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TP Condensateurs : Mesure de Electrique de ce travail pratique est de comparer la simple avec celle condensateur concentriques. La condensateur indique sa accumuler des charges est plus importante que la de potentiel U laquelle est soumise le condensateur est I. simple Cette partie a pour objectif d...

Description

TP n°4 Condensateurs Sphériques : Mesure de Capacité Electrique L’objectif de ce travail pratique est de comparer la capacité électrique d’une sphère métallique simple avec celle d’un condensateur à sphères concentriques. La capacité d'un condensateur indique sa capacité à accumuler des charges électriques. Celle-ci est d’autant plus importante que la différence de potentiel électrique U à laquelle est soumise le condensateur est élevé.

I.

Sphère métallique simple

Cette première partie a pour objectif de mesurer la capacité électrique d’une sphère métallique simple. a. Partie théorique 1) Densité surfacique de charge

σ : c’est le nombre de charges réparties sur l’ensemble

d’une surface. σ=

Q S

Avec Q , la charge total et S , la surface de la sphère. Or, la surface d’une sphère est : S=4 π R

2

Donc, la densité surfacique de charges s’exprime ainsi : σ=

Q 4 π R2

2) Sachant que :

V ( r )=

Q 1 × 4 π ε0 r

E ( r )=

−dV ( r ) dr

Avec V ( r ) et E ( r ) , respectivement le potentiel électrique et le champ électrique engendrés par la charge Q . Sachant que : d 1 −1 = 2 dr r r

()

(2)

On en déduit que : −dV (r ) −Q =− dr 4 π ε0 r 2

(

) E ( r )=

1 Q × 4 π ε0 r ²

3)

Q 2 4 π ε0 r E ( r ) 4 π ε0 r Q = × = 2 V (r ) Q Q 4 π ε0 r 4 π ε0r E (r ) 1 = V (r ) r Pour le condensateur plan (constitué de deux plaques parallèles carrées), le champ électrique s’exprime comme le rapport du potentiel électrique et de l’écart entre les deux plaques d : E=

V d

E 1 = V d On remarque que les deux rapports du champ électrique et du potentiel électrique s’expriment tout deux comme l’inverse d’une distance. 4) On sait que :

σ=

E ( r )=

Q 4 π r2

1 ∗Q 4 π ε0 r2

Q ∗1 4 π r2 = ε0 ¿σ

Nous obtenons donc :

E (r )=

σ ε0

V ( r ) donné par la relation (2) n’est valable qu’à l’extérieur de la sphère. Si on se place sur la sphère ( r=R ), on peut appliquer cette relation :

5) Le potentiel

V ( R )=

Q =U 4 π ε0 R

Avec U le potentiel électrique de la sphère. Dans le TP sur le condensateur plan, nous avons vu que la capacité s’exprimait : Q Q C= = V U La capacité de la sphère est donc : C=

4 π ε0 R Q =Q × Q Q 4 π ε0 R

C=4 π ε 0 R b. En ce qui concerne la manipulation L’objectif de cette manipulation est de mesurer la capacité C0 d’une sphère métallique de rayon R=20,5 ± 0,5 mm . Pour cela, on dispose d’une alimentation haute tension U 0 qui va permettre de charger la sphère métallique, et d’un dispositif de mesure de très faible tension (composé d’une sonde, d’un condensateur de capacité C1 =9,6 ± 0,4 nF et d’un amplificateur de tension) pour pouvoir relever la tension U 2 , la tension que l’on lit sur le voltmètre, cette tension est en fait la tension U 1 qui est amplifiée par l’amplificateur, donc : U 1=k U 2

L’intérêt d’amplifier les tensions est lorsque l’on veut relever des tensions très faibles. Or, dans ce TP nous n’aurons pas besoin d’amplifier U 1 donc k =1 et : U 1 =U 2

On va déterminer la capacité de la sphère grâce à cette relation : Q 0=C 0 U 0

(3)

La capacité équivalente de deux condensateurs C0 et C1 montés en parallèle s’écrit : C =C0 + C 1 Comme la charge Q 0 portée par la sphère se répartit à la fois sur cette dernière et sur le condensateur C1 avec pour tension aux bornes de ces deux condensateurs U 1 et comme les deux condensateurs sont montés en parallèle, on peut écrire : C (¿ ¿ 0+C 1)U 1 Q 0 =¿

