=3

gilt.

3

=

  n+1 n−3

L¨ osung. Induktionsanfang: Die Gleichung gilt f¨ur n = 3. Es gilt n¨amlich 3   X i i=3

3

    3 3+1 = =1= . 3 0

Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass n   X i i=3

3

  n+1 = n−3

f¨ ur ein gewisses n ≥ 3 gilt und zeigen, dass die Gleichung f¨ur n + 1 anstelle von n gilt. Es ist n+1 

X i=3

i 3



=

n  X i i=3

3



+

      n+1 n + 1 I.A. n + 1 + = n−3 3 3       n+1 n+1 (n + 1) + 1 = + = . (n + 1) − 4 (n + 1) − 3 (n + 1) − 3

Das zeigt die Gleichung f¨ur n + 1. 4. Es gibt acht verschiedene Werte von Euro-M¨unzen, n¨ amlich 1, 2, 5, 10, 20, 50 Cent und 1 und 2 Euro. Wieviele verschiedene Kombinationen von 10 M¨unzen kann man in seinem Portemonnaie haben? Zusatzfrage (ohne Punkte): Gibt es zwei verschiedene Kombinationen, die demselben Betrag entsprechen?    −1 L¨ osung. Nach Grundaufgabe 4 gibt es 10+8 = 19448 Kombinationen. Dabei entsprechen = 17 10 10 die einzelnen M¨ unzsorten den Gef¨aßen. Wie oft eine M¨ unzsorte vorkommt, entspricht der Anzahl der Kugeln in dem jeweiligen Gef¨ aß.) Es gibt zwei verschiedene Kombinationen mit demselben Wert: Zehn Ein-Euro-M¨unzen haben denselben Wert wie sieben Ein-Euro-M¨unzen zusammen mit einer Zwei-Euro-M¨unze und zwei 50-CentM¨ unzen. 5. (a) Wie viele (sinnvolle oder sinnlose) W¨orter lassen sich durch Ver¨anderung der Reihenfolge der Buchstaben des Wortes KAFFEE bilden? (b) Wie eben, aber f¨ur das Wort CAPPUCCINO . L¨ osung. (a) KAFFEE hat 6 Buchstaben, von denen A und K genau einmal auftreten. E und F treten jeweils genau zweimal auf. Gem¨ aß der L¨osung von Grundaufgabe 5 lassen sich aus den Buchstaben des Wortes KAFFEE durch vertauschen der Reihenfolge genau 6! = 180 2! · 2! verschiedene W¨orter bilden. (b) Unter den 10 Buchstaben des Wortes kommt C dreimal vor, P zweimal und alle anderen Buchstaben je einmal. Nach der L¨ osung von Grundaufgabe 5 gibt es also 10! = 302400 3! · 2! W¨ orter, die sich aus den Buchstaben des Wortes CAPPUCCINO bilden lassen....