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43/10

I volumi di base

Compendio di

Econometria p (ε )

Y

Y = β0 + β1X

β0

x1

x2

x3

xn

X

Dimostrazioni delle formulazioni analitiche Rappresentazioni grafiche esplicative Esempi su fogli di lavoro in Excel Domande più ricorrenti in sede d’esame

SIMONE EDIZIONI

G r u p p o E d i t o r i aExcerpt l e E ofs sthee lfull i bpublication ri - Simone

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TUTTI I DIRITTI RISERVATI Vietata la riproduzione anche parziale

Di particolare interesse per i lettori di questo volume segnaliamo: 43/1 43/2

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Compendio di Statistica Esercizi svolti per la prova di Statistica

43/3

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Prepararsi per l’esame di Statistica

43/4

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Compendio di Matematica finanziaria (classica e moderna)

43/6

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Compendio di Statistica economica

43/9

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Compendio di Demografia

44/6

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Compendio di Matematica per l’Economia

201 201/1 582

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LX43 -

Nozioni elementari di Statistica Matematica per l’Economia Dizionario di Economia Le parole della Statistica

Microsoft e Microsoft Excel sono marchi registrati dalla Microsoft Corporation L’Appendice A (Matrici e loro proprietà) è tratta dal Compendio di Matematica per l’Economia, di Fabio Privileggi, Edizioni Simone 2007 I fogli Excel riportati nel volume possono essere scaricati al seguente indirizzo internet: http://www.simone.it/catalogo/v43_10.htm Risorse e approfondimenti gratuiti di Statistica sono disponibili al seguente indirizzo Internet: www.simone.it/economia

Tutti i diritti di sfruttamento economico dell’opera appartengono alla Esselibri S.p.A (art. 64, D.Lgs. 10-2-2005, n. 30)

Autore: Carla Iodice

Finito di stampare nel mese di aprile 2008 dalla «INK & PAPER s.r.l.» - Via Censi dell’Arco, 22 - Cercola (NA) per conto della «Esselibri S.p.A.» - Via F. Russo, 33/D - 80123 - Napoli Grafica di copertina a cura di Giuseppe Ragno

PREMESSA Qualsiasi testo di Econometria inevitabilmente adotta un approccio formale fatto di formule e proposizioni astratte, delle quali spesso lo studente, e talvolta anche il ricercatore, non riesce a cogliere il senso. Questo testo non vuole avere la pretesa di illustrare le principali metodologie di analisi econometrica utilizzando un approccio diverso; esso, tuttavia, contiene dimostrazioni puntuali delle espressioni analitiche riepilogative dei teoremi e dei concetti fondamentali e, quando possibile, deriva formule più semplici da applicare. Il Compendio di Econometria contempla non solo la trattazione teorica delle nozioni fondamentali ma anche un ricco apparato di esempi in cui sono fornite applicazioni pratiche dei principi propri della scienza, fogli elettronici in cui si affronta lo studio della disciplina attraverso esercitazioni in Excel, risolutive degli esempi, e questionari a fine capitolo che consentono un’ulteriore verifica dell’apprendimento teorico. Il volume è articolato in otto capitoli. Dopo un primo capitolo introduttivo sulla natura dell’econometria e dei suoi legami con la teoria economica, il testo tratta principalmente i modelli di regressione, semplice e multipla, e, infine, dedica un capitolo all’identificazione e alla stima dei modelli a equazioni simultanee. Il testo è corredato, inoltre, da due Appendici. La prima consta di nozioni sulle matrici e sulle loro proprietà; ad essa si deve ricorrere ogni volta che nel testo è fatto un richiamo alle definizioni e alle regole proprie di tale teoria. La seconda Appendice consta, invece, di cinque tavole statistiche. Il testo, per i suoi contenuti e per la chiarezza con cui i complessi argomenti sono esposti, si indirizza agli studenti dei corsi istituzionali di Econometria, a partecipanti a pubblici concorsi, nonché a funzionari e tecnici che utilizzano le procedure di modellazione econometrica per obiettivi di politica economica. I fogli Excel riportati nel volume possono essere scaricati al seguente indirizzo internet: http://www.simone.it/catalogo/v43_10.htm

