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Alle Übungen inkl. Lösungen...

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Wintersemester 2019/2020

Blatt 1

¨ Ubungen zur Wirtschafts- und Finanzmathematik Aufgabe 1 Fritz und Ferdi verf¨ugen jeweils ¨uber 10.000 Euro Bargeld. Fritz geht zu seiner Hausbank und legt das Geld zu 2% an. Ferdi engagiert einen Finanzberater, der 5% des Anlagebetrages als Provision erh¨alt, jedoch eine Bank ausfindig macht, die 2,5% Jahreszins bietet. a) Wie hoch ist das Guthaben von Fritz nach 10 Jahren? b) Wie hoch ist das Guthaben von Ferdi nach 10 Jahren? c) Nach wie vielen Jahren ist das Guthaben von Ferdi gr¨oßer als das Guthaben von Fritz? Aufgabe 2 Gegeben ist folgender Handy-Vertrag: Die Grundgeb¨uhr betr¨ agt 7,99 Euro pro Monat. Pro Geb¨ uhreneinheit entstehen Kosten in H¨ ohe von 6 Cent. Es gibt keine kostenlosen Geb¨ uhreneinheiten. Wie lautet die Funktion, die die monatlichen Gesamtkosten in Abh¨angigkeit von der Anzahl der pro Monat verbrauchten Geb¨ uhreneinheiten beschreibt? a)

K(x) = 7,99 · 0,06 · x

b)

K(x) = 0,06 · x + 7,99

c)

K(x) = 7,99 + 6 · x

Aufgabe 3 Bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich der folgenden Funktionen und erstellen Sie eine Skizze der jeweiligen Funktionsgraphen. f (x) =

ln(2) ln(1 + x)

g(x) = 1 +

p x

Welche ¨ okonomische Sachverhalte k¨onnen diese Funktionen darstellen? (Tipp: Folie 14) ¨ Uberlegen Sie sich jeweils einen passenden Namen“ f¨ur diese Funktionen. ” Aufgabe 4 Die Bank A bietet ihren Kunden f¨ur eine Einmalanlage einen Jahreszins von iA = 2% an. Die Bank B merkt, dass viele Kunden zur Bank A abwandern und m¨ochte nun ein Konkurrenzprodukt anbieten. Das Konkurrenzprodukt von Bank B soll folgende zwei Merkmale aufweisen: • Nach 10 Jahren soll das Guthaben bei Bank B 1,5% ¨uber dem der Bank A liegen. • Die Verzinsung der ersten 5 Jahre soll bei Bank B nur iB = 1% betragen. Welchen Zinssatz muss die Bank B f¨ur die Jahre 6 bis 10 bieten?

TH K¨ oln

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Wintersemester 2019/2020

Blatt 1

L¨ osungshinweise zu Aufgabe 1 Fritz = 10. 000 · (1 + 0,02)10 = 12. 189,94, denn K = 10. 000 Euro, i = 2 % und a) Es ist K10 0 n = 10. Ferdi = 9. 500 · (1 + 0,025)10 = 12. 160,80, wobei die Provision von 500 Euro zu b) Es ist K10 einem geringeren Anlagebetrag K0 = 9. 500 Euro f¨uhrt. Alternativ kann auch vereinbart werden, dass der Anlageberater 5 % des Anlagebetrags nach Abzug der Provision erh¨alt. Dann gilt: 10. 000 = 9. 523,81. K0 = 10. 000  0,05 · K0 , K0 = 1,05 Ferdi Damit gilt: K 10 = 9. 523,81 · (1 + 0,025)10 = 12. 191,28.

