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www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net Cálculo Quinta edición Frank Ayres Jr. Ex profesor y director del departamento de matemáticas del Dickinson College Elliot Mendelson Profesor de matemáticas del Queens College Traducción Yelka María García Profesional en Lenguas Modernas Especialización ...

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Cálculo Quinta edición

Frank Ayres Jr. Ex profesor y director del departamento de matemáticas del Dickinson College

Elliot Mendelson Profesor de matemáticas del Queens College

Traducción Yelka María García Profesional en Lenguas Modernas Especialización en traducción Universidad de los Andes

Revisión técnica Verónica Córdoba Morales Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM)

MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK SAN JUAN • SANTIAGO • SÃO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO

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Publisher de división escolar: Jorge Rodríguez Hernández Director editorial y de ventas de la división bachillerato: Ricardo Martín del Campo Mora Editor sponsor: Sergio G. López Hernández Supervisora de producción: Marxa de la Rosa Pliego Ilustraciones: Edwin Guzmán Iconografía: Liliana Vázquez Formación tipográfica: Overprint, S.A. de C.V.

Cálculo Quinta edición

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS © 2010, 2000, 1970 respecto a la tercera edición en español por: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Punta Santa Fe, Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A, Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Álvaro Obregón C.P. 01376, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 ISBN: 978-607-15-0357-2 (ISBN: Edición anterior: 978-958-41-0131-0) Traducido de la quinta edición en inglés de Schaum’s Outlines of Calculus. Copyright © 2009 by the McGraw-Hill Companies Inc. All rights reserved. ISBN 007-150861-9

1234567890 Impreso en México

109876543210 Printed in Mexico

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Prefacio El propósito de este libro es ayudar a los estudiantes a comprender y utilizar el cálculo. Todo se ha hecho con el fin de facilitar la comprensión del mismo, especialmente a los estudiantes con antecedentes limitados en matemáticas o para aquellos que han olvidado su entrenamiento en matemáticas. Los temas incluyen todos los materiales de los cursos estándar en cálculo elemental e intermedio. La exposición directa y concisa típicas de las Series de Schaum se han ampliado en un gran número de ejemplos, seguidos por muchos problemas resueltos cuidadosamente. Al seleccionar estos problemas se ha intentado anticipar las dificultades que normalmente afronta el principiante. Además, cada capítulo concluye con un grupo de ejercicios complementarios con sus soluciones. En esta quinta edición se han incrementado el número de los problemas resueltos y de los complementarios. Además, se ha hecho un gran esfuerzo por tratar puntos delicados del álgebra y de la trigonometría que pueden confundir al estudiante. El autor considera que una gran parte de los errores que los estudiantes cometen en el curso de cálculo no se deben a una deficiencia en la comprensión de los principios del cálculo sino a su debilidad en el álgebra o en la geometría que estudiaron en bachillerato. Se recomienda a los estudiantes a que no pasen al siguiente capítulo sino hasta estar seguros de dominar los temas del capítulo que están estudiando. Una buena prueba para determinar ese dominio es resolver adecuadamente los problemas complementarios. El autor agradece a todas las personas que le han escrito para enviarle correcciones y sugerencias, en particular a Danielle Cing-Mars, Lawrence Collins, L. D. De Jonge, Konrad Duch, Stephanie, Happs Lindsey Oh y Stephen T. B. Soffer. También se agradece al editor, Charles Wall, por su apoyo y paciencia en la elaboración de esta edición. Elliot Mendelson

iii

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Índice de contenido 1 Sistemas de coordenadas lineales. Valor absoluto. Desigualdades

01

Un sistema de coordenadas lineales / Intervalos finitos / Intervalos infinitos / Desigualdades Problemas resueltos Problemas complementarios

2 Sistema de coordenadas rectangulares

09

Ejes de coordenadas / Coordenadas / Cuadrantes / Fórmula de la distancia / Fórmulas del punto medio / Demostraciones o pruebas de los teoremas geométricos Problemas resueltos Problemas complementarios

3 Rectas

18

Inclinación de una recta / El signo de la pendiente / Pendiente e inclinación / Ecuaciones de rectas / La ecuación punto-pendiente / Ecuación punto-intersección / Rectas paralelas / Rectas perpendiculares Problemas resueltos Problemas complementarios

4 Círculos

29

Ecuaciones de los círculos / Ecuación estándar de un círculo Problemas resueltos Problemas complementarios

