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Cecilia Parra e Irma Saiz (comps.) Luis A. Santaló, Grecia Galve/, Roland Chamay, Guy Brousseau, Delia Lemer, Patricia Sadovsky Didáctica de matemáticas Aportes y reflexiones C ubierta de G ustavo M acri la. edición, 1994 Im preso en la A rgentina - Printed in A rgentina Q ueda hecho el depósito que...

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Cecilia Parra e Irma Saiz (comps Luz María Oliva Borja

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NÚMEROS DECIMALES ¿POR QUÉ? ¿PARA QUÉ Federico Albanés RIVEIRO SANCHEZ, EDUCACIÓN PARA EL DESARROLLO José Ant onio Sant iago Enseñar-a-aprender-Et t y-Haydeé-Est evez-Nenniger Jaime roque

Cecilia Parra e Irma Saiz (comps.) Luis A. Santaló, Grecia Galve/, Roland Chamay, Guy Brousseau, Delia Lemer, Patricia Sadovsky

Didáctica de matemáticas Aportes y reflexiones

C ubierta de G ustavo M acri

la. edición, 1994

Im preso en la A rgentina - Printed in A rgentina Q ueda hecho el depósito que previene la ley 11.723

©

C opyright de todas las ediciones en castellano by E ditorial Paidós SA1CF D efensa 599, B uenos A ires Ediciones Paidós Ibérica S.A. M ariano C ubí 92, B arcelona Editorial Paidós M exicana S.A. Rubén D arío 118, M éxico D.F.

L a re p ro d u c c ió n total o p arcial de este lib ro , en c u a lq u ie r form a que sea, id é n tic a o m odificada, escrita a m áquina, por el sistem a “m u ltigraph”, m im eógrafo, im preso po r fotoco­ p ias, fo to duplicación. etc., no autorizada por los editores, viola derechos reservados. C ualquier u tilizació n d eb e ser previam ente solicitada.

ISBN 950-12-2112-1

INDICE

Lista de a u to re s ................................................................................... Prólogo...................................................................................................

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1. M atem ática para no m atemáticos, por Luis A. Santaló........

21

2. La didáctica de las m atemáticas, por Grecia Calvez...............

39

3. A prender (por m edio de) la resolución de problem as, por Roland Charnay.......................................................................

51

4. Los diferentes roles del m aestro, por Guy Brousseau...........

65

5.

El sistema de num eración: un problem a didáctico, por Delia Lerner y Patricia Sadovsky.............................................

95

(i. Dividir con dificultad o la dificultad de dividir, por Irma Saiz...................................................................................

185

7. Cálculo m ental en la escuela prim aria, por Cecilia Parra.... 219 H. La geom etría, la psicogénesis de las nociones espaciales y la enseñanza de la geom etría en la escuela elem ental, por Grecia Gálvez............................................................................. 273

LISTA DE AUTORES

Luis A. Santaló

Español, m atem ático, D octor en Ciencias Exactas. D esde la finalización de la G u erra Civil E spañola reside en A rgentina. H a realizado significativos aportes en el cam po de los conocim ientos m atem áticos y ha sido perm an en tem en te convoca­ do a foros nacionales e internacionales sobre educación m atem áti­ ca p o r su co n stan te p reo cu p a ció n y p o r la clarid ad de las ideas aportadas. A ctualm ente es Profesor Em érito de la Universidad de Buenos Aires. Grecia Gálvez

Chilena, psicóloga, D octora en Ciencias. A ctualm ente, integrante del Program a de M ejoram iento de la Calidad de las Escuelas Básicas de sectores pobres, M inisterio de Educación, Chile. Roland Charnay

Francés, P rofesor de M atem áticas, M iem bro del E quipo de Investigación en D idáctica de M atem áticas del INRP (In stitu to N acional de Investigación P edagógica), Francia, Profesor en el IUFM (In stitu to U niversitario de Form ación de M aestros) de Bourg-en-Bresse. Guy Brousseau

Francés, Profesor de M atemática, D octor en Ciencias. A ctualm ente, Profesor de la Universidad de Burdeos, investiga­ d o r del IREM de Burdeos (Instituto de Investigación en Enseñan­ za de la M atem ática), D irector del COREM (C entro de O bserva­ ción y de Investigación sobre Enseñanza de la M atem ática).

