Ceros y singularidades. Series de Laurent C++ Language Tutorial C++ Language Tutorial C++ Language Tutorial PDF

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´ CAPITULO 8

Ceros y singularidades. Series de Laurent. 8.1

´ INTRODUCCION

Los polinomios son el ejemplo extremo de la importancia que puede llegar a tener el conocimiento de los ceros de una funci´on en la determinaci´on y el manejo de la misma. Sin llegar a tanto, para las funciones holomorfas el estudio de sus ceros es tambi´en un aspecto importante de su tratamiento, y en la primera secci´on de este cap´ıtulo recogeremos informaci´on ya conocida (para funciones anal´ıticas, que como sabemos coinciden con las holomorfas), a˜nadiendo algunas propiedades sencillas que no agotan el tema: especialmente para funciones enteras, quedan pendientes resultados importantes, algunos de los cuales se tratar´an el curso pro´ ximo. Estamos constatando a lo largo de todo el curso que las funciones holomorfas se comportan maravillosamente si las comparamos con las funciones a las que nos hemos enfrentado en cursos anteriores. ¿Podemos seguir sacando partido de nuestros m´etodos actuales si permitimos que las funciones presenten alguna ‘anomal´ıa’ en algunos puntos? ¿Qu´e se mantiene y cu´anto se pierde? Contestar a esta pregunta es el propo´ sito del estudio de los puntos singulares aislados de las funciones holomorfas. Nos limitaremos primero a establecer una clasificaci´on de los mismos en tres tipos, viendo de qu´e manera tan distinta afecta al comportamiento local de la funci´on la presencia de una singularidad aislada de cada uno de estos tipos. Un ejemplo de funciones que tienen solamente singularidades aisladas en un abierto son los cocientes de funciones holomorfas (supuesto que el denominador no se anule en ninguna componente conexa). Este es un caso particular importante de funcion ´ meromorfa, concepto que introducimos en la siguiente secci´on, examinando de momento u´ nicamente sus propiedades algebraicas. Estudio aparte merece el punto del infinito. Para las funciones holomorfas que tienen una singularidad aislada en ∞, averiguaremos c´omo su comportamiento en este punto puede en algunos casos suministrar una informaci´on adicional interesante sobre la funci´on. Por u´ ltimo, en la parte final de este cap´ıtulo, veremos un importante teorema de Laurent que generaliza el desarrollo en serie de Taylor de una funci´on holomorfa en un disco, probando que si una funci´on es holomorfa en una corona circular (en 112

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particular, en un disco privado de su centro), la funci´on se puede representar como suma de una serie de Laurent, que es una serie de potencias con exponentes enteros cualesquiera y no s´olo con exponentes enteros no negativos, como son las series de Taylor. Comprobaremos que las series de Laurent permiten as´ı mismo caracterizar los diferentes tipos de singularidades aisladas, y concluiremos con unos ejercicios que muestran c´omo hallar desarrollos de Laurent de algunas funciones concretas, un buen banco de pruebas para los recursos adquiridos hasta el momento. Referencias b´asicas: — Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New York (1978). — Duncan, J.: The elements of complex analysis. Wiley, London (1968). — Rudin, W.: An´alisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana, Madrid (1987). 8.2

´ HOLOMORFA CEROS DE UNA FUNCION

Un polinomio no puede tener infinitos ceros sin ser id´enticamente nulo. La situaci´on es algo menos dr´astica cuando pasamos a funciones holomorfas: conocemos funciones no nulas, como el seno y el coseno, que tienen infinitos ceros. Esto no significa que no haya restricciones severas sobre los posibles ceros de una funci´on holomorfa no nula. Una vez que hemos probado la identidad entre las funciones holomorfas y las funciones anal´ıticas, el principio de prolongaci´on anal´ıtica nos informa de que el conjunto de ceros de una funci´on holomorfa no nula, si su dominio es conexo, no puede poseer puntos de acumulaci´on dentro del dominio. Esto no significa que no pueda haber puntos de acumulaci´on de ceros: por ejemplo, la funci´on sen(π/z) es holomorfa en C \ {0} y se anula en los puntos 1/k, k ∈ Z (en este caso 0 es un punto de acumulaci´on de ceros); lo que sucede es que, si el conjunto de ceros tiene puntos de acumulaci´on, e´ stos deber´an estar en la frontera del dominio. Podemos sacar algunas consecuencias inmediatas de este hecho. Proposicio´ n 8.1. Sea  una region ´ de C y f ∈ H() no ide´ nticamente nula. Denotemos por Z f el conjunto de ceros de f , es decir, Z f = f −1 (0). Entonces (1) Z f es un conjunto discreto. (2) Para cualquier conjunto compacto K ⊆ , Z f ∩ K es finito o vac´ıo. (3) Z f es un conjunto contable (finito o numerable). Demostraci´on. (1) Que Z f es un conjunto discreto significa que para cada punto a de Z f se puede encontrar un r > 0 tal que z ∈ / Z f si 0 < |z − a| < r , o lo que es igual, que ning´un punto de Z f es punto de acumulaci´on de Z f .

