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Plots of cinematics...

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129

Cinemática

TEST 1.-

Las velocidades “v” de t res part ículas: 1, 2 y 3 en función del t iempo “t ”, son most radas en la figura. La razón ent re las aceleraciones mayor y m enor es:

a) b) c) d) e)

2.-

8 1/2 10 1 3

a)

d)

b)

e)

De las gráficas: A

B

C

N.A.

D c)

4.-

El gráfico corresponde con uno de los siguient es m ovim ient os.

E

a) Las que corresponden al m ovimient o uniform ement e variado son: a) b) c)

3.-

A, B y C C, D y E A, C y D

d) e)

b) c) d)

A, D y E Ninguna

¿Cuál de los siguient es diagramas v – t corresponde con el diagrama a – t most rado, si el móvil parte del reposo?

e)

5.-

El d e una piedra lanzada vert icalm ent e hacia arriba. El de una pelot a que se lanza vert icalment e cont ra el piso. El de una pelot a que se suelt a desde cierta alt ura. El de un objet o que es lanzado desde ciert a alt ura sobre el mar. El de una persona que baja y luego sube una escalera.

Según el gráfico, cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) necesariament e ciert a (s).

130

Jorge Mendoza Dueñas 8.I.- Es un M.R.U. II.- Es un M.R.U.V. III.- El m ovimient o es ascendent e

a) b) c)

6.-

II y III Solo I Solo II

d) e)

¿Cuál de los siguient es gráficos a – t concuerda con el gráfico v – t mostrado?

Solo III I y III a)

d)

b)

e)

¿Cuál de los siguient es gráficos indica un mayor recorrido en los 10 primeros segundos, si siempre se part e del reposo?

a)

b)

c)

d)

c) e)

7.-

N.A.

¿Cuál de las siguient es gráficas v – t concuerda con la gráfica e – t most rada?

9.-

Del gráfico se puede afirmar que: a) b)

c) a)

d) d) e)

10.b)

e)

N.A.

El m óv i l p ar t i ó del reposo. Tuvo aceleración const ante durant e los primeros 5 segundos. Desaceleró finalment e a razón de 15 m/s2. La mayor part e del t iempo se movió con M.R.U. b y c son correct as.

Basados en el gráfico podem os afirmar: a) b)

c) c) d) e)

Para t = 0, el móvil est aba en reposo. Durant e los prim eros 5 segu nd os se movió en M.R.U.V. Después de los 5 primeros segundos se mueve con velocidad const ant e. El M.R.U.V. empieza después de t = 5 segundos. Después de t = 5 segundos el móvil se det iene.

131

Cinemática

PROBLEMAS RESUEL RESUELTOS TOS A 1.-

problemas de aplicación Un móvil se desplaza con M.R.U. según el gráfico. Calcular el espacio recorrido al cabo de 10 segundos.

3.-

Solución:

2.-

Solución:

b5gb10g

e A e

Un auto part e del reposo y describe el gráfico adjunt o. Det erminar la velocidad al cabo de 5 segundos.

50 m

Una part ícula parte del reposo con M.R.U.V. Cuando t = 2 s, su velocidad es 4 m/s m ant eniéndola const ant e. Calcular el espacio recorrido por el móvil hast a los 6 segundos.

a

4.-

t an

2

FG v IJ H5 K

v 10 m/ s

Una part ícula posee el siguient e gráfico de su movimient o (v vs t). Represent ar el gráfico (e vs t).

Solución:

Solución:

❏ Ent re A y B (mov.acelerado)

A A1

A

Luego:

A2

b2gb 4g b 6 2gb 4g 2 e

20 m

20

t 0

e0

t 3

e A 18 1

132

Jorge Mendoza Dueñas ❏ Ent re B y C (mov. ret ardado) t 3

t

e A 18 1

6

e A1 A2 e 18 18

e 0 ( Ya q u e el m ó vil cambia de sent ido)

Solución:

❏ Finalment e:

❏ vo

0 , ya que tan 0° = 0

x v ot

1 2

at 2 (mov. ret ardado)

❏ Para x = 4 cm

bg

4 02

5.-

El gráfico v = f (t ) nos muestra el m ovimient o de dos móviles “M” y “N”. Si “M” part e 3 s después que “N”. ¿Al cabo de qué tiempo ambos móviles alcanzan igual velocidad, si “M” acelera a 2,3 m /s2 y “N” inicia su movimient o a 8,6 m /s?

❏ Para: t a

2.-

1 2

bg

a 2

0

vF

?

2 cm / s 2

a

1s

2 cm / s2 ;

vo

2

;

vF vo

at

vF 0

b2gb1g

v F 2 cm / s

El gráfico represent a el movim ient o de un móvil en línea rect a. Hallar el desplazamient o y espacio recorrido por el móvil ent re t = 0 s y t = 8 s. (radio = 2 m).