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DIDACTICA DE MATEMATICAS

Delia Lerner

Argentina, Licenciada en Ciencias de la Educación. Actualmente es Supervisora Académica de Proyectos del área Lengua en la Dirección de Currículum de la Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires y asesora de las investigaciones en las áreas de Lengua y Matemática en la Dirección de Educación Espe­ cial del Ministerio de Educación, Venezuela. Patricia Sadovsky

Argentina, Profesora de Matemática. Actualmente, integrante del equipo de Matemática de la Direc­ ción de Capacitación de la Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires y del equipo de investigación en Didáctica de la Matemática en la Facultad de Ciencias Exactas, UBA. / ma Saiz Argentina, Licenciada en Matemática, Maestría en Ciencias en la especialidad de Matemática Educativa, México. Actualmente, asesora en el área de Matemática del Consejo General de Educación de la Provincia de Corrientes, Supervisora Académica en proyectos del área Matemática en la Dirección de Currículum de la Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires y Profesora de la Universidad Nacional de Misiones. Cecilia Parra

Argentina, Licenciada en Ciencias de la Educación. Actualmente, Directora del Proyecto de Investigación en Didáctica de la Matemática en la Dirección de Currículum de la Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires. Susana Wolman

Argentina, Licenciada en Ciencias de la Educación, Licenciada en Psicología, actualmente jefa de trabajos prácticos de la cátedra de Psicología y Epistemología Genética de la Facultad de Psicolo­ gía de la UBA.

PROLOGO

La obra que aquí presentamos forma parte de una colección de Didácticas de área, didácticas que rem iten a una disciplina (Lengua, Matemática, Ciencias Naturales, Ciencias Sociales) “didácticas orientadas por el contenido” como en algún momento las llamó Vergnaud. Esto no es casual ni se reduce a una decisión editorial sino que expresa un vasto movimiento que se acentuó a lo largo de los últi­ mos 20 años, originado, entre otros factores, en el reconocimiento de la especificidad de los contenidos en el proceso de aprendizaje. Sobre la base de importantes desarrollos de las teorías de aprendi­ zaje, particularm ente la teoría genética de la construcción del conocimiento, se estuvo en condiciones de abordar nuevos proble­ mas con nuevos supuestos. El avance se produjo, incluso, a raíz del reconocimiento de los límites de una teoría general de aprendiza­ je para dar cuenta de un fenómeno complejo como es la transmi­ sión y adquisición de saberes en el interior del sistema educativo. El conjunto de esta colección perm itirá al lector tener un panorama de los niveles de desarrollo alcanzado por cada una de las didácticas. En nuestro caso, nos parece necesario presentar bre­ ves referencias al desarrollo de la Didáctica de Matemáticas y al estado de situación en nuestro país, a efectos de contextualizar los aportes de cada uno de los autores incluidos en esta obra.

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DIDACTICA DE MATEMATICAS

La D idáctica de M atem áticas se desarrolla actu alm en te en varios países, pero es en Francia donde se ha form ulado el cuerpo principal de conceptos teóricos propios desde los cuales se recla­ m a actualm ente su reconocim iento como disciplina autónom a en el cam po científico. Esta disciplina es definida del siguiente m odo en la Enciclopaedia Universalisr. La D idáctica d e la M atem ática estudia los p rocesos de transmi­ sión y adquisición d e diferentes contenidos de esta ciencia, particu­ larm ente en situación escolar y universitaria. Se propone describir y explicar los fe n ó m e n o s relativos a las relaciones entre su enseñanza y aprendizaje. N o se red u ce a buscar una buena m anera de enseñar una n o ció n fija aun cu an d o espera, a término, ser capaz de ofrecer resultados que perm itan mejorar el funcionam iento de la enseñan­ za. (La bastardilla es nuestra.)