c) Wir nehmen an, dass sich die Provision auf die 10.000 Euro bezieht. Gesucht ist der Zeitpunkt n, zu dem das Guthaben von Fritz und Ferdi ¨ubereinstimmen. Das bedeutet, wir suchen die Zahl n, f ¨ur die gilt: KnFritz = KnFerdi , 10. 000 · 1,02n = 9. 500 · 1,025n , n = 10,49 Nach 10,49 Jahren stimmt das also Guthaben ¨uberein. Wenn sich Fritz und Ferdi jeweils am Jahresende ¨uber ihr Guthaben informieren, so stellen sie nach 11 Jahren fest, dass Ferdi ein h¨oheres Guthaben besitzt. L¨ osungshinweise zu Aufgabe 2 Die richtige Antwort lautet: K(x) = 0,06 · x + 7,99, denn 7,99 Euro entsprechen den Fixkosten und 0,06 Euro den variablen Kosten. L¨ osungshinweise zu Aufgabe 3 Es ist: D(f ) = {x 2 R | x > 1 und x 6= 0} und W (f ) = R \ {0}. Außerdem gilt D(g) = [0, 1) und W (g) = [1, 1).

6

6

4

4 2

2

x

x 1

1 2

2

3

4

1

1

2

3

4

2

4

4

6

6

f (x) gibt an, wann sich ein Anlagebetrag bei einem j¨ahrlichen Zinssatz von x verdoppelt hat. Der Funktionswert von g(x) gibt an, wie hoch ein j¨ahrlicher Zins gew¨ahlt werden muss, damit das Verh¨altnis von Guthaben nach zwei Jahren zu Anlagebetrag gerade das Verh¨ altnis x betr¨agt. L¨ osungshinweise zu Aufgabe 4 Gesucht ist ein Zinssatz x, f ¨ur den gilt: K0 · 1,015 · (1 + x)5 = 1,015 · K0 · 1,0210 , (1 + x)5 = 1,015 ·

1,022 1,0210 , 1 + x = 1,0150,2 · 5 1,01 1,01

Somit ist x = 0,03317 = 3,317 %. Die Bank B muss f¨ur den zweiten Zeitraum einen Zins von rund 3,317 % bieten.

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Blatt 2

¨ Ubungen zur Wirtschafts- und Finanzmathematik Aufgabe 1 Der Absatz x von Zucker in den USA konnte zu Beginn des 20. Jahrhunderts als Funktion des Preises p dargestellt werden durch: 157,8 x(p) = 0,3 p Dabei werden x und p in geeigneten Einheiten gemessen. a) Ist die Funktion x(p) monoton? Ist die Funktion beschr¨ankt? b) Bestimmen Sie – sofern m¨oglich – die Umkehrfunktion von x(p). Aufgabe 2 Gegeben seien die folgenden Funktionen. Bearbeiten Sie die Aufgaben. a) y = 0,5 · exp(x) d) y = 0,5 · exp(x) g) y = 0,5 · ln(x)

b) y = 0,5 · exp(x) e) y = 2 · exp(x) h) y = 0,5 · ln(x)

c) y = 0,5 · exp(x) f) y = 0,5 · ln(x) i) y = 0,5 · ln(x) 6

• Welche dieser Funktionen sind in der Abbildung auf der rechten Seite dargestellt?

y

4 2 x 3

2

• Bitte skizzieren Sie auch die ¨ubrigen Funktionen in einem weiteren Koordinatensystem.

1

1

2

3

2 4 6

Aufgabe 3 Vervollst¨andigen Sie die Zellen der folgenden Tabelle. Runden Sie dabei Prozentzahlen auf vier Nachkommastellen. i i12 i2 ˆi12 µ

6,0000% 0,0400% -2,5000% 0,0300% 4,0000%

i12 steht f¨ur den ¨aquivalenten unterj¨ahrigen Zins und ˆi12 f¨ur den einfachen unterj¨ahrigen Zins. Aufgabe 4 Ferdi hat am 1.4.2015 Anteile an einem Investmentfonds im Wert von 1.000,00 Euro gekauft. Nach einem Jahr ist der Wert auf 1.120,00 Euro gestiegen. Am 1.4.2017 haben die Anteile einen Wert in H¨ohe von 1.180,00 Euro. Am 1.4.2018 betr¨ agt der Wert noch 1.090,00 Euro. a) Bestimmen Sie die jeweilige j¨ahrliche Verzinsung. b) Bestimmen Sie die tats¨achliche durchschnittliche Verzinsung und die durchschnittliche Zinsintensit¨at.