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(2) Si Z f ∩ K tuviese infinitos puntos, por la compacidad de K tendr´ıa al menos un punto de acumulaci´on en K ⊆  y por tanto Z f tendr´ıa al menos un punto de acumulaci´on en . (3)  puede ponerse como uni´on numerable de compactos,  = ∪n K n para alguna sucesi´on (K n ) de compactos. Entonces Z f = ∪n (Z f ∩ K n ) y cada Z f ∩ K n es finito o vac´ıo.

Definicio´ n 8.2. Sea  un abierto de C y f ∈ H(). Dado a ∈ , diremos que a es un cero de orden k de f si k ∈ N es tal que f (a) = f ′ (a ) = . . . = f (k−1) (a) = 0,

f (k) (a ) = 0.

N´otese que para que exista tal k, es necesario y suficiente que a sea un cero de f y que f no se anule en la componente conexa de  que contiene a a; dicho de otra forma, que a sea un cero aislado de f . Proposicio´ n 8.3. Sea  un abierto de C, a ∈ , k ∈ N y f ∈ H(). Las siguientes propiedades son equivalentes entre s´ı: (1) a es un cero de f de orden k. (2) En un disco D(a; r ) ⊆  es ∞  f (z) = an (z − a )n , z ∈ D(a ; r ), n=k

con ak = 0. (3) Existe una funci o´ n g ∈ H() tal que g (a) = 0 y para todo z ∈ .

f (z) = (z − a)k g(z)

Demostraci´on. (1) ⇒ (2) Expresar los coeficientes del desarrollo de Taylor de f en a mediante las derivadas de f en a . (2) ⇒ (3) La funci´on g definida en  por  f (z) g(z) = (z − a)k si z = a ak si z = a es claramente holomorfa en  \ {a} y en a es anal´ıtica (luego holomorfa), puesto que para todo z ∈ D(a; r ) es ∞  an (z − a)n , g(z) = n=k

y por tanto cumple las condiciones de (3). (3) ⇒ (1) Basta calcular las derivadas sucesivas de f y aplicar la definici´on de orden de un cero.

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SINGULARIDADES AISLADAS

En algunos textos (p. ej. Duncan, ob. cit., p. 63), dado un abierto  y una funci´on f :  → C se dice que un punto a ∈  es un punto regular para f o que f tiene en a un punto regular si existe un r > 0 tal que D(a; r ) ⊆  y f es derivable en cada punto de D(a; r ). Los puntos que no son regulares se denominan puntos singulares. En esta secci´on estudiaremos un tipo especial de puntos singulares, que denominaremos singularidades aisladas. Definicio´ n 8.4. Sea a ∈ C. Decimos que una funcion ´ f tiene una singularidad aislada en a si f no es derivable en a pero existe un r > 0 tal que f es holomorfa en D∗ (a; r ) = {z ∈ C : 0 < |z − a| < r }. Clasificacio´ n de las singularidades aisladas. Podemos distinguir entre las siguientes situaciones: (1) existe limz→a f (z) ∈ C. Se dice entonces que f tiene en a una singularidad evitable o que a es una singularidad evitable de f . (2) existe limz→a f (z) = ∞. Se dice entonces que f tiene en a un polo o que a es un polo de f . (3) no existe limz→a f (z) en C∞ . Se dice entonces que f tiene en a una singularidad esencial o que a es una singularidad esencial de f . Ejemplos. (1) Hay muchas funciones holomorfas (no enteras) sin singularidades aisladas. Ejemplo sencillo: el logaritmo principal Log z, para el que son puntos regulares todos los de C \ (−∞, 0] y singulares todos los de (−∞, 0]. (2) Todos los puntos en los que no est´a definida la funci´on f dada por f (z) =

z ez − 1

son singularidades aisladas. En z = 0 tiene una singularidad evitable. Los puntos de la forma z = 2kπ i , k ∈ Z \ {0}, son polos de f . (3) La funci´on f dada por f (z) = e1/z tiene una singularidad esencial en z = 0. Observacio´ n. El conjunto S f de singularidades aisladas de una funci´on f es discreto y contable (inclu´ıda la posibilidad de que sea vac´ıo).

