Całka niewłaściwa PDF

Preview

Summary

Notatki z wykładu o całce niewłaściwej....

Description

Notatki do wykładu Matematyka 2 (studia stacjonarne) Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny

wersja 1.0 Marek Małolepszy

Całka niewłaściwa    

Całka niewłaściwa na przedziale nieskończonym. Całka niewłaściwa funkcji nieograniczonej. Zastosowanie całki niewłaściwej w geometrii i fizyce. Zastosowanie całki oznaczonej w mechanice.

Całka niewłaściwa na przedziale nieskończonym

Niech 𝑓 będzie funkcją określoną na przedziale [𝑎, +∞) i całkowalną na każdym skończonym przedziale [𝑎, 𝛽 ]. Granicę 𝛽

lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝛽→+∞

𝑎

nazywamy całką niewłaściwą funkcji 𝑓 na przedziale [𝑎, +∞) i oznaczamy +∞

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

Jeżeli granica

𝛽

lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝛽→+∞

𝑎

jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna, w przeciwnym przypadku (gdy granica nie istnieje albo jest równa +∞ lub −∞) mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna. Przykład.

+∞

∫ Zatem całka

1

1

𝑥

𝛽

∫ 2 𝑑𝑥 = lim 𝛽→+∞

1

1 𝛽 1 1 1 [− ] = lim (− − (− )) = 1 𝑑𝑥 = lim 2 𝛽→+∞ 𝛽 𝑥 1 𝛽→+∞ 𝑥 1 +∞

1 𝑑𝑥 𝑥2

∫ 1

jest zbieżna. Przykład.

+∞

𝛽

1 1 𝛽 ∫ 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑑𝑥 = lim [ln|𝑥|]1 = lim (ln𝛽 − ln1) = lim ln𝛽 = +∞ 𝛽→+∞ 𝛽→+∞ 𝛽→+∞ 𝑥 𝑥 𝛽→+∞

1

Zatem całka

1

+∞

∫

jest rozbieżna.

1

1 𝑑𝑥 𝑥

Łódź 2015

1

Notatki do wykładu Matematyka 2 (studia stacjonarne) Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny

wersja 1.0 Marek Małolepszy

W analogiczny sposób do całki niewłaściwej na przedziale [𝑎, +∞) definiujemy całkę niewłaściwą funkcji 𝑓 na przedziale (−∞, 𝑏]. Niech 𝑓 będzie funkcją określoną na przedziale (−∞, 𝑏] i całkowalną na każdym skończonym przedziale [𝛼, 𝑏 ]. Granicę 𝑏

lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝛼→−∞

𝛼

nazywamy całką niewłaściwą funkcji 𝑓 na przedziale (−∞, 𝑏] i oznaczamy 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

−∞

Jeżeli granica

𝑏

lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝛼→−∞

𝛼

jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna, w przeciwnym przypadku (gdy granica nie istnieje albo jest równa +∞ lub −∞) mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna.

Niech 𝑓 będzie funkcją określoną na przedziale (−∞, +∞) i całkowalną na każdym skończonym przedziale. Całka niewłaściwa funkcji 𝑓 na przedziale (−∞, +∞) jest równa +∞

𝑐

+∞

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

−∞

−∞

𝑐

gdzie 𝑐 ∈ ℝ. Mówimy, że całka niewłaściwa funkcji 𝑓 na przedziale (−∞, +∞) jest zbieżna, gdy obie całki niewłaściwe po prawej stronie są zbieżne. Twierdzenie. Jeżeli funkcja 𝑓 jest ciągła i nieujemna na przedziale [𝑎, +∞) oraz całka +∞

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

jest zbieżna, to pole figury 𝐷 = {(𝑥, 𝑦 ) ∈ ℝ2 : 𝑎 ≤ 𝑥 < +∞,

jest równe tej całce, czyli

0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}

+∞

|𝐷| = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

Twierdzenie. Jeżeli funkcja 𝑓 jest ciągła i niedodatnia na przedziale [𝑎, +∞) oraz całka +∞