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Blatt 2

L¨ osungshinweise zu Aufgabe 1 a) Die Funktion ist monoton, denn f¨ur p1 < p2 gilt: 10

157,8 3 157,8 > p2 p1

10 3

,

157,8 3 10

>

157,8 3

p1

p 210

Hinweis: Die Funktion xα f¨ur ↵ > 0 monoton wachsend in x f¨ ur x > 0. Somit ist x(p) streng monoton fallend in p. Außerdem ist x(p) beschr a¨nkt durch 0. s✓ ◆10 157,8 3 b) Die Umkehrfunktion lautet: p(x) = x L¨ osungshinweise zu Aufgabe 2 6 y

6 y

4

4

2

2 x

3

2

1

1 2 4 6

2

3 c) a) d) b)

x 3

2

1

1 2 4 6

e) f) g) h) i)

L¨ osungshinweise zu Aufgabe 3 i i12

0,060000 0,004811 0,040811 -0,049375 0,003600 0,004868 0,000400 0,003339 -0,004211 0,000300

i2 ˆi12

0,029563

0,002402

0,020201

-0,025000

0,001798

0,005000

0,000401

0,003401

-0,004115

0,000300

µ

0,058269

0,004799

0,040000

-0,050636

0,003594

L¨ osungshinweise zu Aufgabe 4 a) Die j¨ahrlichen Verzinsungen betragen 12,00%, 5,36% und -7,63%. b) Die tats¨ achliche durchschnittliche Verzinsung betr¨agt 2,9142% und die durchschnittliche Zinsintensit¨at 2,8726%.

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Blatt 3

¨ Ubungen zur Wirtschafts- und Finanzmathematik Aufgabe 1 Bestimmen Sie sowohl den Barwert als auch den Endwert (nach f¨unf Jahren) f¨ ur folgenden Schuldschein: alt 1.000 Euro nach einem Jahr, 3.000 Euro nach zwei Jahren und 5.000 Euro Der Inhaber erh¨ ” nach f¨unf Jahren.“ Unterstellen Sie einen Bewertungszins von 2 %. Wie ver¨andern sich die Werte, wenn der Bewertungszins bei 8 % liegt? Aufgabe 2 Wir betrachten die folgenden Funktionen. f (x) =

1. 000 1+x

g(x) =

1. 000 exp(x)

a) Wie lautet der jeweilige Definitionsbereich der Funktionen? b) Welcher o¨konomische Sachverhalt wird durch diese Funktionen abgebildet? c) Bestimmen Sie den links- und rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle x = 1. Aufgabe 3 Der Preis f¨ur eine Flasche K¨olsch betr¨agt 90 Cent. Die Kosten der Brauerei betragen bei einer Produktion von 500.000 Flaschen genau 500.000 Euro pro Monat und bei einer Produktion von 800.000 Flaschen lagen die Kosten bei 620.000 Euro. a) Bestimmen Sie die Kostenfunktion (Annahme: Die Funktion ist linear). Wie hoch sind die variablen Kosten und die Fixkosten? Wie lautet die St¨uckkostenfunktion? b) Bestimmen Sie die Gewinnfunktion. Wie hoch ist der Gewinn, wenn an der Kapazit¨atsgrenze von 2 Millionen Flaschen pro Monat produziert wird? c) Wieviel Flaschen m¨ussen pro Monat mindestens hergestellt und verkauft werden, damit die Brauerei Gewinn erzielt? (Gewinnschwelle, Break-Even-Punkt) Aufgabe 4 Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion: f (x) = 1. 100 +

400 400 400 + + 2 1 + x (1 + x) (1 + x)3

(Tipp: Regula Falsi)