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Proposicio´ n 8.5. Sea  un abierto no vac´ıo de C, a ∈  y f ∈ H( \ {a}). Entonces (1) Si a es una singularidad evitable de f , la funci o´ n f˜ definida por  f (z) si z ∈  \ {a} f˜(z) = limz→a f (z) si z = a es holomorfa en . Rec´ıprocamente, si f admite una extension ´ holomorfa en , tiene en a una singularidad evitable. (2) Si para alg´un r > 0 la funcio´ n f se mantiene acotada en D∗ (a; r ) = {z ∈ C : 0 < |z − a| < r }, entonces f tiene una singularidad evitable en f . Demostraci´on. (1) f˜ es holomorfa en  \ {a} y continua en , luego holomorfa en . El rec´ıproco es obvio. (2) Ya se prob´o que, en estas condiciones, f admite una extensi´on holomorfa en D(a; r ). La primera parte de la proposici´on anterior justifica el nombre de singularidad evitable. N´otese que si f tiene en a una singularidad evitable, o bien f no est´a definida en a o bien f no es continua en a . Definicio´ n 8.6. (Orden de un polo). Sea a un polo de una funcion ´ f . Entonces la 1 tiene en a una singularidad evitable y l´ımite nulo, de manera que para funcion ´ f alg´un δ > 0 la funci o´ n  1/ f (z) si 0 < |z − a| < δ h(z) = 0 si z = a es holomorfa en D(a; δ). Si h tiene en a un cero de orden k, diremos que f tiene en a un polo de orden k o que a es un un polo de orden k de f . Los polos de orden 1 se llaman polos simples; los de orden mayor que 1, polos m´ultiples (dobles, triples, . . . ) Proposicio´ n 8.7. Sea  un abierto no vac´ıo de C, a ∈  y f ∈ H( \ {a}). Las siguientes propiedades son equivalentes: (1) f tiene en a un polo de orden k; (2) existe limz→a (z − a)k f (z) ∈ C \ {0}, y en consecuencia



limz→a (z − a)n f (z) = 0

limz→a (z − a)n f (z) = ∞

si n > k; si 0 ≤ n < k,

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(3) existe una funci o´ n g ∈ H() tal que g (a) = 0 y f (z) =

g(z) (z − a)k

para cada z ∈  \ {a}; (4) existen coeficientes A j (1 ≤ j ≤ k ), an (n ∈ N ∪ {0}), un´ıvocamente determinados, con A k = 0, y un r > 0, tales que ∞  A2 A1 Ak + an (z − a)n + ··· + + f (z) = (z − a)k (z − a)2 z − a n=0

siempre que 0 < |z − a| < r .

Ak A1 A2 se denomina + +· · ·+ (z − a)2 z − a (z − a)k parte singular o parte principal de f en a.) Demostraci´on. (1) ⇒ (2) Yendo a la definici´on, h(z) = (z − a)k g(z) para alguna funci´on g holomorfa en D(a; δ) con g(a) = 0, y limz→a (z − a)k f (z) = 1/g(a). (2) ⇒ (1) Si h es como en la definici´on, resulta h(z) = (z − a)k g(z) para g dada por  1  h(z) = si 0 < |z − a| < δ k k f (z) a) g(z) = (z − ( z − a)    si z = a , 1/ limz→a (z − a)k f (z) (La funci´on racional S( f ; a)(z) =

que es holomorfa en D(a; δ) y no nula en a . (2) ⇒ (3) La funci´on dada por (z − a)k f (z) tiene una singularidad evitable en a . (3) ⇒ (4) Para alg´un r > 0 puede ponerse ∞  cn (z − a)n , g(z) = n=0

|z − a| < r,

luego ∞  c0 ck−2 ck−1 + f (z) = + ··· + + ck+n (z − a)n (z − a)k (z − a)2 z − a n=0

siempre que 0 < |z − a| < r . Puesto que g est´a un´ıvocamente determinada por f , hay unicidad para los coeficientes. (4) ⇒ (2) Evidente. Observacio´ n. Seg´un el resultado anterior, la funci´on f − S( f ; a) tiene en a una singularidad evitable. Adem´as, el orden de a como polo de f es el menor valor de n tal que (z − a)n f (z) tiene una singularidad evitable en a .

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Cuando f es una funci´on racional, s´olo tiene en C un n´umero finito de singularidades que son polos. Separando repetidamente la parte singular en cada uno de ellos, encontramos la descomposici´on de f en fracciones simples (v. detalles en Conway, ob. cit., pp. 105–106.) NOTA.