Solución:

❏ Para N: a t an 37 a

3

m / s2

;

vF vo

8 ,6m / s

;

v

4 vo

8 ,6

at

3 4

t

.............. (1)

Solución:

❏ Para M: a

vo

2 2 ,3 m / s

0

;

vF vo

;

v

aT

b 3g ......... (2)

0 2 ,3 t

❏ (1) = (2): t 10 s

B 1.-

problemas complementarios Una part ícula se mueve a lo largo de la horizont al de acuerdo a la gráfica (x – t ) most rada. ¿Cuál es la velocidad de la part ícula en t = 1 s?

❏

A1

A2

R2

b2 g

2

2

2

2

133

Cinemática ❏ Finalment e:

❏ d = desplazamient o d A

A

1

0

2

d 0

❏ Espacio recorrido: e

A

e 2

3.-

A

1

2

2

e 4

m

Dado el siguient e gráfico, det ermine la posición del móvil en el inst ant e t = 2 s.

5.-

El diagrama corresponde al movimient o de dos part ículasque inicialmente est án separados por 200 m. ¿Qué t iempo tarda el móvil “A” para encont rar al móvil “B”?

Solución:

❏

30

t an

5

6

Solución:

❏ Con el móvil “A” (M.R.U.): v = 35 m/ s

❏ En el t riángulo sombreado: x

t an

6 2 x

5

x

❏ Int erpret ando el problema:

20

❏ Analizando el problem a: 4.-

❏ Con el móvil “B” (M.R.U.): v = 15 m/ s

4

x

20 m

Construir la gráfica (v – t)para un m óvil cuya posición respect o al t iempo se indica en el gráfico.

Nos piden el t iempo de encuent ro: t

FG 200 IJ H 35 15K

t

t

F GH v

e A

vB

I JK

4s

NOTA A cont inuación se explicará ot ro mét odo para la resolución del present e problema.

Solución:

❏ Ent re O y A: Com o la parábola es cóncava hacia abajo el movimiento es retardado (M.R.U.V.). Nótese que cuando el m óvil llega al punt o “A” ya no se mueve: vF = 0

FG v v IJ t H 2 K F v 0IJ10 100 G H 2 K

e

o

e

A1

200

35 t 15 t

F

o

t

vo

20 m / s

A2

4s

134 6.-

Jorge Mendoza Dueñas Un móvil en t = 0 est á en xo = 50 m. Hallar la posición en t = 15 s. Si la siguient e gráfica (v – t ) le corresponde.

Solución:

❏ Transformando el grafico (a - t ) a (v - t)

Solución:

10

t an

v

5

b gb g

❏ A1

❏

1 800

1

b7 2gb25g 2

A3

b10 7gb 25g 75 FG 12 ,5 25JI b15 10 g H 2 K

d

A

d

10

1

A

2

62 ,5

1 800

10

62 ,5

A

3

75

A

6 ............ (2)

g

t1

2

❏ De (1) y (2): e

A2

A4

bt

3t 1

t2

25 m / s

v

7 2 1 2 10 2

v

❏ t an

❏ En el t riángulo sombreado (superior): t an

12 ..................... (1)

t1

5

2

v

❏ t an

❏ En el t riángulo sombreado (inferior):

A1

A2

b

v t

vt 1

2

2

g

t1

2

Nót ese: v = 12t 1

93 ,75

b12 t g 2t b12t gb23t

1 800

6t 1

1

2

❏ Finalment e:

4

93 ,75

1 800

d

221, 25

❏ Int erpret ando el problema:

8.-

1

1

2

12t 1 t

2

1

t1

g

t 1 10 s

b g

3 10

t2

30 s

En el diagrama, ¿qué t iempo t arda el móvil “B” para alcanzar al móvil “A”?

Solución: x

d

50

x 221,25 50

7.-

x 171, 25 m

El gráfico corresponde a un móvil que part e del reposo y luego de recorrer 1 800 m se det iene. ¿Qué t iempo tarda en recorrer dicha dist ancia?

❏ El punt o de int ersección que muest ra el gráfico, es cuando el móvil “B” alcanza en velocidad al de “A”. Hast a ese m oment o sólo han pasado 3 segundos. Est o significa que el móvil “B” alcanzará al m óvil “A” después de superar la velocidad de 9 m/s (como es lógico).

135

Cinemática ❏ El problema nos dice que “B” alcanza a “A” ya que

t an 37

ambas part en al mismo t iempo. AA

9t

❏

9.-

b g

t v f ...... (1) 9

t an

3 vf

❏

1

3

5

b gb g b gb g

vf t

❏ Finalment e:

3t .............. (2)

(2) en (1): 9 t

2

9

3 vf 2 v f 5 m s/ 4 4 Trabajaremos sólo con valor absolut o,ya que el signo negativo tan sólo nos indica el sentido del movim iento. 1 9 5 3 AB 9 5 2 AB 14 2

AB

2

vf

e

1 t 3t 2

b g

t 6s

e AA AB

63 14

e

77m

❏ Int erpret ando el problema:

Dos automóviles present an movimientos donde sus velocidades varían con el t iempo t al como indica la figura. Si inicialment e se encont raban junt os, ¿qué separación exist e ent re ellos en t = 9 s?