5 Ecuaciones y sus gráficas

37

La gráfica de una ecuación / Parábolas / Elipses / Hipérbolas / Secciones cónicas Problemas resueltos Problemas complementarios

6 Funciones

49

Problemas resueltos Problemas complementarios

v

www.elsolucionario.net Contenido

vi 7 Límites

56

Límite de una función / Límites por la derecha y por la izquierda / Teoremas sobre límites / Infinito Problemas resueltos Problemas complementarios

8 Continuidad

65

Función continua Problemas resueltos Problemas complementarios

9 La derivada

72

Notación delta / La derivada / Notación para derivadas / Diferenciabilidad Problemas resueltos Problemas complementarios

10 Reglas para derivar funciones

78

Derivación / Funciones compuestas. La regla de la cadena / Formulación alternativa de la regla de la cadena / Funciones inversas / Derivadas superiores Problemas resueltos Problemas complementarios

11 Derivación implícita

89

Funciones implícitas / Derivadas de orden superior Problemas resueltos Problemas complementarios

12 Rectas tangentes y normales

92

Ángulos de intersección Problemas resueltos Problemas complementarios

13 Teorema del valor medio. Funciones crecientes y decrecientes

97

Máximo y mínimo relativos / Funciones crecientes y decrecientes Problemas resueltos Problemas complementarios

14 Valores máximos y mínimos Números críticos / Criterio de la segunda derivada para extremos relativos / Criterio de la primera derivada / Máximo y mínimo absolutos / Método tabular para hallar el máximo y el mínimo absolutos Problemas resueltos Problemas complementarios

104

www.elsolucionario.net Contenido

vii

15 Trazo de curvas. Concavidad. Simetría

118

Concavidad / Puntos de inflexión / Asíntotas verticales / Asíntotas horizontales / Simetría / Funciones inversa y simetría / Funciones pares e impares / Sugerencias para trazar el gráfico de y = f(x) Problemas resueltos Problemas complementarios

16 Repaso de trigonometría

129

Medida del ángulo / Ángulos dirigidos / Funciones seno y coseno Problemas resueltos Problemas complementarios

17 Derivación de funciones trigonométricas

138

Continuidad de cos x y sen x / Gráfica de sen x / Gráfica de cos x / Otras funciones trigonométricas / Derivadas / Otras relaciones / Gráfica de y = tan x / Gráfica de y = sec x / Ángulos entre curvas Problemas resueltos Problemas complementarios

18 Funciones trigonométricas inversas

151

La derivada de sen x / Función coseno inversa / Función tangente inversa Problemas resueltos Problemas complementarios –1

19 Movimientos rectilíneo y circular

160

Movimiento rectilíneo / Movimiento bajo la influencia de la gravedad / Movimiento circular Problemas resueltos Problemas complementarios

20 Razones

166

Problemas resueltos Problemas complementarios

21 Diferenciales. Método de Newton

172

La diferencial / Método de Newton Problemas resueltos Problemas complementarios

22 Antiderivadas Leyes de las antiderivadas Problemas resueltos Problemas complementarios

179

www.elsolucionario.net Contenido

viii 23 La integral definida. Área bajo una curva

187

Notación sigma / Área bajo una curva / Propiedades de la integral definida Problemas resueltos Problemas complementarios

24 Teorema fundamental del cálculo

195

Teorema del valor medio para integrales / Valor promedio de una función en un intervalo cerrado / Teorema fundamental del cálculo / Cambio de variable en una integral definida Problemas resueltos Problemas complementarios

25 El logaritmo natural

202

El logaritmo natural / Propiedades del logaritmo natural Problemas resueltos Problemas complementarios

26 Funciones exponenciales y logarítmicas

210

x

Propiedades de e / Función exponencial general / Funciones logarítmicas generales Problemas resueltos Problemas complementarios

27 Regla de L’Hôpital

218

Regla de L’hôpital / Tipo indeterminado 0 · e / Tipo indeterminado e
e
/ Tipos indeterminados 00, e0 y 1e Problemas resueltos Problemas complementarios

28 Crecimiento y decrecimiento exponencial

226

Vida media Problemas resueltos Problemas complementarios

29 Aplicaciones de integración I: Área y longitud de arco

231

Área entre una curva y el eje y / Área entre curvas / Longitud de arco Problemas resueltos Problemas complementarios

30 Aplicaciones de integración II: volumen Fórmula del disco / Método de washer / Método de capas cilíndricas / Diferencia de la fórmula de capas / Fórmula de la sección transversal (fórmula de las rebanadas) Problemas resueltos Problemas complementarios

