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Geometría Vectorial...

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Geometría Vectorial y Analítica. Una Introducción al Algebra Lineal.

Abraham Asmar Charris Patricia Restrepo de Pelaez

Rosa Franco Arbelaez

Fernando Vargas Hernandez

Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia

2

Contenido I

1

1 Vectores geométricos en el plano

3

1.1

Conceptos básicos

1.2

Suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Producto de un escalar por un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4

Descomposición de un vector

23

1.5

Proyección de un vector sobre otro vector

1.6

Producto escalar

1.7

Vectores geométricos en el plano cartesiano. Descomposición canónica

1.8

Ejercicios

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Vectores coordenados o algebraicos

32 48

53

2.1

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.2

Suma y producto por escalar en

55

R2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3

Magnitud, dirección y otros conceptos en

2.4

Ejercicios

R

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

3 La línea recta en el plano

75

3.1

Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas

3.2

Ángulo de inclinación y pendiente

3.3

Ecuaciones escalares no paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

3.4

Ecuación en forma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

3.5

Rectas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

3.6

Ángulo entre rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

3.7

Distancia de un punto a una recta

92

3.8

3.9

. . . . . . . . . . . . . . . . .

75

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ecuaciones lineales, combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

Ejercicios

96

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Transformaciones lineales del plano y matrices 2 × 2 4.1

Transformaciones del plano

4.2

Transformaciones lineales y matrices

4.3

Propiedades básicas de las transformaciones lineales

4.4

Imagen de un conjunto bajo una transformación

4.5

Operaciones con transformaciones lineales y con matrices

4.6

Inversas para transformaciones lineales y matrices

4.7

Ejercicios

101

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101 107

. . . . . . . . . . . . .

110

. . . . . . . . . . . . . . .

113

. . . . . . . . . .

117

. . . . . . . . . . . . . .

128

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

3

CONTENIDO

4

5 Sistemas de ecuaciones lineales

2×2

143

5.1

Conceptos y resultados básicos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

5.3

Ejercicios

143

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156

6 Determinantes de orden 2 6.1 Definición. Par orientado de vectores

161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161

6.2

Transformaciones que preservan la orientación . . . . . . . . . . . . . . . . .

165

6.3

Determinantes y áreas de paralelogramos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167

6.4

Fórmulas de Cramer

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169

6.5

Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171

6.6

Ejercicios

172

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Valores propios y vectores propios 7.1 Definiciones. Cálculo de valores y vectores propios 7.2

Factorización

A = P DP −1

175 . . . . . . . . . . . . . .

175

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

179

7.3

Valores propios y vectores propios de matrices simétricas . . . . . . . . . . .

181

7.4

Ejercicios

191

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Secciones Cónicas

195

8.1

La circunferencia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2

Traslación de ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

200

8.3

La parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

203

8.4

La elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

216

8.5

La hipérbola

231

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ax2

+

Cy 2

+ Dx + Ey + F = 0

196

8.6

La ecuación

8.7

Rotación de ejes

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

251

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

251

8.8

Ecuación general de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

255

8.9

Ejercicios

264

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II

269

9 Vectores en el espacio

271

9.1

Vectores geométricos. Conceptos básicos y operaciones

9.2

Sistema de coordenadas cartesianas para el espacio

9.3

Descomposición canónica para vectores geométricos . . . . . . . . . . . . . .

277

9.4

Producto cruz o producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

288

9.5

Vectores coordenados o algebraicos

9.6

Ejercicios

. . . . . . . . . . . .

271

. . . . . . . . . . . . . .

274

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

296

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

310

10 Rectas y planos

319

10.1 La línea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Ángulo y posiciones relativas entre dos rectas

319

. . . . . . . . . . . . . . . . .