M ichéle A rtigue contextualiza del siguiente m odo la em ergen­ cia de este cam po científico: La D idáctica d e la M atemática nació en Francia en el marco de un vasto m ovim iento d e la enseñanza científica de los años 60, pero lo ha h e c h o , en cierto sen tid o, rompiendo con los puntos de vista que subyacían a las reform as. T odo el p erío d o p reced en te había estado marcado por una centración exclusiva sob re los contenidos: se trataba de reducir la dis­ tancia en tre el saber d e la disciplina y el saber enseñado, de deter­ m inar p rocesos d e elem entarización de ese saber que autoricen el pasaje, de hacer beneficiar a la enseñanza de la transformación que, en el esp acio d e un siglo, había afectado al edificio matemático. D esd e un p u n to d e vista pedagógico reinaba la idea según la cual “es suficiente saber m atem ática para saber enseñarla” considerando algunos p rin cip ios p ed a g ó g ico s generales. D esd e un p u n to d e vista psicológico las m atem áticas m odernas d eb ía n ser vivas ta n to en su contenido com o en su enseñanza, se p o n ía el a cen to e n el rol de la actividad del alum no, desarrollando una p ed a g o g ía d e la acción y del descubrimiento (por ejem plo, los trabajos d e Z. D ie n e s, N. Picard y G. Papy). Las d esilu sio n es, q u e no tardaron en hacerse sentir, pusieron en ev id en cia la in su fic ie n c ia de estos puntos de vista: las m atem áticas

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n o se habían con vertid o m ilagrosam ente en fáciles de aprender; ciertos objetos de enseñanza introducidos, mal adaptados, soporta­ ban transform aciones no previstas por los autores de las reformas; las m últiples innovaciones realizadas no perm itieron Constituir un cuerpo de con ocim ien to fiables. Es d esde esta tom a de co n cien cia que nació de algún m od o la Didáctica de la M atemática, tom ando distancia a la vez de la Mate­ mática, y de la Pedagogía para desarrollar un cam po teórico especí­ ficam ente adaptado a su problem ática y a los m étodos de investiga­ ción que estaba en con diciones de u tilizar.1

La producción en este cam po es ya muy vasta y sólida. Los lec­ tores encontrarán, en el capítulo “La didáctica de las m atem áticas” de la doctora G recia Gálvez, referencias más explícitas a los con­ ceptos estructurantes de esta disciplina.

La s it u a c ió n e n l a A r g e n t in a

En nuestro país, com o en otros países de A m érica latina, las reform as sucesivas h an provocado cam bios más o m enos p ro fu n ­ dos en la enseñanza y el aprendizaje de la M atemática. La ausencia de políticas educativas co h ere n tes y sostenidas, relativas a la investigación, capacitación, procesos cu rricu lares, etc., ha provocado u n a difusión an árq u ica de ideas, altam en te dependiente de situaciones circunstanciales, produciendo desarro­ llos diferentes en distintos lugares de nuestro país y la coexistencia de teorías o co n cep cio n es didácticas co n trad icto rias, e incluso superadoras unas de otras en sus génesis históricas. Sin em bargo, en to rn o a personas o a instituciones se han constituido grupos de trabajo o investigación que, aun en situacio­ nes muy desfavorables, h an preservado las condiciones de discu­ sión propias de la producción de conocim ientos. Las investigaciones y elaboraciones teóricas producidas en dis­ tintos lugares del m undo se constituyen en insumos de la búsque­ da de respuestas adecuadas a la problem ádca local. 1 Artigue, M.: “Une introduction á la Didactique des Mathématiques”, conferencia, 1986.