Finalmente, para singularidades esenciales, tenemos la siguiente caracterizaci´on en t´erminos de los valores de la funci´on: ıo de Teorema 8.8. (Teorema de Casorati-Weierstrass). Sea  un abierto no vac´ C, a ∈  y f ∈ H( \ {a}). Las siguientes propiedades son equivalentes: (1) a es una singularidad esencial de f . (2) f (U ) = C para todo entorno reducido U ⊆  \ {a} de a. (3) Para todo w ∈ C se puede encontrar (z n ) en  \ {a} tal que z n → a y f (z n ) → w. Demostraci´on. (1) ⇒ (2) En caso contrario existir´ıan r > 0, δ > 0 y w ∈ C tales que | f (z)−w| > δ para todo z ∈ D∗ (a; r ). Entonces, la funci´on g dada por 1 , z ∈ D∗ (a; r ), g(z) = f (z) − w es holomofa y acotada en D∗ (a; r ), con lo cual puede extenderse a una funci´on g˜ holomorfa en D(a; r ). Si fuese g(a) ˜ = 0, se deduce que f estar´ıa acotada en un entorno de a, y en consecuencia a ser´ıa una singularidad evitable de f . Pero si g˜ tiene en a un cero de orden k ≥ 1, podr´ıamos escribir g(z) ˜ = (z − a)k g1 (z),

z ∈ D(a; r ),

para una funci´on g1 holomorfa en D(a; r ) con g1 (a) = 0; por tanto     1 1 k k lim (z − a) f (z) = lim (z − a) w + ∈ C \ {0}, = z→a z→a g1 (a) g1 (z) con lo cual a ser´ıa un polo de orden k de f . (2) ⇒ (3) Evidente. (3) ⇒ (1) Es claro que en esta hipo´ tesis no existe limz→a f (z), ni finito ni infinito.

Se sabe mucho m´as: si a es una singularidad esencial de f , en cualquier entorno reducido de a la funci´on f alcanza todos los valores complejos, excepto uno a lo m´as. Este es el llamado ‘teorema grande de Picard’, ver Rudin, ob. cit., pp. 376–377. (M´as f´acil de probar es el ‘teorema peque˜no de Picard’, que establece que cada funci´on entera no constante alcanza cualquier valor complejo, excepto uno a lo m´as. La funci´on exponencial ilustra que este es el mejor resultado esperable.) Las demostraciones de estos teoremas requieren herramientas m´as poderosas que las que disponemos por ahora.

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FUNCIONES MEROMORFAS

Las funciones cuyas u´ nicas singularidades son polos aparecen con frecuencia suficiente como para merecer un nombre especial. Definicio´ n 8.9. Diremos que una funcion ´ f es meromorfa en un abierto  si en cada punto de  o bien f es holomorfa o bien tiene un polo; dicho de otra forma, si existe un conjunto Pf ⊆  tal que (1) Pf no tiene puntos de acumulaci o´ n en ; (2) f ∈ H( \ Pf ); (3) f tiene un polo en cada punto de Pf . Como Pf es un subconjunto discreto de , para cada compacto K ⊆  el conjunto K ∩ Pf es finito, lo que implica que Pf es finito o numerable. Est´a incluida la posibilidad Pf = ∅, con lo cual las funciones holomorfas son ejemplos de funciones meromorfas. Tambi´en lo son las funciones racionales. El conjunto de las funciones meromorfas en  lo denotaremos por M(). N´otese que una funci´on es meromorfa en un abierto si lo es en cada componente conexa del abierto. Supuesto  conexo, son ejemplos de funciones meromorfas en  los cocientes de funciones anal´ıticas (con denominador no nulo, por descontado): de hecho, esta es la u´ nica forma de obtener funciones meromorfas en abiertos conexos, si bien la demostraci´on de esta afirmaci´on requiere conocer primero la posibilidad de construir funciones holomorfas con ceros prefijados y orden de los ceros igualmente prefijado (teorema de factorizaci´on de Weierstrass, que se probar´a el pro´ ximo curso). Por el momento, nos limitaremos a comprobar el siguiente resultado. Proposicio´ n 8.10. Dado un abierto no vac´ıo  en C, el conjunto M() de las funciones meromorfas en  es un algebra ´ sobre C respecto de las operaciones usuales con funciones. Si adem´as  es conexo, M() es un cuerpo conmutativo. Demostraci´on. Es una verificaci´on rutinaria, basada en las factorizaciones asociadas a polos y ceros que caracterizan el orden de los mismos. Observaciones. (1) El comentario hecho anteriormente indica que si  es una regi´on, M() es el cuerpo de cocientes del dominio H(). (2) Cuando  no es conexo, M() no es un cuerpo: por ejemplo, si  = A ∪ B con A, B abiertos no vac´ıos disjuntos, la funci´on f que vale 1 en A y 0 en B est´a en M() [de hecho, en H()] y no tiene inverso en M() [es un divisor de cero en H()].

