contoh soal Olimpiade Matematika SMAMA PDF

Preview

Summary

2 !"# " " $% # & # "$ & % ' ( % ) )# "$ * % " & +) ) , - ' " .) ). -$ , # /0 - ' " .) ). . " ". # 0/12 3 4 #.' # ! " ! " " # " # #$ % # $ % 5 Alhamdulillah penulis ucapkan tak henti – hentinya kepada A...

Description

Accelerat ing t he world's research.

contoh soal Olimpiade Matematika SMAMA Tri Purnama

Related papers

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

DIKTAT PEMBINAAN OLIMPIADE MAT EMAT IKA MAT ERI DASAR PAK EDDY HERMANT O Sut ra Megariawat i Dikt at pembinaanommat eridasarversi51 Aris Sulist iawan DIKTAT PEMBINAAN OLIMPIADE MAT EMAT IKA MAT ERI DASAR William Syuaib

2

!"# " "$

&

" $% # & %

'

% ) )# "$ %

+) ) -$

#

,

, # /0 - '

"

- '

(

* &

" .) ).

" .) ). . " ". # 0/12

3

4

#.'

!

#

"

!

"

" # #$

" %

#

$

# %

5

Alhamdulillah penulis ucapkan tak henti – hentinya kepada Allah Subhanahu Wata’ala karena dengan pertolongannya penulis dapat menorehkan dan mencorat – coretkan tinta di atas kertas ini dan menuangkan beberapa tulisan matematika yang sederhana ini. Penulis berpandangan, selama ini para siswa khususnya di madrasah kami masih banyak yang menemui kesulitan dengan soal – soal kompetisi maupun olimpiade matematika tingkat SMA/MA tak terkecuali bapak dan ibu guru juga termasuk penulis sendiri. Berangkat dari hal inilah penulis mengumpulkan beberapa contoh soal baik lokal maupun internasional diserati ulasan materi untuk dapat digunakan bagi siswa – siswi dalam menghadapi even kompetisi matematika dan bapak atau ibu guru sebagai pendamping dalam pembinaan siswa – siswinya di sekolah atau madrasah masing – masing. Penulis menyarankan kepada pemirsa untuk membaca dan menelaah ebook 9

Tahun Penyelenggaraan OSN yang berisi Kumpulan Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Indonesia karya Eddy Hermanto beserta diktatnya dan buku Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika karya Wono Setya Budhi. Penulis merasa dengan kehadiran ebook ini tentunya masih banyak sekali kekurangan yang ada di dalamnya. Untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca yang budiman sebagai bahan untuk perbaikan ebook ini. Jeketro,

Maret 2013

AHMAD THOHIR, S. Pd Email : [email protected] www.ahmadthohir1089.wordpress.com

6

! $

%

"

" &

'

( #

, "

'

!-" .

+

!- ! "

/

- ,

0 1-

)*

".

%

"

!"

+

# " - - ! " -"

-2 %

#

/0

+ ! , 2 & "

$

3 000

-" .

&

$/

3 000 (!

) !

-" )"

0 %

"

&

#

7

4 5

.

(

3

5( *

. .6 5 5 4 *

1

2

4 *

, "

!-" .

!- ! "

- ,

-"

*

* 6 *

* a. b. c. d. e. f. g. h. i. a. b. c. d. e. f. g. h. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p.

4

*

q. a. b. c.

Sistem Bilangan Real Bilangan Kompleks Ketaksamaan Nilai Mutlak Polinom Fungsi Barisan , Deret dan Notasi Sigma Persamaan dan Sistem Persamaan Aritmetika Sistem bilangan Bulat Keterbagian FPB(GCD), KPK(LCM), Relatif Prima(Coprim), dan Algoritma Euclid Konversi Bilangan dan Kongruensi Bilangan Prima Faktorisasi Prima Persamaan Bilangan Bulat Fungsi Tangga dan Ceiling Hubungan Antara Titik dan Garis Hubungan Antara Garis dan Garis Sudut Bangun>Bangun Bidang Datar Kesebangunan dan Kekongruenan Sifat>Sifat Segitiga : Garis Istimewa Dalil Menelaus Dalil Ceva Dalil Stewart Hubungan Lingkaran denganTitik Hubungan Lingkaran dengan Garis Hubungan Lingkaran dengan Segitiga Hubungan Lingkaran dengan Segiempat Hubungan Lingkaran dengan Lingkaran Garis>Garis yang Melalui Satu Titik(Konkuren), Titik>Titik yang Segaris Trigonometri(Perbandingan, Fungsi, Persamaan dan Identitas) Bangun Ruang Sederhana Pinsip Pencacahan Permutasi Kombinasi 8