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

jest zbieżna, to pole figury 𝐷 = {(𝑥, 𝑦 ) ∈ ℝ2 : 𝑎 ≤ 𝑥 < +∞,

𝑓(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 0}

jest równe tej całce wziętej ze znakiem minus, czyli Łódź 2015

2

Notatki do wykładu Matematyka 2 (studia stacjonarne) Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny

wersja 1.0 Marek Małolepszy

+∞

|𝐷| = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

Analogiczne twierdzenia zachodzą także dla całek niewłaściwych 𝑏

oraz

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

−∞

+∞

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

−∞

Przykład. Obliczymy pole figury ograniczonej liniami 𝑦= Obliczamy całkę +∞

0

1

1 + 𝑥2

,

𝑦=0 𝛽

0

+∞

1 1 1 1 1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + lim ∫ 𝑑𝑥 = lim ∫ ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 2 2 2 2 𝛽→+∞ 𝛼→−∞ 1 + 𝑥2 1+𝑥 1+𝑥 1+𝑥 1+𝑥

−∞

0

𝛼

0

−∞

= lim [arctg𝑥]𝛼0 + lim [arctg𝑥]0𝛽 = lim (arctg0 − arctgα) + lim (arctg𝛽 − arctg0) 𝛼→−∞

𝛽→+∞

𝛼→−∞

𝛽→+∞

𝜋 𝜋 = lim (−arctgα) + lim (arctg𝛽) = − (− ) + = 𝜋 𝛼→−∞ 𝛽→+∞ 2 2

Pole rozważanej figury jest równe 𝜋 [𝑗 2 ].

Całka niewłaściwa funkcji nieograniczonej Niech 𝑓 będzie funkcją nieograniczoną na przedziale [𝑎, 𝑏) i całkowalną na każdym przedziale [𝑎, 𝛽 ], gdzie 𝑎 < 𝛽 < 𝑏. Granicę 𝛽

lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝛽→𝑏 −

𝑎

nazywamy całką niewłaściwą funkcji 𝑓 na przedziale [𝑎, 𝑏) i oznaczamy (dokładnie tak jak całkę oznaczoną) 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

Jeżeli granica

𝛽

lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝛽→𝑏 −

𝑎

jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna, w przeciwnym przypadku (gdy granica nie istnieje albo jest równa +∞ lub −∞) mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna. Przykład. 1

𝛽

1 1 𝛽 1 1 1 ) = +∞ 𝑑𝑥 = lim 𝑑𝑥 = lim ∫ (− ∫ | ) = lim− (− + 𝛽→1− 𝛽→1 𝛽→1− 0 − 1 𝑥−1 0 (𝑥 − 1)2 (𝑥 − 1)2 𝛽−1

0

0

Łódź 2015

3

Notatki do wykładu Matematyka 2 (studia stacjonarne) Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny

wersja 1.0 Marek Małolepszy

Niech 𝑓 będzie funkcją nieograniczoną na przedziale (𝑎, 𝑏] i całkowalną na każdym przedziale [𝛼, 𝑏 ], gdzie 𝑎 < 𝛼 < 𝑏. Granicę 𝑏

lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝛼→𝑎+

𝛼

nazywamy całką niewłaściwą funkcji 𝑓 na przedziale (𝑎, 𝑏] i oznaczamy (dokładnie tak jak całkę oznaczoną) 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

Niech 𝑓 będzie funkcją nieograniczoną w sąsiedztwach 𝑆 + (𝑎) i 𝑆 −(𝑏) oraz całkowalną na każdym przedziale [𝛼, 𝛽 ], gdzie 𝑎 < 𝛼 < 𝛽 < 𝑏, to całkę niewłaściwą 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

funkcji 𝑓 na przedziale [𝑎, 𝑏 ] określamy równością 𝑏

𝑐

𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

gdzie 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏 ).

𝑐

𝑎

Niech 𝑓 będzie funkcją nieograniczoną w sąsiedztwie 𝑆 + (𝑎) oraz całkowalną na każdym przedziale [𝛼, 𝛽 ], gdzie 𝑎 < 𝛼 < 𝛽, to całkę +∞

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

określamy następująco +∞

𝑐

+∞

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

gdzie 𝑐 ∈ (𝑎, +∞).