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DIDACTICA DE MATEMATICAS

Las producciones de estos grupos e instituciones, necesaria­ mente heterogéneas, se sitúan en distintos niveles: prescriptivos (documentos curriculares), propositivos (materiales de apoyo, libros de texto), de difusión o de investigaciones de base; pero su escasa o inestable inserción en las estructuras educativas impiden una difusión coherente y sistemática que produzca un mejora­ miento sensible y duradero de la calidad de la educación. La escasez o desactualización de la bibliografía específica diri­ gida a los maestros o profesores es una variable de fuerte inciden­ cia en la situación descrita. De los textos circulantes muchos han sido editados años atrás, y aun algunos más recientes transmiten concepciones ampliamente revisadas y cuestionadas en otros paí­ ses del mundo y en algunos espacios de discusión locales. Pese a esta situación, los docentes a lo largo de todo el país realizan importantes esfuerzos para capacitarse y defender condi­ ciones de trabajo propicias para el avance y mejoramiento de su tarea. La constitución de equipos docentes en las escuelas, de equi­ pos de trabajo e investigación en los distintos niveles de gestión educativa, en los institutos de formación, universidades, etc., apa­ rece como una condición fundamental para que sea posible dar respuestas orgánicas y reflexivas a los múltiples problemas que enfrenta nuestro sistema educativo actual. Además, es necesario que se libren intensos y sostenidos deba­ tes tanto en torno a cuáles son las prioridades de acción sobre el sistema educativo como respecto a cuáles son los medios de acr ¡on más eficaces para intervenir en el sistema. Entre otros aspectos deben incorporarse prácticas de evaluación de los proyectos que se desarrollen, que brinden bases más racionales para la toma de decisiones. El desarrollo de las didácticas de áreas, al que nos referimos al inicio, abre posibilidades para abordar ciertos problem as en su especificidad, a la vez que se convierte en exigencia y demanda de formación. Estamos convencidos de que, al menos en nuestros países, la investigación en Didáctica no puede contentarse con desarrollos teóricos sin preocuparse por la relación investigadores-maestros, en una perspectiva de respuesta a la dem anda social de transfor­

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IR

mación de la escuela, para una mejor formación y para la eleva­ ción del nivel de todos. Respecto de los materiales que se produzcan dirigidos a los docentes consideramos que deben incluir: — La fundamentación teórica necesaria para que el maestro conozca el significado de sus opciones y se comprometa con ellas tanto teórica como prácticam ente, conozca las dimensiones epistemológicas de lo que está planteando, así como la relación de los alumnos con el conocimiento y la función de ese saber. — El análisis didáctico suficiente para que el maestro se apro­ pie de la situación y conserve el control sobre ella. Se deben explicitar las variables didácticas que modifican la situación, que son al mismo tiempo aquello sobre lo que el maestro puede actuar y lo que permite analizar y eventual­ mente explicar lo que sucede. — Más conocimientos de matemática, que le permitan al docente precisar su relación con el saber e interpretar, en términos más específicos, lo que sucede en el aula. Los autores que integramos esta obra compartimos estas con­ vicciones, aunque en algún punto sean más algo por lo que se tra­ baja que metas logradas. P r e s e n t a c ió n d e l a o b r a

Quisimos, al convocar a los autores, que hubiera en este libro aportes teóricos que dieran “noticia” del avance en la Didáctica de las Matemáticas y también de las preguntas y problemas que están motorizando las investigaciones actuales. Imagen que no puede ser más que parcial por las condiciones antes referidas. Serán necesarios múltiples esfuerzos para lograr también la difusión de otros autores, nacionales o extranjeros, no incluidos en esta obra y sin embargo centrales para el desarrollo de la Didáctica de Matemáticas. Difusión que será tanto más provechosa en cuanto sea requerida y asumida a partir del trabajo y la proble-

