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Prof. Dr. Salomon

Aufgabenblatt 1

Mathematik/Statistik II (3. Sem.)

1. Eine Münze wird dreimal geworfen. (a) Geben Sie die Menge aller Elementarereignisse  an. (b) Beschreiben Sie die folgenden Ereignisse durch Mengen (1) A: Es tritt genau einmal Zahl auf (2) AC (also das Komplement zur Menge A unter (1)) (3) B: Im zweiten Wurf tritt Kopf auf

(4) A  B

(5) C: Es tritt mindestens zweimal Zahl auf

2. a) Angeblich soll Chevalier de Mèrè im Jahre 1654 Blaise Pascal folgendes Problem gestellt haben: Stimmt die Chance, in vier Würfen eines Würfels mindestens eine Sechs zu werfen, mit der Chance überein, in 24 Würfen zweier Würfel mindestens eine Doppelsechs zu werfen? Berechnen Sie die beiden Wahrscheinlichkeiten. 2.b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten eine schwarze Karte oder ein As gezogen wird.

3.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Lottospiel "7 aus 45" genau a) 7 Richtige b) 5 Richtige c) 3 Richtige zu tippen

4. Zwei Schützen G und H schießen auf ein Ziel. G trifft bei durchschnittlich vier von sieben Schüssen und H bei drei von vier Schüssen. Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei gleichzeitigem Schießen das Ziel (a) mindestens einmal getroffen wird. (b) genau einmal getroffen wird. 5. Bestimmen Sie für die Zufallsvariable X: „Summe der Augenzahlen, die beim Wurf zweier fairer Würfel erzielt wird“ folgende Wahrscheinlichkeiten: (a) P(2  X  4)

(b) P(X = 3)

(c) P(X < 4)

(d) P(X  4)

(e) P(X > 4)

(f) P(X = 4)

6a. Ein gutmütiger Dozent macht seine Noten, indem er 3-mal würfelt und die kleinste Augenzahl nimmt. Bestimme den wahrscheinlichen Notenspiegel der Klausur.

6. Gegeben ist folgende graphische Darstellung einer Verteilungsfunktion.

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Mathematik/Statistik II (3. Sem.)

Bestimmen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:

1

P (5 < x < 7)

0.8

P (-1 < x < 10)

0.6

P (x  5)

0.4

P (x = 10)

0.2

P (x < 5)

0

0 1 2 3 4 5 6 6b. Es sei eine diskrete Zufallsvariable X mit einer Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) und der Verteilungsfunktion F(x) gegeben. Vervollständigen Sie die folgende Tabelle j

1

f(x)

0,1

F(x)

2

3

4

5

6

0,2 0,2

7

8

9

7

0,1

0,5

0,8

7. Eine Buchhandlung steht vor der Wahl, ein hochwertiges und sehr teures Faksimile einer mittelalterlichen Handschrift anzubieten. Die Marketingexperten eines beauftragten Instituts vermuten für die Verkaufszahlen X folgende Wahrscheinlichkeiten:

1

2

3

4

5

mehr als 5

Verkaufszahl X

0

Wahrscheinlichkeit

0,2 0,3 0,2 0,1 0,1 0,1 0

a. Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion F(x) von X. b. Bestimmen Sie mit F(x) die Wahrscheinlichkeit, dass 1. höchstens ein Buch 2. weniger als zwei Bücher 3. mindestens vier Bücher 4. mehr als ein, aber höchstens drei Bücher verkauft werden. c. Bestimmen Sie den Erwartungswert, die Standardabweichung und die Varianz von X. 8. Eine Produktionsserie von PC-Monitoren enthält erfahrungsgemäß 5 Prozent Ausschuss. Zur Überprüfung des Qualitätsstandards testet der Großhändler jeweils die Funktion von 30 Geräten.

10

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Mathematik/Statistik II (3. Sem.)