Sachant que :

U 1=U 2

Donc : C 0+C ¿ (¿ 1 )U 2 Q 0 =¿ La capacité C0 est très faible par rapport à la capacité C 1 , on peut donc la négliger par rapport à C1 . On peut donc écrire : Q 0 ≈C 1 U 1 ≈ C 1 U 2 (4) On obtient finalement des équations (3) et (4) : C0 U 0 ≈ C1 U 2 U0 ≈

C1 U C0 2

U2 ≈

C0 U C1 0

Ainsi, U2 ≈ α U0 Avec : C0 α= C1

c. Manipulation

La manipulation consiste à relever les valeurs des tensions U0 et U2 à l’aide d’un voltmètre. Nous obtenons les résultats suivant : U0 (V)

U2 (V) 0 105 205 307 405 503 600 708 806 907

0 0,037 0,078 0,104 0,133 0,174 0,188 0,232 0,263 0,283

On trace U2 = f(U0) :

U2 = f(U0) 0.3 f(x) = 0 x + 0.01 R² = 1

0.25

U0 (V)

0.2 0.15 0.1 0.05 0 0

100

200

300

400

500

U0 (V)

600

700

800

900

1000

Le coefficient de corrélation R² est très proche de 1, on en déduit que les points du graphique sont à peu près alignés. La courbe obtenue est donc une droite. Comme quand U0 et U2 sont nulles alors f(U0) est une fonction linéaire ; U0 et U2 sont proportionnelles : U 2=αU 0 Détermination du coefficient directeur de la pente Nous disposons de l’équation de la droite de la forme le coefficient directeur de la pente.

y=αx + β

où α=0,0003109 est

Détermination de l’incertitude du coefficient directeur de la pente U0 (V)

U2 (V) 0 105 205 307 405 503 600 708 806 907

0 0,037 0,078 0,104 0,133 0,174 0,188 0,232 0,263 0,283

Pente minimale Pente maximale Pente 0,000327103 0,000378641 0,000352381 0,000382353 0,000438776 0,00041 0,000230769 0,00028 0,000254902 0,00027 0,000322917 0,000295918 0,00039 0,000447917 0,000418367 0,000121212 0,000168421 0,00014433 0,000381818 0,000433962 0,000407407 0,00029 0,00034375 0,000316327 0,000174757 0,000222222 0,00019802 0,000314917 0,000309131 0,000312018

Moyenne de la pente maximale Moyenne de la pente minimale Moyenne de la pente 0,000334574 0,000288293 0,000310967

moyenne de la pente−moyenne de la pente minimale=2,2674 ×10

−5

−5

moyenne de la pente maximale−moyenne de la pente=2,36066 ×10

Il nous faut garder la valeur la plus importante, donc nous gardons la valeur −5 . 2,36066 ×10 Nous obtenons donc :

−5

α=0,0003109(± 2,36 ×10 )

Nous pouvons dès à présent déduire la valeur de C0 : Nous savons que : α=

C0 C1

C0 =α × C1 Donc :

C0 =0,0003109 ×C 1=0,0003109× 9,6 ×10−9=2,985 ×10−12 F Il apparaît clairement que

C1 ≫C 0 . L’hypothèse est donc vérifiée.

Détermination de l’incertitude sur C0 : △ C0 △ α △ C1 × = α C0 C1

(

)

△ C 0=

△ α △ C1 × C0 α C1

△ C ab =

(

)

2,36 × 10−5 0,4 × 10−9 ×2,985 × 10−12 × 0,0003109 9,6 × 10−9 −15

△ C ab=9,4411 × 10

F

Donc :

C0 =( 2,985 ×10−12 ; ± 9,441 × 10−15 ) F

II.

