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Le azioni interne e i loro diagrammi a.a 2013-2014

1

Le azioni Interne

In questo capitolo si introduce la teoria alla base del tracciamento dei diagrammi degli sforzi. Per prima cosa, si immagini di poter dividere una struttura, in questo caso una trave, in due parti. Perch´e queste due porzioni (tronchi) si mantengano in equilibrio, occorre ipotizzare che le due parti si scambino tra di loro delle azioni, di cui le equazioni cardinali della statica consentono di calcolare la risultante. La risultante delle forze interne viene convenzionalmente scomposta come indicato in figura 1. Ovvero, la forza viene applicata nel baricentro G della sezione. M indica il relativo momento di trasporto. La forza viene inoltre decomposta nelle direzioni tangente e normale all’asse geometrico, dando luogo alle componenti N e T . (N , la forza normale al piano della sezione non e indicata in figura).

Figura 1: Trave spezzata in due porzioni (tronchi) con rappresentazione degli sforzi interni T e M .

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Scienza delle costruzioni

A.A 2013-2014

La trave `e cos`ı separata in due tronchi. Su ciascun tronco agiranno le reazioni vincolari R e le forze esterne B, che non sono, in generale, in equilibrio. Per potere equilibrare le forze esterne e le forze vincolari occorre infatti tenere in conto anche delle forze interne agenti sulla sezione lungo cui e stata (immaginariamente) tagliata la trave. Si consideri ad esempio la trave rappresentata in figura 1, sollecitata dalle forze esterne F1 e F2 che provocano le reazioni vincolari RA e RB . Immaginando di scomporre la trave tramite un piano perpendicolare all’asse longitudinale in due tronchi a e b, i sistemi di forze applicati al tronco di sinistra (RA e F1 ) e al tronco di destra (RB e F2 ) non sono in equilibrio. Poich´e la trave intera `e invece in equilibrio, occorre pensare che i due tronchi si trasmettano attraverso le facce ottenute sezionando, delle azioni interne, tali da ripristinare le condizioni di equilibrio. Tali azioni interne sono una forza T ed un momento M riferiti al baricentro G della sezione. Si fa notare che sia T che M sono dei vettori che possono essere scomposti lungo le coordinate cartesiane x, y e z . Condizione necessaria e che i due tronchi siano in equilibrio, ovvero che siano in equilibrio le forze esterne, le reazioni vincolari, e le azioni interne. La conoscenza delle azioni interne permette di calcolare le sollecitazioni che il materiale subisce nelle diverse sezioni del pezzo. In generale, nella condizione generica in cui le forze ed i momenti esterni vengono applicati con direzioni qualunque, le azioni interne T ed M sono anch’essi orientate in modo qualunque rispetto alla superficie della sezione. Come gi`a menzionato, e’ conveniente scomporre T ed M secondo le tre direzioni x, y , z di una terna cartesiana ortogonale con l’origine nel baricentro G della struttura e con gli assi x e y diretti lungo gli assi principali d’inerzia della sezione.

Figura 2: Scomposizione delle componenti delle azioni interne.

Le componenti dell’azione interna T sono quindi, nelle tre direzioni, x, y, z, rispettivamente: Tx , Ty , N . 2

A.A 2013-2014 Le componenti di M sono invece: Mx , My , Mz . convenzionali di tali componenti sono:

Le denominazioni

• Tx , Ty : Sforzi di taglio • N : sforzo normale • Mx , My : Momenti flettenti • Mz : momento torcente Nel caso particolare in cui la trave ` e piana, questa `e caricata da forze e momenti giacenti in quel piano, le azioni interne si riducono ad una forza S giacente nel piano della trave (che pu` o essere scomposta in due direzioni principali) e ad un momento M il cui asse–momento `e ortogonale al piano della trave, che non `e necessario scomporre lungo gli altri assi in quanto nel caso di trave piana, questa `e l’unica componente. Si fa notare che nel caso di trave piana non vi pu` o essere un momento torcente.

Figura 3: Scomposizione delle componenti delle azioni interne in una trave piana.