d. e. f. g. h. i.

Koefisien Binomial Peluang Prinsip Inklusi>Eksklusi Faktor Pembilang Pigeonhole Principle(Prinsip Sarang Merpati) Rekurensi

9

∈

7

∉ ℂ

7.

- )! &

ℕ

:.

"

! ! 6

7.

& "

7.

" &-

ℝ

7.

"!

ℤ

7.

,

∩

7 "&

!"&! &

4

7

∞

7

:

7

"

!! ! 6

ℚ

,

& "

&

"

,

,

)-&

%

4 !"2

%

&

%

8 9

2

,!"

2"

-"

10

*

5( *

*

*

* 6 *

(; . & !

. )

! .

!

ℝ))

Bilangan real ℝ, terdiri dari 2 bilangan yaitu bilangan rasional dan irasional .

&-

Bentuk Umum ℚ = • • • • •

1-

∈ℤ,

≠0

0,1,>1,>10,12 dan lain>lain Dilambangkan ℚ Kadang berupa bilangan bentuk pecahan Bilangan desimal berbatas/terbatas Bilangan desimal berulang

-2

1)Hitunglah 1+ +

Jawab : 1+ + 1-

= , ,

-2

.

+

+

= 1 + 1 + 4 + 9 = 15

1)Tentukan bilangan pecahan dari 0,4444… Jawab : Misalkan = 0,444 … , maka

10 = 4,444 … sehingga

10 = 4,444 … = 0,444 …

11

> 9 =4 =

& '

2)Tentukan pecahan dari 1,34555… Jawab : dengan cara yang sama seperti di atas Misalkan 10000 = 13455,555 … 100 = 134,555 …

>

9900 = 13321 =

''**

1.1.1.1.. • • •

1-

1 < 2

- = +0, 1, 2, 3, … , 0 dan Bilangan asli Bilangan genap = +0, 2, 4, … , Bilangan ganjil = +1, 3, 5, … ,

1.1.1.3.. • •

"

ℕ = +1, 2, 3, … , Dilambangkan ℕ Terdiri dari bilangan 3 bilangan utama, yaitu : Bilangan tunggal, bilangan basit(prima) dan bilangan majmuk(komposit)

1.1.1.2.. • • • •

&

.

! !"

ℤ = +0, ±1, ±2, ±3, … , Bilangan sli, nol dan lawan dari bilangan asli -2

1)Hitunglah 222 x 999 12

Jawab : 222 x 999 = 222 x (1000>1) = 222000>222 = 221778 2)Hitunglah 2222222222 x 9999999999 Jawab : 2222222222 x 9999999999 = 2222222222 x (10000000000>1) 22222222220000000000>2222222222 = 22222222217777777778 1.1.2..

" &≠ , ,

Bentuk Umum : • • 1-

.

.!

"

∈ /01 23 2 41 5,

≠0

Bilangan bentuk akar Bilangan desimal bersambung tapi tak berulang -2

$

1)Berikut ini mana yang bukan bentuk akar :

:

:

:

:

:

:

62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 610, 611, 612, 613, 614, 615, 616, 617 :

Jawab : yang bukan bentuk akar adalah 64 = ;2;, 68 = 2, 616 = ;2; 2)Tentukan nilai dari < = = > ? 6…

Jawab : Kuadratkan masing>masing ruas sehingga < = = > ? 6… ⟹ < = < ⟹ < − < = 0 ⟹

f h

? 6 = fh6 =

6

6

=

6 e6{

6 c6{ 6 c6 6{c6` 6

=

6 c6 6 e6

? + ? +

=

=

6

fh

, penyebut ≠ 0

= =

≠0

,

m6 c6{n e{ {m6 e6{n

6 e6{ m6 c6 nm6{e6`n

= =

{e`

=

6

6 c6 6 e6

+ 26

− 26

+>

6 6 6 6

e6 e6 c6 c6

=6 +6

c6 c6 c6 c6

=6 −6 ,

+?

