Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar dan Pembahasannya PDF

Preview

Summary

Download Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar dan Pembahasannya PDF

Description

merupakan

Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar dan Pembahasannya Malvin Ardi  10:43 PM Tutorial Mata Pelajaran kita kali ini adalah Matematika. Dalam edisi matematika kesempatan ini akan dibahas tentang berbagai jenis soal yang berhubungan dengan limit fungsi aljabar. Dalam Matematika, Limit adalah nilai yang “didekati” sebuah barisan atau fungsi ketika nilai input dari barisan atau fungsinya mendekati sebuah nilai tertentu. Konsep limit digunakan dalam berbagai macam bidang dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh, produksi maksimum dari mesin suatu pabrik, dapat dikatakan merupakan limit untuk pencapain hasil. Pada prakteknya, pencapaian tersebut tidak tepat, tapi mendekati sedekat dekatnya.

Contoh Soal Limit Soal No.1 Carilah nilai limit berikut : a. lim 4 x→3 b. lim 3x x→3 c. lim x→2 3x 2 d. lim 3x2 + 5 x→3 e. lim x→2 2x2 + 4 2x + 2 Pembahasan a. lim 4 = 4 x→3 b. lim 3x = 3.(3) = 9 x→3 c.

lim x→2 3x 2 = 3.(2) 2 = 3 d. lim 3x2 + 5 = 3.(3)2 + 5 = 32 x→3 e. lim x→2 2x2 + 4 2x + 2 = 2.(22) + 4 2.(2) + 2 = 12 6 = 2 Soal No.2 Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini: lim x→2 x2 - 4 x - 2 Pembahasan Jika hasil substitusi adalah 0/0 (bentuk tak tentu), maka tidak dapat dilakukan dengan cara memasukkan nilai langsung, melainkan harus difaktorkan terlebih dahulu lim x→2 x2 - 4 x - 2 = 22 - 4 2 - 2 = 0 0 (bentuk tak tentu) Jadi hasil faktornya adalah : lim x→2 x2 - 4 x - 2 = (x-2)(x+2) (x-2) = (x+2)= (2+2) = 4 Soal No.3 Hitunglah nilai limit dibawah ini : lim x→3 x2 - 9 √ x2 + 7 - 4 Pembahasan Dengan substitusi langsung lim x→3 (x2 - 9) √ x2 + 7 - 4 = (32 - 9) √ 32 + 7 - 4 = 0 0 Karena diperoleh bentuk tidak tentu, maka harus digunakan cara lain yaitu menggunakan perkalian akar sekawan: lim x→3 (x2 - 9) √ x2 + 7 - 4 x √x2 + 7 + 4 √ x2 + 7 + 4 ⇔ lim x→3 (x2 - 9).(√ x2 + 7 + 4) (x2 + 7) - 16 ⇔ lim x→3 (x2 - 9).(√ x2 + 7 + 4) (x2 - 9) ⇔

lim x→3 (√x2 + 7 + 4) = (√32 + 7 + 4) = 8

Soal No.4 Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini: lim x→2 x2 - 5x + 6 x2 - 4 Pembahasan Jika disubstitusi langsung, maka akan didapatkan : lim x→2 x2 - 5x + 6 x2 - 4 = 22 - 5.(2) + 6 22 - 4 = 0 0 (bentuk tidak tentu) Dengan demikian kita harus menggunakan cara lain, yaitu : dengan mengfaktorkan dan melakukan turunan. Dalam soal no.4 ini kita lakukan dengan turunan : lim x→2 x2 - 5x + 6 x2 - 4 = 2x - 5 2x = 2.(2) - 5 2.(2) = - 1 4 Soal No.5 Tentukan nilai limit dari : lim x→∞ 4x - 1 2x + 1 Pembahasan Perhatikan pangkat tertinggi dari x pada f (x ) = 4x – 1 dan g(x) = 2x + 1. ternyata pangkat tertinggi dari x adalah satu. lim x→∞ 4x - 1 2x + 1 ⇔ lim x→∞ 4x x - 1 x 2x x + 1 x ⇔ lim x→∞ 4-1x2+1x = 4-1∞2+1∞ = 4-02-0 =2 Soal No.6 Tentukan nilai limit dari : lim x→∞

4x + 1 x2 - 2 Pembahasan Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat tertinggi 2, yaitu x2 yang terdapat pada x2 - 2. Sehingga : lim x→∞ 4x + 1 x2 - 2 ⇔ lim x→∞ 4x x2 + 1 x2 x2 x2 - 2 x2 ⇔ lim x→∞ 4 x + 1 x2 1 - 2 x 2 = 4 ∞ + 1 (∞)2 1 - 2 (∞)2 = 0+01-0 =0



