Cinematismi - cinematiscmi PDF

Preview

Summary

cinematiscmi...

Description

Capitolo 1

1.1 Definizioni Con il termine cinematismo si intende un sistema strutturale formato da corpi rigidi, connessi mutuamente e/o con il suolo mediante vincoli la cui molteplicit´a efficace e´ tale da consentire moti rigidi del sistema. Il cia di corpo rigido e si nematismo possiede quindi uno o piu´ gradi di libert´ a. indicher´a con lR il numero di questi gradi di libert´ Un cinematismo puo´ assumere lR indipendenti configurazioni cinematicamente ammissibili. Nell’ipotesi di spostamenti infinitesimi la classe delle ∞lR configurazioni cinematicamente ammissibili viene ottenuta per combinazione lineare delle lR configurazioni indipendenti. Per descrivere tutte le configurazioni del cinematismo e´ pertanto necessario selezionare lR parametri cinematici λ i quali determinano il vettore λ dei parametri lagrangiani del sistema λ = [λ1 , λ2 , ...., λlR ]T .

(1.1)

La scelta di tali parametri e´ arbitraria sotto opportune condizioni. Una qualunque configurazione cinematicamente ammissibilee´ generata dando a ciascun parametro lagrangiano un valore arbitrario.

1.2 Cinematismi piani Nel caso di cinematismo piano, i moti rigidi del sistema si realizzano nel piano. Vincoli tipici, esterni ed interni, atti a consentire moti rigidi piani sono ovviamente di tipo cerniera: • cerniera fissa;

4

Figura 1.1: spostamento euleriano. • cerniera scorrevole (pendolo, appoggio scorrevole); • cerniera impropria (bipendolo). Il vincolo di incastro impedisce tutti i moti rigidi dell’elemento ad esso vincolato. Per il teorema di Eulero uno spostamento rigido piano puo´ essere ricondotto ad una rotazione infinitesima attorno ad un punto fisso del piano detto centro di rotazione. Con riferimento alla figura 1.1, se con ϕ si indica l’angolo di rotazione dell’elemento e con dK la distanza del punto K dal centro C, lo spostamento di K, uK , viene determinato come segue: uK = tgϕ · dK ≡ ϕ · dK .

(1.2)

Con riferimento ad un generico elemento che compone il cinematismo, le seguenti regole semplici possono essere desunte: • noto il centro C e la direzione dello spostamento di uK (fig 1.1a), la retta congiungente C e K e´ ortogonale alla direzione di uK ; • note le direzioni degli spostamenti di uK e uI (fig 1.1b) di due punti K e I di un elemento, il centro di rotazione C di tale elemento deve

1.2 Cinematismi piani

5

Figura 1.2: vincoli e centri. necessariamente trovarsi all’intersezione delle rette ortogonali alle direzioni uK e uI , rispettivamente. Valgono poi i seguenti teoremi di Kennedy: teorema di Kennedy I: Dati due elementi mutuamente vincolati a e b del cinematismo, i centri di rotazione assoluta Ca e Cb ed il centro di rotazione relativa Cab dei due elementi devono essere allineati. teorema di Kennedy II: Dati tre elementi a, b, c del cinematismo, i centri di rotazione relativa Cab , Cbc e Cac devono essere allineati. Si definisce meccanismo fondamentale del cinematismo un particolare meccanismo (o configurazione base) del cinematismo ottenuto imponendo il valore unitario ad uno soltanto dei parametri lagrangiani e valore nullo ai rimanenti parametri. Di un cinematismo esistono pertanto lR meccanismi fondamentali (MF) ciascuno dei quali rappresenta una delle possibili configurazioni del cinematismo. Ciascun MF puo´ essere visualizzato graficamente se, di volta in volta, idealmente venissero applicati al cinematismo i vincoli atti ad impedire gli spostamenti dei punti per i quali deve risultare λ = 0. Disposti tali vincoli, il cinematismo possiede a residuo. Risulta quindi semplice, adesso, visuaun solo grado di libert´

6 lizzare una qualunque configurazione del particolare modo indipendente di spostarsi del sistema: tale configurazione viene anche detta la spostata del MF. Si supponga di volere determinare, per un assegnato cinematismo, il vettore u degli spostamenti assoluti (spostamenti in direzioni assegnate o rotazioni in n punti del sistema) e il vettore ϑ degli spostamenti relativi (spostamenti relativi o rotazioni relative in m punti del sistema). Le relazioni tra il vettore λ dei parametri lagrangiani ed i vettori u e ϑ a degli spostamenti assoluti e relativi sono le equazioni di compatibilit´ cinematica del sistema definite in forma compatta come: u = C∗ · λ ϑ = C · λ.

(1.3)

a del sistema. La maLe matrici C∗ e C sono le matrici di compatibilit´ trice C∗ ha n righe e lR colonne, la matrice C ha m righe e lR colonne. La o essere fatta mediante un semplice costruzione delle suddette matrici pu´ studio geometrico del sistema. Basta osservare che la generica colonna di C∗ o di C e´ un vettore che descrive i valori di u e ϑ quando tutti i parametri lagrangiani sono nulli ad eccezione di quello associato alla colonna in considerazione. Infatti si pu´ o scrivere: u = c1∗ · λ1 + c2 ∗ · λ2 + ... + clR ∗ · λlR ϑ = c1 · λ1 + c2 · λ2 + ... + clR · λlR ,