Condensateur à sphères concentriques

À présent, nous allons mesurer la capacité d’un système constitué d’une sphère en plastique à la surface conductrice contenu à l’intérieur de deux hémisphères métalliques jointes. Un trou a été percé ce qui permet à la fois la suspension et le branchement électrique de la sphère intérieure. a. En ce qui concerne la manipulation L’objectif de la manipulation est de vérifier de manière expérimentale que la capacité de notre système est supérieure à celle de la sphère métallique précédemment étudiée. Le rayon de la sphère intérieur est r a=19± 1 mm et potentiel de cette sphère, U 0 est fixé par l’alimentation et porte une charge Q a . La sphère extérieur initialement déchargée, de rayon r b =62± 1 mm , porte une charge Q b . Nous considérons que les deux sphères sont parfaites et donc que Q b=−Q a . La capacité de ce système est donnée par :

C ab=4 π ε 0

ra rb r b− r a

Soit :

C ab =4 π ε 0

19 × 10−3 × 62 × 10−3 62 ×10−3 −19 × 10−3 −12

C ab=3,048× 10 α=

F

C ab 3,048 × 10−12 = =0,0003175 −9 C1 9,6 ×10

Cette capacité est d’autant plus grande que l’espace inter-sphère est faible, et que le rayon des sphères est grand.

b. Manipulation La manipulation consiste à relever les valeurs des tensions U0 et U2 à l’aide d’un voltmètre. Nous obtenons les résultats suivant :

U0 (V)

U2 (V) 0 125 215 308 425 507 594 725 816 917

0 0,065 0,109 0,154 0,211 0,255 0,303 0,37 0,427 0,488

U2 = f(U0) 0.6 0.5 f(x) = 0 x − 0.01 R² = 1

U2 (V)

0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

U0 (V)

Détermination du coefficient directeur de la pente Nous disposons de l’équation de la droite de la forme coefficient de la pente.

y=αx + β

où α=0,0055 est le

Détermination de l’incertitude du coefficient directeur de la pente U0 (V)

U2 (V) 0 125 215 308 425 507 594 725 816 917

0 0,065 0,109 0,154 0,211 0,255 0,303 0,37 0,427 0,488

Pente minimale Pente maximale Pente 0,000496063 0,000544715 0,00052 0,000456522 0,000522727 0,000488889 0,000452632 0,000516484 0,000483871 0,000462185 0,000513043 0,000487179 0,0005 0,000575 0,000536585 0,000516854 0,000588235 0,000551724 0,000488722 0,000534884 0,00051145 0,000591398 0,000662921 0,000626374 0,000572816 0,000636364 0,00060396 0,000535519 0,000528836 0,00053217

Moyenne de la pente maximale Moyenne de la pente minimale Moyenne de la pente 0,000562321 0,000507271 0,00053422

moyenne de la pente−moyenne de la pente maximale=2,69494 ×10

−5

−5

moyenne de la pente maximale−moyenne de la pente=2,81006 ×10

Il nous faut garder la valeur la plus importante, donc nous gardons la valeur −5 . 2,81006 ×10

α=0,00053422(± 2,81006 ×10−5 )

Nous obtenons donc :

Nous pouvons dès à présent déduire la valeur de Cab : Nous savons que : α=

C ab C1

C ab=α × C 1 Donc : −9

C ab=0,0005 ×C 1=0,0005 ×9,6 ×10 =4,8 ×10

−12

F

Détermination de l’incertitude sur Cab : △ C ab C ab

=

△ α × △ C1 α C1

△ C ab =

(

△ α △ C1 C × ab α C1

)

△ C ab =

(

−9 2,36 ×10−5 0,4 ×10 × × 4,8 ×10−12 0,00053422 9,6 ×10−9

)

△ C ab =8,83 ×10−15 F Donc : −12

C ab=( 4,8 × 10

; ± 8,83 ×10

−15

)F

Pour rappel, C1 =( 9,6 ×10 ;± 0,4 × 10 −9

Il apparaît que C1 ≫C ab

−9

)F.

. L’hypothèse est donc vérifiée.

Le résultat obtenu expérimentalement est plus grand que celui obtenu par la théorie.

III.

Conclusion

Nous avons obtenu les résultats suivant : −12

−15

C ab=( 4,8 × 10 ; ± 8,83 ×10 ) F −12 − 15 C0 =( 2,985 ×10 ; ± 9,441 × 10 ) F

Il se trouve qu’expérimentalement nous trouvons que : C ab > C 0 . La capacité de stockage de charge est donc plus importante pour le condensateur à sphère concentriques que pour le condensateur à sphère métallique simple....