La forza S pu` o essere scomposta nelle direzioni y e z dando luogo allo sforzo normale N e allo sforzo di taglio T . La coppia M `e chiamata momento flettente. Nelle travi piane quindi le caratteristiche della sollecitazione si riducono alle tre componenti N , T ed M . Supponendo che l’elemento di trave sia deformabile, appare evidente come N ne provoca una variazione di lunghezza, inducendo trazione nelle fibre parallele all’asse geometrico (o compressione se di verso opposto). T causa uno scorrimento di una faccia rispetto all’altra, mentre M provoca una rotazione relativa tra le due facce, comprimendo determinate fibre e tendendone altre. Per la convenzione sul segno delle azioni interne si romanda al paragrafo successivo. 3

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1.1

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Calcolo delle azioni interne e convenzioni di rappresentazione

Per il calcolo delle azioni interne `e sufficiente scrivere l equazioni di equilibrio delle forze agenti sulla porzione di corpo. Nel caso in cui la struttura sia vincolata `e necessario • individuare il valore delle reazioni vincolari • calcolare il valore delle tre azioni incognite N , T e M La porzione di corpo analizzata `e quindi un corpo soggetto ad un insieme di forze, di cui tre incognite. Per la soluzione di queste tre incognite `e necessario utilizzare le equazioni cardinali della statica, che forniscono le tre equazioni necessarie alla soluzione del problema.

1.2

Convenzioni sui segni delle forze

Le azioni interne ad un corpo sono considerate positive secondo i versi indicati in figura 4. In altre parole, le azioni interne sono considerate positive quando: • N – sforzo normale – se di trazione sul corpo • T – taglio – se induce una rotazione oraria della porzione considerata. • M – momento– positivo se tende le fibre inferiori del corpo. Tali convenzioni sono rappresentate in figura 4.

Figura 4: Convenzioni sui segni delle azioni interne.

Si fa notare che non esiste un verso positivo assoluto ma solo in funzione dell’orientazione della superficie. Ovviamente, spezzando una trave in due tronchi, le azioni interne sulle due superfici opposte devono farsi equilibrio. 4

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I diagrammi delle azioni interne

Un’espressiva rappresentazione grafica della soluzione e` costituita dai cosiddetti diagrammi delle azioni interne. Il calcolo delle azioni interne assume un significato importante se esteso a tutta la struttura perch´e fornisce informazioni fondamentali per il progetto. Di fatti, l’entit` a e la tipologia delle azioni interne, nonch´e il loro andamento all’interno del corpo, influenza la progettazione della forma e dei materiali con i quali il corpo deve essere realizzato. L’andamento delle azioni interne viene rappresentato mediante dei diagrammi. Tali diagrammi vengono rappresentati lungo una linea che percorre il corpo nel suo sviluppo tridimensionale. Il corretto tracciamento dei diagrammi delle tensioni `e fondamentale per lo studio di qualunque struttura in quanto fornisce le indicazioni necessarie per l’analisi dello stato tensionale, e quindi per poterne caratterizzare la resistenza.

3

Equazioni indefinite di equilibrio per la trave

Affinch´ e una porzione di trave sia in equilibrio `e necessario che i legami differenziali le azioni interne e i carichi applicati lungo l’asse siano in equilibrio. Si consideri un tratto rettilineo di trave piana, soggetto alle seguenti forze per unit`a di lunghezza: • p – componente trasversale nella forza • n – componente in direzione dell’asse della trave nella forza • m – momento distribuito Su un tratto infinitesimo di lunghezza dx agiranno quindi le forze pdx e ndx, nonch´ e la coppia mdx, assunte positive come indicato in figura 5. In questa figura sono anche indicate le azioni interne N , T , e M . L’equilibrio alla traslazione nelle direzioni assiale e trasversale stabilisce quindi assiale trasversale

− N + n dx + N + dN = 0 − T + p dx + T + dT = 0

(1) (2)

mentre l’equilibrio alla rotazione attorno al punto A restituisce M + T dx + m dx − p dx 5

dx − M − dM 2

(3)

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Figura 5: Equilibrio di un tratto infinitesimo di trave.

Semplificando e trascurando il termine p dx2 /2, infinitesimo di ordine superiore al primo, si ottengono le relazioni N ′ = −n T ′ = −p

M′ − T = m

(4) (5) (6)

dove si `e indicato con un apice la derivata rispetto ad x. Queste sono tre equazioni differenziali lineari ordinarie, i cui integrali definiscono gli andamenti delle azioni interne a meno di costanti di integrazione. Se la trave `e isostatica, queste costanti sono univocamente determinate dalle condizioni che l’equilibrio impone agli estremi, dove il valore delle azioni interne `e dettato dalle forze applicate. Nota I momenti distribuiti sono eventualit` a estremamente rare, e spesso non vengono neanche introdotti nella formulazione, riducendo le equazioni precedenti alla forma seguente: dN = −n dx dT +p=0 dx dM =T dx d2 M = −p dx2 6

(7)

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Calcolo delle caratteristiche della sollecitazione attraverso le equazioni indefinite di equilibrio

Prendiamo ora in esame il caso delle travi ad asse rettilineo caricate normalmente all’asse, come mostrato in figura 6. y P

q

P

x

Figura 6: Travi ad asse rettilineo con carico normale all’asse.