𝑎

𝑐

W analogiczny sposób jak poprzednio określamy pojęcia całki zbieżnej i całki rozbieżnej.

Zastosowanie całki niewłaściwej w geometrii i fizyce Twierdzenia dotyczące zastosowania geometrycznego całki oznaczonej pozostają prawdziwe w przypadku całek niewłaściwych o ile są one zbieżne. Przykład. Obliczymy pole figury ograniczonej liniami 𝑦=

𝑥2

1 1 dla 𝑥 > 2, 𝑦 = − 2 +4 𝑥

Łódź 2015

dla 𝑥 > 2, 𝑥 = 2

4

Notatki do wykładu Matematyka 2 (studia stacjonarne) Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny

wersja 1.0 Marek Małolepszy

Mamy +∞

∫ ( 2

𝑥2

𝛽

+∞

1

1 1 1 1 1 − (− 𝑥 2 )) + 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = lim ∫ ( 2 + 𝑥 2 )𝑑𝑥 2 𝛽→+∞ 𝑑𝑥 = ∫ ( +4 𝑥 +4 𝑥 +4 2 2

1 1 𝑥 1 𝛽 𝛽 1 1 2 1 = lim [ arctg − ] = lim (( arctg − ) − ( arctg − )) 𝛽→+∞ 2 2 𝑥 2 𝛽→+∞ 2 2 𝛽 2 2 2 1 𝛽 1 𝜋 1 𝜋 𝜋 1 𝜋 1 = lim ( arctg − − + ) = − + = + 𝛽→+∞ 2 2 𝛽 8 2 4 8 2 8 2

Zatem pole rozważanej figury jest równe

𝜋

8

1

+ 2 [𝑗 2 ].

Przykład. Obliczymy objętość bryły powstałej w wyniku obrotu dokoła osi 𝑂𝑥 figury ograniczonej liniami 𝑦 = 𝑒𝑥

dla 𝑥 < 0, 𝑦 = 0 𝑥 = 0

Mamy 𝜋

0

∫(𝑒 𝑥 )2

−∞

𝑑𝑥 = lim

𝛼→−∞

0

𝜋 ∫(𝑒 𝑥 )2 𝛼

0

0 1 𝑑𝑥 = lim 𝜋 ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝜋 [ 𝑒 2𝑥 ] 𝛼→−∞ 𝛼→−∞ 2 𝛼 𝛼

1 1 𝜋 1 = lim 𝜋 ( 𝑒 0 − 𝑒 2𝛼 ) = 𝜋 ( − 0) = 2 2 2 𝛼→−∞ 2 𝜋

Zatem objętość rozważanej bryły jest równa 2 [𝑗 3 ].

Przykład. W obwodzie, przedstawionym na poniższym rysunku, kondensator o pojemności 𝐶 został naładowany do napięcia 𝑈. Oblicz energię straconą na oporze 𝑅 przy rozładowywaniu kondensatora po zamknięciu obwodu, jeżeli wiadomo, że chwilowy prąd wyładowania kondensatora określa wzór 𝑈 𝑡 𝑖(𝑡) = 𝑒 −𝜏 𝑅

gdzie t jest czasem mierzonym od chwili zamknięcia obwodu, zaś 𝜏 = 𝑅𝐶 jest stałą czasu. -

+ 𝐶

𝑖

𝑅

Z prawa Ohma napięcie chwilowe na oporze jest równe 𝑢(𝑡) = 𝑖 (𝑡)𝑅 = 𝑈𝑒 −𝜏

Łódź 2015

𝑡

5

Notatki do wykładu Matematyka 2 (studia stacjonarne) Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny

wersja 1.0 Marek Małolepszy

Teoretycznie, rozładowanie kondensatora przez opór trwa nieskończenie długo, stąd energia stracona na oporze 𝑅 jest całką niewłaściwą +∞