Limit Fungsi Aljabar Matematikastudycenter.com- Contoh soal dan pembahasan limit fungsi aljabar matematika SMA kelas 11. Dibahas limit x → a lim x → ∞ termasuk juga limit x → 0 Mulai dari yang mudah dulu, tipe soal-soal limit yang bisa diselesaikan dengan substitusi langsung seperti contoh berikut. Soal No. 1 Tentukan hasil dari:

Pembahasan Limit bentuk

diperoleh

Soal No. 2

Pembahasan Limit aljabar bentuk

Substitusikan saja nilai x,

Berikutnya dilanjutkan dengan tipe metode turunan yaitu limit x menuju angka tertentu dimana jika disubstitusikan langsung mendapatkan hasil yang tak tentu. Soal No. 3 Tentukan nilai dari

Pembahasan Jika angka 2 kita substitusikan ke x, maka akan diperoleh hasil 0/0 (termasuk bentuk tak tentu), sehingga selesaikan dengan metode turunan saja.

Soal No. 4 Tentukan nilai dari

Pembahasan Masih menggunakan turunan

Soal No. 5 Nilai

A. −1/4 B. −1/2 C. 1 D. 2 E. 4 (Soal Limit Fungsi Aljabar UN 2012) Pembahasan Bentuk 0/0 juga, ubah bentuk akarnya ke bentuk pangkat agar lebih mudah diturunkan seperti ini

Turunkan atas - bawah, kemudian masukkan angka 3 nya

Soal No. 6

Nilai dari

A. 16 B. 8 C. 4 D. -4 E. -8 (Matematika IPS 013) Pembahasan Bentuk 0/0 juga, dengan turunan:

atau dengan cara pemfaktoran:

Soal No. 7 Nilai

A. − 2/9 B. −1/8 C. −2/3 D. 1 E. 2 un matematika 2007 Pembahasan Dengan substitusi langsung akan diperoleh bentuk 0/0. Cara Pertama Perkalian dengan sekawan dan pemfaktoran:

Cara Kedua dengan turunan:

Catatan Cara menurunkan

Ubah dulu bentuk akar jadi bentuk pangkat, kl akar pangkat dua itu sama saja dengan pangkat setengah, jadinya

Turunan dari 3 adalah nol, ga usah ditulis, lanjut turunan dari

dicari pakai turunan berantai namanya, prakteknya begini: Pangkatnya taruh depan, terus pangkatnya dikurangi satu, terus dikali dengan turunan dari fungsi yang ada dalam kurung. x2 – 7 kalo diturunkan jadinya 2x – 0 atau 2x saja. Jadinya:

Contoh berikutnya limit x menuju tak berhingga dalam bentuk f(x)/g(x). Kesimpulan berikut digunakan pada tiga nomor berikutnya:

Soal No. 8 Tentukan nilai dari

Pembahasan Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi yang sama, m = n

Soal No. 9 Tentukan nilai dari

Pembahasan Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi dari pembilang lebih tinggi dari penyebutnya, m >n

Soal No. 10 Tentukan nilai dari

Pembahasan Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi dari pembilang lebih rendah dari penyebutnya, m c, sehingga hasilnya = ∞ Model berikutnya: Soal No. 17 Nilai dari l

A. 0 B. 1/3 √3 C. √3 D. 2√3 E. ∞ un ipa sma 2013 Pembahasan Modifikasikan hingga jika disubstitusikan tidak menjadi bentuk tak tentu, 2x jika diubah bentuk akar akan menjadi √4x2:

Substitusi x dengan ∞ ingat bilangan dibagi tak hingga hasilnya (mendekati) NOL.

Share Joomla Templates at JoomlaShack Template Upgrade by Joomla Visually

Limit Fungsi (Materi SMA XI IPA Semester 2) Follow @HediSasrawan Limit biasa digunakan untuk menyatakan batas. Artinya kita boleh mendekati batas tersebut tetapi tidak boleh mencapai batas tersebut. Misalnya, kendaraan tidak dapat digunakan jika bensinnya habis. Namun kita masih bisa menggunakan kendaraan ketika bensin mendekati habis. Limit menunjukkan kecenderungan nilai suatu fungsi jika batas tertentu didekati.

1. Definisi dan Pengertian Limit 1.1. Definisi Limit Berikut adalah definisi limit menurut Austin Louis Cauchy: Sebuah fungsi f(x) mempunyai maka terdapat bilangan real

jika dan hanya jika untuk sembarang bilangan real sedemikian hingga memenuhi: maka

1.2. Pengertian Limit

Supaya lebih memahami pengertian limit, berikut disajikan contoh:

Perhatikan fungsi aljabar . Agar fungsi f(x) terdefinisi, nilai x dibatasi yaitu x ≠ 1. Jika batas nilai x tersebut didekati, akan diperoleh hasil bahwa nilai fungsi mendekati 3 seperti terlihat pada tabel berikut:

x

0,99

0,999

0,9999 0,99999 … 1 … 1,00001 1,0001

1,001

2,9701 2,997001 2997 2,99997 … - … 3,00003 3,0003 3,003001

Pada kasus seperti di atas dikatakan limit

untuk x mendekati 1 adalah 3, ditulis:

.