323

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

327

10.4 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

329

10.5 Posiciones relativas entre dos planos y entre una recta y un plano . . . . . .

334

10.6 Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

338

10.7 Ecuaciones paramétricas para un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

340

10.3 Distancia de un punto a una recta

CONTENIDO 10.8 Ejercicios

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

11 Transformaciones lineales del espacio y matrices 3 × 3 11.1 Transformaciones del espacio

353

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

11.2 Transformaciones lineales y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 11.3 Operaciones con transformaciones lineales y matrices . . . . . . . . . . . . . 368 11.4 Inversa para transformaciones lineales y matrices . . . . . . . . . . . . . . . 374 11.5 Ejercicios

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

12 Sistemas de ecuaciones lineales 3 × 3 12.1 Definiciones y algunos resultado básicos 12.2 Método de eliminación de Gauss

391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

12.3 Otros resultados básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 12.4 Método de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 12.5 Ejercicios

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

13 Determinantes de orden 3 13.1 Definición y algunos resultados básicos 13.2 Propiedades básicas

419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

13.3 Aplicaciones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 13.4 Ejercicios

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

14 Valores propios y vectores propios 14.1 Definiciones. Cálculo de los valores y vectores propios

441 . . . . . . . . . . . . 441

14.2 Matrices simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 14.3 Ejercicios

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

15 Superficies cuádricas 15.1 Definiciones . . . .

467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

15.2 Elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 15.3 Hiperboloide de una hoja

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

15.4 Hiperboloide de dos ho jas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 15.5 Cono elíptico

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

15.6 Cilindro recto elíptico

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

15.7 Cilindro recto hiperbólico

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

15.8 Cilindro recto parabólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 15.9 Paraboloide elíptico

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

15.10Paraboloide hiperbólico

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

15.11Cambio de sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 15.12Ejercicios

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

6

CONTENIDO

Prefacio A comienzos del año 2001, un grupo de profesores de la Escuela de Matemáticas propone una reforma a los distintos programas de las asignaturas de servicio para la Facultad de Minas, incluyendo por supuesto el curso de Geometría. Este curso es quizás el que más

fi

requería de una modi cación pues su programa había sido conformado con temas que no estaban articulados entre sí. El nuevo programa para el curso de Geometría fue elaborado por el profesor Diego Mejía Duque y aprobado por el Consejo de la Facultad de Ciencias según acta No. 2038 de 2 de Agosto de 2001. Se basaba dicho programa en el texto

Linear Algebra Through Geometry

ff y John Werner, editado por Springer-Verlag, el cual se proponía como

de Thomas Bancho

texto guía para el curso. Por diversas razones, el cambio en el programa de Geometría no se implementó y se continuó con el programa anterior. Es apenas para el semestre 02 de 2002 cuando se conforma un grupo de profesores para analizar el nuevo programa y estudiar el texto guía propuesto; conformaron dicho grupo las profesores Abraham Asmar Charris, Diego Mejía Duque, Patricia Restrepo de Pelaez, Margarita María Toro Villegas y Fernando Vargas Hernandez. Este grupo conceptuó que el texto en consideración no era apropiado como texto guía, pero recomendó escribir un material para el curso, manteniendo la orientación y caracteristicas del mencionado texto, incluyendo ciertos temas ausentes en él y aumentando tanto el número de ejemplos como las colecciones de ejercicios propuestos. El trabajo de escritura de tal material lo emprendieron, a partir del semestre 01 de 2003, los profesores Abraham Asmar, Patricia Restrepo, Rosa Franco y Fernando Vargas. Se trabajó con la siguiente metodología: Abraham se encargaba de escribir la primera versión de la teoría con ejemplos, para cada uno de los temas; copia de ello se pasaba a la profesora Patricia, quien revisaba y hacía observaciones y sugerencias. Con base en esta revisión se

fi

de nía la versión

final, la cual era escrita por Abraham. Esa versión final se pasaba a Rosa

y Fernando, quienes se encargaban de elaborar la correspondiente colección de ejercicios, con sus respuestas. El material se completó, en manuscrito, al

final del semestre 02 de 2004. fi

La transcripción en computador se hizo empleando el procesador de texto Scienti c WorkPlace; este trabajo se realizó bajo la coordinación general de la profesora Margarita Toro y se culminó al