+ 6… =

= = >

6 6

, jika

e6

c

c6

e

,

c6 c6

> 0 dan

−

=1 15

•

=

•

= > ? 6… =

•

|1 + 2}1 + B2 + 1)=1 + B2 + 2)>1 + B2 + 3)61 + ⋯ = 2 + 1

•

}2 + =2 + >2 + ?2 + 6… = 2 cos

−>

−?

− 6… =

,

, jika

1.2.3.(-

"

(-

"

−

=1

,IQ23 2 2 ∈ ~

‚

ƒ„

UVVVVVVVVWVVVVVVVVX j \ _

> 0 dan

"

Bentuk umum a

log b = c ⟺

Dengan • • •

{

=

adalah bilangan pokok basis, > 0 dan ≠ 1 adalah numerus,yaitu bilangan yang dicari nilai logaritmanya, b > 0 i adalah bilangan hasil pencarian nilai dari logaritma

Sifat>sifat logaritma : • •

a

• • •

a

• • • • •

log b + alog c = alog bc a log b > alog c = alog {

log • = z. alog b a log b = (plog b)/( plog a) , dengan , K > 0 dan , K ≠ 1 =& & = −& b

log b = 1 log • = m = & =

a

16

•

'

'

•

=

•

=

=

'

• • • • • •

log b = 10log b a log 1 = 0 , dengan log 10 = 1 log 100 = 2 log 1000 = 3 log = >1

•

log

*

**

> 0 dan

≠1

= >2

•

log

• • •

log uB ) = alog 3B ) maka uB ) = 3B ) log x = 0,4343 ln x (ln = logaritma natural) ln x = 2,303 log x a

***

= >3

Sifat ln sama dengan sifat logaritma untuk operasinya 1-

-2

.

1)Tentukan nilai dari

Že •

Jawab : Že •

=

Ž e Ž„

=

Žm

n

e

= 2•e B1 − 4) = 2 . B−3) = 8. B−3) = −24

Kita sebenarnya juga langsung dapat mengerjakan, tapi di sini kita tekankan untuk aturan pangkatnya 2)Tentukan nilai

4254M

‘

•

’

“

=

&' s &

Jawab : Perhatikan bahwa

⟹1=

”

&* re s

‘

•

⟹

’

”

“

*

= =

&' s &

”

⟹

&* re s

‘

•

’

“

=

”

e s

⟹1=

⟹ 4026 − 2 = 0 ⟹

”

&* r

.

”

e s

= 2013 17

3) (Mat Das>UM UGM 2008) Jika 4 B2 5

tentukan nilai

se

)+

8s =2, 10

Jawab : 4 B2 5

se

)+

Jadi, nilai

=

8 2 s 2 s 1 8s =2⟺ • –+ = 2 ⟺ B2 s ) = 2 ⟺ 2 10 10 10 2 2

s

=4=2 ⟺

=

2 3

4)Rasionalkan lah (a)

6 * 6 (b) * 6

(c)

(d)

6•e6”

6 c6 c 6 c6 (e) * c6 * 6 6 (f) c6•c6” 6

(g)

(h)

6 e6 6 6

Jawab : (a)

6 * 6 (b) * 6

(c)

(d)

6•e6”

=

6 * 6

=

=

6 *

6•e6”

=

x

6 * = * 62013 6 * 6 * 6r” = 6 * 6 * 6•c6” 6•c6” = =− •e” 6•c6” 6 e6 c

=6 +1−6

6 e6 c 6 c6 c 6 c6 c 6 c6 6 c6 6 * (e) = * c6 * 6 * c6 * 6 6 *

64026 − 66036 + 36671

m65 + 67n

e6 * e6 *

=

6&* &e6&* rc6r* re6r* ' * e *

= −261006 +

18

(f)