𝐸 = ∫ 𝑢(𝑡)𝑖(𝑡) 0

𝑈2

𝑑𝑡 = 𝑅

+∞

∫

0

2𝑡 𝑒− 𝜏

𝑈2

𝑑𝑡 = 𝑅

𝛽

𝜏 2𝛽 𝜏 2∙0 𝑈2 lim (− 𝑒 − 𝜏 + 𝑒 − 𝜏 ) 𝑑𝑡 = 𝑅 𝛽→+∞ 2 2

2𝑡 𝜏

lim ∫ 𝑒 −

𝛽→+∞

0

𝑈2 𝑅𝐶 𝑈 2 𝐶 = = 𝑅 2 2

Zastosowanie całki oznaczonej w mechanice

Niech 𝑓 będzie funkcją ciągłą i nieujemną na przedziale [𝑎, 𝑏]. Przyjmijmy

𝐷 = {(𝑥, 𝑦 ) ∈ ℝ2 : 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ∧ 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}

Załóżmy, że masa jest rozłożona na tej figurze równomiernie, tak że gęstość powierzchniowa 𝜌 (tj. masa przypadająca na jednostkę pola) jest stała. Masa 𝑚 figury 𝐷 jest równa

𝑏

𝑚 = 𝜌 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

Moment statyczny 𝑀𝑥 figury 𝐷 względem osi 𝑂𝑥 wyraża się wzorem 𝑏

1 𝑀𝑥 = 𝜌 ∫ (𝑓(𝑥))2 𝑑𝑥 2 𝑎

Moment statyczny 𝑀𝑦 figury 𝐷 względem osi 𝑂𝑦 wyraża się wzorem 𝑏

𝑀𝑦 = 𝜌 ∫ 𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 Współrzędne środka ciężkości figury 𝐷 są równe 𝑥𝑠 =

𝑀𝑦 , 𝑚

𝑎

𝑦𝑠 =

𝑀𝑥 𝑚

Zatem do wyznaczenia środka ciężkości figury 𝐷, na której masa rozłożona jest równomiernie, nie jest potrzebna znajomość gęstości powierzchniowej, gdyż mamy 𝑥𝑠 =

𝑏

∫𝑎 𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑏

∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

,

1 𝑏 ∫ (𝑓(𝑥))2𝑑𝑥 𝑦𝑠 = 2 𝑎 𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

Przykład. Obliczymy masę, momenty statyczne oraz podamy środek ciężkości figury 𝐷 = {(𝑥, 𝑦 ) ∈ ℝ 2 : 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 ∧ 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑒 2𝑥+1 }

której gęstość powierzchniowa jest równa 𝜌(𝑥, 𝑦) = 2.

Łódź 2015

6

Notatki do wykładu Matematyka 2 (studia stacjonarne) Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny Masa figury 𝐷 jest równa

Marek Małolepszy 2

𝑏

𝑚 = 𝜌 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑒 2𝑥+1 𝑎

wersja 1.0

0

2

2𝑥+1 ] = 𝑒5 − 𝑒 1𝑒 2 0 𝑑𝑥 = 2 [

Moment statyczny 𝑀𝑥 figury 𝐷 względem osi 𝑂𝑥 jest równy 2

2

𝑏

1 4𝑥+2 2 1 10 1 1 2𝑥+1 2 2 4𝑥+2 ( ) ) 𝑑𝑥 = [ 𝑒 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 ] = (𝑒 − 𝑒 2 ) 𝑀𝑥 = 𝜌 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∙ 2 ∫(𝑒 4 2 2 4 0 𝑎

0

0

Moment statyczny 𝑀𝑦 figury 𝐷 względem osi 𝑂𝑦 jest równy 2

𝑏

2 1 1 𝑀𝑦 = 𝜌 ∫ 𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥𝑒 2𝑥+1 𝑑𝑥 = 2 [ (2𝑥 − 1)𝑒 2𝑥+1 ] = (3𝑒 5 + 𝑒) 4 2 0 𝑎

0

Współrzędne środka ciężkości figury 𝐷 są równe

1 𝑀𝑦 2 (3𝑒 5 + 𝑒) 3𝑒 4 + 1 = 𝑥𝑠 = = , 𝑒5 − 𝑒 𝑚 2(𝑒 4 − 1)

1 𝑒9 − 𝑒 𝑀𝑥 4 (𝑒 10 − 𝑒 2 ) = = 𝑦𝑠 = 𝑒5 − 𝑒 𝑚 4(𝑒 4 − 1)

Łódź 2015

7...