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matización de grupos locales que busquen avanzar en el análisis de la realidad de la enseñanza de matemática y en la provisión de respuestas válidas y viables en cada contexto. Quisimos también que los contenidos en torno a los cuales se estructuran los trabajos fueran representativos, ya sea porque son señalados por los docentes como problemáticos o conflictivos o porque resultan prioritarios para la investigación y desarrollo en el área. Los artículos de esta obra son muy diversos pero com parten preocupaciones y enfoques. Son diversos incluso en cuanto a su nivel de complejidad. Concretamente el trabajo del doctor Brousseau requiere sin duda un gran esfuerzo para su com prensión, pero hay allí tantos elementos riquísimos para la discusión que nos pareció una empresa que valía la pena proponer. Iniciamos este volumen con un trabajo del doctor Santaló, matemático de prestigio internacional y formador de generaciones de matemáticos y profesores en nuestro país. Su trabajo se recorta y diferencia de los demás al asumir el amplio y central problema de definir cuál es la matemática que hay que enseñar en la educación obligatoria. Pleno de conoci­ mientos y con la mirada puesta en la entrada del tercer milenio, el doctor Santaló señala tanto lo que debe formar parte de una edu­ cación matemática bien entendida como aquello que ha perdido sentido ante la realidad actual y futura. Convoca también a establecer cuál es la matemática que puede ser útil a los profesionales no matemáticos de nivel terciario, y da múltiples ejemplos de conocimientos matemáticos que han resul­ tado útiles a otras ciencias. Estos aportes son interesantes para todo lector que quiera tener una representación actualizada del desarrollo de la Matemática y de la potencia de su aplicación al servicio de problemas definidos por otras disciplinas. El primer capítulo sobre Didáctica de Matemáticas correspon­ de a un capítulo de la tesis de Doctorado en Ciencias de Grecia Gálvez, sobre el aprendizaje de la orientación en el espacio urba­ no. La autora caracteriza la Didáctica de Matemáticas, describe sus principios fundam entales y define el estudio de las situaciones didácticas como su objeto central.

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La metodología de análisis de las situaciones didácticas es des­ crita a partir de la definición de situación didáctica, de contrato didáctico, de análisis a priori y de la clasificación de las situacio­ nes. Señalando que la finalidad de la Didáctica de Matemáticas es el conocimiento de los fenómenos y procesos relativos a la ense­ ñanza de la Matemática para controlarlos y a través de ese control optimizar el aprendizaje de los alumnos, describe brevemente la metodología de investigación conocida con el nombre de Ingenie­ ría Didáctica. Como compiladoras solicitamos a la doctora Gálvez la autoriza­ ción para incluir esta presentación de la Didáctica de Matemáticas, realizada en 1985, porque facilita una primera toma de contacto con los conocimientos didácticos, aun cuando algunos conceptos ya han sido revisados o reform ulados por los investigadores en Didáctica en los años siguientes y se han producido nuevos desa­ rrollos teóricos. El doctor Brousseau, en su trabajo, se refiere a algunas de estas revisiones. Roland Charnay, en su capítulo “Aprender (por medio de) la resolución de problemas”, a partir de la definición del sentido de un conocimiento matemático, objetivo esencial de la enseñanza, describe tres modelos de aprendizaje: normativo (centrado en el contenido), incitativo (centrado en el alum no) y aproximativo (centrado en la construcción del saber por el alumno). El estudio de esos modelos provee una buena herramienta de análisis de las situaciones de clase y de reflexión para los docentes en formación. El autor analiza el rol otorgado a la resolución de problemas en cada uno de los modelos y presenta argumentos para justificar la elección del tercer modelo. Finalmente caracteriza los problemas, la puesta en marcha pedagógica y las relaciones entre alumnos-maestro-problemas. El objetivo central de este libro de dar a conocer los avances de la Didáctica de Matemáticas no se lograría y estaríamos en clara deuda con los lectores si no incorporáramos al menos un trabajo de Guy Brousseau, quien se encuentra en...