2. Limit Fungsi artinya nilai x mendekati nilai a (tetapi x ≠ a) maka f(x) mendekati nilai L.

2.1. Sifat-Sifat Teorema Limit Fungsi 1. 2. 3. 4. 5. Jika

dan

maka:

6. 7. 8. 9. Jika

, untuk maka:

10.

2.2. Menentukan Nilai dari Suatu

untuk L ≠ 0

1. Jika f(a) = k maka 2. Jika

maka

3. Jika

maka

4. Jika atau bentuk tertentu maka sederhanakan bentuk f(x) sehingga diperoleh bentuk f(a) seperti (1), (2), dan (3).

2.3. Limit Fungsi Tak Terhingga 1. 2.

Jika pangkat tertinggi f(x) sama dengan pangkat tertinggi g(x)

3.

Jika pangkat tertinggi f(x) lebih kecil dari pangkat tertinggi g(x)

4.

Jika pangkat tertinggi f(x) lebih besar dari pangkat tertinggi g(x)

3. Limit Fungsi Aljabar 3.1. Limit Fungsi Aljabar Berhingga 1. Jika f(a)=C, maka nilai 2. Jika

, maka nilai

3. Jika

, maka nilai

disederhanakan dulu menjadi bentuk 1, 2, atau 3

3.2. Limit Fungsi Aljabar Tak Terhingga Menentukan nilai

atau

:

1. Jika n = m maka 2. Jika n > m maka 3. Jka n < m maka

4. Limit Fungsi Trigonometri Untuk menghitung nilai limit fungsi trigonometri digunakan rumus-rumus berikut:

1. 2. 3. 4. Kemudian, secara umum dapat menggunakan langkah-langkah cepat seperti di bawah ini: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Jika terdapat fungsi cos maka ubahlah ke dalam bentuk sebagai berikut: 1. cos x diubah menjadi 2.

diubah menjadi

Berikut adalah sifat-sifat teorema limit fungsi geometri lainnya: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

7.

5. Kontinuitas Suatu fungsi kontinu di x = a jika: 1. f(a) real 2. 3.

Pembahasan Soal UN Limit Fungsi AljabarZero Maker 4:44 pm

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) SMA bidang studi Matematika IPA untuk pokok bahasan Limit Fungsi Aljabar. 1. EBT 2003

√

Nilai dari limx→24−x23− x2+5 = ... A. −12 B. −6 C. 0 D. 6 E. 12 Pembahasan :

√

√

√

√

( )(3+√x2+5)9−

limx→24−x23− x2+5=limx→24−x23− x2+5⋅3+ x2+53+ x2+5=limx→2 4−x2

(x2+5)=limx→2(4−x2)(3+√x2+5)4−x2=limx→2(3+√x2+5)=3+√22+5=6

Jawaban : D

2. UN 2004

Nilai limx→2 A. B. C. D. E.

(

)

2x2−4−3x2+2x−8

= ...

−712 −14 −112 −124 0

Pembahasan :

(

limx→2

2x2−4−3x2+2x−8

)

=limx→2

(

)

2(x+2)(x−2)−3(x+4)(x−2) =limx→22(x+4)−3(x+2)(x+2)(x−2)

(x+4)=limx→2−(x−2)(x+2)(x−2)(x+4)=limx→2−1(x+2)(x+4)=−1(2+2)(2+4)=−124

Jawaban : D

3. UN 2006 Nilai limx→6√3x−2−√2x+4x−6 = ... A. −14 B. −18 C. 0 D. 18 E. 14 Pembahasan :

limx→6√3x−2−√2x+4x−6=limx→6√3x−2−√2x+4x−6⋅√3x−2+√2x+4√3x−2+√2x+4=limx→6(3x−2)−(2x+4

(√3x−2+√2x+4)=limx→6(x−6)(x−6) (√3x−2+√2x+4)=limx→61√3x−2+√2x+4=1√3(6)−2+√2(6)+4=18 )(x−6)

Jawaban : D

4. UN 2007 Nilai limx→3x2−x−64−√5x+1 = ... A. −8 B. −6 C. 6 D. 8 E. ∞ Pembahasan :

limx→3x2−x−64−√5x+1=limx→3x2−x−64−√5x+1⋅4+√5x+14+√5x+1=limx→3(x2−x−6)