120 8.5

Ceros y singularidades. Series de Laurent. SINGULARIDADES EN EL INFINITO

Definicio´ n 8.11. Diremos que ∞ es una singularidad aislada de una funcion ´ f si existe R > 0 tal que f ∈ H(A R ), donde A R = {z ∈ C : |z| > R}. Podemos establecer una clasificaci´on similar a la considerada para singularidades finitas. Definicio´ n 8.12. Supongamos que ∞ es una singularidad aislada de una funcion ´ f . Entonces: (1) Se dice que f tiene en ∞ una singularidad evitable o que ∞ es una singularidad evitable de f si existe lim f (z) ∈ C.

z→∞

(2) Se dice que f tiene en ∞ un polo o que ∞ es un polo de f si lim f (z) = ∞.

z→∞

(3) Se dice que f tiene en ∞ una singularidad esencial o que ∞ es una singularidad esencial de f si no existe limz→∞ f (z) en C∞ . Ejemplos. (1) f (z) = 1/z tiene una singularidad evitable en ∞. (2) todo polinomio no constante tiene un polo en ∞. (3) f (z) = e z tiene una singularidad esencial en ∞. (4) f (z) = 1/ sen z no tiene una singularidad aislada en ∞. 8.13. Estudio de singularidades en el infinito. Si para alg´un R > 0 es f ∈ H(A R ), donde como antes A R = {z ∈ C : |z| > R}, la funci´on f ∗ definida por ∗

f (z) = f

1 z

es holomorfa en D∗ (0; 1/R), con lo que 0 es una singularidad aislada para f ∗ . Esto permite reducir el estudio de las singularidades en ∞ al estudio de singularidades aisladas en 0. Por ejemplo, es inmediato que f tiene una singularidad evitable en ∞ (o un polo, o una singularidad esencial) si y s´olo si f ∗ tiene en 0 una singularidad evitable (o un polo, o una singularidad esencial). Sobre esta base podemos estudiar con mayor detalle las singularidades en ∞. Definicio´ n 8.14. Diremos que f tiene en ∞ un polo de orden k o que ∞ es un polo de orden k de f si 0 es un polo de orden k de la funcion ´ f ∗ definida por f ∗ (z ) = f (1/z ).

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Como consecuencia de las definiciones y de los resultados previos sobre polos, podemos enunciar: Proposicio´ n 8.15. Supongamos que ∞ es una singularidad aislada para una funcion ´ f . Las siguientes propiedades son equivalentes: (1) f tiene en ∞ un polo de orden k; f (z) (2) existe limz→∞ k ∈ C \ {0}; z (3) existen un R > 0 y una funci ´on g holomorfa en A R = {z ∈ C : |z| > R} con limz→∞ g(z) ∈ C \ {0} y que verifica f (z) = z k g(z) para cada z ∈ A R . (4) existen coeficientes A j (1 ≤ j ≤ k), an (n ∈ N ∪ {0}), con A k = 0, un´ıvocamente determinados, y un R > 0, tales que k

f (z) = Ak z + · · · + A1 z +

∞  an n=0

zn

siempre que |z| > R.

(El polinomio Ak z k + · · · + A1 z se denomina parte singular o parte principal de f en ∞.) Teorema 8.16. (de Casorati-Weierstrass para singularidad infinita). Supongamos que ∞ es una singularidad aislada para una funci´on f . Las siguientes propiedades son equivalentes: (1) ∞ es una singularidad esencial de f . (2) f (U ) = C para todo entorno reducido U de ∞. (3) Para todo w ∈ C se puede encontrar (z n ) en el dominio de f tal que z n → ∞ y f (z n ) → w. Es conveniente extender el concepto de funci´on meromorfa a funciones definidas en abiertos del plano complejo ampliado C∞ que contengan al punto del infinito. Definicio´ n 8.17. Sea  un abierto de C tal que C\ D(0; R) ⊆  para alg´un R > 0, es decir, tal que ∞ =  ∪ {∞} sea un abierto en C∞ . Diremos que f :  → C es meromorfa en ∞ , en s´ımbo...