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Blatt 3

L¨ osungshinweise zu Aufgabe 1 Die Werte k¨onnen der folgenden Tabelle entnommen werden: Barwert Endwert

i = 2% 8.392,55 9.266,06

i = 8% 6.900,86 10.139,62

Der Barwert bzw. der Endwert ergibt sich mit: Barwert(i) =

3. 000 5. 000 1. 000 + + 1 + i (1 + i)2 (1 + i)5

Endwert(i) = 1. 000 · (1 + i)4 + 3. 000 · (1 + i)3 + 5. 000

L¨ osungshinweise zu Aufgabe 2 a) D(f ) = R \ {1} und D(g) = R b) Der Funktionswert gibt die H¨ohe des Barwerts einer Zahlung in H¨ohe von 1.000 Euro nach einer Periode in Abh¨angigkeit von einem Bewertungszins x f¨ur diese Periode an. Dabei verwendet die Funktion f die einfache Verzinsung und die Funktion g die Zinsintensit¨ at. c) Der links- bzw. rechtsseitige Grenzwert von f an der Stelle x = 1 existiert nicht. Die Funktionwert laufen gegen 1‘ bzw. +1‘. Der links- bzw. rechtsseitige Grenzwert von ” ” g betr¨agt an der Stelle x = 1 gerade 2.718,28. L¨ osungshinweise zu Aufgabe 3 a) Mit der Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung ergibt sich: K2  K1 K2  K = x2  x1 x2  x

,

620. 000  500. 000 620. 000  K = 800. 000  x 800. 000  500. 000

Das bedeutet: K(x) = 0,4 · x + 300. 000 = Kvar · x + Kfix . Die St¨uckkostenfunktion lautet: 300. 000 k(x) = 0,4 + x b) Die Umsatzfunktion ist U (x) = 0,9 · x, so dass mit G(x) = U (x)  K(x) gilt: G(x) = 0,5 · x  300. 000 Bei Produktion/Verkauf von 2 Millionen Flaschen betr¨agt der Gewinn von 700.000 Euro. c) Der Break-Even-Punkt liegt bei x = 600. 000. L¨ osungshinweise zu Aufgabe 4 Die Regula Falsi liefert mit den Startwerten x1 = 1 % und x2 = 10 % folgende Werte: Stelle k 1 xk 0,0000 % f (xk ) 100,0000

2 10,0000 % 105,2592

3 4,8720 % 8,0829

4 4,4450 % 0,7272

5 4,4800 % 0,0006

Bei dieser Rechnung wurden Werte f¨ur xk auf f¨unf Nachkommastellen und Funktionswerte auf vier Nachkommastellen gerundet. Eine Nullstelle liegt also bei 4,48 %. Da f eine gebrochenrationale Funktion ist, k¨onnen die Nullstellen von f nur an den Nullstellen des Z¨ahler-Polynoms: 1. 100 · x3  2. 900 · x2  2. 100 · x + 100 liegen. Das Z¨ ahler-Polynom hat lediglich eine Nullstelle, denn nach Polynom-Division der gefundenen Nullstelle ergibt sich eine quadratische Gleichung ohne L¨osung. Es kann also keine weiteren Nullstellen geben.

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Blatt 4

¨ Ubungen zur Wirtschafts- und Finanzmathematik Aufgabe 1 Frieda Fr¨ohlich betreibt eine kleine Druckerei und kann zum 1.1.2019 einen großen Auftrag annehmen. Allerdings muss sie f¨ur den Auftrag in einen neuen Drucker (Preis: 35.000 Euro) investieren. Der Druckauftrag w¨urde ihr in den n¨achsten Jahren zus¨ atzliche Einnahmen bringen (nach Abzug der Materialkosten und sonstiger laufender Kosten, jeweils am Jahresende): Jahr Einnahmen (in Euro)

2019 6.000

2020 7.000

2021 8.000

2022 9.000

2023 10.000

Wie hoch ist der Kapitalwert bei einem j¨ahrlichen Zins von 5 %? Lohnt sich die Investition? Aufgabe 2 Welche Bedeutung haben die folgenden Ausdr¨ucke? a)

2. 000 · a ¨ 24

b)

10 · s 6

c)

