Übung 8 Lösung - Wintersemester PDF

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Geodätisches Institut Lehrstuhl für Bauinformatik und Geoinformationssysteme

Angewandte Statistik WS 2017/18

Univ.-Prof. Dr.-Ing. J. Blankenbach

Übung 8: Konfidenzintervalle Aufgabe 1:

Die Genauigkeit eines Messinstruments ist mit 𝜎𝑥 = 0.8mm gegeben. Berechnen Sie bei einem Schätzwert für

den Mittelwert 𝑥 = 2.07m das Konfidenzintervall für den Erwartungswert 𝜇 mit der Irrtumswahrscheinlichkeit

𝛼 = 5%. Lösung:

Standardnormalverteilung

𝑃 {𝑥 − 𝑧1−𝛼 ∙ 𝜎𝑥 ≤ 𝜇 ≤ 𝑥 + 𝑧1−𝛼 ∙ 𝜎𝑥 } = 1 − 𝛼 2

𝜎𝑥 = 0.8𝑚𝑚 = 0.0008𝑚

2

𝑧0.975 = 1.96

𝑃{2.07𝑚 − 1.96 ∙ 0.0008𝑚 ≤ 𝜇 ≤ 2.07𝑚 + 1.96 ∙ 0.0008𝑚} = 95% 𝑃{2.0684𝑚 ≤ 𝜇 ≤ 2.0716𝑚} = 95%

Aufgabe 2: Eine Messreihe besteht aus 10 Messwerten. Es sind keine weiteren Vorinformationen gegeben. Berechnen Sie mit dem Schätzwert 𝑠 = 20.2mm das einseitige Konfidenzintervall („Intervall nach oben“) für die 2 (𝛼 = 5%). Standardabweichung 𝜎 der Grundgesamtheit mit dem Quantilwert 𝜒𝑓;𝛼 Lösung: Chi2-Verteilung 𝑃 {𝜎 ≤ √

𝑓

2 𝜒𝑓;𝛼

∙ 𝑠} = 1 − 𝛼

2 = 3.33 𝜒9;0.05

𝑃 {𝜎 ≤ √

9

3.33

∙ 20.2𝑚𝑚} = 95%

𝑃{𝜎 ≤ 33.2086} = 95% Aufgabe 3:

Ein Winkel 𝛾 wurde achtmal gemessen und es ergibt sich als Mittelwert 𝛾 = 4,4786°. Aus den Abweichungen der einzelnen Messwerte zum Mittelwert wird der Schätzwert der Standardabweichungen der Einzelmessungen 𝑠 = 0,00025° berechnet. Bestimmen Sie das Konfidenzintervall für den Erwartungswert 𝜇 (𝛼 = 1%).

Lösung: t-Verteilung 𝑠𝑥 2 =

𝑠2 𝑛

→ 𝑠𝑥 =

𝑠

√𝑛

=

0.00025° = 0.0000884° √8

𝑓 = 𝑛−𝑢 =8−1= 7

𝑃 {𝑥 − 𝑡𝑓;1−𝛼 ∙ 𝑠𝑥 ≤ 𝜇 ≤ 𝑥 + 𝑡𝑓;1−𝛼 ∙ 𝑠𝑥 } = 1 − 𝛼 2

𝑡7;0.995 = 3.499

2

𝑃{4.4786° − 3.499 ∙ 0.0000884° ≤ 𝜇 ≤ 4.4786° + 3.499 ∙ 0.0000884°} = 99% 𝑃{4.4783° ≤ 𝜇 ≤ 4.4789°} = 99%

Aufgabe 4: Bei der Messung von Druckfestigkeiten ergaben sich bei der ersten Messreihe von sechs Probewürfeln folgende Messwerte 𝑥𝑖 :

𝑥𝑖 [N/mm2]

2.59 2.54 2.56

2.49 2.65 2.59

A) Berechnen Sie den Mittelwert 𝑥 und die Standardabweichung 𝑠 als Schätzwerte für den Erwartungswert 𝜇 und der Standardabweichung 𝜎 der Grundgesamtheit.