final del semestre

01 de 2005. La transcripción estuvo a cargo de los

estudiantes Juan Pablo Hernandez, Yamir Carvajal, Edison Mauricio Rivera y Santiago Barrera. El material ya transcrito al computador fue revisado en su totalidad por Abraham Asmar y Patricia Restrepo a lo largo del semestre 01 de 2005; todos los cambios y correcciones en el computador que surgieron de esta revisión fueron hechos por la profesora Margarita Toro. Es así como llegamos al material que aquí se presenta. Se trata de un curso de geometría vectorial y analítica en el cual se

aprovechan las ideas geométricas para introducir con-

ceptos y temas básicos del álgebra lineal. Está dividido en dos partes: en la primera sólo se trata lo relativo al plano y en la segunda lo relativo al espacio. Además de los temas usuales

i

Prefacio

ii

en geometría vectorial y analítica, se estudian en un nivel elemental las transformaciones lineales, se muestra cómo las matrices

2×2

y

3×3

surgen de manera natural como repre-

sentaciones de transformaciones lineales del plano y del espacio respectivamente, y cómo las operaciones con matrices corresponden a las operaciones con transformaciones lineales. Se analizan los sistemas de ecuaciones lineales

2 × 2 y 3 × 3 desde el punto de vista geométrico.

Se introducen los conceptos de valor propio y vector propio y se emplean para eliminar los términos mixtos en una ecuación de segundo grado, tanto en dos variables como en tres, a

fin de

fi

transformar la ecuación en una que permita identi car el lugar geométrico que ella

representa. Al separar lo relativo al plano de lo relativo al espacio se espera mayor comprensión por parte de los estudiantes de los diversos temas ya que, por una parte, casi siempre es más sencillo trabajar en el plano que en el espacio y por otra, cuando se llega al espacio se cuenta con el conocimiento adquirido en el plano y al replicar lo que ya se ha hecho se

fi

rea rman conceptos, resultados y procedimientos. Consideramos que el material aún no está terminado y que requiere ajustes. Invitamos y solicitamos a los profesores de la asignatura y en general a los lectores a enviarnos todos sus comentarios, observaciones y sugerencias que contribuyan a mejorarlo.

Agradecimientos especiales para los profesores Ivan Asmar Charris y Carlos Mejía Salazar, quienes, como directores de la Escuela de Matemáticas, dieron su respaldo al proyecto; el profesor Ivan en el inicio y el profesor Carlos en la etapa

final

en la cual su

decidido apoyo fue fundamental para llevar el proyecto a su estado actual. También agradecemos de manera especial a la profesora Margarita Toro Villegas, por su acompañamiento durante todo el trabajo y por haber dedicado generosamente muchas horas de su valioso tiempo para hacer cambios y correcciones en el computador al material inicialmente transcrito.

Los autores Medellín, Agosto de 2005

Parte I

1

1

Vectores geométricos en el plano

1.1

Conceptos básicos

Cantidades tales como la longitud, la temperatura y la masa (por ejemplo) quedan completamente determinadas por su magnitud, expresada por un número real acompañado de unidades apropiadas. Cantidades de tal tipo son llamadas cantidades escalares. Por ejemplo, la longitud de una varilla queda completamente determinada si indicamos el número de unidades de longitud (centímetros, metros, pies,...) que mide dicha varilla. Así mismo, al decir que una temperatura es de 10 grados centígrados, la hemos descrito completamente. Por otra parte, cantidades como fuerza, velocidad y aceleración que tienen magnitud y dirección son llamadas cantidades vectoriales. Para determinarlas completamente se requiere dar su magnitud y, además, especificar una dirección. Por ejemplo, para describir la velocidad de un automóvil en un instante dado debemos especificar tanto

su magnitud (digamos 50 km por hora) como su dirección (digamos hacia el noroeste). Otro ejemplo de una cantidad vectorial es el desplazamiento: el desplazamiento de un cuerpo se determina por la distancia que se ha movido o desplazado (digamos 10 metros) y por la dirección en que se ha movido. Así que las cantidades vectoriales son algo más complejas que las escalares. Las cantidades vectoriales se suelen representar geométricamente mediante segmentos de recta orientados o dirigidos

(flechas). Un se...