ALFABETO GRECO Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θϑ

Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π

alfa beta gamma delta epsilon zeta eta theta

ι κ λ µ ν ξ ο π

Ρ ρ Σ σ Τ τ Υ υ Φ ϕφ Χ χ Ψ ψ Ω ω

iota kappa lambda mi ni xi òmicron pi

rho sigma tau ypsilon phi chi psi òmega

INDICE DEI SIMBOLI > < ≥ ≤ ≠ ∝ ∞ → ∀ ∼

≅ ± log(.) ln (.) e lim ∂ ∫ ∑ ∏

maggiore minore maggiore o uguale minore o uguale diverso da proporzionale infinito tende a per ogni distribuito come

circa uguale a più o meno logaritmo in base 10 logaritmo neperiano base del logaritmo neperiano limite derivata parziale integrale sommatoria produttoria

I vettori e le matrici sono indicati con le lettere in grassetto: i vettori con lettere minuscole, le matrici con lettere maiuscole.

ABBREVIAZIONI Cov(.,.) covarianza D(.) devianza

es(.) E(.)

errore standard valore medio

v.c. Var(.)

variabile casuale varianza

ABBREVIAZIONI PER GLI STIMATORI OLS GLS WLS 2SLS

minimi quadrati ordinari minimi quadrati generalizzati minimi qudrati ponderati minimi quadrati a due stadi

ILS ML IV

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minimi quadrati indiretti massima verosimiglianza variabili strumentali

CAPITOLO PRIMO LA NATURA DELL’ECONOMETRIA E I MODELLI ECONOMETRICI

SOMMARIO: 1. L’econometria e i dati economici - 2. La nozione di modello. - 3. Modelli per serie storiche e modelli di regressione - 4. Forma strutturale e forma ridotta di un modello. - 5. Il procedimento di costruzione di un modello econometrico: un esempio. - 6. Piano dell’opera.

1. L’ECONOMETRIA E I DATI ECONOMICI In epoche passate e recenti, la teoria economica si è occupata dello studio delle relazioni tra variabili microeconomiche e macroeconomiche fornendo le ipotesi per l’elaborazione di modelli rappresentativi della complessa realtà. Tali modelli sono volti a dare contenuto quantitativo alle relazioni tra le variabili e devono la loro formalizzazione, in termini matematici, all’econometria. La disciplina, infatti, applicando i metodi statistici e matematici allo studio e alla misurazione dei fenomeni economici, elabora modelli con l’obiettivo di verificare empiricamente le teorie economiche. Dalla definizione data scaturiscono immediatamente le interrelazioni, nell’ambito dell’econometria, tra teoria economica da un lato, analisi matematica, probabilità e statistica dall’altro. In questo volume definiremo gli strumenti utili allo sviluppo di tecniche di modellazione econometrica fondate su procedure statistiche. Per un corretto studio della disciplina in oggetto, è necessario disporre delle conoscenze delle nozioni di economia, fondamento dell’econometria, e della statistica, funzionale alla stessa. L’econometria è da considerarsi, tuttavia, una disciplina che, sotto molteplici aspetti, si differenzia dalla probabilità e dalla statistica fondate sul requisito della ripetibilità dei risultati tipico delle scienze naturali a partire da Galileo. Un fenomeno, per interessare le prime due discipline, deve essere incerto nei risultati e ripetibile; i dati economici, così come, in generale, i dati delle scienze sociali, non sono, invece, frutto di un esperimento ripetibile. Il consumo aggregato di una nazione in un dato anno rappresenta la realizzazione di un esperimento in cui i consumatori hanno effettuato scelte di consumo e di risparmio correlate con il proprio reddito disponibile corrente, la propria ricchezza e una serie di altri fattori economici relativi a quell’anno e non ripetibili in altri anni. Gli investimenti in un dato anno di una data impresa sono funzione del tasso di interesse di mercato in quell’anno, della variazione del reddito disponibile rispetto all’anno precedente, della sua attitudine al rischio in quel momento storico e di altri fattori che, senza alcun dubbio, non si ripeteranno in altri periodi secondo le medesime modalità. L’analisi quantitativa dei fenomeni economici condotta dall’econometria si avvale di modelli fondati sulla teoria economica, applicati a dati economici di diverso tipo: serie storiche, dati cross section e dati panel.