In questo caso le equazioni (7) diventano dN = 0, da cui N costante dx dT +p=0 dx dM =T dx d2 M = −p dx2

(8)

le equazioni (8) esprimono due principi fondamentali, utili per il tracciamento degli andamenti delle azioni interne lungo l’asse della trave. L’equazione: dT = −p dx esprime che il carico distribuito (cambiato di segno) `e la derivata del taglio. Pertanto, nei tratti scarichi della trave (dove p = 0) il Taglio ` e costante, nei tratti in cui il carico ` e uniforme (p = costante) il Taglio varia linearmente. L’equazione: dM =T dx esprime che il Taglio ` e la derivata del Momento Flettente. Pertanto nei tratti in cui il Taglio ` e nullo il Momento flettente ` e costante, nei 7

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tratti in cui il Taglio `e costante il Momento Flettente varia linearmente e cos`ı via. Nelle sezioni sedi di forze o coppie concentrate valgono invece le relazioni: ∆T = −P ∆M = −C

(9)

cio`e il Taglio subisce una variazione finita uguale e contraria al carico applicato; il Momento Flettente subisce una variazione finita uguale e contraria alla coppia applicata. Le equazioni (8) e (9) associate con le condizioni al contorno imposte dai vincoli, consentono di definire univocamente, nelle travi isostatiche, le espressioni delle funzioni: T = T (x),

M = M(x)

che permettono di tracciare gli andamenti delle azioni interne, Taglio e Momento Flettente, lungo l’asse della trave. Nota Con questo metodo non `e necessario il calcolo preventivo delle reazioni vincolari. Esse risultano, a posteriori, come valori locali delle azioni interne in corrispondenza dei punti vincolati.

8

4.1 Esempio: Trave a mensola con carico uniformemente distribuito A.A 2013-2014

4.1

Esempio: Trave a mensola con carico uniformemente distribuito

Esempio di una trave a mensola con carico uniformemente distribuito, come mostrato in figura 7. y p

x

A

B l

Figura 7: Trave a sbalzo ad asse rettilineo con carico normale all’asse uniformemente distribuito.

Essendo: p =costante, l’integrazione delle equazioni: dM =T dx

dT = −p, dx da’

px2 + C1 x + C2 2 I valori delle costanti di integrazione C1 e C2 possono essere ricavati imponendo le condizioni al contorno in corrispondenza dell’estremit` a libera che risulta scarica:  T =0 per x = 0 M=0 T = −px + C1 M = −

Ne segue che C1 = C2 = 0, e quindi T (x) = −px

(taglio lineare)

px2 (momento flettente parabolico) 2 All’incastro , cio` e per x = l, il taglio e il momento flettente valgono M(x) = −

T (l) = −pl pl2 M(l) = − 2 9

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y p

A

x

B l

−pl

Taglio

2

Momento flettente

− pl2

Figura 8: Diagrammi del taglio e del momento per una trave a sbalzo ad asse rettilineo con carico normale all’asse uniformemente distribuito.

Gli andamenti di T e di M lungo l’asse della trave sono quelli rappresentati in figura 8. La convenzione `e quella di riportare i Tagli positivi nella parte superiore e i Momenti Flettenti positivi dalla parte delle fibre tese, considerandoli positivi se mettono in trazione le fibre inferiori. Nei casi di travi con carichi concentrati questo metodo `e di meno pratica applicazione perch´e le espressioni di T o di M presentano delle discontinuit` a nei punti di applicazione dei carichi. Si utilizza allora il Metodo Diretto.

4.2

Metodo diretto per il calcolo delle azioni interne

Una volta calcolate le reazioni vincolari, sono note tutte le forze applicate alla struttura. Le azioni interne in corrispondenza di una sezione qualunque sono quindi date dalla somma delle componenti, nella direzione dell’azione interna considerata, di tutte le forze applicate prima della sezione stessa. Considerando un caso generico, le azioni interne in corrispondenza della sezione indicata, considerando le forze che precedono la sezione, sono: 10

4.2 Metodo diretto per il calcolo delle azioni interne

3 X

FiN

T =

3 X

FiT

M=

3 X

MiG

N=

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i=1

i=1

i=1

Figura 9: .

Essendo: • FiN = Componente della forza i-esima nella direzione e nel verso di N , • FiT = Componente della forza i-esima nella direzione e nel verso di T , • MiG = Momento della forza i-esima rispetto al baricentro G della sezione considerata. Lo stesso risultato pu`o essere ottenuto considerando le forze che seguono la sezione: 6 X N= FiN i=4

T =

6 X

FiT

6 X

MiG

i=4

M=

i=4

Vengono riportati nel seguito alcuni esempi: 11

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Figura 10: .

