Całki nieoznaczone PDF

Preview

Summary

Download Całki nieoznaczone PDF

Description

Matematyka -Całki nieoznaczone Niech y=f(x), będzie funkcją określoną w pewnym przedziale domkniętym X. Funkcję y=F(x) F ' ( x )  f (x ) nazywamy funkcją pierwotną funkcji y=f(x) jeżeli dla każdego x  X Np. 1 F ( x)  x 2 jest funkcją pierwotną funkcji 2 1 F ( x)  x 2  7 jest funkcją pierwotną funkcji 2 1 F ( x)  x 2  5 jest funkcją pierwotną funkcji 2 1 F ( x)  x 2  C jest funkcją pierwotną funkcji 2 F ( x ) sin x jest funkcją pierwotną funkcji F ( x) sin x  17 jest funkcją pierwotną funkcji F ( x ) sin x  C jest funkcją pierwotną funkcji

y  x  f (x ) y  x  f (x ) y  x  f (x ) y  x  f (x ) y cos x  f ( x) y cos x  f ( x) y cos x  f ( x)

Poszukiwanie funkcji pierwotnej dla danej funkcji jest operacją odwrotną do operacji poszukiwania pochodnej i nazywa się całkowaniem. Funkcję pierwotną nazywa się również całką w sensie Newtona, poniższe przykłady pokazują, że f(x) ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych y=F(x) a to oznacza, ze operacja całkowania nie jest operacją jednoznaczną Twierdzenie: Jeżeli y=F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) to funkcja  ( x)  F ( x )  C jest również funkcją pierwotną. Definicja całki nieoznaczonej Całką nieoznaczoną nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji y=f(x) i oznaczamy f ( x) dx tzn.

f ( x) dx  F( x)  C 1

xdx  2 x

2

C

cos xdx sin x  C y x 2 y  2x pochodna

dy  2 xdx różóżnicz dy  f ' ( x )dx

Podstawowe wzory rachunku całkowego 1

dx  x  C x n 1 C n1 cos xdx sin x C n x dx 

sin xdx  1

cos

2

x

cos x  C

dx tgx  C

sin

2

x

dx   ctgx  C

ax C ln a x x e dx e C 1  1  x 2 dx arcsin x  C 1 1  x 2 dx  arctgx  C x a dx 

1

x dx  ln x  C Przykłady: x8 7  C x dx  8 3

  3

x2 2 3 x dx  x C C  3 3 2 5 2  7 7 x x dx x 7 dx  x 7  C  7 x 2  C 2 2 sin x dx x



Ponoć za rozwiązanie tej całki jest doktorat: Twierdzenie:

Jeżeli funkcje y=f(x) i y=g(x) są całkowalne w sensie Newtona w pewnym przedziale X to funkcje f( x) g( x) i  f ( x)   const są również całkowalne

[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x) dx

 f ( x) dx  f ( x) dx

sin x 1  cos x 1 dx   2 dx  dx tgx  x  C xdx   2 dx   cos x cos 2 x cos x x 2 1 1 x2 1  dx x 2  1  x 2  1 dx dx  x 2 1 dx  x  arctgx  C

tg

2

2

2

Metody całkowania Całkowanie przez części Jeżeli funkcje u(x) i v(x) maja w pewnym przedziale pochodne u’(x) i v’(x) to prawdziwy jest wzór

u (x )v ' (x )dx u (x )v (x )  v (x )u ' (x )dx u ( x )dv u ( x )v (x )  v( x )du Typy całek całkowalnych przez części

udv uv  vdu

ln x dx

I.

u

log

dv

II. n x ln x dx

x

x

x

u

n

u

III.

sin xdx dv

e

x

u

sin xdx dv

x dx

a

dv

u

n

arcsin xdx

log a x dx u

n

u

x

n

arctgxdx

arcctgxdx

( funkcje cyklometry czne )dx u

x

3

u

a x dx dv

x

n

u

e x dx dv

cos xdx dv

e

x

u

cos xdx dv

r

2

 x 2 dx

u

dv

x

2 u

 k dx dv

Przykłady: u ln x dv dx du 1 dx v  x  x ln x  dx  x ln x  x  C x u  ln(1  x 2 ) dv  dx 2x 2    x ln(1  x 2 )  x x dx dx  ln( 1 ) 1  du  2 v x 2 xdx 1 x 2 x 1 1 2 x ln(1  x )  2dx  2 dx x ln(1  x 2 )  2 x  2arctgx  C 2 1 x x u sin xdx  dv x sin xdx   cos x  v dx du  x cos x  cos xdx   x cos x  sin x  C

ln xdx

x

2

sin xdx 

u x u  x2 sin xdx dv   x 2 cos x  2 x cos xdx  du dv du 2 xdx v cos x

sin xdx )  x

  x 2 cosx  2(x sin x  x e sin xdx 

u  ex du  e x dx

  ex cos x  e x sin x 

e

x

sin xdx 

e

2

cos x  2x sin x  2 cos x  C

dv  sin xdx  e x cos x  v  cos x x

cos xdx dv  sin x v

x e cos xdx 

u e x du e x dx

dv cos xdx  v sin x

sin xdx

e x (sin x  cos x) C 2

Metoda podstawiania – polega na doprowadzeniu danej całki do całki znanej postaci (np. wzory elementarne, całkowanie przez części) lub do postaci, co do której znany jest sposób dalszego obliczania. W metodzie podstawiania wyróżnia się 2 przypadki:

I. Funkcję podcałkową y=f(x) przedstawia się w postaci złożonej y=h[g(x)] a następnie dokonuje się podstawienia t=g(x), które to podstawienie również się różniczkuje dt=g’(x)dx II. W funkcji podcałkowej y=f(x) za zmienną x podstawia się funkcję x (t ) zmiennej t i to podstawienie się różniczkuje dx   ' (t )dt

g ' ( x)

g ( x) dx dt

Ad.I. f ' ( x)

 f ( x) dx ln

t  g ( x) dt  ln t ln g( x)  C g x dx t ' ( ) 

f ( x)  C

sin x

tgxdx cos x dx  ln cos x  C

x

2

x 1 dx  ln x 2  7  C 7 2

e x 1 x e x  x dx  ln e  x  C

Ad.II.

r

 x r sin t  r cos tdt r cos tdt cos t    dt dt t C    2 2 2 2 2 2  dx r tdt cos cos t   x  r  r sin t r (1  sin t ) dx

  x  r sin t  x arcsin  C   r t  arcsin x   r



dx r  x 2

2

arcsin

x C r

 x  at    1 1 1   x adt dt dx   2  arctgt  C  arctg  C   2 2 2 a 2  x 2  dx  adt a a a t a 1 t a a x t     a  

a

2

x dx 1  arctg  C 2 a a x



dx x2  k



jest to szczególny przypadek całki

podstawienie Eulera:

dx ax2  bx  c

, którą oblicza się stosując

ax2  bx  c  t  x a

  2t 2t  2 (t 2  k ) 2 x k t x dx dt       2 4t   4t 2  2t 2  2k  x2  k t 2  2tx  x2  dx  dt 2 dx   t 4  2  x 2  k  t k  2   dx  2 dt 2tx t  k   2t 2 2 2 2   t2  k t k t t k t k 2       x x 2  k t    2t 2t 2t 2t   t2 k 2 dt t 2  k 2t dt t 2  2  2 2 dt  ln t  C ln x  x 2  k  C t k t 2t t  k 2t



dx x k 2

ln x

cos x

 7  sin x dx 2



r 2  x2 dx 

x2  k  C

2

f ' ( x)

7  sin x  C



3x

r 2  x2 2 2 r x

dx  

f ( x)

x 7

r2 2 2 r  x

2

dx 

dx 

3 2 x dx   dx  3 x 2  7  C 2 2 x 7



x2 2 2 r  x

  dv    ux   x2 x     dx x dx du dx v    2   2 2 2 u r x 2    r  x        dv  v      x r 2 arcsin  x r 2  x2   r 2  x2 dx r r 2 arcsin

r 

2

 x 2 dx 

x  x r 2  x2 r C 2

k 1 x 2  k dx  x x 2  k  ln x  x 2  k  C 2 2

Całki z funkcji zawierających trójmian kwadratowy Ogólne całki postaci



ax 2  bx  c dx



dx ax  bx  c 2

ax

2

f (x )  C

dx  bx  c

dx r 2 

dx 2 2 r  x





x2 2 2 r  x

dx 

  dx   r 2  x2    2x   dx   x r 2  x 2   r 2  x 2 dx  2 2 r  x   2 2    r x     x

Całki tego typu oblicza się sprowadzając trójmian do postaci kanonicznej ax2  bx  c a( x 

b 2  )  2a 4a

 x 1 t dx dx dt 1 2 3  2         x x x ) 1 (         2 x 2  x  1   3 3  dx  dt  1 4 2 2  t (x  )2    4 4 2 1 2 2 2 2 1 t t x   C  arctg  C  arctg C arctg 3 3 3 3 3 3 2 2

 



dx 2x  3x  1 2

1

 2



dx 2(x 2 

3 1 x ) 2 2



 2

3  1   x  M    4 2 1 3    dx  dM  ( x  )2  16 4 dx

3 2 ln x   4 2

x2 

3 1 x C 4 2

dx

1

x2 



3 1 x 2 2

dM M2 

1 16

x 2 



1 2

1 3 3 1  x    (x  ) 2   16 4 2 2 

ln M  M 2 

1 C  16...