(1.4)

dove c1∗ , c2 ∗ , ..., clR ∗ sono le colonne di C∗ e c1 , c2 , ..., clR sono le colonne di C. Le matrici C∗ e C dipendono sia dalla scelta dei parametri λ, sia dalla geometria della configurazione di riferimento, caratterizzata da λ = 0. Fissati i parametri lagrangiani con cui si vuole descrivere la generica configurazione del sistema, per costruire effettivamente C∗ e C basta prendere in considerazione, uno dopo l’altro, gli lR meccanismi fondamentali e le loro relative spostate. Una precisazione infine sulle convenzioni dei segni. Le direzioni positive dei parametri lagrangiani sono arbitrarie; tuttavia e` piu´ conveniente che nel disegnare la spostata relativa a ciascun MF, lo spostamento del corrispondente parametro λ = 1 avvenga nella propria direzione positiva. I versi delle componenti degli spostamenti u e ϑ sono anch’essi arbia positivo se nel corrispondente MF corrisponde uno trari: il loro segno sar´

1.3 Equazioni di equilibrio

7

Figura 1.3: convenzione sui segni degli spostamenti relativi. spostamento positivo. Le componenti degli spostamenti relativi vengono solitamente indicati con due frecce o due archi con verso opposto (fig. a pari alla 1.3). Lo spostamento relativo del punto interno vincolato sar´ somma algebrica degli spostamenti assoluti del punto di vincolo, pensato appartenente sia all’uno che all’altro dei due elementi.

1.3 Equazioni di equilibrio Dal Principio dei Lavori Virtuali e´ possibile dedurre le equazioni di equie un librio di un cinematismo. Condizione necessaria e sufficiente affinch´ cinematismo sia in condizioni di equilibrio in una data configurazione C di un sistema e´ che δL = δLe = 0,

δLi = 0

(1.5)

per qualunque cambiamento di configurazione virtuale a partire da C . Nell’equazione (1.5) δLe e´ il lavoro dei carichi (forze attive esterne) e δLi ´e il lavoro delle azioni interne. E’ opportuno osservare che le forze interne non compiono lavoro durante un qualunque cambiamento di configurazione a partire dalla configurazione iniziale C poich´ e il sistema e` formato da corpi rigidi. Assegnato δλ e ricordando che per cambiamento virtuale si intende una a (1.3), qualunque configurazione che rispetti le equazioni di compatibilit´ gli spostamenti virtuali sono espressi da δ u = C∗ · δ λ δϑ = C · δλ

(1.6)

8 ed affinch´e il cinematismo resti in quiete nella configurazione C sotto l’azione dei carichi, deve essere δLe = FT δ u + QT δ ϑ = 0

(1.7)

ossia, utilizzando le (1.6) (C∗T F + CT Q)T δλ = 0

(1.8)

a di δλ, discende da cui, in considerazione dell’arbitrariet´ C∗T F + CT Q = 0

(1.9)

la quale e´ equivalente ad lR equazioni di equilibrio. Le convenzioni sui segni delle forze sono scelte come in figura 1.4.

Figura 1.4: cinematismo in condizioni di carico: convenzione sui segni delle forze e degli spostamenti.

1.4 Metodo della proiezione della spostata In generale le aste che costituiscono un sistema rigido posseggono forma qualsiasi e gli spostamenti scelti possono avere direzione arbitraria.

1.4 Metodo della proiezione della spostata

9

Per risolvere graficamente cinematismi complessi si utilizza il metodo della proiezione della spostata. Si consideri un generico corpo rigido AB e sia C il suo centro di ro-

Figura 1.5: proiezione della spostata di un singolo elemento. tazione assoluta. Lo spostamento di un generico punto P appartente ad AB avviene secondo la normale alla congiungente P con C. Il valore della componente di tale spostamento secondo una retta r passante per Pe ´dato dal prodotto della rotazione α per la distanza di tale retta da C. e uP x e uP y : si tracci una Si ricerchino ad esempio le componenti di uP , cio´ retta fondamentale ortogonale alla direzione di cui si vuole valutare lo ′ ′′ spostamento (una orizzontale f e una verticale f ), fig. 1.5. Su tali rette ′ ′′ si proiettino le posizioni di C e di P. Su f e f si riportano i diagrammi delle componenti di spostamento ortogonali ad esse (sulla retta verticale si riportano gli spostamenti orizzontali e viceversa). Tali diagrammi hanno punto di nullo in corrispondenza delle proiezioni del centro assoluto C sulle stesse rette. La conoscenza dei due diagrammi permette la determinazione dello spostamento di un qualsiasi punto del corpo rigido. o In particolare la componente orizzontale dello spostamento di P si pu´ determinare moltiplicando α per la distanza di P” da C”, fig. 1.6. Nel-

10

Figura 1.6: decomposizione del vettore spostamento. l’ipotesi di spostamenti infinitesimi risulta infatti:   ¯ α sen ψ = α CP ¯ sen ψ = α C ′′¯P ′′ uP x = uP sen ψ = CP

(1.10)

In modo del tutto analogo si determinano la componente verticale dello spostamento del punto P e tutte le altre componenti dello spostamento secondo una qualunque direzione.

1.5 Applicazioni

11

1.5 Applicazioni Per lo svolgimento degli esercizi sui cinematismi si consiglia di seguire la seguente procedura: 1. Classificazione topologica della struttura: determinazione del nua della struttura; mero di gradi di libert´ 2. Scelta dei parametri lagrangiani indipendenti; 3. Individuazione dei meccanismi fondamentali e studio di ciascun meccanismo: • i vincoli esterni danno informazioni sulla posizione dei centri assoluti; • i vincoli interni danno informazioni sulla posizione dei centri relativi; • si determinano le posizioni dei centri assoluti e/o relativi mancanti utilizzando i teoremi di Kennedy; • si disegnano le spostate o per via diretta o con il metodo della proiezione della spostata.

12

1.5 Applicazioni

13

14

1.5 Applicazioni

15

16

1.5 Applicazioni

17

18

1.5 Applicazioni

19...