6 6 c6•c6”

=

6rc6 *e6 & e 6 •

(g) (h)

6 6 c6•c6” c 6 • c 6 •

=

6 c6•e6” 6 c6•e6”

=

6rc6 *e6 &

m6 c6•n em6”n 6rc6 *e6 &c 6'*c 6 •*e 6 er*

=

*

6rc6 *e6 & c 6 •c•e”

=−

r

=

6rc6 *e6 & e 6 •

=

m66 + 610 − 614 +

6610 + 1066 − 26210 ) = − r m1166 + 7610 − 614 − 26210n =

6 e6 6 6 6

=

6

6 e6 6& 6&

=

6&c 6rc 6'

6&c 6rc 6' 6 6&

=

6&c 6rc 6' e

= m6364n

= −m 64 + 66 + 69n

5)Jika z dan 2 bilangan asli sehingga

?7 + 648 = 6z + 62, maka nilai dari z + 2 =…

Jawab :

>7 + 648 = >7 + 64.12 = >4 + 3 + 263.4 = 64 + 63

sehingga z = 4 dan 2 = 3. Jadi z + 2 = 4 + 3 = 16 + 9 = 25 6)Tentukan nilai dari ?7 + 633 − ?7 − 633 Jawab :

Misalkan

= ?7 + 633 − ?7 − 633 ,kuadratkan masing>masing ruas sehingga

= ?7 + 633 − ?7 − 633

= 14 − 2.4 = 14 − 8 = 6 ⟹

= 7 + 633 + 7 − 633 − 2649 − 33 = 14 − 2614 = 66

7)Diketahui 67 − 2 + 432 + 67 − 2 − 423 = 285, maka nilai untuk 67 − 2 + 432 − 67 − 2 − 423 adalah… Jawab :

Misalkan ?˜ = 67

6 = 67

− 2 + 432 dan

− 2 − 423 , maka

?˜ + 6 = 285 ⟹ ?˜ = 285 − 6 (kuadratkan masing>masing ruas)

19

Sehingga didapat ˜ = 81225 − 5706 +

atau

− 2 + 432) = 81225 − 5706 + B7

⟺ B7

− 2 − 423)

⟺ 432 = 81225 − 5706 − 423 ⟺6 =

™* ”*

Jadi, 67

•”*

= 141 ⟹ ?˜ = 144

− 2 + 432 − 67 (=

)

8)Diketahui

− 2 − 423 = ?˜ − 6 = 144 − 141 = 3 * = 9 maka nilai

(

dan

+ ==

,-

Jawab : Dari soal diketahui )

(=

(

*=

9 dan

Sehingga untuk * + ,= += * ,-

( (

(+ (

(

( '* = ( ') ' )

(+

(

(

* )+

(

)

=

&+ /& + . &+ = = +( & & (+ &+ +

9)(UM IKIP PGRI 2010) Jika diketahui (

(+−

=(

(

) + & 9 maka nilai

(

adalah…

Jawab : Perhatikan ⟺(

⟺ *(

(

Jadi, nilai

(

=(

(

=( = &( ⟺

= 16

(+−

(

(' + − ( (

(

)⟺

= 0⟺

(

)+ & ⟺

(

(

= ( +− (

= 2& = 16

(

(+−

=(

)⟺

(

)+

(

(

(

= &( − ( (

(

)

10)(Olimpiade Sains Porsema NU Th 2012) Nilai

yang memenuhi jika 20

?3 + 262 (a)

( +&

(b)

*+ (

(c)

( +&

(d)

( −&

(e)