10.-

En el movim ient o lineal del gráfico: v o = 12,5 m /s. ¿En que inst ant e “t ” la velocidad es cero?

Solución:

❏ Las velocidades t ienen signos diferent es, est o nos indica que los aut omóviles se van alejando: nos piden la separación para t = 9 s. Tenemos que calcular la suma de espacios hast a t = 9 s.

vF 1 9

4 3

vF 1 9

vf

13

AA

b1gb9g 12b 9gb12g

❏ Con el móvil “B”:

NOTA En un movimiento donde la aceleración varía uniformemente respecto al tiempo, el área bajo la rect a del gráf ico ( a – t ) rep resent a el cambio de velocidad ent re dos punt os.

❏ Con el móvil “A”: t an 53

Solución:

A vF vo

A A 63

❏ En nuest ro caso: 1

A

2 1 2

bt 2g

bt 2g

1 t 2

2

2

b 2g

t 7s

2

vf 0

vo

b 12, 5g

136

Jorge Mendoza Dueñas

PROBLEMAS PROPUESTOS A 1.-

problemas de aplicación ¿Cuál es la velocidad que lleva el móvil ent re los 10 y los 20 segundos?

Rpta. Rpta.

6.-

2.-

Según el gráfico, det erminar el espacio recorrido, hast a el quint o segundo a part ir de t = 0

El gráfico pert enece a un móvil que se m ueve a lo largo del eje x. Si recorre 120 m en los primeros siet e segundos, det erminar el valor de su velocidad en el quint o segundo.

Rpta. Rpta.

Un auto viaja a 40 m/s y frena, desacelerando uniformement e de acuerdo al gráfico de su movimient o. Hallar el espacio recorrido ent re t = 7 s y t = 10 s.

¿Cuál es la aceleración del móvil según el gráfico?

Rpta. Rpta.

En el gráfico adjunt o. ¿Cuál es la posición del móvil cuando t = 10 s?

El gráfico represent a el m ovimient o de un móvil en una línea recta. Hallar el desplazamient o, y el espacio recorrido por el m óvil ent re t = 0 s y t = 10 s Rpta.

9.-

Rpta.

5.-

35 m

– 5 m /s2

8.4.-

20 m/s

30 m

7.-

3.-

10

0

Desplazamient o = 25 m Espacio = 35 m

La velocidad de t res part ículas 1, 2 y 3 en función del t iempo son most rados en la figura. Calcular la razón ent re las aceleraciones mayor y menor.

Si el móvil part e con vo = 2 m/ s ¿ Cuál es su velocidad al cabo de 6 s ?

Rpta.

10.-

32 m

3 m /s

En la gráfica a – t , determ inar la velocidad en el 5to s de movim ient o si el móvil part e del reposo.

137

Cinemática 3.-

Rpta.

2 m /s

Un cohet e part e, con velocidad inicial de 8 m/s y su aceleración viene dada por la gráfica m ostrada en la figura. ¿Cuál es su velocidad en t = 8 s? sugerencia: a = vf v o

Rpta.

B 1.-

36 m/s

problemas complementarios Del diagram a v – t d e la fig ura. Deducir el diagram a x – t , si la posición inicial xo = 0

4.-

De la gráfica v – t de la figura deducir las gráficas x – t y a – t; considere que el m óvil part e del origen de coordenadas.

Rpta.

Rpta.

2.-

Del diagram a a – t de la figura ded ucir el diagrama v – t si se sabe que la p osición y la velocidad in icial es 0.

5.-

La gráfica (v – t) muest ra el movimient o horizont al de un móvil, si para t = 1 s el móvil se encuent ra a 3 m a la izquierda del observador. Hallar la p osición del móvil para t = 11 s.

Rpta. Rpta.

6.-

9 m a la derecha del observador

El movim ient o de una part ícula viene dado por la gráfica x – t , det erminar la gráfica v – t correspondient e a dicho movim ient o.

138

Jorge Mendoza Dueñas 8.-

El gráfico represent a la velocidad en función del t iempo de dos móviles M y N que part en de un mism o punt o sobre la misma recta. Si N part e 5 s después de M, calcular en qué inst ant e N alcanza a M.

Rpta.

9.-

25 s

La figura nos indica diagramas velocidad tiempo de dos móviles A y B que se mueven sobre la m isma rect a, y que part en de una m isma posición inicial. Al cabo de qué tiempo, en segundos, se encont rarán los móviles.

Rpta. Rpta.

10.7.-

Hallar la velocidad inst ant ánea en t = 10 s; x = posición, t = t iempo

Rpta.

1 m /s

18 s

El gráfico describe el m ovimient o de un aut o y un camión que pasan por un mism o punt o en t = 0. Calcular el inst ant e en el cual volverán a est ar junt os.

Rpta.

18 s...