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Capitolo Primo

SERIE STORICHE (O TIMES SERIES) Molti fenomeni presentano andamenti nel tempo caratterizzati da una certa regolarità o costanza strettamente legate alla posizione occupata dall’osservazione nella sequenza di dati osservati. L’analisi delle serie storiche, o cronologiche, o temporali, è la metodologia statistica che si occupa dello studio di tali fenomeni i quali sono rappresentabili, appunto, tramite serie storiche. In termini rigorosi, una serie storica, xt, è una successione di osservazioni ordinate logicamente secondo un indice temporale t che definisce l’ordinamento dei dati e tale che t ∈ T. Si tratta di dati di un fenomeno statistico osservato per più periodi (settimanali, mensili, trimestrali, annuali). L’ordine degli elementi di una serie storica non è casuale, anzi i dati sono ordinati in modo naturale dal valore assunto dall’indice temporale. L’analisi econometrica può essere interessata a serie storiche macroeconomiche, come il reddito di una nazione in diversi anni, il suo consumo, i suoi investimenti. Le serie storiche microeconomiche concernono analoghe grandezze riferite a singoli individui o imprese. DATI CROSS SECTION I dati cross section sono costituiti da osservazioni individuali riferite a uno stesso istante temporale t. Essi sono derivati da osservazioni trasversali concernenti dati di più unità statistiche osservate per un solo periodo, come il reddito di n unità statistiche riferite a un solo periodo. DATI PANEL I dati panel sono dati di più fenomeni osservati per più di un periodo. I dati derivano da osservazioni longitudinali e sono bidimensionali in quanto incorporano sia la dimensione temporale sia quella sezionale. Si tratta, quindi, della sequenza temporale di dati sezionali, come il reddito di più unità statistiche in più periodi. Si supponga di disporre di osservazioni temporali relative a un numero n di unità statistiche di base o individui, per le variabili economiche y e x. Con un panel di dati si dispone di osservazioni su n unità statistiche per t periodi con t ∈ T.

2. LA NOZIONE DI MODELLO Come è stato più volte ribadito, l’econometria si occupa della modellizzazione matematica delle relazioni esistenti tra variabili economiche, in altri termini, costruisce modelli. La costruzione di modelli atti a rappresentare e interpretare la realtà è una della più delle più antiche attività umane. Un modello può essere definito come una rappresentazione formale delle conoscenze relative a un fenomeno, con la costruzione di un modello non si realizza una esatta riproduzione del fenomeno studiato ma se ne fornisce una versione semplificata. Un modello consiste tipicamente in un insieme di equazioni che legano le variabili rilevanti del fenomeno allo studio. In generale, esiste uno schema logico per la costruzione e l’applicazione di un modello che si articola in quattro stadi fondamentali.