( +(

s

− ?3 + 262

es

(

= adalah …

( * ( *

Jawab : Misalkan K = ?3 + 262 maka K s − Kes =

⟹ K s − Gš = . Sehingga

K s − Gš − = 0 (masing>masing ruas dikalikan dengan 2K s ) 2K

s

− 3K s − 2 = 0 ⟹ B2K s + 1)BK s − 2) = 0 ⟹ K s = − atau K s = 2

Jelas yang memenuhi adalah K s = ?3 + 262

Untuk mencari s

?3 + 262

s

, gunakan logaritma

=2⟹

=

*+ ( (

Jadi, jawab di atas adalah (a)

( ⟹

= (( +&+ (

= 2, sehingga

('&

)(

( ⟹

=

( +&

(

11)(Mat Das>UM UGM 2008) Bentuk sederhan dari ›

n ?

m6

6 +1

›

6 +1

Jawab : Perhatikan ›

m6 Jadi,

›

6s

?s 6sc

›

s 6sc

n ? ›

6 +1

6 +1

=1

=

›

m6

›

n ?

›

?

rB

&B

+ 1)

+ 1)

=

›

?

›

?

rB rB

+ 1) + 1)

=1

21

12)Jika diketahui

&

)

=

&

=

& 9 maka nilai 3 − 2˜ adalah… )

Jawab : Perhatikan bahwa

)

&

=

&

=

& )

Melihat bentuk persamaannya, dapat langsung kita tebak bahwa Sehingga nilai untuk 3 − 2˜ = 7B3) − 7B2) = 21 − 14 = 7

= ˜ = 7.

Jadi nilai 3 − 2˜ = 7.

13) (OSN 2002)Buktikan untuk sebarang bilangan bulat 2 > 1 , 2& − 2 habis dibagi oleh 12 Jawab : Perhatikan bahwa 2& − 2 = 2 B2 − 1) = 2. 2. B2 − 1)B2 + 1) = B2 − 2 + 2)B2 − 1)2B2 + 1) 2& − 2 = B2 − 2)B2 − 1)2B2 + 1) + 2B2 − 1)2B2 + 1)

Karena B2 − 2)B2 − 1)2B2 + 1) adalah 4 bilangan berurutan maka habis dibagi 4! dan B2 − 1)2B2 + 1) adalah 3 bilangan berurutan juga akan habis dibagi oleh 3!

Jadi terbukti bahwa untuk sebarang bilangan bulat 2 > 1 , 2& − 2 habis dibagi oleh 12

14)(AIME 1983)Diketahui œ dan • adalah bilangan kompleks yang memenuhi œ + ˜ = 7 dan œ + • = 10, maka nilai terbesar untuk œ + • adalah… Jawab :

Dari soal œ + ˜ = Bœ + •) − 2œ• = 7 … … … … 1)

œ + • = Bœ + •) − 3œ•Bœ + •) = 10 … … … . .2)

Dari persamaan 1) diperoleh ϥ =

BžcŸ) e”

… … … … . .3)

Persamaan 3) disubstitusikan ke 2), sehingga diperoleh 22

Bœ + •) − 7 Bœ + •) − 3 • – Bœ + •) = 10 2 3 Bœ + •) − mBœ + •) − 7Bœ + •)n = 10 2

2Bœ + •) − 3Bœ + •) + 21Bœ + •) − 20 = 0 Bœ + •) − 21Bœ + •) + 20 = 0

Bentuk trinomial, karena pangkat tertingginya 3, dengan variabel (œ + •), lihat teorema faktor maka kita akan mendapatkan œ+• =1 5 4 Bœ + • − 1)Bœ + • − 4)Bœ + • + 5) = 0 œ + • = 4 5 4S œ + • = −5

Dari sini jelas nilai maksimum œ + • adalah 4 .

2.1. ! • • •

• • •

•

• • •

2.2.

- )! &

!" ℂ = +• = + 0; , b ∈ ℝ , 0 = −1, Dilambangkan dengan ℂ Jika akar>akar persamaan kuadrat

+

+ i = 0 adalah

,

=

e ±6

e& {

jika

≠ 0 dan − 4 i < 0 , maka akar>akar persamaan kuadrat tersebut adalah bilangan>bilangan kompleks 0 = 6−1 ⟹ 0 = −1 Bentuk baku dari 6− = 0 6 Ji...