(4+√5x+1)16−(5x+1)=limx→3(x−3)(x+2)(4+√5x+1)−5(x−3)=limx→3(x+2)(4+√5x+1)−5=(3+2) (4+√5(3)+1)−5=−8 Jawaban : A

5. UN 2008 Nilai limx→2x3−4xx−2 = ... A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 E. 2 Pembahasan :

( )

limx→2x3−4xx−2=limx→2x x2−4 x−2=limx→2x(x+2)(x−2)x−2=limx→2x(x+2)=2(2+2)=8

Jawaban : C

6. UN 2009 Nilai limx→3x2−9√10+2x−(x+1) = ... A. −8 B. −6 C. 4 D. 6 E. 8 Pembahasan :

( )

limx→3x2−9√10+2x−(x+1)=limx→3x2−9√10+2x−(x+1)⋅√10+2x+(x+1)√10+2x+(x+1)=limx→3 x2−9

(√10+2x+(x+1))10+2x−(x2+2x+1)=limx→3(x2−9)(√10+2x+(x+1))−(x2−9)=limx→3√10+2x+

(x+1)−1=√10+2(3)+(3+1)−1=−8

Jawaban : A

7. UN 2010 Nilai limx→0 A. B. C. D. E.

−2 0 1 2 4

(

4x√1−2x−√1+2x

)

= ...

Pembahasan : limx→04x√1−2x−√1+2x⋅√1−2x+√1+2x√1−2x+√1+2x limx→04x

(√1−2x+√1+2x)(1−2x)−(1+2x)

limx→04x

(√1−2x+√1+2x)−4x

limx→0√1−2x+√1+2x−1 = √1−2.0+√1+2.0−1 = −2 Jawaban : A

8. UN 2011 Nilai limx→4(x−4)√x−2 = ... A. 0 B. 4 C. 8 D. 12 E. 16 Pembahasan : limx→4(x−4)√x−2 limx→4(√x+2)(√x−2)√x−2 limx→4(√x + 2) = √4 + 2 = 4 Jawaban : B

9. UN 2012 Nilai limx→32−√x+1x−3=... A. −14 B. −12 C. 1 D. 2 E. 4 Pembahasan : limx→32−√x+1x−3⋅2+√x+12+√x+1

limx→34−(x+1)(x−3)(2+√x+1) limx→3−(x−3)(x−3)(2+√x+1) limx→3−1(2+√x+1) = −12+√3+1 = −14 Jawaban : A

10. UN 2013

(

)

(

)

Nilai dari limx→∞ (2x−1)−√4x2−6x−5 =... A. 4 B. 2 C. 1 D. 12 E. 14 Pembahasan : Misalkan limx→∞ (2x−1)−√4x2−6x−5 =L

L=limx→∞

(√

√

)

(2x−1)2− 4x2−6x−5 =limx→∞

(√

a = 4, b = -4, c = 1 p = 4, q = -6, r = -5 Karena a = p maka berlaku L=b−q2√a=−4−(−6)2√4=24=12

Jawaban : D

11. UN 2013

√

√

Nilai dari limx→∞ 5−4x+3x2+ 4−3x+3x22x=... A. 0 B. 13√3 C. √3 D. 2√3 E. ∞ Pembahasan :

√

√

limx→∞ 5−4x+3x2+ 4−3x+3x22x

√

4x2−4x+1− 4x2−6x−5

)

Karena pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat tertinggi penyebut, maka nilai limit tak hingga diatas adalah koefisien pangkat tertinggi pembilang dibagi koefisien pangkat tertinggi penyebut.

√3+√32 = √3 Jawaban : C

12. UN 2014 Nilai limx→∞ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 E. 1

(√

)

9x2+6x−2−3x+1 =...

Pembahasan : Misalkan limx→∞

L=limx→∞

(√

)

9x2+6x−2−3x+1 =L

(√

)

9x2+6x−2−(3x−1) =limx→∞

(√

)

+1

a = 9, b = 6, c = -2 p = 9, q = -6, r = 1 Karena a = p, maka berlaku : L=b−q2√a=6−(−6)2√9=126=2

Jawaban : D

13. UN 2016 Nilai dari limx→∞ A. −6 B. −4 C. −1 D. 4 E. 6

(√

)

4x2+4x−3−(2x−5) =...

Pembahasan : Misalkan limx→∞

(√

)

4x2+4x−3−(2x−5) =L

√

)

9x2+6x−2− (3x−1)2 =limx→∞

(√

√

9x2+6x−2− 9x2−6x

L=limx→∞

(√

√

a = 4, b = 4, c = -3 p = 4, q = -20, r = 25 Karena a = p maka berlaku L=b−q2√a=4−(−20)2√4=244=6

Jawaban : E

)

4x2+4x−3− (2x−5)2 =limx→∞

(√

√

4x2+4x−3− 4x2−20x+25

)...