B) Berechnen Sie das Konfidenzintervall für den Erwartungswert 𝜇 (𝛼 = 5%). Lösung: A) 𝑛=6

𝑥 = 𝑛

𝑁 15.42 = 2.57 6 𝑚𝑚2

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

2

𝑁2 1 1 1 (∑ 𝑥𝑖2 − (∑ 𝑥𝑖 ) ) = 0.00292 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥 )2= 𝑠2 = 𝑛 𝑚𝑚4 𝑛−1 𝑛−1

𝑠 = 0.054

B)

𝑖=1

𝑁 𝑚𝑚2

t-Verteilung

𝑓 =𝑛−𝑢= 6−1= 5

𝑠𝑥 =

𝑠

√𝑛

=

0.054 √6

= 0.022

𝑡𝑓;1−𝛼 = 𝑡5;0,975 = 2.571

𝑁 𝑚𝑚2

2

𝑃 {𝑥 − 𝑡𝑓;1−𝛼 ∙ 𝑠𝑥 ≤ 𝜇 ≤ 𝑥 + 𝑡 𝛼 ∙ 𝑠𝑥 } = 1 − 𝛼 𝑓;1− 2

2

2

𝑁

𝑁 𝑁 } = 95% 𝑁 ≤ 𝜇 ≤ 2.57 + 2.571 ∙ 0.022 𝑚𝑚2 2 2 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑁 𝑁 2 } = 95% 𝑃 {2.513 ≤ 𝜇 ≤ 2.627 𝑚𝑚 𝑚𝑚2

𝑃 {2.57

𝑚𝑚2

− 2.571 ∙ 0.022

Aufgabe 5:

Bei einer Brückenabsteckung wurde aus 6 Messungen der Abstand 𝑎 = 35.482m zweier Messmarken ermittelt.

Die Standardabweichung der einzelnen Messungen wird auf 𝑠 = 8mm geschätzt. A) Berechnen Sie das Konfidenzintervall für den Erwartungswert 𝜇𝑎 (𝛼 = 5%).

B) Aus den bekannten Genauigkeitsdaten der verwendeten Instrumente ergab sich nach dem

Variationsfortpflanzungsgesetz für den Abstand 𝑎 die Standardabweichung 𝜎𝑎 = 3mm. Berechnen Sie das

Konfidenzintervall für den Erwartungswert 𝜇𝑎 (𝛼 = 5%).

C) Berechnen Sie mit dem Schätzwert 𝑠 das einseitige Konfidenzintervall („Intervall nach oben“) für die Standardabweichung 𝜎 der Grundgesamtheit (𝛼 = 5%).

D) Berechnen Sie mit dem Schätzwert 𝑠 das minimale zweiseitige Konfidenzintervall der Standardabweichung 𝜎 der Grundgesamtheit (𝛼 = 5%).

Lösung: A) t-Verteilung

𝑓 = 𝑛−𝑢 =6−1= 5 𝑠𝑎 =

𝑠𝑖

√𝑛

=

0.008𝑚 √6

𝑡𝑓;1−𝛼 = 𝑡5;0.975 = 2.571

= 0.00327𝑚

2

𝑃 {𝑥 − 𝑡𝑓;1−𝛼 ∙ 𝑠𝑥 ≤ 𝜇 ≤ 𝑥 + 𝑡𝑓;1−𝛼 ∙ 𝑠𝑥 } = 1 − 𝛼 2

2

𝑃{35.482 − 2.571 ∙ 0.00327 ≤ 𝜇 ≤ 35.482 + 2.571 ∙ 0.00327} = 95% B)

𝑃{35.4736 ≤ 𝜇 ≤ 35.4904} = 95%

Standardnormalverteilung

𝑃 {𝑥 − 𝑧1−𝛼 ∙ 𝜎𝑥 ≤ 𝜇 ≤ 𝑥 + 𝑧1−𝛼 ∙ 𝜎𝑥 } = 1 − 𝛼 2

𝜎𝑥 = 3𝑚𝑚 = 0.003𝑚

2

𝑧0.975 = 1.96

𝑃{35.482𝑚 − 1.96 ∙ 0.003𝑚 ≤ 𝜇 ≤ 35.482𝑚 + 1.96 ∙ 0.003𝑚} = 95%

𝑃{35.4761𝑚 ≤ 𝜇 ≤ 35.4879} = 95%

3

C) Chi2-Verteilung 𝑃 {𝜎 ≤ √

𝑓 2 ∙ 𝑠} = 1 − 𝛼 𝜒𝑓;𝛼

2 𝜒5;0,05 = 1,15

𝑃 {𝜎 ≤ √

5 ∙ 0,008𝑚𝑚} = 95% 1,15

𝑃{𝜎 ≤ 0.0167} = 95%

D) Chi2-Verteilung 𝑃 {√ 𝑃 {√

𝑓 𝑓 2 ∙ 𝑠 ≤ 𝜎 ≤ √ 2 ∙ 𝑠} = 1 − 𝛼 𝜒𝑓;𝑜 𝜒𝑓;𝑢

5 5 ∙ 0.008𝑚 ≤ 𝜎 ≤ √ ∙ 0.008𝑚} = 95% 21.80 1.1392

𝑃{0.0038𝑚 ≤ 𝜎 ≤ 0.0168𝑚} = 95%

4...