500 · s¨12

d)

a 10

Aufgabe 3 Beweisen Sie die folgenden Zusammenh¨ange. a)

an = v · a ¨n

b)

an = a ¨ n+1  1

c)

an = vn · sn

Aufgabe 4 Wir betrachten die folgende Funktion. 1. 000 3. 000 5. 000 f (x) = + + 1+x (1 + x)2 (1 + x)5 a) Welcher o¨konomische Sachverhalt wird durch die Funktion abgebildet? ¨ ufen Sie die Stetigkeit der Funktion an der Stelle x = 0,02. b) Uberpr¨ Aufgabe 5 Wir betrachten die folgende Funktion. f (x) =

(

p 10·( 1+x1) x

x 6= 0 x=0

10

Wie lautet der Definitionsbereich der Funktion? Ist die Funktion an der Stelle x = 0 stetig? Klassifizieren Sie ggf. die Unstetigkeitsstelle. Hinweis: Es gilt wegen der 3. Binomischen Formel, (a  b) · (a + b) = a2  b2 , folgender Zusammenhang p p ( 1 + x  1) · ( 1 + x + 1) = x Nutzen Sie diesen Zusammenhang, um den Term p 10 · ( 1 + x  1) x mit Termumformungen umzuformen.

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Blatt 4

L¨ osungshinweise zu Aufgabe 1 Die Investition lohnt sich nicht, da der Kapitalwert negativ ist. Es ist: 35. 000 +

6. 000 7. 000 8. 000 9. 000 10. 000 = 786,22 + + + + 1,055 1,05 1,052 1,053 1,054

L¨ osungshinweise zu Aufgabe 2 a) b) c) d)

2. 000 · a ¨ 24 10 · s 6 500 · s¨12 a 10

Barwert einer Zeitrente von 2.000 Euro (24 Perioden, vorsch¨ussig) Endwert einer Zeitrente von 10 Euro (6 Perioden, nachsch¨ussig) Endwert einer Zeitrente von 500 Euro (12 Perioden, vorsch¨ussig) Barwert einer Zeitrente von 1 Euro (10 Perioden, nachsch¨ussig)

L¨ osungshinweise zu Aufgabe 3 a) a n =

n X

vt = v ·

t=1

c) a n =

t=1

vt = v · a ¨n .

t=0

n

b) a n = 1 + 1 + n X

n1 X

t

X t=1

n

v =v ·

t

v = 1 +

n X

v

tn

t=1

L¨ osungshinweise zu Aufgabe 4

n X t=0

vt = a ¨ n+1  1.

n1 X (1 + i)t = v n · s n . =v · n

t=0

a) Der Funktionwert entspricht gerade dem Barwert des Schuldscheins aus Aufgabe 1 von Blatt 3 mit einem Bewertungszins in H¨ohe von x. b) Als Verkettung stetiger Funktion ist die Funktion an der Stelle x = 0,02 stetig. L¨ osungshinweise zu Aufgabe 5 Der Definitionsbereich von f lautet: D(f ) = [1, 1). Die Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht stetig. Es handelt sich um eine hebbare L¨ucke, denn: p 10 · ( 1 + x  1) 10 10 x = p = ·p x x 1+x+1 1+x+1 und

10 lim p =5 1+x+1 Wenn der Funktionwert f (0) = 10 ge¨andert wird zu f (0) = 5, dann ist die L¨ucke geschlossen“. ” x!0

10 8 6 4 2 x 1

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¨ Ubungen zur Wirtschafts- und Finanzmathematik Aufgabe 1 a) Welches Kapital ben¨ otigt ein 65-j¨ahriger Rentner, der 20 Jahre lang eine Monatsrente von 1.000 Euro hieraus finanzieren m¨ochte? Der Rentner rechnet mit einer j¨ahrlichen Verzinsung von 3,0 % und m¨ochte die Rente monatlich vorsch¨ussig abheben. b) Welchen Betrag muss ein 25-j¨ahriger Sparer monatlich vorsch¨ussig zur¨ucklegen, so dass er nach 40 Jahren (also im Alter von 65 Jahren) bei einem Zins von 3,0 % das in Teil a) errechnete Kapital angespart hat? c) Wie ¨andert sich das erforderliche Kapital in Teil a) und die Sparrate in Teil b), wenn der Sparer erst mit 67 Jahren in Rente geht? d) Um wie viel Prozent erh¨oht sich der Sparbeitrag aus b), wenn der Zinssatz 2,0 % statt 3,0 % betr¨agt? Aufgabe 2 Welche ewig fließende Rente kann man (bei einem j¨ahrlichen Zins von 2 %) ab dem 1.1.2020 aussch¨ utten, wenn das daf¨ur zur Verf¨ ugung stehende Kapital am 1.1.2018 einen Wert von 500.000 Euro hat? Aufgabe 3 Gegeben sei folgende Kostenfunktion: K(x) = 100 + 10 ·