240

www.elsolucionario.net Contenido

31 Técnicas de integración I: integración por partes

ix 255

Problemas resueltos Problemas complementarios

32 Técnicas de integración II: integrandos trigonométricos y sustituciones trigonométricas

262

Integrandos trigonométricos / Sustituciones trigonométricas Problemas resueltos Problemas complementarios

33 Técnicas de integración III: integración por fracciones parciales

275

Método de fracciones parciales Problemas resueltos Problemas complementarios

34 Técnicas de integración IV: sustituciones misceláneas

284

Problemas resueltos Problemas complementarios

35 Integrales impropias

289

Límites de integración infinitos / Discontinuidades del integrando Problemas resueltos Problemas complementarios

36 Aplicaciones de la integración III: área de una superficie de revolución

297

Problemas resueltos Problemas complementarios

37 Representación paramétrica de curvas

303

Ecuaciones paramétricas / Longitud de arco para una curva paramétrica Problemas resueltos Problemas complementarios

38 Curvatura

308

Derivada de la longitud de un arco / Curvatura / El radio de curvatura / El círculo de curvatura / El centro de curvatura / La evoluta Problemas resueltos Problemas complementarios

39 Vectores en un plano Escalares y vectores / Suma y diferencia de dos vectores / Componentes de un vector / Producto escalar (o producto punto) / Proyecciones escalar y vectorial / Derivación de funciones vectoriales Problemas resueltos Problemas complementarios

317

www.elsolucionario.net Contenido

x 40 Movimiento curvilíneo

328

Velocidad en el movimiento curvilíneo / Aceleración en el movimiento curvilíneo / Componentes tangencial y normal de la aceleración Problemas resueltos Problemas complementarios

41 Coordenadas polares

335

Coordenadas polares y rectangulares / Algunas curvas polares típicas / Ángulo de inclinación / Puntos de intersección / Ángulo de intersección / La derivada de la longitud de arco / Curvatura Problemas resueltos Problemas complementarios

42 Sucesiones infinitas

348

Sucesiones infinitas / Límite de una sucesión / Sucesiones monótonas Problemas resueltos Problemas complementarios

43 Series infinitas

356

Series geométricas Problemas resueltos Problemas complementarios

44 Series con términos positivos. Criterio de la integral. Criterios de comparación

362

Series con términos positivos Problemas resueltos Problemas complementarios

45 Series alternadas. Convergencia absoluta y condicional. Criterio del razón

371

Series alternadas Problemas resueltos Problemas complementarios

46 Serie de potencias

379

Serie de potencias / Convergencia uniforme Problemas resueltos Problemas complementarios

47 Series de Taylor y de Maclaurin. Fórmula de Taylor con residuo Series de Taylor y de Maclaurin / Aplicaciones de la fórmula de Taylor con residuo Problemas resueltos Problemas complementarios

392

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48 Derivadas parciales

xi 401

Funciones de varias variables / Límites / Continuidad / Derivadas parciales / Derivadas parciales de orden superior Problemas resueltos Problemas complementarios

49 Diferencial total. Diferenciabilidad / Reglas de la cadena

410

Diferencial total / Diferenciabilidad / Reglas de la cadena / Derivación implícita Problemas resueltos Problemas complementarios

50 Vectores en el espacio

422

Cosenos directores de un vector / Determinantes / Vector perpendicular a dos vectores / Producto vectorial de dos vectores / Triple producto escalar / Triple producto vectorial / Línea recta / El plano Problemas resueltos Problemas complementarios

51 Superficies y curvas en el espacio

437

Planos / Esferas / Superficies cilíndricas / Elipsoide / Paraboloide elíptico / Cono elíptico / Paraboloide hiperbólico / Hiperboloide de una hoja / Hiperboloide de dos hojas / Recta tangente y plano normal a una curva en el espacio / Plano tangente y recta normal a una superficie / Superficie de revolución Problemas resueltos Problemas complementarios

52 Derivadas direccionales. Valores máximos y mínimos

448

Derivadas direccionales / Valores máximos y mínimos relativos / Valores máximos y mínimos absolutos Problemas resueltos Problemas complementarios

53 Derivación e integración de vectores

456

Derivación vectorial / Curvas en el espacio / Superficies / El operador ‘ / Divergencia y rotacional / Integración / Integrales de línea (curvilíneas) Problemas resueltos Problemas complementarios