La natura dell’econometria e i modelli econometrici

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2.1 Primo stadio: specificazione del modello Nel primo stadio si ha la specificazione che consiste nella formalizzazione in termini matematico – statistici delle ipotesi teoriche. Il tipo di specificazione adottata dipende, generalmente, non solo dal particolare processo economico che si considera, ma anche dal materiale empirico a disposizione. La costruzione di un modello econometrico, infatti, inizia con la definizione e l’analisi delle osservazioni campionarie che devono essere integrate con l’informazione a priori: i paradigmi della teoria economica. In questo stadio bisogna risolvere problemi diversi. Innanzi tutto, occorre individuare le variabili influenti e distinguerle in variabili esogene, che influenzano il modello stesso ma non subiscono l’effetto delle relazioni descritte in esso, e variabili endogene, il cui valore quantitativo è generato (spiegato) dal modello sulla base dei valori dei parametri (costanti) del modello e delle variabili esogene. In secondo luogo, occorre decidere la forma funzionale della legge sottostante il fenomeno investigato. Inoltre, essendo una semplificazione della realtà, difficilmente un modello è di tipo deterministico, esso ha, generalmente, carattere aleatorio e per questo occorre considerare le deviazioni residuali tra relazioni teoriche e osservazioni empiriche, o in altri termini, le cosiddette componenti stocastiche di disturbo, le quali sono, generalmente, introdotte in forma additiva. Tali componenti sono dovute a cause singolarmente irrilevanti ma congiuntamente influenti, quali l’omissione di variabili considerate inessenziali e divergenze tra variabili teoriche e variabili osservabili. L’esistenza di componenti stocastiche, non empiricamente osservabili, implica che, in fase di specificazione, occorre formulare delle ipotesi circa la loro distribuzione di probabilità (le componenti stocastiche sono delle variabili casuali) con il conseguente incremento del numero complessivo di parametri che dovranno essere stimati. I modelli si distinguono in dinamici e statici. Nei primi, a differenza di quanto avviene nei secondi, le interazioni tra variabili non si manifestano con effetti puramente istantanei. In una o più delle relazioni di un modello dinamico, ricorrono variabili che si riferiscono a periodi di tempo diversi, così che il valore delle variabili endogene varia in funzione del tempo; si distingue, perciò, tra variabili correnti e variabili ritardate di uno, due, ... periodi. Il fattore tempo è indicato con t, per cui, se con Y si indica il reddito, con C il consumo e con I gli investimenti, Yt , Ct e I t sono i consumi al tempo t, mentre Yt−1 , Ct −1 e I t−1 sono le corrispondenti grandezze ritardate di un periodo, Yt−2, Ct −2 e I t −2 sono le corrispondenti grandezze ritardate di due periodi etc. Rispetto ai modelli statici, in cui le variabili non sono datate, i modelli dinamici presentano una maggiore capacità di rappresentare la realtà; essi sono, spesso, di non facile soluzione. 2.2 Secondo stadio: stima dei parametri del modello Nel secondo stadio, è trattato il problema della quantificazione delle relazioni economiche, in altre parole, si procede alla stima dei parametri incogniti del modello. In questa fase si intende individuare una struttura del modello che sia il più possibile prossima alla incognita struttura vera, ossia alla reale rappresentazione del fenomeno in oggetto. La stima si basa su materiale empirico costituito da un insieme di osservazioni campionarie sui valori assunti dalle variabili in un certo periodo di tempo. Excerpt of the full publication