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei dieser Art der Qualitätskontrolle 2 fehlerhafte Geräte zu finden? b) Wie hoch ist das Produzentenrisiko, wenn vereinbart wird, dass bei mehr als zwei Ausschussstücken in der Stichprobe die Lieferung zurückgeschickt wird? 9. Das Produkt ZY ist 40% der Kunden eines Kaufhauses bekannt. Es werden 13 Kunden zufällig ausgewählt. Mit X sei die Zufallsvariable bezeichnet, die die Anzahl der Kunden angibt, die das Produkt ZY kennen. a) Welche Werte kann die Zufallsvariable X annehmen? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 4 der 13 befragten Kunden das Produkt ZY kennen? (Gesucht ist also P(X = 4)) c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 430 Kunden das Produkt kennen, falls 1000 zufällig ausgewählte Kunden befragt werden? 10. Von 100 Personen ist durchschnittlich eine Person farbenblind. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter 100 zufällig ausgewählten Personen mindestens zwei farbenblinde Personen? b) Wie viele Personen müssen mindestens ausgewählt werden, damit sich darunter mit mindestens 95%-iger Wahrscheinlichkeit wenigstens eine farbenblinde Person befindet? 11. Eine Auswertung der Jahresberichte über tödliche Unfälle infolge Hufschlags in 10 preußischen Kavallerieregimentern während 20 Jahren ergab: Anzahl k tödlicher Unfälle: 0 1 2 3 4 Anzahl der Berichte mit k Unfällen: 109 65 22 3 1 Vergleiche diese beobachteten Werte mit den theoretischen Werten, die sich bei Anwendung der Poissonverteilung ergeben. 12. Eine Telefonauskunft wird durchschnittlich 12mal pro Stunde angewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält die Auskunft a) in den nächsten 5 Minuten keinen Anruf b) innerhalb von 20 Minuten mindestens 5 Anrufe 13. Erfahrungsgemäß erscheinen 2% aller Fluggäste, die Plätze reservieren, nicht. Eine Fluggesellschaft verkauft deshalb 100 Flugkarten für 98 verfügbare Plätze. Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommen alle Passagiere einen Sitzplatz? Hinweis. Wir nehmen stillschweigend an, dass die Passagiere unabhängig voneinander nicht erscheinen (was vielleicht nicht ganz realistisch ist). Betrachten Sie die Anzahl der nicht erscheinenden Passagiere unter den 100 Karteninhabern. 14. Der Durchmesser der auf der Maschine A hergestellten Kugeln sei normalverteilt mit dem Erwartungswert  = 162 mm und der Standardabweichung  = 2 mm. Ein Kunde bestellt eine größere Menge Kugeln mit einem Durchmesser von 160 mm und eine Toleranzbereich von 4mm ( d.h. Kugeln mit einem Durchmesser kleiner als 156 mm oder größer als 164 mm können nicht verwendet werden.)

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a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Durchmesser einer auf der Maschine A hergestellten Kugel größer als 165 mm ist? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Durchmesser einer auf der Maschine A hergestellten Kugel genau 160,38 mm beträgt? c) Mit welchem Ausschussanteil ist bei dem Kunden zu rechnen, falls die auf der Maschine A gefertigten Kugeln geliefert werden?

15. Für eine bestimmte Getränkemarke sind die Umsätze der Einzelhändler normalverteilt mit einem Erwartungswert von  = 1.800 € und einer Standardabweichung von  = 200 €. a) Wie viel Prozent der Einzelhändler haben einen Umsatz (1) von weniger als 1520 € (2) von mehr als 2.050 € (3) zwischen 1.700 € und 1.900 € b) Zur Verkaufsförderung will die Herstellerfirma ab einem bestimmten Mindestumsatz einen Bonus gewähren. Wie hoch ist der Mindestumsatz festzulegen, wenn der Bonus 9 % der Händler zukommen soll.

16. Die durchschnittliche monatliche Einkommen von FH-Absolventen im 1. Berufsjahr soll geschätzt werden. Eine Zufallsstichprobe von 100 Befragten ergab ein durchschnittliches Einkommen von 5.830 € und eine Standardabweichung von 290 € (in der Stichprobe). a) Berechnen Sie das 90  - Konfidenzintervall für das durchschnittliche Einkommen. b) Welchen Stichprobenumfang muss man wählen, damit der absolute Fehler 30 € bei einem Konfidenzniveau von 95% beträgt? (Dabei kann die Standardabweichung der oben erwähnten Stichprobe zur Berechnung des Stichprobenumfangs heran gezogen werden.)

17. Eine Zufallsstichprobe von 200 Studenten der Universität Mainz ergab folgendes Ergebnis bezüglich der Dauer der Internetnutzung Internetnutzung pro Woche (in h) Anzahl der Studierenden

0

1

2

5

10

30

11

5

5

49

108

22

Berechnen Sie das 92,5  - Konfidenzintervall für die durchschnittliche Dauer der Internetnutzung pro Woche. 18. Um den Anteil p der fehlerhaft produzierten Werkstücke einer Maschine zu bestimmen, werden n = 600 Werkstücke zufällig ausgewählt. 33 davon waren fehlerhaft. a) Man berechne das 95% - Konfidenzintervall für den Anteil der fehlerhaft produzierten Werkstücke.

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Mathematik/Statistik II (3. Sem.)

b) Das Ergebnis aus Teil a) ist dem Auftraggeber zu unscharf. Es wird gefordert, daß die gesamte Länge des Konfidenzintervalls 1% nicht überschreiten darf. Die statistische Sicherheit (das Konfidenzniveau) soll weiterhin 95% betragen. Wie groß muß in diesem Fall die Stichprobe gewählt werden. (Dabei kann als gesichert angenommen werden, daß der Ausschußanteil kleiner als 10% ist....