p x

a) Wie lautet der Differenzenquotient von K(x)? b) Berechnen Sie den Differenzenquotient an der Stelle x0 = 4 f¨ur ∆x = 2, ∆x = 1 und ∆x = 0,1. c) Welche ¨okonomische Bedeutung haben die Ergebnisse aus Aufgabenteil b)? d) Berechnen Sie den Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle ∆x = 0. (Hinweis: Blatt 3; Aufgabe 4) e) Interpretieren Sie das Ergebnis aus Aufgabenteil d) (¨okonomisch und geometrisch). Aufgabe 4 Gegeben sei folgende Funktion: f (x) =

p 3 x+5

a) Wie lautet der Definitions- und Wertebereich der Funktion? b) Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. c) Wie lautet der Differenzenquotient der

TH K¨ oln

nktion?

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Blatt 5

L¨ osungshinweise zu Aufgabe 1 1

a) Der Betrag entspricht dem Barwert 1. 000·a¨ 240 = 181. 417,70 mit v = 1,03 12 = 0,9975398. b) Gesucht ist der Betrag P , so dass gilt P · s¨480 = 181. 417,70. Wir erhalten: P = 197,31. (1 + i)480  1 Dabei ist s¨480 = (1 + i) · = 919,4519646. i c) Der Betrag entspricht dem Barwert 1. 000 · a¨ 24024 = 167. 711,98. Dabei ist: 1  v 216 a ¨ 216 = = 167,71. Erforderlicher Sparbetrag: P · s¨504 = 167. 711,98 , P = 167,68 1v 1

achst ist 1. 000 ·a ¨ 240 = 198. 336,46 mit v = 1,02 12 = 0,9983511419 Damit erhalten wir d) Zun¨ (1 + i)480  1 P · s¨480 = 198. 336,46 , P = 270,71. Dabei ist s¨480 = (1+i)· = 732,6522999. i L¨ osungshinweise zu Aufgabe 2 Der Barwert einer ewig fließenden Rente R betr¨agt R = R · a1 . i Daher gilt 500. 000 = R · v 2 · a 1

,

R = 500. 000 · 0,02 · (1 + 0,02)2 = 10. 404.

L¨ osungshinweise zu Aufgabe 3 a) Der Differenzenquotient von K an der Stelle x0 lautet: K(x0 + ∆x)  K(x0 ) ∆x

∆x6=0

=

10 p p x0 + ∆x + x0

b) Es ist: ¨ Anderung Wert

∆x = 2 2,247

∆x = 1 2,361

∆x = 0,1 2,485

c) Die Kosten ¨andern sich bei einer Ausweitung der Produktion von 2 Einheiten auf 4 Einheiten um 2,247 Geldeinheiten pro zus¨atzlich produzierter Einheit bzw. bei einer Ausweitung von 2 Einheiten auf 3 Einheiten um 2,361 Geldeinheiten f¨ur diese eine zus¨atzliche Einheit. Bei einer marginalen Ausweitung auf 2,1 Einheiten betr¨agt die Kosten¨anderung 2,485 Geldeinheiten (bezogen auf eine ganze zus¨atzliche Einheit). d) Es ist:

10 p = 2,5 lim p ∆x!0 4 + ∆x + 4

¨ konomisch: Bei einer infinitesimalen Produktionsausweitung betr¨agt die Kosten¨anderung e) O 2,5 Geldeinheiten (bezogen auf eine ganze zus¨atzliche Einheit). Geometrisch: 2,5 entspricht der Tangentensteigung an die Kostenfunktion. L¨ osungshinweise zu A...