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Capitolo Primo

Dalla statistica sono noti diversi metodi di stima dei parametri. In questo testo faremo pressoché esclusivamente riferimento al metodo dei minimi quadrati e al metodo della massima verosimiglianza, i quali, spesso, conducono, come vedremo, ai medesimi risultati. 2.3 Terzo stadio: verifica della validità del modello La verifica (terzo stadio) consiste in una sequenza di operazioni atte a valutare la validità del modello sulla base delle osservazioni disponibili sulle diverse variabili dello stesso. La verifica riguarda diversi aspetti della rappresentazione formale del fenomeno allo studio quali: specificazione, capacità descrittiva, conformità alle aspettative teoriche e capacità previsiva. La verifica della specificazione vaglia il grado di attendibilità che può essere attribuito alle ipotesi che risultano dalla formulazione del modello; essa appura se le stesse possono ritenersi compatibili o non con quanto indica l’evidenza empirica rappresentata dalle osservazioni campionarie disponibili e si fonda sugli strumenti tipici di quell’area dell’inferenza statistica nota come teoria delle prove di ipotesi. Nella prova di ipotesi si distingue tra ipotesi nulla e ipotesi alternativa; la prima, che generalmente rispecchia la situazione acquisita prima dell’osservazione campionaria, è indicata con H0, mentre, la seconda, che ne attesta una diversa specificazione, è indicata con H1; sulla base delle osservazioni empiriche, a un prestabilito livello di probabilità, «si rifiuta» o «non si rifiuta» il modello a seconda che le stesse supportino o meno l’ipotesi nulla. La verifica di un’ipotesi è effettuata utilizzando una statistica-test o test funzione delle osservazioni campionarie e avente una distribuzione nota con la condizione che l’ipotesi enunciata sia vera. Il test è, quindi, una procedura inferenziale atta a valutare la conformità probabilistica tra un campione e la popolazione da cui è stato estratto. Esso determina il grado di attendibilità delle osservazioni campionarie, allo scopo di stabilire se le differenze risultanti rispetto alla popolazione siano significative oppure dovute a errore campionario. I test statistici generalmente impiegati presentano distribuzioni del tipo: v.c. normale standardizzata, v.c. F di Fisher, v.c. t di Student, v.c. χ 2 di Pearson. Con la verifica della capacità descrittiva si accerta se il modello è in grado o meno di riprodurre con accuratezza i valori osservati delle variabili endogene. Se si è in presenza di un modello uniequazionale le misure classiche atte a valutare l’adattamento, come l’indice di determinazione o simili sono funzionali, mentre, in presenza di un modello multiequazionale, la semplice constatazione che le singole equazioni sono in grado di rappresentare il fenomeno non fornisce alcuna garanzia che il modello considerato nel suo insieme sia attendibile. La verifica della validità del modello in termini di capacità descrittiva è effettuata confrontando i valori storici e i valori stimati delle variabili endogene. La verifica della conformità alle aspettative teoriche valuta la coerenza dei risultati ottenuti dalle stime con le indicazioni della teoria. Questo tipo di analisi fa uso della nozione di moltiplicatore il quale misura l’entità dell’effetto che un cambiamento unitario in una data variabile esogena provoca su una data variabile endogena. Un modello si può dire attendibile non solo quando è in grado di riprodurre adeguatamente i dati storicamente accertati e di generare valori dei parametri aderenti alle aspettative teoriche, ma anche quando si dimostra capace di dar luogo a buone previsioni. La capacità previsionale del modello può essere valutata ricorrendo a tecniche di previsione ex-post.

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La natura dell’econometria e i modelli econometrici

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2.4 Quarto stadio: utilizzo del modello L’utilizzo effettivo del modello (ultimo stadio) è subordinato alla sua corretta specificazione, a una stima con tecniche adeguate e all’esito favorevole delle verifiche che ne garantiscono la validità. La costruzione di un econometrico può avere finalità descrittive della realtà economica, interpretative delle relazioni tra variabili economiche o previsionali. Attraverso un modello ci si può prefiggere, infatti, la descrizione delle relazioni economiche, per cui il modello deve rappresentare semplicemente la realtà osservata. Ovviamente questa visione attribuisce al modello un ruolo riduttivo in quanto il processo di formalizzazione di un fenomeno economico non può limitarsi a una mera riproduzione della realtà. Un modello econometrico può essere volto alla interpretazione dei nessi causali e della dinamica di un sistema economico, per cui deve porre in evidenza le relazioni eventuali tra diversi fenomeni; si consideri, ad esempio, il problema tipico di politica economica della quantificazione degli effetti sul PIL o sull’inflazione dell’incremento di un punto percentuale del t...