4.3

Esempio 1: Trave semplicemente appoggiata con carico concentrato

Nel caso di un carico concentrato in direzione normale alla trave, sforzo normale N `e nullo in quanto la forza applicata (cos`ı come le reazioni vincolari) non ha componenti in direzione assiale. P

P A a

B

A

B b

VA = P bl

l

VB = P al

Figura 11: Trave semplicemente appoggiata con un carico concentrato normale all’asse.

Per quanto riguarda lo sforzo di taglio, occorre separare la trave in due tratti. Tratto z < a Col simbolo T (+) si `e indicato un Taglio orientato positivamente. L’unica componente verticale delle forze che precedono la sezione `e VA , pertanto T = VA =

Pb l

(costante)

Tratto z > a Il Taglio pu`o essere considerato come somma delle forze che precedono la sezione considerata (le forze hanno la direzione perpendicolare alla sezione): 12

4.3 Esempio 1: Trave semplicemente appoggiata con carico concentrato A.A 2013-2014

P T (+) B

A a

b

VA = P bl

VB = P al

Figura 12: Trave semplicemente appoggiata con un carico concentrato normale all’asse. Tratto z < a. P T (+) A a

B

b VB = P al

VA = P bl

Figura 13: Trave semplicemente appoggiata con un carico concentrato normale all’asse. Tratto z > a.

b T = VA −P = P −P = P l



 l−b a b b−l = −P −1 = P = −P l l l l

(costante)

Considerando invece la somma delle forze che seguono la sezione, si ha: a (costante) l Ovviamente l’espressione trovata `e la stessa nei due casi. Il diagramma del taglio ha quindi l’andamento mostrato in figura 15 La discontinuit` a in corrispondenza della sezione z = a vale: P . Infatti: a a+b l b =P =P P +P =P l l l l Il Diagramma del momento si ottiene anch’esso dividendo in due parti la trave. Tratto z < a Col simbolo M(+) si `e indicato un Momento Flettente orientato positiT = −VB = −P

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P

B

A

a

T (−)

b

VA = P bl

VB = P al

Figura 14: Trave semplicemente appoggiata con un carico concentrato normale all’asse. Parte che segue la sezione. P

B

A

P bl

+

P −

−P la

Figura 15: Trave semplicemente appoggiata con un carico concentrato normale all’asse. Diagramma del taglio.

vamente. L’unico momento delle forze che precedono la sezione `e quello prodotto da VA , pertanto: b M = VA z = P z l

(lineare con z )

Per z = a b M=P a l Tratto z > a Conviene considerare direttamente i momenti prodotti dalle forze che seguono, introducendo una coordinata z ′ con origine in B e orientata verso 14

4.3 Esempio 1: Trave semplicemente appoggiata con carico concentrato A.A 2013-2014

P M (+)

A

B

z a

b

VA = P bl

VB = P al

Figura 16: Trave semplicemente appoggiata con un carico concentrato normale all’asse. Momento nella parte z < a

sinistra

a M = VB z ′ = P z ′ l

(lineare con z)

P M (+)

A

B

z′ a

b VB = P al

VA = P bl

Figura 17: Trave semplicemente appoggiata con un carico concentrato normale all’asse. Momento nella parte z > a

Per z ′ = b a M=P b l Non c’` e quindi discontinuit` a del Momento Flettente in corrispondenza del punto di applicazione del carico P. Il diagramma del momento flettente ha quindi l’andamento rappresentato in figura 18. Il diagramma `e stato rappresentato dalla parte delle fibre tese ed `e positivo perch´e le fibre tese sono quelle inferiori. 15

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P

B

A

VA = P bl

VB = P al

M = P alb

Figura 18: Trave semplicemente appoggiata con un carico concentrato normale all’asse. Diagramma del momento flettente.

Il valore massimo del Momento Flettente `e in corrispondenza della sezione in cui `e applicato il carico e vale: Mmax = M = P

16

ab l

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4.4 Esempio 2: Trave appoggiata con carico obliquo

4.4

Esempio 2: Trave appoggiata con carico obliquo

Si analizza ora il caso di una trave obliqua con carico concentrato. In questo caso lo sforzo normale N non `e nullo in quanto la forza applicata (cos`ı come le reazioni vincolari) pu`o essere scomposta in una direzione assiale ed una normale all’asse della trave. RB B F VA

α

A

HA

a

b l

Figura 19: Trave obliqua semplicemente appoggiata con un carico distribuito.

Le tre incognite sono quindi: HA , VA , RB . Le tre equa...