54 Integrales dobles e iteradas La integral doble / La integral iterada Problemas resueltos Problemas complementarios

470

www.elsolucionario.net Contenido

xii 55 Centroides y momentos de inercia de áreas planas

477

Área plana por integración doble / Centroides / Momentos de inercia Problemas resueltos Problemas complementarios

56 Integración doble aplicada al volumen bajo una superficie y al área de una superficie curva

485

Problemas resueltos Problemas complementarios

57 Integrales triple

494

Coordenadas cilíndricas y esféricas / La integral triple / Cálculo de integrales triples / Centroides y momentos de inercia Problemas resueltos Problemas complementarios

58 Masas de densidad variable

506

Problemas resueltos Problemas complementarios

59 Ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden

512

Ecuaciones diferenciales separables / Funciones homogéneas / Factores de integración / Ecuaciones de segundo orden Problemas resueltos Problemas complementarios

Apéndices

523

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1

Sistemas de coordenadas lineales. Valor absoluto. Desigualdades Un sistema de coordenadas lineales Un sistema de coordenadas lineales es una representación gráfica de los números reales (R) como puntos en una línea recta. A cada número le corresponde uno y sólo un punto, y a cada punto le corresponde uno y sólo un número. Para establecer un sistema de coordenadas lineales en una recta es necesario: 1. seleccionar cualquier punto de la recta como el origen y asignar a ese punto el número 0; 2. determinar una dirección positiva en la recta e indicarla mediante una flecha; 3. tomar una distancia fija como unidad de medida. Si x es un número positivo, el punto correspondiente a x se obtiene avanzando una distancia de x unidades a partir del origen en dirección positiva. Si x es negativo, el punto correspondiente a x se halla desplazándose una distancia de –x unidades desde el origen en dirección negativa (fig. 1.1.) Por ejemplo, si x = –2, entonces –x = 2 y el punto correspondiente queda a 2 unidades del origen en dirección negativa. −4

−3 −5/2

−2 −3/2

−1

0

1/2

1

√2

2

3




4

Fig. 1.1.

El número asignado a un punto por un sistema de coordenadas se denomina coordenada de ese punto. En adelante, se hablará como si no hubiera distinción entre un punto y su coordenada. Así, al mencionar, por ejemplo, el “punto 3” se entenderá el “punto con coordenada 3”. El valor absoluto |x| de un número x se define como sigue:

 x si x es cero o un número positivo x  
x si x es un número negativo 

Por ejemplo, |4| = 4, |–3| = –(–3) = 3 y |0|= 0. Observe que si x es un número negativo, entonces –x es positivo. Así, |x| s 0 para todo x. Las propiedades siguientes se cumplen para cualesquiera números x y y. (1.1)

(1.2) (1.3)

(1.4) (1.5)

|–x| = |x| Cuando x = 0, |–x| = |–0| = |0| = |x|. Cuando x > 0, –x < 0 y |x| = –(–x) = x = |x|. Cuando x < 0, –x > 0 y |x| = –x = |x|. |x – y| = |y

x| Esto se sigue de (1.1), ya que y – x = –(x – y). |x| = c implica que x = ±c. Por ejemplo, si |x| = 2, entonces x = ± 2. Para la demostración se supone que |x| = c. Si x s 0, x = |x| = c. Si x < 0, – x = |x| = c; entonces x = –(–x) = –c. |x|2 = x2 Si x s 0, |x| = x y |x|2 = x2. Si x c 0, |x| = –x y |x|2 = (–x)2 = x2. |xy| = x — |y| Por (1.4), |xy|2 = (xy)2 = x2y2 = |x|2|y|2 = (|x| · |y|)2. Como los valores absolutos son no negativos, al obtener la raíz cuadrada queda |xy| = |x| · |y|.

1

www.elsolucionario.net CAPÍTULO 1 Sistemas de coordenadas lineales

2

(1.6)

si y y 0  xy  = |x| |y|
Por (1.5), |y| xy 
= y · xy  = |x|. Se divide entre |y|.

(1.7)

|x| = |y| implica que x = ±y Suponga que |x| = |y|. Si y = 0, |x| = |0| = 0 y por (1.3) se obtiene x = 0. Si y y 0, entonces por (1.6) se tiene que =1  xy 
= |x| |y|


(1.8)

(1.9)

Así, por (1.3) x/y = ±1. Por tanto, x = ±y. Sea c s 0. Entonces, |x| c c si y sólo si –c c x c c (fig. 1.2). Suponga que x  0; entonces |x| = x. Asimismo, pu...